优选备战2020中考数学专题复习分项提升第11讲 一次函数及其应用教师版

讲一次函数及其应用第111．一次函数的概念叫做正比例函数，kx即为kx＋by＝＝一般地，形如y＝kx＋b(k≠0) 的函数叫做一次函数，当b0时，y＝所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 2．一次函数的图象与性质 kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，(1)一次函数y＝b的b) ＝kx(k≠0)的图象是过(0，y，0)，与y轴的交点坐标为原点，正比例函数－它与x轴的交点坐标为(k 一条直线．＋b(k ≠0)的图象所经过的象限及增减性．＝kx(2)一次函数yk、b的函数图象图象的位置增减性符号0k＞图象过第一、y随x的增0＞b二、三象限大而增大12待定系数法求一次函数解析式的一般步骤3. 3＋b(k≠0); ＝kx(1)设：设出一次函数解析式一般形式y); (组kx＋b得到方程y(2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入＝的值；，)求出kb(3)求：解方程(组写：写出一次函数的解析式．(4) 的关系．一次函数与方程(组)4 就是一个二元一次方程；kx＋by(1)一次函数的解析式＝__就是方程kx＋轴交点的kx＋b的图象与xb横坐标＝0的解； __一次函数(2)y＝y＝kx＋b??11(3)一次函数y＝kx＋b与y＝kx＋b的图象交点的横、纵坐标值就是方程组的解．?2112y ＝kx＋b??225．一次函数与不等式的关系(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围；(2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b<0的解集，即函数图象位于x轴的下方部分对应点的横坐标的取值范围．6．一次函数的实际应用(1)常见类型：①费用问题；②销售问题；③行程问题；④容量问题；⑤方案问题．(2)解一次函数实际问题的一般步骤：①设出实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③利用待定系数法求出一次函数关系式；④确定自变量取值范围；⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义；⑥答．考点1：一次函数的图象与性质【例题1】（2018?江苏扬州?3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值．【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1），41，0），∴函数y=mx+m一定过点（﹣当x=0，时，y=m ，，m）∴点C的坐标为（0 ，﹣x+2y=由题意可得，直线AB的解析式为，，得 ABO分成面积相等的两部分，≠∵直线l：y=mx+m（m0）把△∴，m=解得，，∵m<2（舍去）5?132．故答案为：考点2：一次函数与方程、不等式的关系1【例题2】．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l 分别与x，12y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l与l交于点C(m，4)．12(1)求m的值及l 的解析式；2(2)求S－S的值；BOC△△AOC(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l，且l，l，l不能围成三角形，直接写出k的值．3231511【解析】：(1)把C(m，4)代入一次函数y＝－x＋5，可得4＝－m＋5，22解得m＝2，∴C(2，4)．设l的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2. 2∴l的解析式为y＝2x.过点C作CD⊥AO于点D，CE⊥BO于点E，则CD＝4，CE＝2，2(2)1∵y＝－x＋5的图象与x轴、y轴交于A，B两点，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝10，2∴A(10，0)，B(0，5)．∴AO＝10，BO＝5.11∴S－S＝×10×4－×5×2＝15.的值为或2或－.BOC△AOC△2231(3)k22考点3：一次函数的实际应用【例题3】（2019?四川省广安市?8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，3x?5y?50x?5??，解得，，??2x?3y?31y?7??答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．归纳： 1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案，在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案．2．在遇 6到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选取合适的数值代入解析式求解即可．同时，一次函数确定最值时还应注意以下两点：①当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题，对于某些关键字要特别注意，如“不超过”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“≤”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“≥”；②从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略．3．涉及图象问题的实际应用要注意：在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围．一、选择题：1. （2019?四川省广安市?3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四C【答案】 C．，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3）2. （2018?湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（．． CDA．． B【答案】C【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：C．ykxbkbkb应满足3分）如果函数，＝，+是常数）的图象不经过第二象限，那么（3. (2019湖北荆门)（的条件是（）kbkbkbkb＜00D且C且．B＞0≤0 ．≥0＜0．A．≥0且≤0 ＞且A【答案】bbykxk（，【解答】解：∵是常数）的图象不经过第二象限，＝+bk，当＝0时成立；＜0bk时成立；当＞0，≤0bk≥0，≤0；综上所述，A故选：．bkxykb＜+分）下列关于一次函数3?山东临沂?（4. 2019＝（0 ）的说法，错误的是（＞，0）7yx的增大而减小随．图象经过第一、二、四象限 B． Ayxyb＞0 D．当C．图象与＞﹣轴交于点（0，时，）【答案】Dykxbkb＞0）0＝，+，（＜【解答】解：∵A正确；∴图象经过第一、二、四象限，kyxB正确；，∴的增大而减小，随∵＜0xybybC正确；，∴，＝，∴图象与）轴的交点为（令0＝0时，yDxxDy．；＞﹣时，令不正确；故选：＝0时，＜，当＝﹣0﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点Bl5. （2018?包头）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=，直1线l：y=kx（k≠0）与直线l在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）122． C ．A D． B．【答案】Bx=2，，则，令y=0 ﹣x+1中，令x=0，则y=1：【解答】直线ly=1，即A（20）B（0，1），AB=中，△AOB，=3 ∴Rt如图，过C作CD⊥OA于D，∵∠BOC=∠BCO，∴CB=BO=1，AC=2，∵CD∥BO，BO=，，OD=AO=CD= ∴，（），即C，）代入直线l把C（：y=kx，可得2k=，8，即k= ．故选：B二、填空题：1k的取值范围是 y?山东潍坊?3分）当直线＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则6. （2019 ．＜3 ＜k；＜3【答案】1＜k 经过第二、三、四象限，﹣3﹣2k）x+k 【解答】解：y＝（2 0，k﹣3＜2k∴2﹣＜0， 3，1，k＜∴k＞ 3；∴1＜k＜ 3；＜k＜故答案为10），与y轴相交于点（0轴相交于点（2，，4），7. （2018?邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b 的图象与x结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是．【答案】x=2．【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2．故答案为x=2．ABACABA顺时针旋由绕点10），（0，），，分）如图，在平面直角坐标系中，??（8. 2019广西河池3（2ACyx﹣4 ． 90转°而得，则所在直线的解析式是＝29xy【答案】4＝2．﹣BA 1，）（0，【解答】解：∵）（2，0OBOA1∴＝＝2，DxCCD轴于点⊥过点，作AASBAOACD（≌△）则易知△OACDADOB2 ＝∴，＝＝＝1C3，2∴）（CykxbAAC＝+的解析式为，点，将点设直线坐标代入得b2k?0???bk?2?3?2k??∴?4?b?xyAC＝2．∴直线﹣的解析式为4xy ﹣4．故答案为：＝2ABCOBAABOA＝，点上，且在边分）如图，在2019?山东省聊城市?3Rt△中，∠°，＝90，（44）（9.POAOAPDOBPPDBC的坐周长最小的点当点点，为的中点，点为边上的动点，在上移动时，使四边形 .标为10P，），（【答案】ABOOBAA（4，4）中，∠，＝90°，【解答】解：∵在Rt△ABOBAOB＝45，∠°，∴＝4＝DOB的中点，，点∵为＝BCODBD＝2＝，＝3，∴DC（4，3），），∴0（，2DOAEECOAP，，连接于作交关于直线的对称点PDBCE（0，2周长最小，），则此时，四边形OAyx，＝的解析式为∵直线ECykxb，+＝设直线的解析式为∴，解得：，xyEC+2，∴直线＝的解析式为得，，解P，）∴，（三、解答题：10. （2019?湖北省仙桃市?8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为x千克，付款8折．设一次购买量为千克，则超过5千克部分的种子价格打千克，若一次购买超过20元/5y元．金额为yx的函数解析式；）求关于（1（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？xyxxyxx+20；1655时，）根据题意，得①当（【分析】10≤≤5＝20；②当＞，＝20×0.8（﹣）+20×5＝11xyx +201630＝代入，即可求解；＝（2）把【解答】解：（1）根据题意，得xxy；0≤＝≤5时，20①当xxyx；+20﹣5②当）+20×5＝＞5，16＝20×0.8（xyx+20代入＝16（2）把，＝30y 500∴；＝16×30+20＝元；500∴一次购买玉米种子30千克，需付款．P(1，b)ly＝2x＋1与直线：y＝mx＋4相交于点：11. (2017·台州改编)如图，直线l21，m的值；b(1)求＋4的解集；(2)直接写出关于x的不等式2x＋1<mx 的值．D.l分别交于点C，若线段CD长为2，求al(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线，21的b)代入l求出m；(2)观察图象，由两直线的交点P求出【点拨】 (1)把点P的坐标代入lb，再将(1，21的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．两点横坐标相同时，线段CD横坐标可得；(3)C，D上，＝2x＋1b)【解答】解：(1)∵点P(1，在直线l：y13.＋1＝×∴b＝21 上，mx，∵点P(13)在直线l：y＝＋421. m∴3＝＋4.∴m＝－(2)x<1.a.4y＝－，＝a(3)当x＝时，y2a＋1DC51或2＝，解得aa＝.＝a)|(41|2a2CD∵＝，∴＋－－3315∴a的值为或.3312A轴交于点B，把点5，m）且与y12. （2018?重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3过点A（ D．且与y=2x平行的直线交y轴于点个单位，再向上平移向左平移24个单位，得到点C．过点C CD的解析式；（1）求直线在平移过的位置结束，求直线CDCD沿EB方向平移，平移到经过点B（2）直线AB与CD交于点E，将直线 x轴交点的横坐标的取值范围．程中与），接着利23），再利用点的平移规律得到C（，﹣x+3得A（5，﹣25【分析】（1）先把A（，m）代入y= 的解析式；点坐标代入求出b即可得到直线CD用两直线平移的问题设CD的解析式为y=2x+b，然后把C时的直线B0）；易得CD平移到经过点），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，（2）先确定B（0，3轴交点x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与解析式为y=2x+3，然后求出直线y=2x+3与x 的横坐标的取值范围．，﹣2），﹣2，则A（5﹣）把A（5，m）代入y=﹣x+3得m=5+3=【解答】解：（1 个单位，得到点C，∵点A向左平移2个单位，再向上平移4 ，2），∴C（3 D，且与Cy=2x平行的直线交y轴于点∵过点 y=2x+b，∴CD的解析式可设为 4，6+b=2，解得b=﹣（把C3，2）代入得；﹣CD的解析式为y=2x4∴直线），（0，3）当x=0时，y=﹣x+3=3，则B（2 ，0）；轴的交点坐标为（x=2，则直线CD与x2﹣当y=0时，2x4=0，解得时的直线解析式为y=2x+3，易得CD平移到经过点B0x），轴的交点坐标为（﹣，时，当y=02x+3=0，解的x=与﹣，则直线y=2x+3．≤x≤∴直线CD在平移过程中与x2轴交点的横坐标的取值范围为﹣＝yD与x轴交于点，直线55)xOy1013. (2017·河北T24·分)如图，直角坐标系中，A(0，，直线x＝－393－x－与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB. 88 13AB的解析式；求点C，E的坐标及直线(1) 的值；S＋S，求S设面积的和(2)S＝ABDO△CDE四边形拼接后ABDOCDB的位置，而△CDB与四边形(2)(3)在求中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△，请的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S≠S，这样求可看成△AOCS便转化为直接求△AOC AOC△通过计算解释他的想法错在哪里．39313.＝－x－，得x【解析】：(1)把y＝0代入y＝－88 13，0).1分∴C(－3933.y＝－x－，得＝－把x5代入y＝－88 分5－，－3).2∴E( 3)5，．∵点B，E关于x轴对称，∴B(－＋b，则设直线AB的解析式为y＝kx2??，5b＝，k＝??5?解得?3.＋－5kb＝????5.b＝2 ＝∴直线AB的解析式为yx＋5.5分55. OD＝3，OA＝＝∵(2)CD＝8，DE＝DB1 12，×3＝8∴S＝×CDE△2120.＝5)×5＋S＝×(3ABDO四边形2 分＝32.8S∴12 ≠0，＝13时，yx＋5＝－＝－(3)当x55 三点不共线．A 上，即，B，CC∴点不在直线ABAOC.CDB∴他的想法错在将△与四边形ABDO拼接后看成了△6040元的价格购进一种干果，计划以每千克·贵州安顺·14. （201910分）安顺市某商贸公司以每千克y（千元）与每千元降元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量xx＜（价（元）0＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：14yx之间的函数关系式；与（1）求（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ykxb＝（1）设一次函数解析式为：+【解答】解：xyxy＝140；＝4＝2，，＝120；当当∴，，解得：yxyx+100；＝∴与10之间的函数关系式为（2）由题意得：xx+100）＝209010 ，60﹣40﹣）（（2xx，+9＝整理得：10﹣0xx，＝解得：9＝1．21∵让顾客得到更大的实惠，x，＝9∴元．2090元，则这种干果每千克应降价9答：商贸公司要想获利2x＝：y0)的直线l与直线l15. (2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，21．，4)相交于点B(m 的解析式；求直线l(1)1 AOM的面积；y轴交于点M，求△(2)直线l与1n上方时，直接写出C，当点位于点Dl，l的交点分别为C，DP(n(3)过动点，0)且垂直于x轴的直线与21的取值范围．”保持不变，DC，轴的直线l，l的交点分别为且垂直于【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n，0)x21C的坐标．CD＝2”，求点D“当点C位于点上方时”改为“且(2)的解析式；，利用待定系数法可得直线l，m＝2，即点B(24)＝点【点拨】 (1)B在直线y2x上，所以1，即>lD的上方，l位于点轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；l直线与y(3)点C211上方和下方进行讨论．在点时，需分点＝当时．当n<2(4)CD2CD 15B，(1)【自主解答】解：∵直线y＝2x经过点 2∴4＝2m，∴m＝，即B(2，4)．设直线，kx ＋bl的解析式为y＝1，B，∵直线l的经过点A11??，6k0＝－＋b，＝k??2?解得∴?，＋4＝2kb????3.b＝13.x＋的解析式为∴直线yl＝12 ．M(0，3)0时，y＝3，∴x(2)∵当＝19.＝×3∴S＝×6AOM△2(3)n<2.21.＝2，解得x上方时，有在点D＝x＋3－2x①当点(4)C32102 ；，此时点C的坐标为()33101. ，解得x＝3)下方时，有D2x－(x＋＝2在点②当点C321410 ．)(C此时点的坐标为，3316。