分式的值
分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的概念及性质若用A 、B 表示两个整式，则BA 就叫做分式，其中：B 中含有字母且B ≠0。
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：MB M A B A ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（M 是不为零的整式）。
（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
即：BA BA =--，BA BA BA -=-=-。
（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。
（3） 在分式运算中，可以把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。
二、例题与练习：（一）巩固概念例1 当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ，（2）1222-++x x例2 当x 取何值时，分式212---x x x 的值为零？例3 将分式3243-++x x x 分解成部分分式。
例4 当x 取何整数时，下列各式中的y 值也是整数？（1）16-=x y ； （2）31+-=x x y ； （3）131++=x x y ；（5）222-+-=x x x y （6）13122-+-=x x x y（二）化简与求值 例5 化简下列分式： （1）1132--++x xx x （2）⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-b a bb a b b a b a ba b a（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222)(11)2(11)1(11n x x x （4）168421161814121111aa aaaa--++++++++-（5）1271651231222++++++++x x x x x x（6）4192372252132+++++-++-++x x x x x x x x（7）abbc ac c b a c acbc ab b a c b bcac ab a c b a +----++----++----222222 （a 、b 、c 两两不相等）（8）()()()()()()199919972532312+++++++++x x x x x x（9）()()()()()d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b c b a b a c a c b c b a 111111111111222例6 若abc ＝1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值。
分式的值专题练习(解析版)
分式的值专题练习一、分式的值为零1、如果代数式1xx-的值为0，那么实数x满足（）A. x=1B. x≥1C. x≠0D. x≥0答案：A解答：∵代数式1xx-的值为0，∴x-1=0，∴x=1．选A.2、若分式3621xx-+的值为0，则（）A. x=-2B. x=2C. x=12D. x=-12答案：B解答：∵分式3621xx-+=0，∴360 210xx-=⎧⎨+≠⎩，解得：x=2．选B.3、使分式293xx-+的值为0，那么x（）A. x≠-3B. x=3C. x=±3D. x≠3答案：B解答：∵293xx-+=0，∴29030xx⎧-=⎨+≠⎩，∴x=±3且x≠-3，∴x=3．选B.4、若三角形三边分别为a 、b 、c ，且分式2ab ac bc b a c-+--的值为0，则此三角形一定是（ ） A. 不等边三角形 B. 腰与底边不等的等腰三角形C. 等边三角形D. 直角三角形答案：B解答：由题意得ab -ac +bc -b 2=0且a -c ≠0， 整理得（b -c ）（a -b ）=0且a ≠c ， ∴b =c 或a =b 且a ≠c ，∴该三角形是腰与底边不等的等腰三角形． 选B. 5、对分式26x x +-，当x ______时分式有意义，当x ______时分式的值为0． 答案：≠6；=-2解答：分式有意义，分母不等0，分式的值为0，是分子等0，且取值保证分母有意义． 6、当x 为何值时，分式()22255x x --的值为0？答案：x =-5． 解答：若使分式()22255x x --的值为0，需满足25-x 2=0，且（x -5）2≠0，即x =-5．二、分式的值为正数或负数 7、若分式2213x x ++的值为正，则x 的取值范围是（ ） A. x ＞12 B. x ＞-12C. x ≠0D. x ＞-12且x ≠0答案：B 解答：∵分式2213x x ++的值为正， 又∵x 2+3＞0， ∴2x +1＞0，∴x＞-12．8、如果代数式22 1x x -+的结果是负数，则实数x的取值范围是（）A. x＞2B. x＜2C. x≠-1D. x＜2且x≠-1答案：B解答：代数式22 1x x -+的结果是负数，∵x2+1＞0，∴x-2＜0，∴x＜2．9、当x______时，分式23x-的值为正数．答案：＞3解答：要使23x-为正数，且式子有意义，∴x-3＞0，x＞3．10、当x______时，分式523x-的值为正．答案：＞3 2解答：分式的值为正只需要分母2x-3＞0，得x＞32．11、当x满足______时，分式233xx--的值为1；如果分式121xx-+的值为-1，则x的值是______．当x满足______时，分式48x-的值为正数；当x满足______时，分式48xx--的值为负数．答案：x=2；0；x＜8；4＜x＜8解答：12、使分式213x--的值为负数的x的取值范围是______．答案：x＜1 3解答：∵分式值为负，∴分子、分母异号，∴1-3x＞0，∴x＜13．13、若分式253xx-+的值为非负数，则x的取值范围为______．答案：x≥52或x＜-3解答：由分式值为非负数可得：25030xx-≥⎧⎨+⎩＞或25030xx-≤⎧⎨+⎩＜，解得x≥52或x＜-3．三、分式的值为整数14、若分式61a+的值为正整数，则整数a的值有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个答案：B解答：根据题意得61a+的值为正整数，∴a+1必定是可以被6整除的正整数，∴a+1=1，2，3或6，解得a=0，1，2或5．选B.15、如果m为整数，那么使分式31mm++的值为整数的m的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案：C解答：31mm++=121mm+++=1+21m+，m+1=±1，±2，∴m=0，-2，1，-3．16、当分式623x-的值为正整数时，整数x的取值可能有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个答案：C解答：分式623x-的值为正整数，整数x可取2，3．17、若分式51mm-+的值为正整数，则整数m的值有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个答案：A解答：51mm-+=5111mm--++=-1+61m+，若分式51mm-+的值为正整数，即-1+61m+的值为正整数，则61m+为大于1的正整数，则m可以取0，1，2．18、若x是整数，则使分式6321xx+-的值为整数的的值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D解答：∵6321xx+-=3+621x-，∴2x-1可以被6整除，即2x-1=±1，±3，∴x=0，1，-1，2．19、填空：（1）若分式11xx-+的值为整数，则满足条件的整数x的值是______．（2）若分式411xx++的值为整数，则满足条件的正整数x的值是______．（3）若m取整数，则使分式4123mm-+的值为整数的m的值为______．答案：（1）0，-2，1，-3（2）2（3）-1，，-2，，2，，-5解答：（1）121xx+-+=1-21x+，x+1=±1，±2，x=0，-2，1，-3（2）()4131xx+-+=4-31x+，x+1=±1，±3，x=0，-2，2，-4∴x=2（3）()223723mm+-+=2-723m+，2m+3=±1，±7，m=-1，-2，2，-520、当x为何整数时，分式421x+的值为正整数？答案：x=0．解答：当421x+为正整数时，2x+1=1或2或4，解得x=0或12或32．又∵x为整数，∴x=0．21、a（a为正整数）为何值时，x=53aa+为整数．答案：a=1解答：∵53aa+=n（n为整数），∴a=531 n-，∵a为正整数，∴3n-1=1、5∴n=23（舍去）、2，∴a=1时，x为整数．22、当m为何整数时，下列分式的值为整数？（1）322m m-+．（2）51 22 mm+-．答案：（1）m=-9，-3，-1，5．（2）m=-5，-1，3，7．解答：（1）322mm-+=72m+-2，故m+2=±1，±7，∴m=-9，-3，-1，5．（2）5122mm+-=155621mm-+-（）=12（5+61m-），故61m-为奇数，∴m-1=±2，±6，∴m=-5，-1，3，7．23、阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为常分数，如：83=623+=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母次数时，我们称之为“真分式”．如2111x xx x--+，这样的分式就是假分式，再如：23211xx x++，这样的分式就是真分式，类似的假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：11xx-+=()211xx+-+=1-21x+．解决下列问题：（1）分式2x是______分式（填“真”或“假”）．（2）将假分式212xx-+化为带分式．（3）如果x为整数，分式211xx-+的值为整数，求所有符合条件的x的值．答案：（1）真（2）x-2+32 x+．（3）符合条件的x值为-2，-4，0，2．解答：（1）2x分子次数小于分母次数，∴是真分式．（2）原式=()()2232x xx+-++=x-2+32 x+．（3）原式=()2131xx+-+=2-31x+，∵x为整数，分式值为整数，得到x+1=-1，-3，1，3，解得x=-2，-4，0，2．经经验，符合条件的x值为-2，-4，0，2．。
分式的简化求值
分式的简化求值
分式的概念
分式是由两个整数或代数式构成的比值表示的数。
分式由分子和分母两部分组成，分子位于分数线的上方，分母位于分数线的下方。
分式的简化
分式的简化是指将分子和分母中的公因子约去，使得分式没有公因子的形式。
简化分式可以使分式更加简洁，便于计算和理解。
分式的简化方法
1. 求分子和分母的最大公因数（GCD）；
2. 若最大公因数大于1，将分子和分母都除以最大公因数，得到简化分式；
3. 若最大公因数等于1，则无法再进行简化。
分式的求值
分式的求值是指将分式中的变量替换为具体的数值，然后进行计算得到结果。
示例
例如，对于分式 `2x^2/4x`，若要求其在 `x=3` 时的值，可以按
照以下步骤进行计算：
1. 将 `x` 替换为 3，得到分式 `2(3)^2/4(3)`；
2. 计算分子 `2(3)^2 = 18`；
3. 计算分母 `4(3) = 12`；
4. 将分子和分母的值代入分式，得到结果 `18/12 = 1.5`。
总结
分式的简化求值是数学中重要的概念和计算方法。
通过简化分式，可以使得表达更加简洁；通过求值，可以得到具体的数值结果。
在进行分式的简化求值时，需要注意求分子和分母的最大公因数，
并按照替换变量和计算数值的顺序进行操作。
分式知识点总结
分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
〔分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.〕〔分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
〕4.分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为〔〕，其中A、B、C是整式注意：〔1〕“C是一个不等于0的整式〞是分式根本性质的一个制约条件；〔2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞的含义，防止犯只乘分子〔或分母〕的错误；〔3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；〔4〕分式的根本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：〔1〕“各分母所有因式的最高次幂〞是指凡出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂选取指数最大的；〔2〕如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；〔3〕如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的根本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分式(分式的概念、性质及计算)
学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即 B ≠0 。
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当A ＝0且B ≠0时，0AB =。
【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( )⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
()0A A M A MM B B M B M ÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。
为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
【例2】 ⑴化简222a b a ab -+的结果为( )分 式⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )3．分式的加、减、乘、除、乘方运算分式的乘法 a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a d b d b c b c ⋅÷=⋅=⋅分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减 a b a bc c c ±±=异分母分式相加减 acadbc ad bcb d bd bd bd ±±=±=0指数幂 01(0)a a =≠ 负整数指数幂 1p p a a -= (a ≠0，且p 为正整数)【例3】 化简22226211296x x x x x x x x -++++÷--+-思想方法吐血大总结：1．分式是否有意义、何时值为零以及基本性质都和分数相近。
分式知识归纳
第十六章分式【知识点1】分式1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.【知识点2】有理式有理式的分类：有理式【知识点3】分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：（其中M≠0）【知识点4】约分和通分1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.【知识点5】最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.●知识链接：1分数的意义2.分数的基本性质3.分数基本性质的作用●中考考点本节的常考知识点有：1. 分式的有关概念，分式的意义，分式的值等于零.2. 分式的约分，分式的分子、分母的系数化整化正.3. 求分式的值以及分式与其它题的综合分式方程●学习目标1. 理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根.2. 列出分式方程，解简单的应用题.●重点难点重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法.难点：（1）了解产生增根的原因，并有针对性地验根；（2）应用题分析题意列方程.●知识概要1. 分式方程的概念2. 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；（3）找：找出等量关系；（4）列：列出分式方程；（5）解：解这个分式方程；（6）验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）答：写出答案.●知识链接解分式方程主要是将其转化成整式方程来解.解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零.●中考视点: 本节内容在中考中经常出现，通常是以计算题或应用题的形式出现，并且多与其它章节如函数、方程等知识结合，因此，一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用，切记一定要验根.第二节、教材解读一、约分的根据、实质与关键约分的根据是分式的基本性质；约分的实质是将一个分式化成最简分式——分子与分母没有公因式的分式；约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式.二、确定分子、分母公因式的方法分子与分母的公因式是：分子、分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积.三、约分时应防止的三类错误1．有关分式的概念辨析，字母或分式的取值等问题，一般不用约分，否则会造成错误.2.约分时，分子的整体与分母的整体都要除以同一个（公）因式，当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.等都是错误的.其中（1）中的分式已是最简分式，不需再约分；（2）的正确答案是.为此，必须牢记，只有当分子、分母都是乘积形式时才能约分.3.分式的分子与分母是同底数的幂做因式时，应约去最低次幂，切不可对指数进行约分.就犯了用指数6与2约分的错误，正确的结果是四、掌握解分式方程的步骤解分式方程的一般步骤是：一是方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；二是解这个整式方程；三是检验.如：解方程： .第一步：方程两边都乘以x（x＋6），得90x＋540＝60x；第二步：解这个整式方程，得x＝－18；第三步：检验：把x＝－18代入原方程的左、右两边有左边＝右边，即－18是原分式方程的解.五、列分式方程解简单的实际应用问题列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.如：如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？解：第一步：审清题意；第二步：设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；第三步：王老师现在骑车所用的时间－原来步行所用时间＝20min；第四步：根据题意，得；第五步：解这个方程：去分母，得3+3+0.5－1.5＝x，即x＝5；第六步：经检验x＝5是原方程的解，所以3x＝15；第七步：答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.第三节、错题剖析分式概念是本章学习的基础，由于学生的认知水平和经验的不足，特别容易出现一些常见的通病.下面将通过举例讲解，让同学们少走弯路，更快地学好分式的基础知识.同学们在学习过程中可能会犯以下错误.一、分式概念理解偏差【例1】下列各式是分式的是（）错解1：显然B 式分母中含有字母，又是的形式，所以选B.错解2：显然A 、D 都是整式，经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B.错解分析：前者误认为π是字母.其实π是常数；后者先约分再判断是不行的.正解：选C.反思：（1）把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母.分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.（2）分式的判断是看形式，数的判断是看结果.如数的结果是3，所以是有理数不是无理数.二、分式的值为零的条件混乱【例2】当x 取何值时，的值为0？错解1：因为x无论等于2还是-2，分式的值为0，均无意义，故x没有值可取；错解2：x=±2错解分析：前者误认为分式的值为0属于无意义，后者却忽视分式的值为0的前提条件是分式有意义.正解：x=2.反思：弄清分式的值为零的条件有两个：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零.这两个条件必须同时具备才可.三、分式无意义的条件不清【例3】当x _____ 时，分式无意义.错解：因为当x=1时，分母的值为0，故x=1.错解分析：这个答案只考虑了分母为零时x=1，忽视了-1＝0时x=±1都使分母为零．属于思维习惯上的问题.正解：x=±1.四、分式基本性质理解错误【例4】不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数错解：错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了，违背了分式的基本性质.五、去分母时常数漏乘公分母【例5】解方程错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.六、去分母时，分子是多项式不加括号【例6】解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程两边同除可能为零的整式【例7】解方程 .错解：方程两边都除以3x-2，得，所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=.检验：当x=时，原方程的左边=右边=0，所以x=是原方程的解.第四节、思维点拨【例1】已知且a、b都不等于0，求的值【思考与分析】从题目的条件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值.得（a-b）·（a-2b）=0.所以a-b＝0或a-2b＝0；当a-b＝0时，得a=b≠0，当a-2b＝0时，得a=2b≠0，所以综上可得，【反思】本题是求含字母的分式，利用因式分解，两个因式的积为零，则可转化为两个因式中至少有一个为零，代入分式来求解，注意前提仍然是分式必须有意义.【思考与分析】可以灵活运用这个条件.①要求的分式也可以化成含的形式，整体代入即可；【反思】本题在求值过程中利用了分式的基本性质，并且采用多种方法来利用已知条件使问题简化.【例3】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍，求这两种车的速度.解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程【解法1】：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时.根据题意得：解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根.所以1.5x＝1.5×40＝60答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时.解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程【解法2】设摩托车行30千米所用的时间为x小时，则抢修车所用的时间为（x －）小时，根据“抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍”得：解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程【解法3】设摩托车行30千米所用的时间为x 小时，则抢修车行驶30千米所用的时间为（x－）小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为×1.5千米/时，根据“抢修车的速度×抢修车所用的时间=总路程30千米”得：（×1.5）（x－）＝30解题思路四：列方程组解答【解法4】设摩托车与抢修车每小时分别行驶x千米、y千米，根据题意得方程组：（2、3、4解答过程略）【小结】题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度.前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程的形式.【例5】读下列一段文字，然后解答问题.已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是；方程的解是．【探究一】观察上述方程及其解，再猜想方程的解，并写出检验过程.解：猜想方程的解是．检验：当x＝11时，左边＝，右边＝，所以左边＝右边；当x ＝时，左边＝右边＝.∴x1＝11，x2＝是方程的解.【探究二】你能猜想方程（n为正整数）的解吗？若能请你验证你的猜想是否合理？解：猜想方程（n 为正整数）的解是x1＝n＋1，x2＝－.检验：当x＝n＋1时，左边＝n＋1－＝，右边＝，所以左边＝右边；当x＝－时，左边＝右边＝.∴x1＝n＋1，x2＝－是方程x －＝（n为正整数）的解.【例6】解方程【思考与分析】因为方程中有分母，所以首先应该去掉分母，只是注意，原来整式方程中分母全是数，而分式方程中则是代数式，因而去分母时应该两边同乘一个代数式，这里应该同乘x（x－1）.解：去分母，两边同乘以x（x－1）得:x（x－1）－x（x－1）·＝·x（x－1）化简得：x2－x－（x2－1）＝2x去掉括号，得：3x=1，∴ x=检验：把x=代入原方程的各个分母，都不为0.∴x=是原方程的解.【反思】（1）在解分式方程时，因乘的是同一个代数式，最后求得的根可能使同乘的这个代数式的值为0，这样的根叫做增根，但不是每个方程都有增根.因此，在解完方程之后，一定要检验方程的根，如果是增根，就标出来并且舍去.（2）在去分母时，同乘的是一个代数式，在题目中，可能有的项没有分母，这种项也同样要乘以这个代数式.第五节、竞赛数学当题目中的未知数具有对称关系时，应用基本对称式：x＋y＝a，xy＝b，进行替换，可使解题过程简化.现以部分竞赛题为例，介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用.【思考与分析】首先看题目给的条件似乎没有必然的联系，但是经过化简含有可以利用建立联系解答.【例2】如果a2－3a＋1＝0，那么，的值是 ______ .【思考与分析】这题看起来没有对称关系，但是不要急，我们先从题目中所给的已知条件入手，可解出一个关于a 的新的关系式再将分别换元为x、y，所求的分式经过化简也可以用含有x、y的分式来求.【思考与分析】题目看起来很麻烦，无从下手，大家仔细观察已知分式与要求分式的对应项系数的关系，就可以知道将已知的等式取倒数就可以找到相应的关系了.【例4】若a、b 都是正实数，且求的值【思考与分析】由已知条件入手，可以得出这样就与要求的分式建立联系了，设可求出x与y的关系，代入要求的分式来解即可.【例5】证明恒等式【思考与分析】本题两边如果通分，可见其分母相同，若等式成立，则分子也必定相等，但这样运算量太大;如果把左边的分子灵活变形如b-c=（a-c）-（a-b）则可简化运算.证明: 原式左边=故原等式成立.【例6】使实数a、b、c 满足，求证:.【思考与分析】这里999是奇数，从题目的格式看，应该是对一般的奇数都成立，因而可以考虑由一般到特殊的证明方法.证明: ∵，故（bc+ca+ab）·（a+b+c）=abc.整理可得: （a+b）（b+c）（c+a）=0，故a=-b或b=-c或c=-a．不妨设a=-b，则a2n-1=-b2n-1，令n=500代入上式可得.小结：分式证明题形式多种多样，一般的证明途径有:（1）由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方因式分解换元降次等多种变形，逐步推到另一边；（２）将等式两边同时变形为同一个代数式，从而推出相等的结果.第六节、本章训练基础训练题分式一、细心填一填（共7题,每题４分，共２８分）1.x=3 分式的根（填“是”或“不是”）.2.当x= 时，分式与的值相等.3.试写出一个解为x=2的分式方程 .4.分式方程的根是 .5.已知分式的值是零,那么x的值是 .6.若有增根，则增根为 .7. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程5*（x-1）=3的解为 .二、精心选一选（共９题，每小题５分，共4５分）8.下列方程中是分式方程的是（）A. B. C.y＋2＝3 D.9.把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）A.1＋（1－x）＝x－2B.1＋（1－x）＝1C.1－（1－x）＝x－2D.1－（1－x）＝110.要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（）A.2x－4B.xC.2（x－2）D.2x（x－2）11.方程的解是（）A.1B.-1C.±1D.２12.已知，用含x的代数式表示y，得（）A.y＝2x＋8B.y＝2x＋10C.y＝2x－10D.y＝2x－813.关于x 的方程的解为x=1，则a等于（）A.1B. －3C.－1D. 314.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A. B.C. D.15.用换元法解分式方程，如果设，则原方程可变形为（）A. B. C.D.16.下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）A. B. C.D.三、耐心做一做（第17题１２分，第18题15分）17.解方程:18.八年级（2）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车速度的1．5倍，求慢车的速度.分式方程一、精心填一填（共8题，每小题4分，共32分）二、细心选一选（共8题，每小题5分，共40分）14.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）.A.x>0B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠116.已知两个分式其中x≠±2,则A与B的关系是（）.A. 相等B. 互为倒数C. 互为相反数D. A大于B三.解答题（第17题12分，第18题16分）17.化简求值：其中x=－3.18.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：提高训练题4.解方程5.解方程：6.甲、乙两班参加绿化校园活动.已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？7.已知x2－5x－2000＝0，则代数式的值是（）.A.2001B.2002C.2003D.20048.化简（＝.9.已知，则的值为.10.解关于x的方程：ax－b＝2x－3.强化训练题一、精心选一选1.下列代数式中：是分式的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列判断中，正确的是（）A.分式的分子中一定含有字母B.当B＝0时，分式的值为0C.当A＝0，Ｂ≠０时，分式的值为0（A、B为整式）D.分数一定是分式3.分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是（）A.分式的值为零B.分式无意义C.若a≠－时，分式的值为零D.若a≠时，分式的值为零4.分式中的字母x、y都扩大为原来的4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大为原来的4倍C.扩大为原来的8倍D.缩小为原来的5.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A.10B.9C.45D.906.下列各分式中，最简分式是（）二、细心填一填8.当x 时，分式有意义.9.当x 时，分式的值为零.10.当a＝时，分式无意义.11.约分：＝.三、耐心做一做12.当x 为何值时，分式的值为负？13.把化为整数系数.14.不改变分式的值，把下式分子、分母中最高次项的系数变为“＋”号：.四、应用题15.2008年夏季奥运会将在北京举行.为了支持北京申奥成功，红、绿两支宣传北京申奥万里行的车队在距北京3000千米处会合，并同时向北京进发.绿队走完2000千米时，红队走完1800千米，随后，红队的速度提高20％，两车队继续同时向北京进发.（1）求红队提速前红、绿两支车队的速度比.（2）红、绿两支车队能否同时到达北京？说明理由.（3）若红、绿两支车队不能同时到达北京，那么哪支车队先到达北京？并求出第一支车队到达北京时，两车队间的距离.综合训练题一、选择题（每题５分，共30分）1．下列分式中，一定有意义的是（）2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（）A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.以上都不对3．下列变形正确的是（）4．下列运算正确的是（）5．将分式的分子、分母各项系数都化为整数，正确的结果是（）6．如果从一捆粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a，再称得剩余电线的质量为b，那么原来这捆电线的总长度是（）二、填空题（每题5分，共30分）7．当x= 时，分式的值为零.8．分式约分的结果是 .9．计算：= .10．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时.11．代数式中x的取值范围是 .12.方程＝1的解是 .三、解答题（共40分）13．（11分）计算：－x14．（13分）计算，并把负指数化为正：（2mn－2）－3（－m－2n－1）－215．（16分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、C两城的距离为450km，B、C两城的距离为400km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度.。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式求值方法经典归纳
分式求值方法经典归纳分式是数学中常见的一种运算形式，其计算方法有很多种。
本文将介绍一种经典归纳的方法来求解分式的值。
一、基础概念在介绍具体的求值方法之前，先来回顾一下有关分式的基础概念：1.分子和分母：一个分式由一个比例组成，其中分子表示分式的上部分，分母表示分式的下部分。
2.真分式和假分式：如果分数的分子小于分母，则称这个分数为真分式；如果分数的分子大于等于分母，则称这个分数为假分式。
3.通分：当两个分数的分母相同时，我们称它们的分数为同分母的分数。
为了方便比较同分母的分数的大小，我们可以对它们进行通分，即将它们的分母变为相同的数。
4.约分：当一个分数的分子和分母都能被一个相同的数整除时，我们可以约去这个相同的数，使得分数的值不变。
这个过程称为约分。
二、分式求值方法对于分式的求值，我们可以通过以下步骤来进行计算：步骤一：将分数进行通分，即将两个分数的分母变为相同的数。
步骤二：将分数的分子和分母进行运算，得到一个新的分数。
步骤三：对新的分数进行约分，得到最简分数。
步骤四：对最简分数的分子和分母进行运算，得到最终的结果。
接下来，我们通过几个例题来说明这个过程：例题一：求分式的值计算分式 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ 的值。
解：首先，对于两个分数，我们可以将它们的分母进行通分，将它们的分子和分母进行运算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$然后，对于新的分数 $\frac{5}{4}$ ，我们可以对其进行约分，得到最简分数：$\frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$最后，对最简分数的分子和分母进行运算，得到结果为$\frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$。
所以，原分式的值为 $\frac{5}{4}$。
例题二：求分式的值计算分式 $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ 的值。
分式求值的几种常用方法
巩固练习：选用适当的方法
1 − 1 2 2 1、若 a + 2 + b+1 +c -2c+1=0，则 = a + b + c 17 2a − b + 3c = 2、若a : b : c = 3 : 4 : 5，则 6 a − 2b + c
1 1 2a − ab − 2b 3、若 - =2，则 = a b a − 3ab − b
x2 + x + 1 1 x 1 =7,即:x+ =6 解：由 2 = ，可知x ≠ 0, ∴ x + x +1 7 x x
x4 + x 2 + 1 2 1 ∴ =x + 2 +1 2 x x
1 2 =(x+ ) -2+1 x
=62 -1=35
x2 1 ∴ 4 = 2 x + x + 1 35
还能怎样求解？
1
a 1 a2 4、若 2 = ，求 4 的值. 答案：7 a +1 3 a +1 a+b-c a-b+c -a+b+c (a+b)(b+c)(c+a) 5、若 = = ，求 的值. 8或-1 c b a abc
练习：
1 x 2 1、已知:x +4x+1=0，求: 4 的值 14 x +1
2
a 2、若a -3a+1=0，则 4 = 2 a + 3a + 1
2
2
1 10
非负代数式之和为0 四、非负代数式之和为0 ☞
a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求: 的值 a-b
分式的求值总结
分式的求值总结分式的求值一般是对分式先化简,再求值.分式的化简求值是中考的重点.分式的求值方法主要有:（1）直接代入法（2）整体代入法（3）倒数法（4）设参数法直接代入法对所给的分式先化简,化为最简分式后把字母的值直接代入求值的方法.1. 先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222,其中5,2=-=b a .整体代入法首先介绍整体思想.整体思想就是考虑数学问题时,不着眼于它的局部特征,而是把着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观整体上认识问题的本质,把一些看似彼此独立但实质上联系紧密的量当作整体来处理的思想方法.整体思想在处理和解决数学问题时,有着非常广泛的应用.2. 先化简,再求值:12212122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x xx ,其中x 满足012=--x x .分析:由已知条件012=--x x ,得12+=x x ,整体代入化简的结果求值,而不用解方程.解: 12212122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x x x ()()()()()()()()()12112112112112222-+⋅++--=-+⋅+---+=x x x x x x x x x x x x x x x x x ()()()221121112x x x x x x x x +=-+⋅+-= ∵012=--x x∴12+=x x ∴原式111=++=x x . 3. 先化简,再求值:⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++23221a a a a ,其中a 满足022=--a a .4. 已知511=-yx ,求y xy x y xy x ---+3353的值. 解: ∵511=-yx∴5,5=--=-xyy x xy x y ∴xy y x 5-=- ∴()()45810355153533353=--=--+-=--+-=---+xy xy xy xy xy xy xy y x xy y x yxy x y xy x . 5. 已知0142=+-x x ,求221x x +的值.6. 已知12,4-==+xy y x ,求y x x y +的值.7. 已知0142=+-x x ,求()xx x x 6412+---的值.8. 已知2016,2015,2014222=+=+=+x c x b x a ,且24=abc . 求cb a abc ac b bc a 111---++的值. 提示:()()()2222222a c c b b a ab ca bc c b a -+-+-=---++.倒数法 9. 已知31=+x x ,求1242++x x x 的值. 分析:易求出22224111xx x x x ++=++的值,然后再取倒数即可.本题会用到的重要结论:211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x . 解: ∵31=+xx ∴7232112222=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ∴817111112222224=+=++=++=++xx x x x x x ∴811242=++x x x .10. 已知51=+a a ,求1242++a a a 的值.11. 如果411242=++x x x ,求22435155xx x +-的值.12. 已知16,171,151=+=+=+ca a c c b bc b a ab ,则acbc ab abc ++的值是 【 】 （A ）24 （B ）48（C ）241 （D ）481 13. 已知三个数z y x ,,满足34,34,2-=+=+-=+x z zx z y yz y x xy ,求yz xz xy xyz ++的值. 提示: ∵2-=+yx xy ,∴2111,21-=+-=+x y xy y x .设参数法14. 若543z y x ==)0(≠xyz ,试求z y x z y x +-++23的值. 分析: 本题有两种解答方法:①可设连等式的值为k )0(≠k ,从而得到z y x ,,的值（当然是用含k 的代数式表示）,再代入求值;②可直接利用其中一个未知数表示另外两个,然后再代入求值.解:设k z y x ===543,则 k z k y k x 5,4,3=== ∴261258954323==+-++=+-++kk k k k k k k z y x z y x . 或解:∵543z y x == ∴35,34x z x y == ∴22435383353423==+-++=+-++x x x x x x x x z y x z y x 15. 已知543z y x ==,求z y x y x 32+-+的值.16. 已知c b a b a c a c b +=+=+,求()()()a c c b b a abc +++的值. 分析:本题难度较高,应分为两种情况:①0≠++c b a ;②0=++c b a .17. 已知0623,032=--=+-z y x z y x ,且0≠xyz ,求下列各式的值:（1）z y x ::;（2）2222222zy x z y x -+++.18. 已知zx z y y x +=+=+543,求()()()z x z y y x xyz +++的值. 分析:由条件可知:543z x z y y x +=+=+,设出参数k ,再分别用参数k 表示z y x ,,的值.巩固训练 19. 已知211=+ba （b a ≠）,求()()b a a b b a b a ---的值.20. 已知311=-y x ,求322333yx y x y x xy +-的值.21. 若020162=--x x ,求分式x x x ---1201623的值.。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
专题： 分式求值的几种常用方法
方法 2 引入参数法求值 2．已知x3＝y4＝7z≠0，求3x＋yy＋z的值．
解：设x3＝y4＝7z＝k≠0，则 x＝3k，y＝4k，z＝7k. ∴原式＝3×3k＋4k4k＋7k＝240kk＝5.
方法 3 消元法求值 3．已知ba＝dc＝2，求a＋a b和cc＋－dd的值．
解：∵ba＝dc＝2，∴a＝2b，c＝2d. ∴a＋a b＝2b2＋b b＝32. ∴cc－ ＋dd＝22dd－ ＋dd＝13.
4．【整体思想】已知1a＋1b＝6，求aa＋－132aabb＋＋bb的值．
解：由1a＋1b＝6，得b＋ aba＝6，∴a＋b＝6ab. ∴aa＋－132aabb＋＋bb＝aa＋＋bb＋－132aabb＝66aabb＋－132aabb＝138aabb＝16.
面的题目： 已知x2－3xx＋1＝15，求x4＋xx22＋1的值．
解：由x2－3xx＋1＝15知 x≠0， ∴x2－3xx＋1＝5，即 x－3＋1x＝5.∴x＋1x＝8. ∴x4＋xx22＋1＝x2＋1＋x12＝(x＋1x)2－1＝82－1＝63. ∴x4＋xx22＋1＝613.
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第十五章击文本框弹出对象， 便可编辑修改哦！！
方法 1 利用分式的基本性质求值 1．【整体思想】已知1x－1y＝5，求分式2xx－ ＋32xxyy－ －2yy的值．
方法 4 整体代入法求值 5．已知 a2－a＋1＝2，则a2－2 a＋a－a2 的值为 1 ． 6．若 a2＋5ab－b2＝0，则ba－ba的值为 5 ．
分式的值和基本性质
8上分式的值和基本性质一．选择题（共25小题）1．若使分式的值为正数，则x的取值范围是（）＞﹣＜2．若x＜2，则的值是（）3．分式的值是（）．或4．若的值为负数，那么x应满足的条件是（）5．若分式，则分式的值等于（）C．6．如果是一个正整数，则x的最大的整数值为（）7．（2014•无锡）分式可变形为（）．D．=x3=C=x+yD．=﹣1．=C=D．=10．（2013•淄博）下列运算错误的是（）．11．（2013•大丰市一模）如果=3，则=（）．．12．（2012•钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）13．（2011•珠海）若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）是原来的14．（2010•黔南州）如果，则=（）．DD16．（2009•东台市模拟）如果把分式中的x和y的值都缩小为原来的，那么分式的值（）缩小为原来的．．==C=D．=．C D．．C D．21．如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）缩小为原来的．．23．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）24．根据分式的基本性质，分式可变形为（）．C D．25．不改变分式的值，分式可变形为（）．C D．二．填空题（共5小题）26．在下列横线上填上“=”或“≠”号：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．27．若=2，则=_________28．=成立的条件是_________．29．若成立，则a的取值范围是_________．30．已知：=6，那么的值为_________．8上分式的值和基本性质参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．若使分式的值为正数，则x的取值范围是（）＞﹣＜＞﹣2．若x＜2，则的值是（）=3．分式的值是（）．或=1=4．若的值为负数，那么x应满足的条件是（）的值为负数，可得的值为负数，此题考查了分式的值的问题．注意认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路，如本题中的5．若分式，则分式的值等于（）C．，再代入则分式6．如果是一个正整数，则x的最大的整数值为（）是一个正整数，7．（2014•无锡）分式可变形为（）．D解：分式，．=x3=C=x+yD．=﹣1 不能约分，故本选项错误；9．（2014•槐荫区二模）下列式子从左到右的变形一定正确的是（）．=C=D．=．====，故本选项正确；=，故本选项错误；11．（2013•大丰市一模）如果=3，则=（）．．=3=12．（2012•钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）=，可见新分式与原分式的值相等；13．（2011•珠海）若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）是原来的=，14．（2010•黔南州）如果，则=（）．D，就可以变形为，把已知中的D是最简分式，不能约分，故16．（2009•东台市模拟）如果把分式中的x和y的值都缩小为原来的，那么分式的值（）缩小为原来的用、．=，故．==C=D．=．C D．=，故本选项错误；，故本选项错误；．C D．==，故本选项错误；21．如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）缩小为原来的中的=，中的．．==，故=，故23．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（），即缩小24．根据分式的基本性质，分式可变形为（）．C D．=，25．不改变分式的值，分式可变形为（）．C D．==二．填空题（共5小题）26．在下列横线上填上“=”或“≠”号：（1）=；（2）≠；（3）=；（4）≠．）；≠；=≠．27．若=2，则===故答案为28．=成立的条件是x≠0且x≠﹣5．，的分子与分母同时除以，=29．若成立，则a的取值范围是a≠﹣．．．30．已知：=6，那么的值为．=．故答案为。
分式求值的几种常用方法
分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。
分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。
求解分式的数值可以使用几种常用的方法。
下面将介绍一些常用的方法。
1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。
2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。
同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。
3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。
这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。
5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。
例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
分式求值的方法
分式求值的方法
分式求值是数学中比较常见的一种计算方法，它主要是指对于一个分数式子进行化简和计算的过程。
下面将介绍分式求值的基本方法和一些常见的技巧。
一、基本方法
1. 首先要对分式进行化简，把分子分母中的公因数约掉，使得分式的形式更加简单。
2. 然后要找到分式的最简公共分母，把分式统一为相同的分母，这样就可以进行加减乘除等运算了。
3. 进行加减乘除等运算后，最后还要对结果进行化简，把分式中的公因数约掉，得到最简形式。
二、常见技巧
1. 对于分式中含有多项式的情况，可以使用分解因式的方法进行化简。
2. 对于分式中含有根式的情况，可以使用有理化分母的方法进行化简。
3. 对于分式中含有三角函数的情况，可以使用三角恒等式进行化简。
4. 对于分式中含有指数的情况，可以使用指数运算的规律进行化简。
总之，分式求值是一种基本的数学技能，掌握了基本的方法和技巧，就可以轻松应对各种题目。
分式是什么
分式是什么
一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。
分式是不同于整式的一类代数式，分式的值随分式中字母取值的变化而变化。
分式条件
1、分式有意义条件：分母不为0。
2、分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4、分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5、分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
1、如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2、分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的根本性质例1 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-. 2、倒数法例2 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3 12x x +=，那么221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例4 0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235a b c k ===，那么 2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，那么 ,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，∴31,1k k ==∴a b c ==∴原式= 1.a b c a b c+-=-+ 5、整体代换法例6 113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法例7 1,abc =那么111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab= ∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法 例8 假设0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0.8、配方法例9 假设11a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc ++---的值.解：由11a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦11202=⨯= ∴原式=16.。
分式值的概念
分式值的概念分数是数学中常用的一种表示形式，常用于表示一个整体被分成若干等分的情况。
简单来说，分数就是一个除法运算，由分子和分母两部分组成，分子表示等分中的部分数量，分母表示整体被分成的等分数量。
一个分数可以看作是一个数在一个单位面积或单位长度中所占的部分。
在分数中，分子表示被分的部分数量，分母表示整体被分成的等份数量。
例如，分数2/3表示将整体分成3等份，其中的2份为被分的部分。
我们也可以将其解释为，将一个整体分成3份，每份的大小是整体的1/3，其中的2份为被分的部分。
因此，分数2/3可以理解为整体的2/3部分。
在日常生活中，分数的应用非常广泛。
例如，我们经常使用折扣来表示商品的价格优惠幅度，折扣通常以百分数形式表示，例如50%表示打五折，即商品价格减半。
将50%转化为分数形式，即为1/2，表示减去的部分占原价的一半。
分数的值可以通过运算来计算。
例如，两个分数之间的加、减、乘、除运算可以通过将它们的分子和分母按照相应的运算法则进行运算得到。
例如，分数1/2加上分数1/3，可以先计算分别分子上的运算，得到分数5/6。
分数也可以与整数进行运算。
例如，分数1/2乘以整数3，可以将3看作3/1，然后将分数1/2乘以分数3/1，即得到分数3/2。
另外，分数还可以化简。
如果分母和分子有公因数，可以将其约去，得到一个值相等但表达形式更简单的分数。
例如，将分数4/8化简，可以将分子和分母同时除以它们的最大公因数4，得到分数1/2。
有时，我们还需要将分数转化为小数形式。
这可以通过将分子除以分母得到。
例如，将分数3/4转化为小数，可以计算3除以4，即得到0.75。
分数在现实生活中的应用非常广泛。
例如，当我们用度量尺量一段长度时，如果小数位过多，可以将其转化为最简分数形式，以更方便地描述该长度。
又如，当我们计算人口比例或者各种统计数据时，常常需要用分数表示，以便更直观地说明比例关系。
在数学中，分数是一种非常重要的数学概念，它与整数和小数一起构成了数学中最基础的数系。
分式最大值
分式最大值摘要：一、引言二、分式的定义与性质三、求分式最大值的方法1.化简分式2.找到分式的定义域3.求导数4.确定临界点5.检验临界点四、举例说明求分式最大值的过程五、总结与展望正文：一、引言在数学中，我们经常会遇到求解分式最大值的问题。
分式的最大值可以在许多领域中找到应用，例如物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍求解分式最大值的方法。
二、分式的定义与性质首先，我们需要了解分式的定义。
分式是一个数学表达式，其中包含一个分子和一个分母。
分母不能为零，否则分式无意义。
根据分式的性质，我们可以对分式进行化简，从而更好地求解最大值。
三、求分式最大值的方法1.化简分式：在进行求解之前，我们需要对分式进行化简，以消除不必要的复杂性。
化简的方法包括分解因式、约分等。
2.找到分式的定义域：确定分式的自变量取值范围，即分式的定义域。
分式的定义域会影响到求解过程。
3.求导数：对分式求导，以求得函数的斜率。
这有助于我们找到函数增减的关键点。
4.确定临界点：找到导数为零的点，即函数的临界点。
临界点可能是极值点，也可能是鞍点。
5.检验临界点：将临界点代入原函数，检验其是否为最大值点。
同时，还需要检验函数在临界点的导数符号，以确定其为极大值点还是极小值点。
四、举例说明求分式最大值的过程以函数f(x) = 1 / (x^2 + 1)为例：1.化简分式：无需化简。
2.找到分式的定义域：x^2 + 1 ≥ 1，所以定义域为全体实数。
3.求导数：f"(x) = -2x / (x^2 + 1)^2。
4.确定临界点：令f"(x) = 0，得到x = 0。
5.检验临界点：将x = 0代入原函数，得到f(0) = 1。
同时，f"(x)在x = 0左侧为负，右侧为正，说明x = 0是函数的极大值点。
因此，函数f(x)在x = 0处取得最大值，最大值为1。
五、总结与展望本文介绍了求解分式最大值的方法，并通过举例进行了说明。
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1．若0＜x ＜1，且
的值．
2．已知：a ：b ：c=2：3：5，求分式
的值．
3．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：当x 取何值时，分式
的值为正？ 解：依题意，得＞0 则有（1）或（2）
解不等式组（1）得：＜x ＜1；解不等式组（2）得：不等式组无解 ∴不等式的解集是：＜x ＜1 ∴当＜x ＜1时，分式的值为正
问题：仿照以上方法解答问题：当x 取何值时，分式
的值为负？
4. 若分式
的值为负数，求x 的取值范围是__________
5．已知，，求的值．
6．已知，求分式的值．
7.已知0256822=++-+b a b a ,求222
24462b ab a b ab a +---的值
9．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化
成整式与真分式的和的形式，如．
（1）下列分式中，属于真分式的是
A、 B、 C、 D、
(2)当k取何整数值时，值为整数
（3）将假分式，化成整式和真分式的和的形式___________________ m为何值时，该分式的值为整数。
10．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），
∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
11．已知，求分式的值．
12．已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求
2
b ac
bc
ab+
+
的值
6．已知k＜0，当k取何整数值时，值为整数．
2015年03月24日tamkow的初中数学组卷
参考答案
一．解答题（共11小题）
1．2．3．4．5．6．7．8．9．C 10．11．。