福建省福州市高一数学上学期期末考试试题
福建福州市2023-2024高一上学期期末质量检测数学试卷及答案
2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟1月期末学业联考高一数学试卷考试范围：必修一命题教师：审核教师：考试时间：1月3日完卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。
1．集合A={x∣−2<x≤2},B={−2,−1,0,1},则A∩B=A．{−1,1,2}B．{−2,−1,0,1}C．{−1,0,1}D．{−2,−1,0,1,2}2．若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是3．函数y=−|ln(x−1)|的图象大致是A．B．C．D．4．命题p：α是第二象限角或第三象限角，命题q：cosα<0，则p是q的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件A．110%B．120%C．130%D．140%7．命题“对∀x∈[1,2]，ax2−x+a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是8．已知f(x)=ax2−1是定义在R上的函数，若对于任意−3≤x1<x2≤−1，都有f(x1)−f(x2)<2，则实数x1−x2a的取值范围是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。
9．下列大小关系正确的是A．20.3<20.4B．30.2<40.2C．log23<log48D．log23>log32 10．设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是A．当k>1，有1个零点B．当k>1时，有3个零点C．当k<0时，有9个零点D．当k=−4时，有7个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为cm2．四、解答题：本大题共6小题，满分70分。
除第17小题10分以外，每小题12分。
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.1．sin120°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＜4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3}3．命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是（）A．∃x≤0，x2﹣1＞0B．∀x＞0，x2﹣1＞0C．∃x＞0，x2﹣1＞0D．∀x≤0，x2﹣1＞04．“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝，以下关于f（x）的结论正确的是（）A．若f（x）＝2，则x＝0B．f（x）的值域为（﹣∞，4）C．f（x）在（﹣∞，2）上单调递增D．f（x）＜2的解集为（0，1）6．已知函数f（x）＝，则f（x）的大致图像为（）A．B．C．D．7．设a＝0.123，b＝30.4，c＝log0.40.12，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b8．已知函数f（x）＝（x+3）（x﹣e）+（x﹣e）（x﹣π）+（x﹣π）（x+3）的零点x1，x2（x1＜x2），则（）A．x1x2＞0B．＜﹣C．x2﹣x1＜e D．x1+x2＜π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝x2+xC．f（x）＝D．f（x）＝ln|1+x|10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，则以下结论一定正确的是（）A．sinα＝﹣cosβB．cosα＝sinβC．cos（α﹣β）＝0D．sin（α+β）＝111．若x，y＞0，且x+2y＝1，则（）A．B．C．D．12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（）A．P（x）取得最大值时每月产量为63台B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．化简：lg4+lg25＝．14．要在半径OA＝60cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为50πcm，那么圆心角∠AOB＝．（用弧度表示）15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝，φ＝．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝．①f（x）在R上单调递增；②＝f（0）；③f（0）＞1．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．（1）求a的值；（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．（1）求f（x）的〖解析〗式；（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．21．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知t＝0时P的初始位置为点A（2，﹣2）（此时P装满水）．（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．22．（12分）已知函数g（x）＝．（1）证明：g（x﹣2）+g（﹣x）＝2；（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数f（x）的图象上，则称函数f（x）具有性质P，判断函数g（x）是否具有性质P，并证明你的结论；（3）设点A（﹣4，0），函数h（x）＝2g（x）.设点B是曲线y＝h（x）上任意一点，求线段AB长度的最小值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.1．A〖解析〗sin120°＝sin60°＝，故选：A．2．D〖解析〗∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：D．3．C〖解析〗由全称命题的否定为特称命题，命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是∃x＞0，x2﹣1＞0．故选：C．4．A〖解析〗根据题意，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，反之若四边形是平行四边形，则四边形不一定是菱形，故“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件，故选：A．5．B〖解析〗对于A，若f（x）＝2，则或，解得x＝0或x＝1，故A错误；对于B，当x≤0时，f（x）＝x+2∈（﹣∞，2〗，当0＜x＜2时，f（x）＝2x∈（1，4），故函数的值域为（﹣∞，4），故B正确；对于C，因为f（0）＝f（1），故C错误；对于D，由f（x）＜2，可得或，解得x＜0或0＜x＜1，故f（x）＜2的解集为（﹣∞，0）∪（0，1），故D错误．故选：B．6．B〖解析〗由1+x＞0得x＞﹣1，当x＝0时，f（x）无意义，f（1）＝＜0，排除A，D，当x＝时，f（x）＝＝＝＞0，排除C，故选：B．7．A〖解析〗因为a＝0.123＜1，1＜b＝30.4＜30.5＜2，c＝log0.40.12＞log0.40.16＝2，即a＜b＜c，故选：A．8．D〖解析〗由题意知，f（x）＝3x2+（6﹣2e﹣2π）x+πe﹣3π﹣3e，则函数f（x）图象的对称轴为x＝﹣1，所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，又f（﹣3）＝（﹣3﹣e）（﹣3﹣π）＞0，f（0）＝﹣3e+eπ﹣3π＜0，f（e）＝（e﹣π）（e+3）＜0，f（π）＝（π﹣e）（3+π）＞0，所以f（﹣3）f（0）＜0，f（e）f（π）＜0，因为﹣3，0∈（﹣∞，﹣1），e，π∈（﹣1，+∞），所以﹣3＜x1＜0，e＜x2＜π，所以x1x2＜0，故A错误；﹣＜＜，故B错误；x2﹣x1∈（e，3+π），故C错误；x2+x1∈（e﹣3，π），故D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AC〖解析〗A．f（x）＝sin x的定义域为R，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，B．f（﹣x）＝x2﹣x≠﹣f（x），则f（x）为非奇非偶函数，C．f（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，D．函数的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选：AC．10．BD〖解析〗设P（m，n））为α的终边与单位圆的交点，则β的终边与单位圆的交点Q（n，m），∴sinα＝n，cosα＝m，sinβ＝m，cosβ＝n，故A错误，B正确；cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝mn+mn＝2mn，2mn不一定为0，故C错误；sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝n2+m2＝1，故D正确．故选：BD．11．ABD〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，若x，y＞0，且x+2y＝1，则x＝1﹣2y，则有xy＝y（1﹣2y）＝≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立，A正确；对于B，由柯西不等式，〖（）2+（）2〗（12+12）＝（x+2y）（1+1）＝2≥（+）2，即（+）2≤2，变形可得+≤，B正确；对于C，+＝（+）（x+2y）＝5++≥5+4＝9，当且仅当x＝y＝时等号成立，C错误；对于D，x+2y＝1，则有（x+2y）2＝1，变形可得x2+4y2+4xy＝1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥，D正确；故选：ABD．12．BCD〖解析〗对于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，二次函数P（x）的图象开口向下，对称轴为直线x＝，∵x∈N*，∴P（x）取得最大值时每月产量为63台或62台，故A错误，对于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝〖﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000〗﹣（﹣20x2+2500x ﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正确，对于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，∵函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，则MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正确，对于D，因为函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，说明边际函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．2〖解析〗lg4+lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2．故〖答案〗为：2．14．〖解析〗由题意知，弧长l＝50π，半径R＝60，所以圆心角α＝＝＝．故〖答案〗为：．15．2，〖解析〗因为BC∥x轴，所以f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝（+）＝，﹣＝＝×，所以ω＝2．由2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，得φ＝．故〖答案〗为2，．16．2x+1（〖答案〗不唯一）〖解析〗根据题意，分析可得f（x）为指数型函数，且底数a＞1，故要求函数可以为f（x）＝2x+1，故〖答案〗为：2x+1（〖答案〗不唯一）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：角α的终边过点P（，）．∴cosα＝，tanα＝＝，（1）cos（α+π）＝﹣cosα＝﹣；（2）tan（α﹣β）＝＝＝﹣2．18．解：（1）因为f（x）＝，所以f（1）＝1+a＝5，所以a＝4；（2）f（x）＝＝x+在（0，2）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，1﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）（1﹣）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在区间（0，2）上单调递减．19．解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2＝sin2x+2•+2＝sin2x+cos2x+3＝2sin（2x+）+3，故函数的周期为2π．（2）将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，可得y＝2sin（2x++）+3＝2cos2x+3的图象，再横坐标缩小为原来的一半可得g（x）＝2cos4x+3的图象，当x∈〖，〗时，4x∈〖﹣，π〗，cos4x∈〖﹣1，1〗，g（x）∈〖1，5〗，若方程g（x）＝m有解，则m∈〖1，5〗．将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝2sin（x+）+3的图象，再向右平移个单位，可得g（x）＝2sin x+3的图象．当x∈〖，〗时，sin x∈〖﹣，〗，g（x）∈〖2，+3〗．若方程g（x）＝m有解，则m∈〖2，+3〗．20．解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+3．综上，可得f（x）＝．（2）当x≥0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，22x+3≥2（2x+3），即22x﹣2×2x﹣3≥0，求得2x≥3，或2x≤﹣1（舍去），∴x≥log23．当x＜0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，2﹣2x+3≥2（2﹣x+3），即2﹣2x﹣2×2﹣x﹣3≥0，求得2﹣x≥3，或2﹣x≤﹣1（舍去），∴x≤﹣log23．综上，不等式的解集为{x|x≥log23或x≤﹣log23 }．21．解：（1）由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为（2，﹣2），则，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度为≈6.9m．（2）由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角度为，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，0≤t≤120，如图所示，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度，则P，Q距离水面的高度差H＝|h1﹣h2|＝＝，0≤t≤120，利用sinθ+sinφ＝，可得H＝，当或，解得t＝22.5或t＝82.5，故H最大值为，所以P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m．22．解：（1）g（x﹣2）+g（﹣x）＝log2+log2＝log2〖〗＝log24＝2；（2）由（1）知，g（x）的图象关于点M（﹣1，1）中心对称，取函数g（x）图象上两点C（2，0），D（﹣4，2），显然线段CD的中点恰为点M；再取函数g（x）图象上两点E（，﹣1），F（﹣，3），显然线段EF的中点也恰为点M．因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，所以函数g（x）具有性质P；（3）h（x）＝2g（x）＝，则B（x0，）（x0＜﹣2或x0＞0），则|AB|2＝|x0+4|2+＝（x0+4）2+＝（x0+4）2+（2﹣）2＝（x0+2）2+4（x0+2）+4+﹣+4，记x0+2＝t（t＜0或t＞2），则|AB|2＝t2+4t+﹣+8＝（t﹣）2+4（t﹣）+16，记t﹣＝u，则|AB|2＝u2+4u+16＝（u+2）2+12，所以，当u＝﹣2，即x0＝﹣3﹣时，|AB|min＝2．。
2022年-有答案-福建省福州市某校高一(上)期末数学试卷
2022学年福建省福州市某校高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知一个扇形的面积为π3，半径为2，则其圆心角为( )A.π6B.π3C.π4D.π22. 已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|4<x<6}，则A∩B＝（）A.(4, 5)B.(4, 5]C.(5, 6)D.[5, 6)3. 已知角α的终边经过点(m, 2)，且cosα=−√32，则实数m=()A.−√3B.±2√3C.2√3D.−2√34. 不等式ax2+ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围为（）A.[−16, 0)B.(−16, 0]C.[−8, 0]D.(−8, 0]5. 已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A.b<c<aB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a6. 函数y=cosx|tanx|(−π2<x<π2)的大致图象是（）A. B.C. D.7. 若函数f(x)＝的值域为(a, +∞)，则a的取值范围为（）A. B. C. D.8. 已知函数f(x)＝m(x−2)+3，g(x)＝x2−4x+3，若对任意x1∈[0, 4]，总存在x2∈[1, 4]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数m的取值范围是（）A.(−2, 2)B.C.(−∞, −2)D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.下列四个命题中，正确的有（）A.命题p：“∃x≤1，x2−3x+2≥0”，则￢p为“∀x>1，x2−3x+2<0”B.函数f(x)=a x−1+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1, 2)C.若a>b，c>d>0，则ad >bcD.若函数f(x)=x2−2x+4在区间[0, m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1, 2]已知a>0，b>0，且a+b＝4，则下列结论正确的是（）A.ab≤4B.C.2a+2b≥16D.a2+b2≥8已知函数，则以下说法中正确的是（）A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)在上单调递减C.是f(x)的一个对称中心D.f(x)的最大值为0.5函数f(x)＝Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.B.函数f(x)图象的对称轴为直线C.函数f(x)的零点为D.若f(x)在区间上的值域为，则实数a 的取值范围为三、填空题（本大题共4小题，共20分）若幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，则f(9)=________．“M <N ”是“log 3M <log 3N ”的________条件（请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”作答）将函数(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在区间上为增函数，则ω的取值范围是________．设函数f(x)={3x −1，x ≤a|x +1|,x >a．①若a =1，则f(x)的值域为________；②若f(x)在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知4cosα−sinα3sinα+2cosα=14．（1）求tanα的值；（2）求sin(π−α)sin(3π2−α)的值．设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8．（1）求φ；（2）若函数y=2f(x)+a，(a为常数a∈R)在x∈[11π24，3π4]上的最大值和最小值之和为1，求a的值．已知函数．（1）若对任意，都有f(x)≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．已知函数f(x)＝a x+log a x(a>0且a≠1)．（1）若f(5a−3)>f(3a)，求实数a的取值范围；（2）若a＝2，①求证：f(x)的零点在区间内；②求证：对任意大于0的实数λ，存在正数μ，当x∈(0, λμ)时，函数f(x)的图象都在x 轴下方．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（按交通法规限制50≤x≤100，单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机工资为每小时18元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．已知函数f(x)满足f(x+1)＝x3+ln（+3x)−2．（1）设g(x)＝f(x+1)+2，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明；（2）若不等式f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)+4<0对任意θ∈(−，）恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2022学年福建省福州市某校高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】扇形面积公式【解析】设扇形的圆心角为α，根据面积公式列方程求出α的值．【解答】解：设扇形的圆心角为α，则由扇形的半径为R=2，得面积为S=12⋅α⋅R2=12⋅α⋅22=π3，解得α=π6．故选A.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|3≤x<5}，B＝{x|4<x<6}，∴A∩B＝(4, 5)．3.【答案】D【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．【解答】解：∵角α的终边经过点(m, 2)，且cosα=√m2+22=−√32，且m<0，解得m=2√3（舍去），或m=−2√3，则实数m=−2√3.故选D.4.【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+ax−4<0的解集为R时实数a的取值范围．【解答】当a＝0时，不等式ax2+ax−2<0化为−4<3，对任意的x∈R恒成立；当a≠0时，不等式ax2+ax−6<0的解集为R，应满足；综上知，实数a的取值范围是(−16．5.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】∵log45>log74＝1，，，∴b<c<a．6.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】化简函数的解析式，然后判断函数的图象即可．【解答】解：−π2<x<π2⇒cosx>0，故函数y=cosx|tanx|=|sinx|，函数y=cosx|tanx|(−π2<x<π2)的大致图象是：B．故选：B．7.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】根据分段函数的解析式，分别求出每段上的值域，再结合函数的值域即可求出a的范围．【解答】当x<1时，f(x)＝（）x>，当x≥1时，f(x)＝a+（）x≤a+，且f(x)>a，即f(x)∈(a, a+1]∵f(x)的值城为(a, +∞)，∴a+≥，且a≤∴≤a≤，8.【答案】A【考点】函数恒成立问题二次函数的性质二次函数的图象【解析】根据对任意的x1∈[0, 4]，总存在x2∈[1, 4]，使f(x1)>g(x2)成立，由二次函数的值域求得可得g(x)的最小值，可得−1<m(x−2)+3在x∈[0, 4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．【解答】g(x)＝x2−4x+3＝(x−2)2−1，当x2∈[1, 4]时，g(x2)∈[−1, 3]，则g(x2)的最小值为−1，可得−1<m(x−2)+3在x∈[0, 4]恒成立，则−1<−2m+3，且−1<2m+3，解得m<2，且m>−2，即−2<m<2，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用命题的否定，指数型函数的性质，不等式的性质，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】对于B：函数f(x)=a x−1+1(a>0，且a≠1)的图，当x=1时，f(1)=2，故函数的图象恒过定点(1, 2)，故B正确（1）对于C：当a>b>0时，c>d>0时，满足ad >bc，故C错误（2）对于D：函数f(x)=x2−2x+4=(x−1)2+3，函数的对称轴为x=1，由于函数在区间[0, m]上的最大值为4，最小值为3，所以实数m的取值范围是[1, 2]，故D正确．故选：ABD．【答案】B,D【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式4＝a+b≥2，可得A不正确；用“1”的代换，可得+＝（）(a+b)＝(2++）≥+×2＝1从而判断B；由基本不等式2a+2b≥2＝2＝2＝8，可以判断C；由重要不等式变形，a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥(a+b)2，可以判断D．【解答】∵a>0，b>0，∴4＝a+b≥2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），∴3<ab≤4（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），即A错误；∵+＝（）(a+b)＝+）≥+＝7，∴B正确；∵2a+2b≥7＝7＝8，故C错误；∵a2+b4≥2ab，∴2(a4+b2)≥(a+b)2，∴a7+b2≥＝＝8，故D正确．【答案】A,B,C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】函数＝cos(x+）sin(x+）+＝sin(2x+）+，故它的最小正周期为＝π，故A正确；当x∈，2x+∈[，]，故f(x)在上单调递减，故B正确；当x＝时，f(x)＝×0+＝，故（，）是f(x)的一个对称中心，故C正确；显然，f(x)的最大值为+＝1，故D错误，【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的图象和性质的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】对于A：根据函数的图象得：A＝2，由于，解得T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝2sin(2x+φ)，由于f（）＝2sin（+φ)＝2，解得φ＝，由于|φ|<π，所以φ＝-，故f(x)＝2sin(2x−），故A正确；对于B：令(k∈Z)，解得(k∈Z)，故B正确；对于C：令，解得(k∈Z)，故C错误；对于D：若f(x)在区间，得到，由于上的值域为，则，解得，故实数a的取值范围为．三、填空题（本大题共4小题，共20分）【答案】3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数f(x)=x a，由幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，解得f(x)=x 12，由此能求出f(9)．【解答】解：设幂函数f(x)=x a，∵幂函数f(x)的图象经过(4, 2)，∴4a=2，解得a=12，∴f(x)=x 1 2，∴f(9)=912=3．故答案为：3．【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据对数不等式的性质求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由log 3M <log 3N 得0<M <N ，则M <N 成立，即必要性成立，当M <N <0时，M <N 成立，但log 3M <log 3N 无意义，即充分性不成立， 则“M <N ”是“log 3M <log 3N ”的必要不充分条件， 【答案】(0，]【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调增区间，求得ω的取值范围． 【解答】将函数(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y ＝g(x)＝2sin(ωx +-）＝2sinωx 的图象．若y ＝g(x)在区间上为增函数，则ω⋅(−）≥−，且ω•≤，求得0<ω≤，则ω的取值范围为(0，]，【答案】(−1, +∞),[−1, 1] 【考点】函数单调性的性质与判断 分段函数的应用 函数的值域及其求法 【解析】①把a =1代入分段函数解析式，分别求出值域，取并集得答案；②在同一坐标系内画出函数y =3x −1与y =|x +1|的图象，数形结合得答案． 【解答】①若a =1，则f(x)＝{3x −1，x ≤1|x +1|,x >1，当x ≤1时，f(x)=3x −1∈(−1, 2]， 当x >1时，f(x)=|x +1|>2，∴ f(x)的值域为(−1, 2]∪(2, +∞)=(−1, +∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y =3x −1与y =|x +1|的图象如图：由图可知，要使函数f(x)={3x −1，x ≤a|x +1|,x >a 在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是[−1, 1]．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 【答案】 ∵4cosα−sinα3sinα+2cosα=14，∴ 16cosα−4sinα＝3sinα+2cosα， ∴ 14cosα＝7sinα， ∴ tanα＝2；∵ sin(π−α)sin(3π2−α)=−sinαcosα=−sinαcosαsin 2α+cos 2α=−tanαtan 2α+1， 又tanα＝2，∴ 原式=−24+1=−25． 【考点】同角三角函数间的基本关系 运用诱导公式化简求值 【解析】（1）取分母化简即可；（2）先利用诱导公式化简，再构造分母转化为正切，利用第一问的正弦值即可求出结果． 【解答】∵ 4cosα−sinα3sinα+2cosα=14，∴ 16cosα−4sinα＝3sinα+2cosα， ∴ 14cosα＝7sinα， ∴ tanα＝2； ∵ sin(π−α)sin(3π2−α)=−sinαcosα=−sinαcosαsin 2α+cos 2α=−tanαtan 2α+1，又tanα＝2，∴ 原式=−24+1=−25． 【答案】解：（1）∵x=π8是它的一条对称轴，∴2⋅π8+φ=kπ+π2．∴φ=kπ+π4，又−π<φ<0，得φ=−3π4；（2）由（1）得f(x)=2sin(2x−34π)∴y=2sin(2x−34π)+a，又π6≤2x−34π≤3π4，∴y max=2+a，y min=1+a，∴2a+3=1，∴a=−1．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的最值【解析】（1）通过函数的对称轴，结合−π<φ<0，求出φ的值．（2）利用（1）以及函数y=2f(x)+a，求出含a的函数表达式，利用最大值和最小值的和，求出a的值即可．【解答】解：（1）∵x=π8是它的一条对称轴，∴2⋅π8+φ=kπ+π2．∴φ=kπ+π4，又−π<φ<0，得φ=−3π4；（2）由（1）得f(x)=2sin(2x−34π)∴y=2sin(2x−34π)+a，又π6≤2x−34π≤3π4，∴y max=2+a，y min=1+a，∴2a+3=1，∴a=−1．【答案】函数＝sin2x+）．对任意，2x−，]，sin(2x−，1]．再根据对任意，都有f(x)≥a成立，即实数a的取值范围(−∞．若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin(x−）的图象．再将所得图象向左平移个单位长度，故函数在区间[−π，即sinx＝在区间[−π．而sinx＝在区间[−π，从小到大依次设为a、b、c、d，根据正弦函数的图象的对称性，＝，＝，∴函数在区间[−π．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据函数的定义域和值域，求得f(x)的最小值，可得a的范围．（2）由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得函数在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．【解答】函数＝sin2x+）．对任意，2x−，]，sin(2x−，1]．再根据对任意，都有f(x)≥a成立，即实数a的取值范围(−∞．若先将y＝f(x)的图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin(x−）的图象．再将所得图象向左平移个单位长度，故函数在区间[−π，即sinx＝在区间[−π．而sinx＝在区间[−π，从小到大依次设为a、b、c、d，根据正弦函数的图象的对称性，＝，＝，∴函数在区间[−π．【答案】f(x)定义域为(0, +∞)，当a>1时，f(x)是增函数，由f(5a−3)>f(3a)，得，所以a>，当0<a<1时，f(x)是减函数，由f(5a−3)>f(3a)，得，所以<a<1，综上，a∈（，1)∪（，+∞)．证明：①因为f(x)＝2x+log2x在(0, +∞)上增函数，又f（）＝2+log2＝2−2<0，f（）＝2+log2＝2−1>0，所以f(x)的零点在（，）上．②由①知f(x)的零点x0∈（，），又f(x)在(0, +∞)上为增函数，所以x∈(0, x0)时，f(x)<0，所以对任意λ>0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）f(x)定义域为(0, +∞)，分两种情况当a>1时，当0<a<1时，结合f(x)单调性，进而可得答案．（2）①由f(x)单调性，及f（）<0，f（）>0，即可得出答案．②由①知f(x)的零点x0∈（，），x∈(0, x0)时，f(x)<0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．【解答】f(x)定义域为(0, +∞)，当a>1时，f(x)是增函数，由f(5a−3)>f(3a)，得，所以a>，当0<a<1时，f(x)是减函数，由f(5a−3)>f(3a)，得，所以<a<1，综上，a∈（，1)∪（，+∞)．证明：①因为f(x)＝2x+log2x在(0, +∞)上增函数，又f（）＝2+log2＝2−2<0，f（）＝2+log2＝2−1>0，所以f(x)的零点在（，）上．②由①知f(x)的零点x0∈（，），又f(x)在(0, +∞)上为增函数，所以x∈(0, x0)时，f(x)<0，所以对任意λ>0，存在μ＝，使f(x)<0在(0, λμ)上恒成立．【答案】运货卡车行驶的时间为(ℎ)，则有＝，x∈[40, 100]；由（1）可得，当且仅当，即时取等号，故当(km/ℎ)时，这次行车的总费用最低为元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总费用即可；（2）利用基本不等式求解最值即可．【解答】运货卡车行驶的时间为(ℎ)，则有＝，x∈[40, 100]；由（1）可得，当且仅当，即时取等号，故当(km/ℎ)时，这次行车的总费用最低为元．【答案】g(x)为奇函数，证明如下：，定义域关于原点对称又，∴，故g(x)为奇函数，由（1）可知f(x)＝g(x−1)−2且g(x)为单调递增的奇函数，∴f(sinθ+cosθ)+f(sin6θ−t)+4＝g(sinθ+cosθ−1)+g(sin3θ−t−1)，原不等式等价于：g(sinθ+cosθ−1)+g(sin7θ−t−1)<0，即g(sinθ+cosθ−7)<g(t+1−sin2θ)对任意恒成立，∴sinθ+cosθ−1<t+4−sin2θ⇒t>sin2θ+sinθ+cosθ−5，令，∵，∴，则m2＝sin2θ+4，即，由此可得，故实数t的取值范围为．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验g(−x)与g(x)的关系即可判断，（2）结合（1）原不等式等价于g(sinθ+cosθ−1)<g(t+1−sin2θ)对任意恒成立，结合三角函数的性质可求．【解答】g(x)为奇函数，证明如下：，定义域关于原点对称又，∴，故g(x)为奇函数，由（1）可知f(x)＝g(x−1)−2且g(x)为单调递增的奇函数，∴f(sinθ+cosθ)+f(sin6θ−t)+4＝g(sinθ+cosθ−1)+g(sin3θ−t−1)，原不等式等价于：g(sinθ+cosθ−1)+g(sin7θ−t−1)<0，即g(sinθ+cosθ−7)<g(t+1−sin2θ)对任意恒成立，∴sinθ+cosθ−1<t+4−sin2θ⇒t>sin2θ+sinθ+cosθ−5，令，∵，∴，则m2＝sin2θ+4，即，由此可得，故实数t的取值范围为．。
福建省福州市-高一数学上学期期末考试试题新人教A版
福建师大附中—上学期期末考试 高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第1卷 共100分 一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 下列条件中，能使βα//的条件是（***** ）A. 平面α内有无数条直线平行于平面βB. 平面α与平面β同平行于一条直线C. 平面α内有两条直线平行于平面βD. 平面α内有两条相交直线平行于平面β 2、直线10x y ++=的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（***** ）A. 135°，1B. 45°，－1C. 45°，1D. 135°，－1 3、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（***** ）Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．１或２条4、已知直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（***** ） A ．3- B 1 C ．1或3- D ．05、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（***** ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为（***** ）A ．2B ． 3C ．154D ．57、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA /B /C /的面积为2，则原梯形的面积为（***** ）A ． 2B ．2C ．22D ． 4 8、若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（****） A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=9、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（***** ） A ．27π B ．56π C ．14π D ．64π10、已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称， 则圆2C 的方程为（***** ）A ．2(2)x -+2(2)y +=1B ．2(2)x ++2(2)y -=1 C ．2(2)x -+2(2)y -=1 D ．2(2)x -+2(1)y -=111、点(,)M x y ︒︒是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线2x x y y a ︒︒+=与该圆的位置关系是（***** ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交12、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（***** ） A ．AC ，BE 为异面直线，且AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上） 13、过点(,4)(1,)A a B a -和的直线的倾斜角等于45︒，则a 的值是_******_14、直线,31k y kx =+-当k 变化时，所有直线都通过定点_******_15、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_******_命题人：黄晓滨 审核人：江 泽O y 'x '45016、两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与间的距离是_******_17、集合22222{(,)|4},{(,)|(3)(4)}A x y x y B x y x y r =+==-+-=，其中0r >， 若A B 中有且仅有一个元素，则r 的值是_******_18、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③二面角A BC D --的度数为60︒； ④AB 与CD 所成的角是60°。
福建省高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)
高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）班级___________ 座号__________ 姓名__________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知集合，，则（ ）{}21,S s s n n ==+∈Z {}41,T t t n n ==+∈Z S T Ç=A. B.C.D.∅S T Z 【答案】C 【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.T S ⊆【详解】任取，则，其中，所以，，故， t T ∈()41221t n n =+=⋅+Z n ∈t S ∈T S ⊆因此，. S T T = 故选：C.2. 已知角终边经过点，若，则（ ）θ)P a 3πθ=-=aA.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点，可得，θ)P a OP =又由，根据三角函数的定义，可得且，解得. 3πθ=-1cos 32π⎛⎫-== ⎪⎝⎭a<0a =故选：C.3. 若函数f (x )和g (x )分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f (x )2341g (x )2143满足g (f (x ))＝1的x 值是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】从外到内逐步求值． 【详解】解：∵g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝2， ∴x ＝1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题． 4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） 2sin 3y x =π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 π5π5C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 π15π15【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平移个单位长度即可得到函数的图象． π152sin 3y x =故选：D.5. 已知，则的值为（ ） π3ππsin ,,3526αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin αA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出，利用差角公式求解答案.πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以ππ,26α⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,362α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭；π4cos 35α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 333333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 314525=⨯-=故选：A.6. 密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表6000=-73π示为（ ） A. 25-00 B. 35-00C. 42-00D. 70-00【答案】B 【解析】【分析】利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.【详解】设扇形的圆心角为，则，则，α217223απ⨯=76απ=由题意可知，其密位大小为密位，用密位制表示为35-00.76600035002ππ⨯=故选：B.7. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区()y f x =()y f x =-[],m n [],m n ()y f x =间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（ ）[]1,2023()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a A. B. C.D.[]2,1--12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2【答案】B 【解析】【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两()y f x =()y f x =-[]1,20230a ≥a<0种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.a<0【详解】根据题意，，函数与在区间()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()122xx f x a a -⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()y f x =()y f x =-上的单调性相同.[]1,2023当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合0a ≥()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,2023()2x f x a -=+[]1,2023题意；当时，，则函数在上a<0()()()221,log 2121,log 2xxxa x a f x a a x a ⎧⎛⎫+<--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪--≥-- ⎪⎪⎝⎭⎩()y f x =()()2,log a -∞--单调递减，在上单调递增.())2log ,a --+∞⎡⎣，则函数在上单调递减，在()()()222,log 22,log xxx a x a f x a a x a ⎧+≥-⎪-=+=⎨--<-⎪⎩()y f x =-()()2,log a -∞-上单调递增.())2log ,a -+∞⎡⎣①在上单调递增，则，解得.[]1,2023()()221log 1log a a ⎧-⎪⎨≥--⎪⎩122a -≤≤-②在上单调递减，则，不等式组无解.[]1,2023()()22log 2023log 2023a a ⎧->⎪⎨-->⎪⎩综上所述：.12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦故选：B.8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，()f x R (2)2()f x f x +=-(23)f x -(0)0f =，则的值为（）1()123nk f k ==∑n A. 117 B. 118C. 122D. 123【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以(2)()2(4)(2)2f x f x f x f x ++=⎧⎨+++=⎩(4)()f x f x +=()f x ，(4)(0)0f f ==因为为偶函数，所以，当时有(23)f x -()()()()233222f x f x f x f x -=+⇒-=+1x =，()()13f f =又因为，所以， ()()132f f +=()()131f f ==所以，，(2)2(0)2f f =-=(3)2(1)1f f =-=所以，1201()30[(1)(2)(3)(4)]120k f k f f f f ==+++=∑所以即，12012011()(121)(122)()(1)(2)123k k f k f f f k f f ==++=++=∑∑1221()123k f k ==∑故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 对于给定的实数a ，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是（ ） A. {} B. {x |x ≠-1} C. {x |x< -1} D. R1|1x x a＜＜【答案】B 【解析】【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解. 【详解】①当时,0a >ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)(1)0ax x -+<所以； 11x a-<<②当时,0a =ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)0x -+<所以； 1x >-③当时,a<0(i),解集为，10a -<<(1)(1)0ax x -+<1(,)(1,)a∞∞-⋃-+(ii),可以转化为，解集为 {x |x ≠-1} 1a =-(1)(1)0ax x -+<2(1)0x -+<(iii),解集为， 1a <-(1)(1)0ax x -+<1(,1)(,)a∞∞--⋃+综上所述，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是B . 故选：B .10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确()sin()f x A x ωϕ=+0,0,πA ωϕ>><的是（ ）A. 的图象关于点中心对称 ()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭B. 在区间上单调递增 ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 的图象关于直线对称 ()f x 2π3x =D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 1y =π23π()(1212y f x x =-≤≤8π3【答案】BCD 【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再结合选项及三角函数的性质进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，周期为，所以，又，故；2A =2π5ππ3124T ⎛⎫-⎝== ⎪⎭2π2T ω==0ω>2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为经过点，所以，即， ()f x 2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭4π2sin 23ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，即， 4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈ππZ 62,k k ϕ=+∈因为，，所以取，；π<ϕZ k ∈0k =π6ϕ=所以. π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于A ，令，则，A 不正确； π12x =ππsin 20126⎛⎫⨯+=≠ ⎪⎝⎭对于B ，当时，，所以在区间上单调递增， B 正确；ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，时，，所以的图象关于直线对称，C 正确； 2π3x =2ππsin 2136⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭()f x 2π3x =对于D ，令，则， ()1f x =π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以， π23π1212x -≤≤π024π6x ≤+≤所以或或或，解得或或或，ππ266x +=5π613π617π610x =2π3x =3πx =44π3x =所有交点的横坐标之和为，D 正确. 12348π3x x x x +++=故选：BCD.11. 已知x ，y 是正数，且满足，则下列叙述正确的是（ ）221x y +=A.B.C. D.126x y+≥+ln ln 4ln 2x y +≥-2x y ->221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；B 选项，先计算出，结合对21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭数函数的单调性得到答案；C 选项，由得到，结合得到D 选项，221x y +=12y x =-102x <<2x y ->计算出，结合正切函数在上的单调性得到答案.22211123366x y x ⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为x ，y 是正数，且满足，221x y +=则， ()221212646224y x x x y x y x y y ⎛⎫+=+≥+=+ ⎪⎝+=+++⎭当且仅当，即时，等号成立，A 正确； 24y x x y=x y ==B 选项，，则， 21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1ln ln ln ln 4ln 216x y xy +=≤=-当且仅当时，等号成立，故B 错误； 14x y ==C 选项，因为，所以，221x y +=12y x =-因为为正数，故， ,x y 102x <<则，C 正确；11222222x x y---=>=D 选项，由得到， 12y x =-222222111112232322366x y x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立， 13x =故，即，22126x y +≥22126x y ≥-因为，，所以， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21112,636y ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为在上单调递增， tan y z =ππ,22z ⎛⎫∈-⎪⎝⎭故，D 正确. 221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭故选：ACD12. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） ()cos sin f x x x =-A. 的一个周期是B. 在上单调递增 ()f x 2π()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.D. 方程在上有7个解()f x ()10f x -=[]2π,2π-【答案】BCD 【解析】【分析】根据的值即可判断A ；写出函数在上的解析式，再根据余弦函数的π7π,44f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性即可判断B ；易得函数为偶函数及当时，函数是以为周期的周期函数，求出()f x 0x ≥()f x 2π函数在的最大值即可判断C ；求出当时，方程的根的个数，再根据函数的奇偶性即[]0,2πx ∈(]0,2πx ∈可判断D .【详解】对于A ，因为，π7π0,44f f ⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是函数的一个周期，故A 错误； 2π()f x 对于B ，当，，3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭由，可得， 3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π7π,2π44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以在上单词递增，故B 正确； ()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C ，因为，所以函数为偶函数， ()()cos sin f x x x f x -=-=()f x 则当时，，0x ≥()cos sin f x x x =-因为， ()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+-+=-所以当时，函数是以为周期的周期函数， 0x ≥()f x 2π则当时，[]0,2πx ∈，()ππ3π,0,,2π422cos sin ππ3π,,422x x f x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+∈⋃ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩当时，， π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ππ3π7π9π,,44444x ⎡⎤⎡⎤+∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则，则， πcos 4x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()f x ∈-⎡⎣当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，则， πcos 4x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣()f x ⎡∈-⎣综上，()f x ∈-⎡⎣所以，故C 正确； ()f x对于D ，当时，，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得 ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以或， ππ2π44x k +=-+ππ2π44x k +=+所以或， π2π2x k =-+2π,Z x k k =∈又，所以或或，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 0x =3π22π当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得， ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或， π3π2π44x k -=+π5π2π44x k -=+所以或， π2πx k =+3π2π,Z 2x k k =+∈又，所以， π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭πx =综上可得当时，方程有3个解，(]0,2πx ∈()10f x -=又函数为偶函数，所以当时，方程有3个解， [)2π,0x ∈-()10f x -=综上所述方程在上有7个解，故D 正确.()10f x -=[]2π,2π-故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的周期性单调性及最值问题，考查了分类讨论思想三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出一个定义域不是R ，但值域是R 的奇函数f (x )=___.【答案】tan x （答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据所学函数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即. (tan f x x =）故答案为：(答案不唯一)tan x14. 已知为第四象限的角，________. θsin cos θθ+=cos 2θ=【解析】【分析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式sin cos θθ+=2sin cos θθcos sin θθ-可得结果.22cos 2cos sin θθθ=-【详解】∵，∴， sin cos θθ+=11sin 23θ+=2sin 23θ=-∴， ()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=∵为第四象限角，∴，，∴， θsin 0θ<cos 0θ>cos sin θθ-=∴()()cos 2cos sin cos sin θθθθθ=-+=【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.15. 函数，若命题“”是假命题，则实数a 的取值范围为()22f x ax ax =-[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-___________．【答案】 24,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-【详解】因为命题“”是假命题，[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-所以命题“”是真命题，[]()0,1,3x f x a ∀∈>-即在上恒成立， ()2213a x x -+>[]0,1x ∈因为当时，， []0,1x ∈2721,28x x ⎡⎤+∈⎢⎣-⎥⎦所以在上恒成立， 2321a x x >-+[]0,1x ∈而， 2max 332472178x x ⎛⎫== ⎪-+⎝⎭所以， 247a >所以实数a 的取值范围为. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零R a ∈()()()22tan 2π,249,x a x a f x x a x a x a⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-+++>⎪⎩()f x ()0,∞+点，则a 的取值范围是_______．【答案】 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】由题意，分别求出当时，零点分别为0个，1个，2个时，x a >()()22249f x x a x a -++=+的范围，再分别求出当时，零点分别为4个，5个，6个时，的范围，a (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦a从而可得出答案.【详解】因为函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，()f x ()0,∞+所以当时，函数至少有4个零点，则，x a ≤()f x 0a >①当时，， x a >()()22249f x x a x a -++=+，22416163641620a a a a ∆=++--=-当，即时，无零点， Δ0<54a <()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， Δ0=54a =()()22249f x x a x a -++=+当时，， 54a >()()2224949f a a a a a a =-+++=-+函数的对称轴为， ()()22249f x x a x a -++=+2x a =+则在对称轴的左边，x a =当，即时，有2个零点， 490a -+>5944a <<()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， 490a -+≤94a ≥()()22249f x x a x a -++=+综上所述，当时，无零点， 54a <()()22249f x x a x a -++=+当或时，有1个零点， 54a =94a ≥()()22249f x x a x a -++=+当时，有2个零点， 5944a <<()()22249f x x a x a -++=+②当时，， (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦因为，所以，(]0,x a ∈()(]2π2π,0x a a -∈-当，即时，有4个零点， 4π2π3πa -≤-<-322a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有5个零点， 5π2π4πa -≤-<-522a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有6个零点， 6π2π5πa -≤-<-532a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦由①②可得，要使函数在区间内恰有6个零点，()f x ()0,∞+则或或，解得或， 53254a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<⎪⎩5225944a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩或3225944a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩9542a ≤≤322a <≤所以a 的取值范围是. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查了根据零点的个数求参数的范围，考查了正切函数和二次函数的性质，考查了分类讨论思想，综合性较强，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，集合，定义集合6{|211}x A x x -=<-()222{|10}B x x a x a a =-+++<{|A B x x A -=∈且}x B ∉（1）若，求．2a =A B -（2）若，求a 的取值范围．A B A -=【答案】（1）(][)1,23,5⋃（2）(][),05,-∞+∞ 【解析】【分析】（1）化简A 、B ，根据定义求即可；A B -（2）由得，列不等式组求解即可. A B A -=A B ⋂=∅【小问1详解】， ()()()()261265{|1}{|0}{|0}{|510}1,5111x x x x A x x x x x x x x x -----=<=<=<=--<=---.()()()()2221{|{|10}10},B x x a x a a x x a x a a a éù=-+++<=-+-<=+ëû由，则，故.2a =()2,3B =(][)1,23,5A B -= 【小问2详解】由得，即有或，故.A B A -=A B ⋂=∅11a +≤5a ≥(][),05,a ∞∞∈-⋃+故a 的取值范围为.(][),05,-∞+∞ 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与()()cos f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点最近的一个最低点的坐标为． P 7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭-（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；()f x （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小()f x ()0m m >()y g x =m 值．【答案】（1），图象见解析； ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2） 5π12【解析】【分析】（1）由最低点的坐标得出，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数的解析式，A ωϕ()f x 进而画出图象；（2）通过平移得出的解析式，利用函数为偶函数列方程求出的最小值．()y g x =m 【小问1详解】由题意可得，，且周期，则， 2A =7ππ4π123T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π2T ω==()()2cos 2f x x ϕ=+又，解得，，，()7π2π2πZ 12k k ϕ⨯+=+∈()π2πZ 6k k ϕ=-+∈π2ϕ< π6ϕ∴=- ()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】， ()()ππ2cos 22cos 2266y g x x m x m ⎡⎤⎛⎫==--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数是偶函数，则，解得 ()y g x =()π2πZ 6m k k --=∈()ππZ 212k m k -=-∈又，则当时，的最小值为． 0m >1k =-m 5π1219. 已知函数 ()1lg 1x f x x -+＝（1）判断函数的单调性并用定义法加以证明()y f x ＝（2）求不等式的解集()()()lg 30f f x f +＞【答案】（1）减函数;证明见解析；（2） 19,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可；（2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域的作用.【小问1详解】为减函数.()y f x ＝证明如下: 的定义域为，()y f x ＝()1,1-任取两个实数，且，12x x ，1211x x -<<<， ()()21212111lg lg 11x x f x f x x x ---=-++()()()()212111lg 11x x x x -+=+-()()()()21211111x x x x -+-+- ()()2112211211x x x x x x x x =----++-，()1220x x =-<，()()()()2121110,110x x x x -+>+-> ， ()()()()212111111x x x x -+∴<+-， ()()()()212111lg011x x x x -+∴<+-，()()21f x f x ∴<所以在上为单调减函数.()y f x ＝()1,1-【小问2详解】对，， ()1,1x ∀∈-11()lglg ()11x x f x f x x x +--==-=--+故函数为奇函数，()y f x ＝由可得，()()()lg 30f f x f +＞()()()()lg 3lg 3f f x f f -=-＞由（1）知在上为单调减函数，()y f x ＝()1,1-， 1()1,()lg 3f x f x -<<⎧∴⎨<-⎩11lg 11,11lg lg 13x x x x -⎧-<<⎪⎪+∴⎨-⎪<⎪+⎩111lg lg 13x x -∴-<<+解可得， 111,1013x x -∴<<+19211x <<故不等式的解集为. 19,211⎛⎫⎪⎝⎭20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m ，最低点距离地面10m ，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min ．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．（1）当游客距离地面高度不低于85m 时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？【答案】（1）203（2） 41min 4【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案； 204033t ≤≤（2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，从而求出和min t 1H 2H 1H 2H 关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的的高度相等. 41min 4【小问1详解】以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P ，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为， min t m H当时，游客位于点，以为终边的角为， 0min t =()0,50P -OP π2-因为摩天轮半径，旋转角速度为， 1101050m 2r -==2ππ2010ω==()/min rad 所以，， ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤当，即，， ππ50sin 6085102H t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭ππ1sin 1022t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭π1cos 102t ≤-解得：，解得：， 2ππ4π3103t ≤≤204033t ≤≤因为min ， 402020333-=故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌 203【小问2详解】设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，min t 1H 2H ，， 1ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为， 2ππ4020=故，， 2ππππ11π50sin 6050sin 60102201020H t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭020t ≤≤因为，所以， 12H H =πππ11πsin sin 1021020t t ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，解得：， 020t ≤≤πππ11ππ1021020t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41min 4t =所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的的高度相等. 41min 421. 已知函数，，且满足，恒()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝4π()2sin 133g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,π[]0x ∀∈()()0f x g x ⋅≤成立． （1）求解的零点以及的函数解析式．()g x ()f x （2）求函数在区间上最大值与最小值之差的取值范围． ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】（1）零点为或 ，；解析式为; 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）.【解析】【分析】（1）令得的零点，根据的图象可知的图象经过，()0g x =()g x ()g x ()f x 3π7π0088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，求得的值； ω（2）若的对称轴在区间内，当满足时最大值与最小值之差最小；若当()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的对称轴不在区间内，直接求的最大值即可. ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【小问1详解】令得，， 4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭4π1sin 332x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或 ，， 4ππ2π336x k -=+4π5π2π336x k -=+Z k ∈解得或 ，， 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈的图象恒过定点， ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛ ⎝当时，令得或 ， [0,π]x ∈4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭3π8x =7π8x =当时，；当时；当时，， 3π0,8[x ∈()0g x ≤3π7π,88[]x ∈()0g x ≥7π[],π8x ∈()0g x ≤故的图象如图所示： 4π()2sin 133g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭故依条件可知当且仅当函数的图象经过 时满足条件 ()f x 3π7π,0,,088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0f x g x ⋅≤此时最小正周期为，所以或， ()f x 7π3π2π2(88ω-=2ω=2ω=-当时，，故， 2ω=-()3πππsin 2sin 0842f x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ω=下面验证当时满足，此时， 2ω=()()0f x g x ⋅≤()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭当时，，，，故成立； 3π0,8[x ∈ππ2[,π]44x +∈()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立； 3π7π,88[x ∈π2[π,2π]4x +∈()0f x ≤()0g x ≥()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立， 7π[],π8x ∈ππ2[2π,2π44x +∈+()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤所以的函数解析式. ()f x ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】区间的长度为，函数的周期为， π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π4()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， π8x =π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π(0)4f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为；其它的对称轴在内时结果同上. 1=π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦值，则最大值与最小值之差为：ππππ()sin 2sin 24244f t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()ππcos 2sin 22244t t t t ⎛⎫⎛⎛=+-+-≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦22. 设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数()f x ()g x 1D 2D 01x D ∀∈n ，使（其中，），则称为的“重1232,,,,n x x x x D ∈L ()()0i g x f x =1,2,3,,i n = *n ∈N ()g x ()f x n 覆盖函数”．（1）试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由；（2）已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数()()2223121log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨>⎩，()222log 21x x f x +=+的取值范围. a 【答案】（1）答案见解析；（2）. 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）作出在上的图象，求出函数的值域为，结合图象，即可2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x [)1,0-得出判断； （2）求出的值域为.易知，时，显然对任意，有1个实()222log 21x x f x +=+()0,11x >01k <<()g x k =根.然后根据在有且只有一个实根，结合二次函数的性质，即可得出实数的取值范围.()g x k =[]2,1-a 【小问1详解】因为，所以. 02x π≤≤ππ11π2333x -≤-≤作出在上的图象如下图， 2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，为单调递增函数，则， 0x ≥()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f x -≤<又为偶函数，所以函数的值域为. ()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x [)1,0-由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点， 10t -≤<y t =2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据定义可得，是的“4重覆盖函数”. ()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】可得的定义域为， 22221()log log (1)2121x x x f x +==+++R 即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）. 0x ∈R [)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =因为，所以，所以，则，所以， x ∈R 20x >211x +>10121x <<+111221x <+<+所以. ()222()log 0,121x x f x ++=∈即， ()00121()()log (1)0,121i x g x f x ==+∈+即对任意，有2个实根.01k <<()g x k =当时，，则在上必有一个根，1x >2()log 0g x x =>()g x k =()1,+∞故只需时，仅有1个根.1x ≤()g x k =当时，，0a =()31g x x =-+因为，所以，即，根据一次函数的性质知，在21x -≤≤2317x -≤-+≤()27g x -≤≤()g x k =仅有1个根，符合题意；[]2,1-当时，. 0a >()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足()()2231724g a a =-+--=()g x k =[]2,1-，解得； (1)231320g a a a =+-+=-≤203a <≤当时，，图象为抛物线开口向下.a<0()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足， ()27g -=()g x k =[]2,1-(1)320g a =-≤解得，所以满足． 23a ≤a<0综上，实数a 的取值范围是． 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：小问2中，根据“重覆盖函数”的概念，对任意，存在2个不同的实数20x ∈R ，使得（其中）.进而根据分段函数可推得，任意，[)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =01k <<在上仅有1个实根.()g x k =[]2,1-。
2024届福建福州市第一高级中学高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届福建福州市第一高级中学高一数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知角(0360)αα≤<︒︒终边上A 点的坐标为(sin120,cos120)︒︒，则α=（） A.330︒ B.300︒ C.120︒D.60︒2．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（） A.125 B.135 C.165D.1703．已知函数()cos2f x x x =--，将()f x 的图象上所有点沿x 轴平移()0θθ>个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是（） A.12πB.6πC.4π D.3π 4．设函数()2sin()3f x x π=+，若对任意x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ）A.4πB.2πC.πD.2π 5．函数()cos lg f x x x =-零点的个数为（） A.4 B.3 C.2D.06．cos120︒的值是A. B.12-C.12D.327．已知α，β为锐角，()1sin 25αβ+=，1cos 3β=，则()sin αβ+的值为()A.18315+ B.18315± C.262215+D.18315- 8．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是A.单调增函数，且()0f x <B.单调减函数，且()0f x >C.单调增函数，且()0f x >D.单调减函数，且()0f x <9．已知函数317(),3()28log ,03x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，若函数()()=-g x f x k 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 A.7(,1)8B.7[,1)8C.7[,1]8D.(0,1)10．已知2x >-，则42x x ++的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福建省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知A ＝{－1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x －3＜0}，（ ） R A B = ðA ．{0，1} B ．{－1，1，3}C ．{－1，0，1}D ．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B ，然后求出即可 R A B ⋂ð【详解】因为 32302x x -<⇒<所以 R 3|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭ð所以 R {3,5}A B = ð故选：D. 2．函数的零点所在区间是（ ） ()26log f x x x=-A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()4+∞，【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案 ()()3,4f f 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 6y x=()0,+∞2log y x =()0,+∞所以函数在上单调递减， ()26log f x x x=-()0,+∞又， ()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点， 故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ， ()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ， 0x =()01f =-()01f =故选：B.4．已知 ）20.30.3,2,a b c ===A ． b<c<a B ． b a c <<C ． c<a<b D ． a b c <<【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果. 01a <<12b <<2>c 【详解】根据指数函数的单调性知，即；200.30.31a =<=01a <<，即；00.31222b <=<12b <<根据对数函数的单调性知，故，22c =>=2>c 所以. a b c <<故选：D5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方()31x f x a -=+0a >1a ≠A A x y 程，则的最小值为（ ） ()40,0mx ny m n +=>>23m n+A ．4 B ．6C ．12D ．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最()31x f x a -=+A ()3,2A 324m n +=后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所()31x f x a -=+A ()3,2A A 324m n +=以， ()2312314913266126444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即，时等号成立. 49n mm n =23m =1n =故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）()lg(3)(1)f x ax a =--≠(0,4]a A ．B ．C ．D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,1)(1,)+∞【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减(]0,4x ∈30ax ->3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩3t ax =-3t ax =-函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,(]0,4x ∈30ax ->所以, 3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩设,3t ax =-因为函数是增函数,所以要使在上是增函数, lg y t =()f x (]0,4则需函数是减函数,可得, 3t ax =-0a >所以, 304a <<实数的取值范围为.a 30,4⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则R ()f x ()()2f x f x -=01x <≤()2xf x =（ ）()21log 2022f +=A ． B ． C ．D ．10111024-10241011-1011102410241011【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求()f x 4得的值.()21log 2022f +【详解】因为，所以，，且， 101121024202222048=<<=2111log 202212<+<2011log 20221<-<由题意可得，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()42f x f x f x +=-+=故函数为周期函数，且周期为，()f x 4所以， ()()()211log 20222221log 2022log 20221111log 20222f f f -+=-=--=-. 112102420221011=-=-故选：B.二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一xOy αOx (1,)(0)P m m ->定为负的是（ ） A ． B ． sin cos αα+sin cos αα-C ． D ．sin cos ααsin tan αα【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. αsin 0,cos 0,tan 0ααα><<【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， α(1,)(0)P m m ->α所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<如果，所以，所以选项A 不满足题意；23απ=1sin cos 02αα=>+；；，故CD 正确. sin cos 0αα->sin cos 0αα<sin 0tan αα<故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（ ）A ．B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ．D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函D ()f x x D ∈M ()f x M ≤数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（ ） ()f x DA ．B ．C ．D ．()2022f x x=-()f x =()220222f x x =+()320221f x x =-【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A ：显然，，对任意，不存在正数，使得，0x ≠()0f x ≠{}0x x x ∈≠M ()f x M ≤故 不是“有界函数”； ()2022f x x=-选项B ：显然，，所以对任意，存在正x ≤≤()0f x ≤≤x ⎡∈⎣数，都有成立，故是“有界函数”；M ()f x M ≤()f x =选项C ：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故x R ∈()01011f x <≤x R ∈M ()f x M ≤是“有界函数”； ()220222f x x =+选项D ：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故x R ∈()f x R ∈x R ∈M ()f x M ≤不是“有界函数”. ()320221f x x =-故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（ ）()22log 1()|1|1x x f x x -=--A ．的定义域为 B ．有一个零点 ()f x (1,0)(0,1)- ()f x C ．的图像关于原点对称 D ．的值域为()f x ()f x (,0)-∞【答案】AC【分析】对于A ：由得出定义域；对于B ：由，便可求出零点；对于C ：先2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩()=0f x 化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D ：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域. 【详解】对于A ：由题意可知，函数有意义，则满足, 22log (1)()11x x f x x -=--2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A 正确； 11x -<<0x ≠()f x ()()1,00,1-U 对于B ：因为的定义域为，所以()f x ()()1,00,1-U 22log (1)()11x x f x x -=--，由得，解得（舍），22log (1)=x x x--()=0f x 22log (1)0x -=0x =即没有零点，所以选项B 不正确；()f x 对于C ：由上可知，则满足，22log (1)()x x f x x-=-()()f x f x -=-所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C 正确； ()f x 对于D ：当时，，所以()0,1x ∈()210,1x -∈22log (1)()x x f x x-=-，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项()22=log (1),0x -∈-∞()f x ()f x (),0(0,)-∞⋃+∞D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.y ()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1213x -<【详解】是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴=∴不等式等价为，()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在区间单调递增，()f x [)0,∞+，解得. 1213x ∴-<1233x <<故答案为：.1233x <<【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()3cos 2g x x ϕ=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则的取值范围是______.()f x 【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.ω【详解】解：因为，()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，则.2ω=()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦所以， 52666x πππ-≤-≤所以， 1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以. ()332f x -≤≤故答案为：.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足()24222x ax x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞，则实数的取值范围是______．()()21f x f x =a 【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用()f x ()f x 基本不等式先求出函数在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分()f x 别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，()24,2x g x x x+=≥A ()2,2x ah x x -=<B 因为对任意的，都存在唯一的，满足， [)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()21f x f x =则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.A B ⊆B A 当时，， [)12,x ∈+∞()244x g x x x x+==+因为，当且仅当，即时，等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以， [)4,A =+∞当时，()2,2x ∈-∞()2,2x ah x x -=<①当时，，此时，2a ≥()2,2a xh x x -=<()22,a B -=+∞，解得，224a -∴<24a ≤<②当时，，2a <()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩此时在上是减函数，取值范围是，()h x (),a -∞()1,+∞在上是增函数，取值范围是，()h x [),2a )21,2a-⎡⎣，解得，224a -∴≤02a ≤<综合得. 04a ≤<故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题 17．化简求值：(1)21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)．2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)； 7318(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；45731129218=--++=（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++ 323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++.41324=+-+=18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且. αx ()1,1P m --cos α=(1)求实数的值；m (2)若，求的值.0m >()()sin 3tan 2cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】(1)或 1m=3m =-【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值. m （2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得 1,1,x y m r ==--=所以， cos α=2(1)4m +=解得或.1m =3m =-（2）因为，所以由（1）可得，0m >1m=所以 cos αα=所以()()()cos sin 3tan sin 12sin cos sin sin cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．设函数，图象的一个对称中心是.()()sin 2)π(0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π(0)8,（1）求；ϕ（2）求函数的单调增区间.()y f x =【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.4π-3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k z ∈【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；π,08⎛⎫⎪⎝⎭π0ϕ-<<（2）由（1）得到，令，，解出x 写成区间形式即πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =所以，则，所以πsin 208ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ππ(Z)4k k ϕ+=∈ππ(Z)4k k ϕ=-∈所以，则，π0ϕ-<<π4ϕ=-（2）由（1），令，，πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈即：，，π3πππ88k x k -≤≤+Z k ∈所以函数的单调增区间为：.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位301log lg 2100xv x =-km/min 数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x 0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧km/min km/min 量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】(1)466个单位 (2)3倍【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗05x =0v =x 氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.123x x =【详解】（1）将，代入函数，得：， 05x =0v =301log lg 2100x v x =-31log lg502100x-=因为，所以，所以，所以. lg 50.70≈3log 2lg 5 1.40100x =≈ 1.403 4.66100x=≈466x =答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：1x 2x 13023011.3log 210010.8log 2100x lgx x lgx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得：，所以，即，13211log 22x x =132log 1x x =123x x =答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．()e e x x f x -=+(1)当时，试判断单调性并加以证明．[0,)x ∈+∞()f x (2)若存在，使得成立，求实数m 的取值范围． [ln 2,ln 3]x ∈-(2)()30f x mf x -+≥（提示：（其中且）） ()2222x x x x a a a a --+=+-0a >1a ≠【答案】(1)见解析 (2)109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可； （2）由的奇偶性以及单调性得出，()f x 102()3f x ≤≤(2)()3f x mf x -+()()2e e e 1e x x x x m --=+-++，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m 的取值e e x x t -=+1m t t≤+1t t +范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： ()e e x x f x -=+[0,)+∞任取，且，则12,[0,)x x ∈+∞12x x < ()()()()121222112121121221e e e e e 1e eee e e e e e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫---=+-+=-+=- ⎝⋅⎪⎭由得，，，即. 12,[0,)x x ∈+∞21e e 0x x ->21e 10x x +->()()21f x f x >即函数在上单调递增.()e e x x f x -=+[0,)+∞（2），即为偶函数.()()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=()f x 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x []ln 2,0-[]0,ln 3又，，所以. 510(ln 2)(ln 3)23f f -=<=()02f =102()3f x ≤≤()()()()222(2)()3e e 3e e 1e e e e x x x x x x x x f x mf x m m -----+=+-++=+-++令，则存在，使得成立，即成立.e e xxt -=+10 2,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦210t mt -+≥211t m t t t +≤=+令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.1()g t t t =+()g t 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，所以. max 10109()330g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭max 109(), ,30m g t m ⎛⎤≤∈-∞ ⎥⎝⎦22．已知函数.()()9log 91xf x x =++(1)若对于任意恒成立，求的取值范围； ()()20f x x a -+>x a (2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈m ()g x 在，求出的值，若不存在，请说明理由. m 【答案】(1) (],0-∞(2)存在，m =【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，()9log 91x a x <+-x ()()9log 91xh x x =+-利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，()9232x xg x m =+⋅+令， ，研究函数，，根据二次函数3x t =t ⎡∈⎣()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m .【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立()()20f x x a -+>x 代入可得所以对于任意恒成立()9log 910x x a +-->()9log 91xa x <+-x 令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx x h x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.1119x +>91log 109x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭0a ≤即实数a 的范围为. (],0-∞（2）由，，且()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈()()9log 91x f x x =++代入化简可得.()9232x xg x m =+⋅+令，因为，所以3x t =[]90,log 8x ∈t ⎡∈⎣则，()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣①当，即时，在上为增函数，1m -≤1m ≥-()p t ⎡⎣所以，解得，不合题意，舍去()()min 1230p t p m ==+=32m =-②当时，在上为减函数，在上为增函数，1m <-<1m -<<-()p t []1,m -()p t ,m ⎡-⎣所以，解得()()2min 20p t p m m =-=-=m =m =③当，即在上为减函数，m ≤-m ≤-()p t ⎡⎣所以解得不合题意，舍去，()(min 100p t p ==+=m =综上可知，.m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.。
福建省福州市高一数学上学期期末测试试题 新人教A版
高一上学期期末测试必修1、必修4综合测试一、选择题：1、cos300o的值是 （ ）A 、12B 、12- C D 、-2、满足{1,3}{1,3,5}A =U 的所有集合A 的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、43、下列函数中，在（0，π）上单调递增的是 ( )A ．y=sin （2π－x ）B ．y=cos （2π－x ）C ．y=tan 2x D ．y=tan2x 4、已知a ，b ，(1,)N ∈+∞，下列关系中，与b a N =不等价的是 （ ）A 、log a b N =B 、1log a b N =-C 、b a N-= D 、1ba N = 5．方程5x 21x =+-的解所在的区间是 （ ） Ａ（０，１） Ｂ（１，２） Ｃ（２，３） Ｄ（３，４）6. 已知3.0log a 2=，3.02b =，2.03.0c =，则c b a ,,三者的大小关系是 （ ）A 、a c b >>B 、c a b >>C 、c b a >>D 、a b c >>7.把函数y=sinx 的图象上所有点向右平移3π个单位,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的21(纵坐标不变),所得解析式为y=sin(ωx +ϕ),则 ( ) A.ω=2,ϕ=6π B.ω=2,ϕ=-3π C.ω=21,ϕ=6π D.ω=21,ϕ=-12π 8．已知sinx+cosx=51且x ∈(0,π),则tanx 值 ( ) A.-34 B.-43 C.-34或-43 D.34 9、奇函数()f x 在区间[,]a b 上是减函数且有最小值m ，那么()f x 在[,]b a --上是 （ ）A 、减函数且有最大值m -B 、减函数且有最小值m -C 、增函数且有最大值m -D 、增函数且有最小值m -10、函数y=log 2(2cosx-1)的定义域为 ( ) A.)3,3(ππ- B.]3,3[ππ- C.{x|-3π+2k π<x<3π+2k π,k ∈Z} D.{x|-3π+2k π≤x ≤3π+2k π,k ∈Z}11. 函数lg(1)lg(1)y x x =-++的图象关于 ( )A 、直线0x =B 、直线0y =对称C 、点(0,0)对称D 、点(1,1)对称12、下列6个命题中正确命题个数是 ( )(1)第一象限角是锐角 (2)y=sin(4π-2x)的单调增区间是(π+ππ+π87k ,83k ),k ∈Z (3)角α终边经过点(a,a)(a ≠0)时,sin α+cos α=2(4)若y=21sin(ωx)的最小正周期为4π,则ω=21 (5)若cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)+sin β=0(6)若定义在R 上函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),则y=f(x)是周期函数A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：13. 若扇形的面积是1㎝ 2它的周长是4㎝，则圆心角的弧度数是________________.14．四边形ABCD 中,=2DC ,则四边形ABCD 为 (填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一)15.已知tanx=2,则x cos x sin 4x cos 4x sin 3--=_____________ 16．函数y=x sin -+216x -的定义域是_________________.三、解答题：17．已知函数())6f x x π=+，求函数： (1)最小正周期 （2）对称中心 （3）单调递增区间．18．设函数2()21x f x a =-+,⑴ 求证: 不论a 为何实数()f x 总为增函数; ⑵ 确定a 的值,使()f x 为奇函数;19．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1．⑴求f (x )的解析式；⑵当x ∈[－1，1]时，不等式：f (x ) 2x m >+恒成立，求实数m 的范围．20、设函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,给出三个论断:①它的图象关于8π=x对称;②它的最小正周期为π;③它在区间]83,4[ππ.以其中的两个论断作为条件,另一个作为结论,试写出你认为正确的一个命题并给予证明.参考答案2013-1-1班级： 姓名： 座号： 成绩：二、填空题：（每题6分，满分24分）13．2； 14．梯形 15．．]4,[]0,[ππ⋃-;三、解答题：（满分76分）17、 T=2π，中心(,0),()6k k Z ππ-∈，递增区间22,2,()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18、解: (1) ()f x Q 的定义域为R, 12x x ∴<, 则121222()()2121x x f x f x a a -=--+++=12122(22)(12)(12)x x x x ⋅-++, 12x x <Q , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.…………6分(2) ()f x Q 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即222121x x a a --=-+++,解得: 1.a = 2()1.21x f x ∴=-+ ………………12分19、解： (1)设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1得c ＝1，故f （x ）＝ax 2＋bx ＋1．∵f(x＋1)－f(x)＝2x ，∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ．即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以221,01a a ab b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，∴f(x)＝x 2－x ＋1．-------------6分(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m>0在[－1，1]上恒成立． 设g(x)＝ x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32 ，所以g(x) 在[－1，1]上递减．故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．-------------------------12分20、①② ⇒ ③ 解略。
2010-2023历年福建省福州市高级中学高一上学期期末考试数学试卷
2010-2023历年福建省福州市高级中学高一上学期期末考试数学试卷第1卷一.参考题库(共12题)1.（本小题满分10分）通过点A（0，a）的直线与圆相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使=，设点B在点C的左边，（1）试用a和k表示P点的坐标；（2）求k变化时P点的轨迹；（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点．2.（（本小题满分5分）三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心3.点A（1，0）到直线的距离是．4.（本小题满分13分）设．（1）求使≥1的x的取值范围；（2）若对于区间 [2，3]上的每一个x的值，不等式＞恒成立，求实数m的取值范围．5.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于（）A．2B．3C．6D．126.已知A（1，2，3），B（0，4，5），则线段AB的长度为．7.（本小题满分13分）已知是腰长为2的等腰直角三角形（如图1），，在边上分别取点，使得，把沿直线折起，使=90°，得四棱锥（如图2）．在四棱锥中，（I）求证：CE⊥AF；（II）当时，试在上确定一点G，使得,并证明你的结论．8.圆上的点到直线的距离的最小值 .9.（（本小题满分14分）如图，正方体中，棱长为（1）求直线与所成的角；（２）求直线与平面所成角的正切值；（３）求证：平面平面．10.（本小题满分12分）三角形ABC中，AB=6，BC=8，CA=10，绕AB边旋转一周形成一个几何体，（1）求出这个几何体的表面积；（2）求出这个几何体的体积．11.（本小题满分5分）直线a,b相交于O,且a,b成角600,过O与a,b都成600角的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条12.（本小题满分12分）已知AD是Rt斜边BC的中线，用解析法证明．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：解：（1）得（2）由，的表达式中消去得，∴点P的轨迹是直线在圆内的部分。
2023—2024学年福建省福州市高一上学期期末质量检测数学试卷
2023—2024学年福建省福州市高一上学期期末质量检测数学试卷一、单选题1. （）A．B．C．D．2. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，3. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（）A．B．C．D．4. 已知集合，，则（）A．B．C．D．5. 设,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知，，，则（）A．B．C．D．7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（）（参考数据：，）A．23小时B．25小时C．42小时D．44小时二、多选题9. 已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．10. 已知函数的部分图象如下所示，则（）A．B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称11. 已知函数的定义域为，、都有，且，则（）A．B．C．是增函数D．是偶函数12. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（）A．B．C．D．关于的方程恰有3个实数解三、填空题13. 已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是______ .14. 已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 ______ .15. 已知函数不恒为0，且同时具备下列三个性质：①；②是偶函数；③，，.写出一个函数______ .16. 用表示函数在闭区间上的最大值，已知.（1）若，则的取值范围是 ______ .（2）若，则的取值范围是 ______ .四、解答题17. 已知函数.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范围.18. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.(1)求，，的值；(2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.19. 已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.20. 已知是自然对数的底数，.(1)判断函数在上的单调性并证明；(2)解不等式.21. 已知函数为奇函数，.(1)求实数的值；(2) ，，使得，求实数的取值范围.22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.(1)求，，，的值；(2)若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.。
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）函数的零点的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）已知函数f（x）=|log2|x﹣1||，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为﹣1，则a+b的值为（）A . -2B . -1C . 0D . 13. （2分） (2018高一下·伊通期末) 已知，那么是（）A . 第三或第四象限角B . 第二或第三象限角C . 第一或第二象限角D . 第一或第四象限角4. （2分）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则（）A . -7B .C .D . 77. （2分） (2019高一上·黑龙江月考) 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向左平移单位D . 向右平移单位9. （2分）将函数y=sin(x+)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A . x=-B . x=-C . x=D . x=10. （2分）关于函数的四个结论：P1：最大值为；P2：把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象；P3：单调递增区间为[]，；P4：图象的对称中心为(，．其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分） (2016高一下·淄川期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A . f（x）=2sin（x+ ）B . f（x）=2sin（2x+ ）C . f（x）=2sin（2x﹣）D . f（x）=2sin（4x﹣）12. （5分）已知函数f（x）=﹣sinx+3cosx，若x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）=0，则|x1+x2|的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1分）已知，则tanα=________．15. （1分） (2017高一上·定州期末) 若函数的零点，且，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高一上·鹤岗月考) 已知角的终边过点，且，求和的值.18. （10分） (2016高一下·邵东期中) 解答（1）已知函数，求函数在区间[﹣2π，2π]上的单调增区间；（2）计算：．19. （10分）(2018·普陀模拟) 已知函数， .（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.20. （10分） (2020高一上·铜仁期末) 已知函数 .（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，求的单调递减区间.21. （5分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（x）=（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，试确定函数y=loga（x+1）在区间（0，3）上的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、。
福建省福州市高一数学上学期期末考试试题(1)
福建省福州市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题（本试卷分一、二两卷，第一卷100分, 第二卷50分,考试时间120分钟） 参考公式：1、体积公式：sh V =圆柱， sh V 31=圆锥， 334R V π=球 2、表面积公式：)(2l r r S +=π圆柱， )(l r r V +=π圆锥 24R S π=球一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1、下图①是由哪个平面图形旋转得到的（ ）2、直线x=1的倾斜角为α，则α（ ）A ．等于0°B ．等于45°C ．等于90°D ．不存在 3、两平行线3x －4y －12=0与6x －8y ＋16=0间的距离是（ ） A ．285 B ．4 C ．145 D ．454、已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．三边互不相等的三角形5、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm ，则球的表面积是( ) A ．8π cm 2B ．12π cm 2C ．2π cm 2D ．20π cm 26、已知点M(a ，b)在圆O ： x 2＋y 2＝1外，则直线 ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不确定7、已知a 、b 、c 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（ ）图①A ．.B ．C ．D ．A.若a c ⊥, b c ⊥，则a ∥bB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若α⊥a ,β⊥a 则α∥βD. 若a ⊥α,b ⊥a ,则b ∥α 8、过圆x 2＋y 2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是( ) A ．x ＋3y －4＝0 B ．3x －y ＝0 C ．x ＋3y ＝0D ．x －3y －4＝09、已知两点A(－1，0)，B(2，1)，直线l 过点P(0，－1)且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. (][)11+-∞-∞，，C. [)(]1,00,1- D. [)[)101+-∞，， 10、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与直线AD 1A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒ 11、如图2，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412、如图3，在正方体 1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱 AA 1、CC 1 的中点，则在空间中与直线 A 1D 1、 EF 、BB 1都相交的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条二、填空题（本题共4小题，每小题5 分，共20分，请将正确答案填在答题纸上）13、若直线10ax y ++=与直线10x ay ++=平行，则a =_________；14、圆()221+=2x y -上的点到直线240x y -+=的最小距离是 ；15、已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4=0关于直线x －y ＋2=0对称的圆的方程 ； 16、已知圆x 2＋y 2=9，直线L ：y=x ＋b ，圆上至少有三个点到直线L 的距离等于1，则b 的取值范围是 ；D 图3图2D AB三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分） 已知一个几何体的三视图如图所示， （1）求此几何体的体积； （2）求此几何体的表面积。
福建省高一上学期期末质检数学试题(解析版)
高一数学试题一、单选题1. 已知点是角终边上一点，则（ ）1(,1)2P αsin α=A.B.C.D.12【答案】D 【解析】【分析】根据正弦函数的定义进行求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，1(,1)2P α所以sin α==故选：D2. 函数过定点（ ）()3log 12a y x =-+A. B.C.D.()1,0()2,2()1,1()2,0【答案】B 【解析】【分析】根据且求解. (log 100a a =>)1a ≠【详解】因为且， (log 100a a =>)1a ≠所以要求恒过定点，则满足()3log 12a y x =-+解得，所以恒过定点. 113log 12a x y -=⎧⎨=+⎩22x y =⎧⎨=⎩()3log 12a y x =-+()2,2故选：B3. 已知函数，则的值为（ ） ()2log ,(0)3,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A. B.C.D.1-3【答案】C【解析】【分析】根据题中函数表达式代入求解即可. 【详解】因为， 211log 122f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以. ()()111332f f f --⎡⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：C 4. 化简的值为（ ）15932log 3-+A. 0 B. 1C.D.5232【答案】B 【解析】【分析】根据指数幂、对数的运算公式进行求解即可. 【详解】， ()111551535591111132log 32log 322122222⎛⎫⨯---⎪-⎝⎭+=+=+=+=+=故选：B5. 三个数，，之间的大小关系是（ ） 20.4a =2log 0.3b =0.62c =A. B.C.D.a cb <<a bc <<b a c <<b<c<a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】解：函数是R 上的减函数，而，则， 0.4x y =21>200.40.4<<函数是R 上的增函数，而，则，2x y =00.6<0.621>函数是上的增函数，而，则， 2log y x =(0,)+∞00.31<<2log 0.30<于是得. b a c <<故选：C.6. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原()sin 2f x x =6π来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ） ()g x 2g π⎛⎫⎪⎝⎭A.B. C. D.1212-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图像平移伸缩变换法则可得，进而可得结果. ()sin(3x x g π=-【详解】函数的图象向右平移个单位长度，()sin 2f x x =6π可得； sin[2()]sin(2)63y x x ππ=-=-再将的图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍，sin(23y x π=-可得，即， sin()3y x π=-()sin()3x x g π=-所以. 1sin 262g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭故答案为：A 7. 若，且，则（ ）π3cos()25α-=π(,π)2α∈5πtan(4α+=A. B.C.D. 734-3417【答案】C 【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再运用平方关系求出进而得到最后运用两角和cos π2α⎛⎫-⎪⎝⎭cos ,αtan ,α的正切公式可求出的值. 5πtan(4α+【详解】依题意ππ34,π,cos()sin ,cos ,2255αααα⎛⎫∈-==∴==-⎪⎝⎭5π5π14tan()tan tan3tan ,4tan ta 4n .5π471αααα++∴=-∴==-⋅故选：C8. 函数的图象大致为（ ）()log 1(1)a f x x a =+>A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案. ()f x ()0,∞+【详解】的定义域为， ()log 1a f x x =+{}0x x ≠因为，所以是偶函数， ()()log 1a f x x f x -=-+=()f x 当时，单调递增， ()0,x ∈+∞()log 1(1)a f x x a =+>由此可判断出选A 故选：A二、多选题9. 下列各式中，值为的是（ ） 12A. B. 5πsin62sin 45C.D.122-tan 210 【答案】ABD 【解析】【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，； 5πππ1sinsin πsin 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭对于B 选项，；221sin 452==对于C 选项，； 122-==对于D 选项，. ()121018030tan 302=+=== 故选：ABD.10. 函数的一个零点所在的区间不可能是（ ） ()ln 34x f x x =+-A. B.C.D.()0,1()1,2()2,3()2e,e【答案】ACD 【解析】【分析】利用零点存在性定理判断零点所在的区间，进而确定不可能的区间即可. 【详解】由题设，函数单调递增，，(0)f →-∞， (1)ln13410f =+-=-<， (2)ln 264ln 220f =+-=+>， (3)ln 394ln 350f =+-=+>， (e)ln e 3e 43(e 1)0f =+-=->，222(e )23e 43e 20f =+-=->综上，零点所在的区间不可能是、、.()0,1()2,3()2e,e 故选：ACD11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭（ ）A. ，， 2A =2ω=π3ϕ=B. 函数的图象关于坐标原点对称π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 函数的图象关于直线对称 ()f x 17π12x =-D. 函数在上的值域为 ()f x ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦(]1,2【答案】ABC 【解析】【分析】最值求，周期求，特殊点求，观察图像找出特征值即可求出函数，后根据的A ωϕ()f x ()f x 性质可作出判断.【详解】A 选项：由图象知； 2A =设的最小正周期为T ，，所以得， ()f x 7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭2πT πω==2ω=当时，函数取得最小值，则， 7π12x =()f x ()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z即，()52ππ3k k ϕ=-∈Z 则当时，符合题意．所以，，，所以A 正确． 1k =π3ϕ=2A =2ω=π3ϕ=B 选项：为奇函数，所以B 正确． πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C 选项：令，解得，()ππ2π32x k k Z +=+∈()ππ212k x k Z =+∈所以函数图象的对称轴方程为，当时，，所以C 正确． ()f x ()ππZ 212k x k =+∈3k =-17π12x =-D 选项：因为，，，ππ,124x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以，所以，所以D 不正确． π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]1,2f x ∈故选：ABC12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）()()3log 1,11,13x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩A. 若，则 ()1f a =4a =B. 202320222022f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若，则或()3f a ≥1a ≤-28a ≥D. 若方程有两个不同的实数根，则 ()f x k =13k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，分段讨论求解即可；对B ，根据解析式先求出，再求出；对20232022f ⎛⎫⎪⎝⎭20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ，分段讨论解不等式可判断；对D ，画出函数图象，观察图象可得. 【详解】对A ，若，则，解得；1a >()()3log 11f a a =-=4a =若，则，解得，故A 错误；1a ≤()113af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭0a =对B ，， 33202320231log 1log 202220222022f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；331log 2022log 20223202311log 32022202220223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对C ，若，则，解得；1a >()()3log 13f a a =-≥28a ≥若，则，解得，故C 正确；1a ≤()133af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1a ≤-对D ，画出的函数图象，()f x 方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，()f x k =()y f x =y k =，则观察图象可得，故D 正确.()113f = 13k ≥故选：BCD三、填空题13. _______． cos40sin70sin40sin160=- 【答案】## 120.5【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正弦差角公式的应用，可得答案. 【详解】cos40sin70sin40sin160=- ()cos 40sin 70sin 40sin 7090-+=. cos 40sin 70sin 40cos 70-= ()1sin 7040sin 302-==故答案为：. 1214. 计算__________． 1322192log 3log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】5 【解析】【分析】利用指数和对数的运算求解. 【详解】解：，1322192log 3log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2292log 9log 8=+-，282log 99⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，235=+=故答案为：515. 函数的最小值是___________.()2cos 2cos 1f x x x =-+【答案】0【解析】【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最小值即可. cos t x =[]1,1t ∈-t 【详解】解：令 ，则， cos t x =[]1,1t ∈-则， 22()21(1)f t t t t =-+=-则函数在上为减函数， ()f t []1,1-则， min ()(1)113120f t f ==⨯-⨯+=即函数的最小值是0， 2cos 2cos 1y x x =-+故答案为：0.16. 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧《》《》田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积AB AB 223π为__________．【答案】43π【解析】【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】依题意，等腰底边，则的面积为AOB A 2(cos6AB OA π==sin16h OA π==AOB A11122AB h ⋅=⨯=而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为 21242233ππ⨯⨯=43π-所以此弧田的面积为. 43π故答案为：43π四、解答题17.化简求值：（1）； 3tan()cos(2)sin 2cos()sin()ππαπαααππα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭--⋅--（2）已知，求的值. tan 2α=sin cos αα⋅【答案】（1）1-（2）25【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值. （2）利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【小问1详解】原式；()()()sin cos tan cos cos tan cos cos cos 1cos sin sin cos πsin παααααααααααααα⋅-⋅⋅-⋅⋅====--⋅-+⋅-+⎡⎤⎣⎦【小问2详解】 原式．222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα===++18. 已知函数，其中且. ()log (3)a f x x =-0a >1a ≠（1）求函数的定义域； ()f x （2）求函数的零点； ()f x （3）比较与的大小.(1)f -(1)f 【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析 (,3)-∞【解析】 【分析】（1）由真数大于0求解即可；（2）由，可得函数的零点；log 10a =()f x （3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.a【详解】（1）由，得，30x ->3x <所以函数的定义域为；()f x (,3)-∞（2）令，即，()0f x =log (3)0a x -=则，所以，31x -=2x =所以函数的零点为2；()f x （3），(1)log (3(1))log 4a a f -=--=，(1)log (31)log 2a a f =-=当时，函数是增函数，所以，即1a >log a y x =log 4log 2a a >(1)(1)f f ->当时，函数是减函数，所以，即 01a <<log ay x =log 4log 2a a <(1)(1)f f -<【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.19. 已知为锐角，αβ，4sin ,cos()5ααβ=+=（1）求的值；cos 2α（2）求的值． sin β【答案】（1）；（2. 725-【解析】【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，， 3cos 5α==sin()αβ+==根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦【详解】（1）因为，所以； 4sin 5α=2327cos 212sin 12525αα=-=-=-（2）因为为锐角，所以，， αβ，0αβ<+<π02πα<<又， 4sin ,cos()5ααβ=+=3cos 5α==，sin()αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455=+=【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20. 已知函数（且）.()()()log 10log 10a a f x x x =+--0a >1a ≠（1）求的定义域；()f x （2）判断的奇偶性，并说明理由；()f x （3）求不等式的解集.()0f x >【答案】（1）()10,10-（2）是奇函数，证明见解析()f x （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 1a >(010)，01a <<(–10)0，【解析】【分析】（1）由函数有意义所需条件，求的定义域；()f x （2）由函数奇偶性的定义，判断并证明的奇偶性；()f x （3）分类讨论，根据函数单调性求解不等式.【小问1详解】要使函数有意义，则，解得 ，即函数的定义域为 . 100100x x +>⎧⎨->⎩1010x -<<()f x ()10,10-【小问2详解】是奇函数，理由如下：()f x 由(1)知函数的定义域关于原点对称，()f x ，()()()()()log 10log 10log 10lo [()g 10]a a a a f x x x x x f x -=--+=-+--=-即函数是奇函数。
福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2022－2023学年第一学期福州市高一期末质量抽测数学试卷（完卷吋间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2540A x x x =-+>，{}03B x x =≤≤，则A B = （）A.{}01x x ≤≤ B.{}01x x ≤< C.{}13x x <≤ D.{|3x x ≤或4}x >【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2540x x -+>，得1x <或>4x ，则{|1A x x =<或4}x >，而{}03B x x =≤≤，所以{|01}A B x x ⋂=≤<.故选：B2.已知命题():0,p x ∀∈+∞，3x x >，则命题p 的否定是（）A.()0,x ∀∈+∞，3x x ≤B.()0,x ∃∈+∞，3x x ≤C.()0,x ∃∈+∞，3x x <D.()0,x ∀∉+∞，3x x>【答案】B 【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，3x x ≤.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3P -，则cos α=（）A.45 B.45-C.34-D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意，||5OP ==，所以4cos 5α=.故选：A4.若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.3π【答案】A 【解析】【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.5.函数()21x f x x =-的图象大致为（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由()00f =可排除C ，D ，当0x <时，()0f x <可排除A ，即可得正确答案.【详解】由()00f =可排除C ，D ；当0x <时，()201x f x x =<-，排除A .故选：B .6.已知函数()22,1,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()0f a =，则a 的值为（）A.12-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由()0f a =求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当1x ≤时，20x >，且()0f a =，则21log 0a -=，解得2a =故选:D7.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>在[,]-ππ的图象大致如下图所示，则函数()f x 图象的对称中心为（）A.()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()ππ,0Z 8k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C.()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ D.()4ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】化简()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可得312,Z 25k k ω=+∈，由图可得：524322T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解不等式即可求出32ω=，令3ππ,Z 24x k k +=∈，即可求出()f x 图象的对称中心.【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x的图象过点5π,6⎛ ⎝，所以5ππ3π2π,Z 642k k ω⋅+=+∈，解得：312,Z 25k k ω=+∈，因为由图可得：525225344332422222T T πππωωπππω⎧⎧⋅<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎪⎪≥⋅≥⎪⎪⎩⎩，所以32ω=，()3πsin cos 24f x x x x ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3ππ,Z 24x k k +=∈，解得：2ππ,Z 36x k k =-∈，则函数()f x 图象的对称中心为()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.故选：C .8.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（）A.b a c<< B.a b c<<C.c b a <<D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】利用对数的换底公式，得到2lg 23lg 2,lg 3lg 5b c ==，化简lg 2(lg 25lg 27)0lg 3lg 5b c -=<⋅-，得到b c <，再由对数函数的单调性，求得312c <<且32a >，即可求解.【详解】因为35lg 42lg 2lg83lg 2log 4,log 8lg 3lg 3lg 5lg 5b c ======，则2lg 23lg 22lg 2lg53lg 2lg3lg 2(2lg53lg3)lg 2(lg 25lg 27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5b c ⋅-⋅---=-===<⋅⋅⋅，所以b c <，又因为3255553log 5log 8log log 52<<==，所以312c <<，又由322223log 3log log 22a =>=，所以32a >，所以b<c<a .故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合A ，B 是全集U 的两个子集，A B ⊆，则（）A.A B B ⋃=B.A B B =C.B ⋃()U A =ðUD.B ()U A =∅ð【答案】AC 【解析】【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由A B ⊆，根据子集的定义，如图，对于A ，A B ⊆⇒A B B ⋃=，所以A 正确；对于B ，A B ⊆⇒A B A = ，所以B 不正确；对于C ，由韦恩图知，B ⋃()U A =ðU ，所以C 正确；对于D ，由韦恩图知，B ()U BA A =痧，所以D 不正确；故选：AC .10.若()0,απ∈，1sin cos 5αα-=，则（）A.4tan 3α=B.12sin225α=C.sin co 7s 5αα+= D.7cos225α=-【答案】ACD 【解析】【分析】由sin cos αα与sin cos αα±的关系，结合角的范围，可求得sin cos αα、，即可逐个判断.【详解】()()222sin cos sin cos 12sin cos 225αααααα+--==，∵()0,απ∈，则sin 0,cos 0α>>，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.对C ，sin cos 57αα+==，C 对；对A ，sin cos sin cos 543sin ,cos 25αααααα-+=+===，sin 4tan cos 3ααα==，A 对；对B ，24sin22sin cos 25ααα==，B 错；对D ，227cos2cos sin 25ααα=-=-，D 对.故选：ACD.11.若33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，则a 的值可以是（）A.1B.0C.2- D.12【答案】BC 【解析】【分析】首先求出这两个不等式的解集A 、B ，根据题意可得B A ⊆，即可求出a 的取值范围.【详解】因为33x <，解得：1x <，设{}1A x x =<，设不等式210x ax a ---<的解集为B ，因为33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，所以B A ⊆，因为210x ax a ---<，则()()110x x a +-+<⎡⎤⎣⎦，当11a +=-即2a =-，B =∅，满足题意；当11a +<-即2a <-，则11a x +<<-，所以{}11B x a x =+<<-，所以B A ⊆符合题意；当11a +>-即2a >-，则11x a -<<+，所以{}11B x x a =-<<+，因为B A ⊆，所以11a +≤，解得：0a ≤，所以20a -<≤.综上所述，a 的取值范围为：(],0-∞.故选：BC .12.在一个面积为4的直角三角形ABC 的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB 上，另外两个顶点分别落在AC ，BC 上，则（）A.AB 的最小值为B.AB 边上的高的最大值为2C.正方形面积的最大值为2D.ABC 周长的最小值为4+【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，可得8AC BC ⋅=，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD ；建立角A 的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C 作答.【详解】在Rt ABC △中，AC BC ⊥，142AC BC ⋅=，即有8AC BC ⋅=，对于A ，4AB =≥=，当且仅当AC BC ==时取等号，A 错误；对于B ，Rt ABC △斜边AB 边上的高82AC BC h AB AB⋅==≤，当且仅当4AB =，即AC BC ==时取等号，B 正确；对于D ，ABC 的周长4AB AC BC AC BC ++=+≥+=++，当且仅当AC BC ==时取等号，D 正确；对于C ，如图，正方形DEFG 是符合题意的Rt ABC △的内接正方形，令π(0,)2A θ∠=∈，则BFE FGC A θ∠=∠=∠=，cos ,sin sin cos DE DEAC AG GC DE BC BF FC DE θθθθ=+=+=+=+，22111(cos )(sin )(2sin cos )8sin cos sin cos AC BC DE DE θθθθθθθθ⋅=++=++=，于是28162142sin 24sin 2sin 22sin 2DE θθθθ==++++，令sin 2(0,1]t θ=∈，则44sin 2()sin 2f t t tθθ+==+在(0,1]t ∈上单调递减，1212,(0,1],t t t t ∀∈<，1212121212444()()()()(1f t f t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<≤，则121240,10t t t t -<-<，即有12()()0f t f t ->，12()()f t f t >，因此函数()f t 在(0,1]上单调递减，则当1t =，即π4θ=时，min ()5f t =，正方形DEFG 的面积2DE 取得最大值169，C 错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.第Ⅱ卷三、填空题：本大题井4小题，每小题5分，共20分.13.2223=______.【答案】9【解析】【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】()(22222222222233393+====.故答案为：9.14.若点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos())55B θθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=______.【答案】2π5（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，则πcos cos 5πsin sin 5θθθθ⎧⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，因此π()π2π,Z 5k k θθ++=+∈，解得2ππ,Z 5k k θ=+∈，取2π5θ=.故答案为：2π515.中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm ，内弧线的长为18cm ，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16cm ，则该扇环的面积为______2cm.【答案】576【解析】【分析】设该扇形內弧半径为r ，根据弧长公式可得r ，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cm r ，由弧长公式和已知可得：541618r r+=，解得：8cm r =，则外弧半径为81624cm +=，所以该扇环的面积为2115424188576cm 22⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：576.16.记{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数.若关于x 的方程{}1max ,x x t x-=-的所有实数根的绝对值之和为6，则t 的值为______.【答案】3【解析】【分析】由题意可将原方程化为()2100x t x x -+=≠，讨论0x >和0x <，可得所有实数根的绝对值之和为6，即26t =，即可求出t 的值.【详解】由于{}1max ,x x t x-=-，所以原方程化为1x t x +=，即()2100x t x x -+=≠，当0x >时，依题意可知，方程210x tx -+=有根，设其两根分别为12,x x ，则1210x x ⋅=>，所以方程210x tx -+=有两正根12,x x ，且12x x t +=，当0x <时，同理可得，方程210x tx ++=有两负根34,x x ，且34x x t +=-，所以34x x t +=，所以26t =，解得：3t =，检验符合.故答案为：3.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]2,5-上的取值范围.【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）[]1,15-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数()f x 在给定区间上的最值作答.【小问1详解】函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==，则10390b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，有2()43f x x x =-+，所以()f x 的解析式是2()43f x x x =-+.【小问2详解】由（1）知，[]2,5x ∈-，函数2()(2)1f x x =--在[2,2]-上单调递减，在[]2,5上单调递增，因此min ()(2)1f x f ==-，而()()215,58f f -==，则()()max 215f x f =-=，所以()f x 在区间[]2,5-上的取值范围是[]1,15-.18.已知tan 2α=.（1）求()()πcos 2sin πcos 3πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++的值；（2）若β为钝角，且sin 10β=，求()tan αβ-的值.【答案】（1）2-；（2）7.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出tan β，再利用差角的正切公式求解作答.【小问1详解】因为tan 2α=，所以πcos()sin tan 22sin(π)cos(3π)sin cos 1tan αααααααα+-===--++--.【小问2详解】因为β为钝角，sin 10β=，则310cos 10β===-，sin 1tan cos 3βββ==-，所以12()tan tan 3tan()711tan an 12()3αβαβαβ----===++⨯-.19.设0a >，()e e x xaf x a =+为偶函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并给予证明.【答案】（1）1a =（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义得出()()f x f x -=，即可列式解出1a =；（2）根据函数单调性的定义证明，任取1x 、[)20,x ∈+∞，当12x x <时，得出()()12f x f x <，即可证明.【小问1详解】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即()()e 1e e e e ex x x x x x a a f x a f x a a a ---=+=+==+⋅，即11e e x x a a a a -⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意x ∈R 恒成立，所以1a =；所以()e e 1xxf x =+.【小问2详解】()f x 在区间()0,∞+上单调递增．理由如下：任取1x 、()20,x ∞∈+，当12x x <时，()()()2112121212121212e e e e e e e e e e e 111e1x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于120x x ≤<，所以12e e 0x x -<，12110ex x +->，所以()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20.在①函数()f x 的一个零点为0；②函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2；③函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数()()π2sin 103,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-<<<< ⎪⎝⎭，满足______.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）求使()()πf x f ≥成立的x 的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）选①②，由①可求出ϕ，由②可求出ω，即可求出()f x 的解析式；令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解不等式即可求出()f x 的单调递增区间；选①③，由①可求出ϕ，由③可求出ω，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出ω，由③可求出ϕ，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；（2）因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解不等式即可求出答案.【小问1详解】选①②，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解得：()ππππZ 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.选①③，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2ππ2sin 1336ω⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 136ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2πππ2π,Z 362k k ω+=-+∈，解得：()31Z k k ω=-∈，又因为03ω<<，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.选②③，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为2π，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2π2sin 2133ϕ⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭，所以4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()4ππ2π,Z 32k k ϕ+=-+∈，解得：()11π2πZ 6k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 262x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈，解得：()πππZ 3k x k k ≤≤+∈，所以使()0f x ≥成立的x 的取值集合为：()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭21.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从()TB 1TB 1024GB =级别跃升到PB ()PB 1024TB =乃至EB()1EB 1024PB =乃至()ZB 1ZB 1024EB =级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB ）0.50.81.21.5…80（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x 年全球产生的数据量（单位：ZB ）与x 的关系，根据上述信息，从函数()f x kx b =+和()xg x ab =中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?（注：lg20.3≈）【答案】（1）选择()xg x ab =（2）2025【解析】【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解.【小问1详解】由题意得x 1234…13y0.50.81.21.5…80画出散点图如下：由图易得，5个点在一条曲线上，应选择()xg x ab =【小问2详解】由题意得，()()11213112116010.521380160a g ab g ab b -⎧=⨯⎪⎧==⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎩，则()11211602x g x -=⨯则()1113111212121111801016010131318lg1604lg 21x g x x -≥⨯⇒≥⇒≥+=+≈+，即20081812025+-=年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22.已知函数()πcos 2f x x x =-，x ∈R .（1）求()()πf x f x -+；（2）如图所示，小杜同学画出了()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，试通过图象变换，在图中画出()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的示意图；（3）证明：函数()()π4h x f x x =+有且只有一个零点0x .【答案】（1）()()ππf x f x -+=（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()πf x -，即可得出()()πf x f x -+的值；（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象由对称性即可得出；（3）()()ππcos 024h x x x x =-≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =-≥=-≥，分别讨论104x ≤≤，1π4x ≤≤和πx >时，()(),g x u x 的单调性，即可求出()h x 的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【小问1详解】因为()πcos 2f x x x =-，所以()()ππππcos ππcos 22f x x x x x -=---=-+，所以()()ππππcos cos π22f x f x x x x x -+=-++-=.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，【小问3详解】因为()()π4h x f x =-，所以()()ππcos 024h x x x x =--+≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，①当104x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()00g x x g =-≤=，因为函数()u x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ππππ1πππcos cos cos 042424423u x x =-≤-<-=，所以()0h x <，所以函数()h x 在区间10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦没有零点.②当1π4x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，函数()u x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()h x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，又11π1ππ1π1πππ11cos cos 0442442442344h --⎛⎫=--=-+<-+=-⎪⎝⎭，()ππ7πππ0244h =+-+=>，根据零点存在性定理，存在唯一0x ∈1,π4⎛⎫⎪⎝⎭，使得()00h x =.③当πx >时，函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在[]π,+∞单调递增，所以()()ππg x g >=-()πππππcos 42424u x x =-≥-=-，所以()π3ππ044h x >=>，所以函数()h x 在区间)π,+⎡∞⎣没有零点.综上，函数()()π4h x f x =+有且只有一个零点0x .。
2020-2021学年福建省福州市高一上学期期末数学试题 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.43754．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.57．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）二、多选题（共4小题）.9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝110．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是．三、解答题（共6小题）.17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x\x＞﹣1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）．故选：A．2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．解：sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝sin78°sin18°+cos78°cos18°＝cos（78°﹣18°）＝cos60°＝．故选：C．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解：由表格可知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的近似根在（1，1.5），（1.25，1.5），（1.375，1.5），（1.375，1.4375），（1.40625，1.4375），故程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为：1.4375，故选：D．4．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解：log20.8＜log21＝0，0＜0.82＜1，20.8＞20＝1；∴a＜b＜c．故选：A．5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（x）≥0恒成立，排除C，D，f（﹣x）＝＝＝f（x），即函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，故选：A．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.5解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，∴，∴．故选：D．7．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣解：设﹣x＝θ，则x＝﹣θ，则sinθ＝，则cos（x+）＝cos（﹣θ+）＝cos（﹣θ）＝﹣cos（﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，故选：C．8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）解：当x∈（﹣2π，2π），f（x）＝a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0），则有f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，偶函数的对称性，只需研究x∈（0，2π）时，f（x）＝a cos2x+2sin x﹣a+2＝0有两个零点，设t＝sin x，则h（t）＝at2﹣2t﹣2有一个根t∈（﹣1，1），①当a＜0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向下，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，这与a＜0矛盾，不符合题意；②当a＞0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向上，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，则存在t∈（﹣1，0），只需h（1）＝a﹣2+2＜0，解得a＜4，所以0＜a＜4，综上所述，实数a的取值范围为（0，4）．故选：D．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1解：，∴A正确；f（x）在R上是增函数，∴f（﹣2）＜f（3），∴B错误；，＝，∴f（2x）＝2f（x）g（x），∴C正确；[f（x）]2﹣[g（x）]2＝，∴D错误．故选：AC．10．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．解：将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象，故g（x）的周期为，且g（x）的最大值为2，最小值为﹣2，若g（x1）•g（x2）＝﹣4，所以g（x1）和g（x2）是函数g（x）的最大值和最小值，所以|x1﹣x2|＝+，k∈Z，当k＝0时，|x1﹣x2|＝；当k＝1时，|x1﹣x2|＝．故选：BD．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．解：设，则a+b＝log26+log3＝log26﹣log36＞0，故A错误；﹣＝log62+log63＝log66＝1，故B正确；∵a＝log26＞0，b＝log3＜0，∴ab＜0，故正确；+＝（log62）2+（﹣log63）2＝（log62）2+（log63）2＝（log62+log63）2﹣2log62log63＞1﹣2×（）2＝1﹣＝，故D正确．故选：BCD．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增解：对于A，由于ω＞0，f（0）＝sin＞sin0，设t＝ωx+，则t∈[，2ωπ+]，因为f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2ωπ+＜6π，解得≤ω＜，故A正确，对于B，f（x）＝1即此时f（x）取最大值，则满足ωx+＝，，的x是f（x）＝1的解，共3个，故B正确，对于C，f（x）＝﹣1，即此时f（x）取最小值，则满足ωx+＝，的x是f（x）＝﹣1的解，但当ω接近时，ωx+＝＜6π，也是f（x）＝﹣1的解，这时f（x）＝﹣1有3个解，故C错，对于D，当x∈（0，）时，由ω×+＝（ω+2）×＜＜，所以f（x）是递增的，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝9，∵圆心角为1rad的弧长l＝r，∴3r＝9，则r＝3，l＝3，则对应的扇形的面积S＝lr＝×3×3＝．故答案是：．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝ 2.5．解：根据题意，f（x）为偶函数且满足f（x+4）＝f（x），则f（5.5）＝f（﹣2.5）＝f（2.5），又由当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（2.5）＝2.5，则有f（5.5）＝f（2.5）＝2.5，故答案为：2.5．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝7．解：因为角θ的终边经过点P（﹣4，3），所以，所以＝．故答案为：7．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝1；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是[0，1）．解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝sin（）+1＝2，则f[f（﹣3）]＝f（2）＝|log22|＝1；作出函数f（x）的图象如图，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），不妨设a＜b＜c＜d，由图可知，|log2c|＝|log2d|，得log2（cd）＝0，即cd＝1．a+b＝﹣2，且﹣1＜b≤0，则abcd＝（﹣b﹣2）b＝﹣（b+1）2+1∈[0，1），故答案为：2；[0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．解：（1）＝（2﹣2lg2）+3+（﹣）+lg2＝4．（2）因为，，两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，可得2sinαcosα＝，可得sinα+cosα＝＝＝，可得＝＝＝﹣．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，故＝；（2）因为，由（1）可知，＝，所以，因为，所以，又，所以，故＝＝＝19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？解：（1）因为函数y＝ka x（k＞0，a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越快，而函数y＝log a（x+1）+q（a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越慢，依题意应选择函数y＝ka x（k＞0，a＞1），则有，解得k＝8，a＝，所以函数的解析式为y＝8•（）x（x∈N）；（2）由（1）可知，当x＝0时，y＝8，设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则有8，所以x＝log≈11.36，所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；解：（1）函数＝＝＝所以函数f（x）的最小正周期为π，令，解得，所以函数f（x）的单调递减区间为；（2）因为函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，所以有，解得，又因为m＞0，所以m的最小值为．21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由函数图象知，A＝1，T＝﹣，∴T＝π，所以ω＝＝2，∵x＝时，f（）＝cos（2×+φ）＝1，∴2×+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）的解析式为f（x）＝cos（2x﹣）；（2），2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）∈[，1]，要使2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，恒成立，令t＝f（x），则t∈[，1]，即2t2﹣mt﹣1≥0，因为g（t）＝2t2﹣mt﹣1图象开口向上，且g（0）＝﹣1，∴要使t∈[，1]时，2t2﹣mt﹣1≥0，则有，解得m≤﹣1，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，在[0，π]上，2x﹣∈[﹣，]，①当a＞1或a＜﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上无交点；②当a＝1或a＝﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝2021；③当﹣1＜a＜或＜a＜1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有2个交点，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上有偶数个交点，不可能有2021个交点；④当a＝时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有3个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝1010．综上可得，当a＝1或﹣1时，n＝2021；当a＝时，n＝1010．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．解：（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，则任意x∈R，使得f（x）＝x2+ax+＞0，所以△＝a2﹣4×1×＜0，解得﹣1＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣1，1）．（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，又因为g（x）在（0，+∞）上为减函数，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数且任意x∈（1，+∞），f（x）＞0，所以﹣≤1，且f（1）＞0，即﹣≤1，且1+a+＞0，解得a＞﹣，所以a的取值范围为（﹣，+∞）．（3）因为当x＞1时，g（x）＝﹣lnx＜0，所以h（x）＝min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上无零点，①当a≥0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣≤0，作出h（x）的图象，可得h（x）只有一个零点x＝1，②当a＜0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣＞0，当△＝a2﹣4×1×＜0，即﹣1＜a＜0时，h（x）只有一个零点x＝1，当△＝a2﹣4×1×＝0，即a＝﹣1时，f（x）的零点为x＝﹣＝，h（x）由两个零点x＝，x＝1，当△＝a2﹣4×1×＞0，即a＜﹣1时，令f（x）＝0，解得x1＝，x2＝，且0＜x1＜1，0＜x2，若x2＝＜1，即﹣＜a＜﹣1时，函数h（x）有3个零点x＝x1，x＝x2，x＝1，若x2＝＞1，即a＜﹣时，函数h（x）有1个零点x＝x1，若若x2＝＝1，即a＝﹣时，函数h（x）有2个零点x＝x1，x＝1，综上所述，当a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）时，h（x）只有一个零点，当a＝﹣1或﹣时，h（x）有两个零点，当a∈（﹣，﹣1）时，h（x）有三个零点．。
福建省福州市高一上学期期末数学试卷
福建省福州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·大庆期中) 设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为 ,则（）A . （1,2）B . （1,2]C . （-2,1）D . [-2,1)2. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 下列函数中，既是奇函数又在区间上是减函数的是（）.A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·新乡期中) 已知函数满足，则（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）已知直线，是平面，给出下列命题：（1）若,则；②若,则；③若,则；④若a与b异面，且，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a ， b 都垂直.其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）若，则（）A .B .C .D .6. （2分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣ 1.5]=﹣2，[2.5]=2．求[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（）A . -1B . -2C . 0D . 17. （2分）若3a=2，则log38﹣2log36的值是（）A . a﹣2B .C . 5a﹣2D . 3a﹣a28. （2分） (2019高一上·重庆月考) 函数的零点所在的大致区间为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·湖南模拟) 已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1 ， l2的距离之和的最小值为（）A . 2B .C . 1D .10. （2分）(2017·抚顺模拟) 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A . 6π+12B . 6π+24C . 12π+12D . 24π+1211. （2分） (2019高二上·安徽月考) 把边长为2的正沿边上的高线折成直二面角，则点到的距离是（）A . 1B .C .D .12. （2分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=， BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A . 4πB . 12πC . 16πD . 36π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·沛县月考) 函数的定义域是________．14. （1分） (2020高一下·南京期中) 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与圆交于A，B两点，且，则直线的方程为________.15. （1分） (2020高二下·东阳期中) 过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的方程为________.16. （1分） (2017高一上·延安期末) 已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知 =（2，﹣1）， =（0，1）， =（1，﹣2）．（1）若 =m +n ，求实数m、n的值；（2）若（ + ）∥（ + ），求| |的最小值．18. （5分）已知点O（0，0），A（4，0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．19. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2，PA=4且E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求直线CE与平面PAC所成角的正弦值．20. （15分） (2019高二上·青岛期中) 如图几何体中，等边三角形所在平面垂直于矩形所在平面，又知， // .（1）若的中点为，在线段上， //平面，求；（2）若平面与平面所成二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若中点为，，求在平面上的正投影。
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷 22
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷 22姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合A={∈N|x∈N}的真子集的个数是（）A . 4B . 7C . 8D . 162. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为（）A . 16B .C .D . 23. （2分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB . 若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC . 若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD . 若m∥n，m∥α，则n∥α4. （2分）已知a=21.2 ， b=（）﹣0.8 ， c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜b＜aB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a5. （2分）已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A . （0，1）B . （0，1]C . （1，+∞）D . [1，+∞）6. （2分）(2016·遵义) 过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一上·嘉峪关期末) 如图，点E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A .B .C .D .8. （2分）直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f（），c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞b＞aC . c＞a＞bD . a＞c＞b10. （2分）如图所示，从一个半径（1+ ）m的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积是（）m3 ．A .B .C .D .11. （2分） (2015高一上·衡阳期末) 设函数f（x）= ，若f（m）＞1，则m的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （9，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）12. （2分）若正实数x,y满足，且恒成立，则 M的最大值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2016高一上·重庆期末) 计算：log3 +lg4+lg25+（﹣）0=________．14. （1分） (2018高二下·北京期末) 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)；且当0≤x<1 时，f(x)＝2x－1，则 ________15. （3分））正四棱台的上下底面边长分别是2和4，高是1，则它的斜高是________ ．它的体积是________ 表面积是________ ．16. （1分） (2018高一下·集宁期末) 关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos ；③y＝f(x)图象关于对称；④y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。
福建省福州市鼓楼区2024届高一数学第一学期期末调研试题含解析
福建省福州市鼓楼区2024届高一数学第一学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是（） A.πππ5π212212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) B.πππ5π212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(k ∈Z ) C.π2πππ63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k ∈Z ) D.π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) 2．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是.A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－1，0)∪(1，＋∞) 3．设3log 2a =，21log 3b =，32log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<4．已知函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是满足()()2h x h x +=的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.()71,2log 3B.()52,2log 3--C.()52log 3,1--D.71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图所示，已知全集U =R ，集合{1,3,5,7},{4,5,6,7,8}==A B ，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{1,3}B.{5,7}C.{1,3,5}D.{1,3,7}6．已知0a >，0b >，且a b ab +=，则4b a +的最小值为（ ） A.94 B.74C.2D.17．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=12×（弦×矢+矢2）．弧田（如图1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为2米的弧田（如图2），则这个弧田面积大约是（）平方米．（3 1.73≈，结果保留整数）A.2B.3C.4D.58．圆221:(1)(2)4C x y +++=与圆222:(1)(1)9C x y -++=有（）条公切线A.0B.2C.3D.49．下列区间中，函数f （x ）=|ln （2-x ）|在其上为增函数的是（ ）A.(],1∞-B.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)1,210．已知点()sin ,tan P αα在第二象限，则角α的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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福州八中2016—2017学年第一学期期末考试
高一数学 必修2
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2017.1.18
A 卷（满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）
轴上的截距为在2=0-2x+y 、直线1
．
A
2 -．B
．C
．D
，则该圆锥的数值．．
是它的体积的数值．．、若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积的2的底面半径为
．A ．B
．C ．
D 3、已知在空间坐标系中，点
关于平面
对称的点的坐标为
A ．
B ．
C ．
D ．
4、过点且倾斜角为135°的直线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
5、已知两个不同的平面、
和两个不重合的直线、，有下列四个命题：
①若，，则；
②若，则
；
③若
，
，
，则
； ④若
，
，则
. 其中正确命题的个数是 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6、已知圆的方程为，过点
的该圆的所有弦中，最短弦的长为
A ．
B ．1
C ．2
D ．4
7、空间四边形中，
分别为
中点，若
，
则
与
所成的角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
8、若直线经过点和，且与直线2x+3y+1=0垂直，则实数的值为
A．B．C．
D．
9、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且
，则下列结论
① ；② ；③MN//平面A1B1C1D1；④ 中，正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
10、圆过点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填在横线上）
11、直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为．
12、在的等腰直角三角形ABC中，AB=AC=a，且AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，
，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．
13、已知两圆的方程分别为和公共弦所在直线方程是__________.
14、将边长为1正方形沿对角线BD折成直二面角，有如下三个结论：(1)；(2)是等腰直角三角形；(3)四面体的表面积为；(4)直线AC与平面BCD所成角为60°.则正确结论的序号为．
三、解答题：（本大题有3个小题，共30分.请书写完整的解答过程）
15、（本小题10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1，5)、B(-2，-1)、
C(4，3)，M是BC边上的中点.
（I）求中线AM的直线方程；
（II）求AB边上的高所在的直线方程.
16、（本小题10分）已知圆C：.
（I）求m的取值范围；
（II）当m=-11时，若圆C与直线交于M，N两点，且，求的值.
17、（本小题10分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形
为直角梯形，，，，．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
B卷（满分：50分）
一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）
18、如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三
棱锥的三视图，该三棱锥的外接球的体积记为，俯视图绕底边
所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为，则
A．B．
C．4 D．2
19、若点在直线上,则的最小
值是（）
A．2 B．C．4 D．12
20、设圆C：，直线：，点，若存在点，使
（O为坐标原点），则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分.请将正确的答案填在横线上）
21、若直线m被两平行线与所截得的线段的长为1，则
直线m的倾斜角的大小为 .
22、如图，矩形中，，为
边的中点，将沿直线翻折成
．若为线段的中点，则在翻折
过程中，下面四个命题中正确是__________．（填序
号即可）
①是定值；②总有平面成立；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使//平面.
三、解答题：（本大题有2个小题，共25分.请书写完整的解答过程）
23、（本小题12分）在四棱锥中，底面为矩形，
面，，，以为直径的球面交于点．
（I）求证：面面；
（II）求点D到平面的距离．
24、（本小题13分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且与直线相切.
（I）求圆的方程；
（II）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交不同两点且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试 高一数学 必修2 试卷参考答案及评分标准
A 卷（满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确） 1、C 2、D 3、B 4、D 5、C 6、C 7、A 8、A 9、B10、A
二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填在横线上） 11、3x+y ﹣2=0. 12、60° 13、x-y=0 14、（1）（3）
三、解答题：（本大题有3个小题，共30分.请书写完整的解答过程） 15. （本小题10分）【解析】（I ）
，即
，
中线AM 的直线方程为:，……4分 即
(或
)………………5分
（II ）直线AB 的斜率
，
直线AB 边的高所在的直线方程为:，………………9分
即(或)……………………10分
16. （本小题10分）【解析】（I ）由，
∴
……4分
（II ）∵m=-11，，∴，
圆心：
，半径
………………8分 ∵
∴
，即
解得， …………10分
17. （本小题10分）【解析】（I ）因为四边形为矩形， 所以平面
，
平面
，
所以
平面
．…………4分（每少一个条件扣１分）
E
F
（II ）过作，垂足为，
因为所以四边形为矩形．
所以，又因为所以，，
所以，所以；…………6分
因为平面，所以平面，所以，…8分
又因为平面，平面，
所以平面．…………10分
B卷（满分：50分）
一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）
18、A 19、A 20、C
二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分.请将正确的答案填在横线上）
21、 22、①④
三、解答题：（本大题有2个小题，共25分.请书写完整的解答过程）
23.（本小题12分）【解析】（I）证明：∵平面，平面，∴，………………2分
又∵，，
∴平面，∴，
由题意得，∴，…………4分
又∵，∴平面，
又平面，∴平面平面．…………6分（每少一个条件扣１分）
（II）根据题意，，，……8分
设为到面的距离，则
由，即，………………10分
得，所以，到面的距离为……12分
24.（本小题13分）【解析】（I）设圆心是，它到直线的距离是
，解得或(舍去)，………………3分
所以所求圆的方程是.………………5分（没扣除0扣1分）（II）存在，理由如下：因为点在圆上，所以，
且.………………6分
又因为原点到直线的距离，
解得，………………7分而，
所以，……10分
因为，所以当，即时，取得最大值，……11分
此时点的坐标是或，的面积的最大值是.……13分。