三项基本功(2012)

• 我们并应依据自己的个性特征创造性 地加以应用。
一、“善于举例”与数学教学
• 从“什么是数学”谈起？ • 一个基本论点：“数学：模式的科
学”（mathematics：the science of patterns） • 数学所反映的不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
（3）作为进一步的抽象，我们又应由 1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3， 3/4，……。从而，如果仍然集中于 “将一个蛋糕平均分成两份，每份是 它的1/2”这一论述，我们就可以说，除 去分割的对象与方法以外，我们也应 对“平均分成两份”中的“两份”以 及所说的“每份”作出适当变化。
（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的 一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、 3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容 易看出，这一变化事实上也就意味着我们 已经将分析的着眼点由“（平均）分配” 这一实际活动转移到了部分与整体之间的 关系，后者并就意味着对于分数本质更为 深入的认识。
• 如何看待“植树问题”的教学？特别 是，这一问题所发挥的究竟是案例的 作用，还是其本身就体现了一些十分 重要的规律？
• 我们在教学中应当更加关注如何能以 “植树问题”为背景抽象出普遍的数 学模式：“分隔问题”。
（2）如何帮助学生由实例抽象出相 应的数学概念？
• 关键之一：去情境；
• 教学辩证性与艺术性：范例的作用 与必要的抽象；
数学教师的“三项基本功”
郑毓信
（2012）
简介
• 1965年毕业于江苏师范学院数学系；曾在 中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、 博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。
• 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数 学教育与科学教育。
• 已出版著作28部，发表论文300多篇。
背景：课改十年的必要总结与反思
• 聚焦教学观摩：“外行看热闹，内 行看窍门。”
• 更为一般的结论：“立足专业成长， 关注基本问题。”（2010）
• 进一步的思考：一线教师如何实现 自己的专业成长？
问题的细化
• 数学教师是否应当具有自己特殊的 基本功？
• 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。
（1）什么是“适当的例子”？
• 标准之一：相对于学生的可接受性； • 标准之二：典型性，即是能为相应
的数学抽象提供必要的基础。 • 这方面的一个基本事实：举例并非
一件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事。
[例1] “范例教学法”（R. Davis)
• 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的 运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆 子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。
回顾：如何帮助学生由具体实例抽 象出相应的数学概念？
• 关键：通过适当的变化与比较帮助 学生掌握相关概念的本质。
新的重要发展：由“变式理论”到 “多元表征理论”
• 传统的研究：主要集中于如何帮助 学生很好地掌握概念的本质（单一 性）。
• 新的认识：更加强调概念内在表征 （概念意象）的多元性，以及各方 面的必要互补与思维的灵活性
进一步的分析
• 数学基本特性：抽象性。 • “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出
适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实例
抽象出相应的数学概念？
插入：学习心理学研究的相关结论
• “概念定义”与“概念意象”的必 要区分。
• 概念意象的多元性：它“由所有的 相关实例、反例、事实和关系组 成。”（维纳与赫什科威兹，1980）
• 好的“认知基础”并应具有这样的性质： 它能“自动地”指明相关概念的基本性质 或相关的运算法则。这就是指，借助于这 一实例学生可以顺利地作出相应的发现。 如学生在此显然就可借助所说的实例顺利 地实行 4 - 10、5 – 8等运算，而无须依赖 于对相应法则的机械记忆。
[例2] “植树问题”的教学
• 问题：如何以“变式理论”（概念 变式）为指导设计教学从而帮助学 生较好掌握分数的本质？
（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕， 也可以是纸片或别的什么东西；对于分割 对象的外形我们也不应作任何限制：它们 既可以是圆形，也可是方形或任何其它形 状。
（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长 方形纸片的分割而言，可以横着折，也可 以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个 “正例”以外，我们也应引入一定的“反 例”，如按照中位线分割的梯形等
• 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记 下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆 子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个算 式。
• 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开 始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ …
相关的分析
• 这些实物和动作对于学生来说都是十分熟 悉的。
（2）“概念变式”与 “非概念变 式”：
“非概念变式”大致地就相当于 “反例”，这也就是指，除去“正 例”以外，我们在教学中还应给出 若干“反例”，这样通过对照就可 帮助学生更好掌握概念的本质。
[例] “认识分数”
• 引入：“分蛋糕”。教师并通过简 短讨论引出了这样一个结论：“将 一个蛋糕平均分成两份，每份是它 的1/2。”
• 相关理论：“变式理论”（“概念 变式”）。
• 核心思想：如何通过适当的变化与 比较帮助学生掌握概念的本质。
“概念变式”的主要内容：
（1）“标准变式”与“非标准变 式”：
教学中不应局限于平时经常用到的 一些实例，而应有意识地引入一些 “非标准变式”，从而就可防止学 生将相关实例的一些非本质特性误 认为概念的本质特性。
一些具体工作
• 郑毓信，“数学教师的三项基本 功”，《人民教育》，2008年第18、 19、20期连载，并已被收入“《人 民教育》创刊60周年系列丛书”。
• 郑毓信，《数学教师的三项基本 功》，江苏教育出版社，2011
基本定位
• “三项基本功”集中地反映了数学与数 学教学（教育）的特殊性。
• “三项基本功”并非单纯的技能，而 是专业能力的集中表现；特别是，就 只有联系深层次的教学思想和教育思 想我们才能真正理解它们的内涵和意 义。