D101对弧长和曲线积分21355

n
记作
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
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定义2* 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,
(3) 定积分不能看作对弧长曲线积分的特例 .
对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 d x 可能为负
(4) L f (x, y) ds 中的L是函数 f (x, y) 的定义域
例 计算 x2 y2 ds 其中 L : x2 y2 1 L
解: 由被积函数 x2 y2 定义域是L : x2 y2 1 , 故
则
n
lim
0
k
1
f
[
(
k
)
,
(
k
)
]
n
lim
0 k 1
f
[ ( k ),
( k ) ]
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2(t ) dt
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注:
(1)sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
2 (t ) 2 (t ) d t
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
存在, 且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
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证: 根据定义 设各分点对应参数为
点 (k ,k ) 对应参数为
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
B
M k 1
sk (k ), (k ) Mk (tk ), (tk )
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
A
2 (k ) 2 (k ) tk 其中
y
ds dy dx
o xx
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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(3) 计算公式 (A)如果曲线
则有
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
(B)如果曲线
则有
b
f (x, f (x) )
光滑当且仅当 '(t), '(t) 不同时为零且在 , 上连续．
平面曲线 L : y f x (a x b ) 光滑当且仅当 f ' (x)连续
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定义2.
设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
定义1: 设空间曲线的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
若 '(t), '(t), '(t) 不同时为零，且在 , 上连续，
则称曲线是光滑曲线．
注：曲线是光滑的当且仅当曲线每一点都有切线，且 切线连续变化．
故平面曲线 L : x (t), y (t) ( t )
1 f 2(x) dx
a
(C)如果曲线 L : r r ( ) ( ), 则有
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推广: 设空间曲线弧的参数方程为
x (t)
:
y
(t)
( t )
z (t)
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3
2
1 0
1 (5 5 1) 12
有类似结论
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
证: 根据定义
x2 y2 ds ds 2
L
L
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（三）. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds
f (x, y, z) ds
g(x, y, z) ds
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
1
2
(由
组成)
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(4)若曲线L关于 x 轴对称，分为对称两部分
即
若
即函数关于 y 是偶函数, 则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
若
即函数关于 y 是奇函数, 则
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L f (x, y)ds 0
若曲线L关于 y 轴对称，函数关于 x 是偶或奇函数
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
（一）.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
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（二）光滑曲线和对对弧长的曲线积分的定义
是定义
在 L 上的有界函数, 则定义对弧长的曲线积分为
n
f (x, y)ds L
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
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注: (1)曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
(2) 若在 L 上 f (x, y)≡1, L d s 表示L的弧长