D101对弧长和曲线积分21355
合集下载
对弧长的曲线积分.doc
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
高等数学下册10.1 对弧长的曲线积分
L
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
10.1_第一类_对弧长_的曲线积分
L
f ( x , y )d s f ( , ) s , ( , ) L ,
其中s为曲线L的弧长.
8
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
性质5(与积分路径的方向无关)
L ⌒ f ( x , y )d s
( AB )
⌒ )f ( x , y )d s L ( BA
注意
函数 f (x, y)在 闭曲线L上 对弧长的曲线积分 记作
L
f ( x , y )d s
f [ ( t ), ( t ) ] 2 ( t ) 2 ( t )d t
( )
特殊情形 (1) L : y ( x ),
a x b
b
L
f ( x , y )d s
a
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )d x ( a b )
f ( x , y ) d s , 当f (x, y)是L上关于x (或y) 的偶函数
1
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分. 运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线 L的对称性.
10
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 计算 L ( x y ) d s . 其中L是圆周
M 1 , M 2 , , M n 1 把L分成n个小段.
设第i个小段的
B
长度为Δsi , 又 ( i , i ) 为第i个小段上任意取定的一 点, (2) 作乘积 f ( i , i ) s i , (3) 并作和 f ( i , i ) s i ,
L2
(对路径具有可加性)
高等数学第一节 对弧长曲线积分
高等数学第一节 对弧长曲线积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
数学竞赛对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分
⎧ x = x(t ), ⎨ ⎩ y = y (t ),
t ∈ [α , β ] ，
L
x ′(t )、y ′(t)在 [α , β ] 上连续且 ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 ≠ 0 ，f(x,y)在 L 上连续，则 ∫ f ( x, y )ds 存在且有
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) x′ (t ) + y′ (t ) dt .
对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 一. 内容提要 一）对弧长的曲线积分 1.定义:设 L 为 xoy 平面上的光滑曲线，f(x,y)为定义在 L 上的有界函数，将曲线 L 任意分成 n 段
M 0 M 1 , M 1M 2 ,
M n −1M n .每段弧长记为 Δsi , (i = 1, 2, f (ξi ,ηi )Δsi (i = 1, 2, n)
L1 L2
其中 L = L1 ∪ L2 , L1 ∩ L2 = φ （或 L1与L2 最多边界点相交）. 3.计算方法. 设平面有向曲线 AB 的方程为： ⎨
⎧ x = x(t ) ⎩ y = y (t ).
t : α → β 表示曲线的定向
2 2
起点为 A( x(α ), y (α )), 终点为 B ( x( β ), y ( β )) ， x ′(t )、y ′(t ) 连续且 x ′ (t ) + y ′ (t ) ≠ 0, P(x,y)与 Q(x,y) 在 AB 上连续,则
∂Q ∂P ∂Q = 得: = 2 x, 所以 Q = x 2 + ϕ ( y ) ∂x ∂x ∂y
∫ ∫
即t +
2
( t ,1)
高等数学对弧长和曲线积分
B
Mk (ξk,ηk ) ∆s k Mk−1
∑
k= 1
机动
n
A
目录
上页
下页
返回
结束
2.定义 . 设 L 是平面上一条有限长的光滑曲线, 义在 L上的一个有界函数, 若对 L的任意分割 和对 的 (ξk,ηk ) 局部的任意取点 任意取点, 局部的任意取点 下列“乘积和式极限”
λ→ k= 0 1
lim ∑ f (ξk,ηk )∆sk
平 x 交 . +z2 = 9 与 面 +z =1的 线 2 1 (x − 1)2 + 1 y2 =1 2 2 4 解: L: , 化为参数方程 x + z =1 x = 2cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) L: y = 2sinθ z = 1 − 2cosθ 2 则
∫
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 计算
其中
①L是直线 y = x 上点 o ( 0,0 ) , A (1,1) 之间的一段 ②L是折线OBA，其中 o ( 0,0 ) , B (1,0 ) , A (1,1) ︵ ③L是上半圆周AB : x 2 + y 2 = R 2 ︵ 解: ① Q OA : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1) , y A (1,1)
L
0
bt a 2 + b 2 dt = 2π 2 µb a 2 + b 2
2π 2 a 0
(
)
a 2 + b 2 dt = 2πµ a 2 a 2 + b 2
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 定义
∫L f (x, y)ds
高等数学-第七版-课件-11-1 对弧长的曲线积分
四 、对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
高等数学课件D101对弧长讲义和曲线积分
23.02.2021
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t) ,( t)] 2 ( t) 2 ( t) d t
证: 根据定义
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f(x,y)ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问Lds表示什?么
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
2 X ds
2 a 3 2X2a
3
圆的形心 在原点, 故
X0
23.02.2021
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算
其中为球面 x2 y2
z2
9 2
(k,k,k)
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
23.02.2021
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k,k,k)
y
I y2ds L
对弧长曲线积分课件
对弧长的曲线积分的结果是一个标量， 与积分路径无关，只与起点和终点有 关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
第一节对弧长的曲线积分
武 汉
公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分 f (x, y)ds 时,只要
科
L
技 学
把x,y,ds依次换成φ (t),ψ (t), 2 ( ) 2 ( )
院
数 理
然后从α到β作定积分.
系
高
等
数 如果曲线L的方程为y=ψ(x),此时只要把x看成参数t,
学
电 这样方程(1)变为 子
案
设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型
物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为
武
汉 科
A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为ρ(x,y),现在要计算这
技
学
院 数
物件的质量M.
理
系
高
等 我们分四个步骤来进行:
数
学
电
分割----近似代替----求和----取极限
子
案
计算思路:
学 院
f (x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt
数
C
理
系
高 等
注意: (1)该积分是通过曲线参数方程化为定积分计算的,因
数 学
此参数的选择很重要.一般我们利用三角公式或投影公式把
电 子
曲线化为参数方程.
案
1） 如果L是平面曲线：
若积分路径为y=0, 则f(x,y)→f(x,0), ds=dx.
数 学
C
到点(1,2)的一段弧.
电 子 解: 本题的参数方程我们选用y为参数,这样选择计算公式(5)
案
Y
f (x, y)ds f [ (y), y] 1 2 (y)dy (y0 Y) (5)
§10.1对弧长的曲线积分
由函数f及, 的性质可知, 上式右端的和式极限 存在, 因此有 2 2 f ( x , y ) ds f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) d t L ( < )
x (t ) 推广: 若 : y ( t ) ( t ), 则 z (t ) f ( x , y , z ) ds 2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t ) dt . 对弧长的曲线积分的计算三原则:
注意: 转换后定积分的下限一定要小于上限( <). 特殊情形: (1) 若L: y=(x), a x b, b 2 f ( x , y ) ds f [ x , ( x )] 1 ( x ) dx . L a
(2) 若L: x= (y), c y d, d 2 f ( x , y ) ds f [ ( y ), y ] 1 ( y ) dy . L c
2
(2) 当 f(x, –y) = f(x, y) 时, f ( x , y ) ds 2 f ( x , y ) ds . L L 其中L2是L的关于x 轴对称的部分弧段: L2 = { (x, y) | (x, y)L, y 0 }.
③ 若L关于原点对称: f ( x , y ) ds 0 ; (1) 当 f(–x, –y)= – f(x, y)时, L
f ( x , y ) ds g ( x , y ) ds . L L f ( x , y ) ds | | f ( x , y ) | ds . 特别地, 有 | L L
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 f 2(x) dx
a
(C)如果曲线 L : r r ( ) ( ), 则有
第12页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
x (t)
:
y
(t)
( t )
z (t)
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
定义1: 设空间曲线的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
若 '(t), '(t), '(t) 不同时为零，且在 , 上连续，
则称曲线是光滑曲线．
注：曲线是光滑的当且仅当曲线每一点都有切线，且 切线连续变化．
故平面曲线 L : x (t), y (t) ( t )
(3) 定积分不能看作对弧长曲线积分的特例 .
对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 d x 可能为负
(4) L f (x, y) ds 中的L是函数 f (x, y) 的定义域
例 计算 x2 y2 ds 其中 L : x2 y2 1 L
解: 由被积函数 x2 y2 定义域是L : x2 y2 1 , 故
1
2
(由
组成)
第6页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4)若曲线L关于 x 轴对称，分为对称两部分
即
若
即函数关于 y 是偶函数, 则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
若
即函数关于 y 是奇函数, 则
L f (x, y)ds 0
若曲线L关于 y 轴对称，函数关于 x 是偶或奇函数
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
（一）.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
第1页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（二）光滑曲线和对对弧长的曲线积分的定义
y
ds dy dx
o xx
因此上述计算公式相当于“换元法”.
第11页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 计算公式 (A)如果曲线
则有
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
(B)如果曲线
则有
b
f (x, f (x) )
则
n
lim
0
k
1
f
[
(
k
)
,
(
k
)
]
n
lim
0 k 1
f
[ ( k ),
( k ) ]
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2(t ) dt
第10页/共32页
注:
(1)sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
2 (t ) 2 (t ) d t
有类似结论
第7页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
证: 根据定义
是定义
在 L 上的有界函数, 则定义对弧长的曲线积分为
n
f (x, y)ds L
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
第4页/共32页
注: (1)曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
(2) 若在 L 上 f (x, y)≡1, L d s 表示L的弧长
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
o
1x
第14页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
n
记作
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
第3页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义2* 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,
x2 y2 ds ds 2
L
L
第5页/共32页
（三）. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds
f (x, y, z) ds
g(x, y, z) ds
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 根据定义 设各分点对应参数为
点 (k ,k ) 对应参数为
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
B
M k 1
sk (k ), (k ) Mk (tk ), (tk )
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
A
2 (k ) 2 (k ) tk 其中
光滑当且仅当 '(t), '(t) 不同时为零且在 , 上连续．
平面曲线 L : y f x (a x b ) 光滑当且仅当 f ' (x)连续
第2页/共32页
定义2.
设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
第8页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
存在, 且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
第9页/共32页
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
第13页/共32页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dxΒιβλιοθήκη 01 12(1
4x
2
)
3
2
1 0
1 (5 5 1) 12