上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题

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上海交大附中2017-2018学年高二(下)期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为______．2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=______．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标______．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有______．（填上所有正确答案的序号）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于______．8．三个平面能把空间分为______部分．（填上所有可能结果）9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=______．10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=______．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l 于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为______．12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是______．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于______．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为______．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=1008﹣1008i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016=（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016=504（2﹣2i）=1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令k OB•k AF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB==﹣．k AF==．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【考点】异面直线的判定．【分析】图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M∉面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H∉面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于1．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1﹣z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB∵|z1﹣z2|=，故有（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=﹣1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1∴|z1+z2|=1故答案为：1．8．三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】此类问题可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行．【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=．【考点】余弦定理的应用；复数求模．【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1﹣Z2|=，故==【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|==，同理可得|Z1﹣Z2|=|CA=|=，∴===10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=．【考点】复数求模．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案．【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=．故答案为：．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是[﹣，]．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x﹣2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k AB，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=k AB，4k AB=4，解得k AB=1，∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，联立，解得，，∴|AB|==4．点F到直线AB的距离d=，∴S△ABF===2，故答案为：2．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【考点】二次函数的性质．【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：直线y=x与抛物线y=x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==|x2+8x﹣32|，|OQ|=5，∴S△OPQ=|OQ|d=|x2+8x﹣32|，|∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】的真假判断与应用；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的基本概念频道的真假即可．【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，y∈R），由z2=（x+yi）2=i，得x2﹣y2+2xyi=i，∴，解得：或．∴z=+i或z=﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．【解答】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选D三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a 的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…所以m=z1•=13…20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD1．∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB=，AA1=2．在△ABD中，DB2==1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1=D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD===．在Rt△ODB中，tan∠BOD===．∴∠BOD=arctan．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=+i为实数，可得y﹣=0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，∴y﹣=0，∴y=0，或x2+y2=9．①y=0时，ω=x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u=（α＞0）为纯虚数，u==，∴α2﹣9=0，2yα≠0，解得α=3，y≠0．∴u==，∵x∈（﹣2，1），∴|u|===∈．∴α=3，|u|∈．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k 值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|===．∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k=．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=﹣1或k=或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C 的轨迹方程；（3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）代入（y +6）2=﹣2x ﹣3消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．【解答】解：（1）∵i ﹣z 2=（m ﹣ni ）•i ﹣（2+4i ）=（n ﹣2）+（m ﹣4）i ；∴⇒．∵复数z 1对应的点M （m ，n ）在曲线上运动∴x +2=﹣（y +7）2﹣1⇒（y +7）2=﹣2（x +3）．复数z 所对应的点P （x ，y ）的轨迹方程：（y +7）2=﹣2（x +3）．（2）∵按向量方向平移个单位，==1×．即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位（y +7）2=﹣2（x +3）⇒y +7=±．得轨迹方程 y +7=±⇒（y +6）2=﹣2（x +）=﹣2x ﹣3．C 的轨迹方程为：（y +6）2=﹣2x ﹣3．（3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）（k ≠0），代入（y +6）2=﹣2x ﹣3整理得：（y +6）2=﹣2（）﹣3，△=0⇒k=，设定点M （1，0），且．∴以线段AB 为直径的圆恒过一定点M ，M 点的坐标（1，0）．2016年9月14日。

上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题

（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；
（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明.
20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .
13．②④
【解析】
对于①：解方程得ai，所以非零复数ai使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿ ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④
14．
【解析】
【分析】
以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，表示出后，可求解出，得到异面直线所成角的余弦值，进而得到所求角.
绝密★启用前
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
224xy那么当变化时点p形成的图形的面积为ab3c4d4第ii卷非选择题请点击修改第ii卷的文字说明评卷人得分二填空题试卷第2页总5页????????外????????装????????订????????线????????请不要在装订线内答题????????内????????装????????订????????线????????5
【详解】
（1）是的等差中项

上海交通大学附属中学 2017-2018 学年度第二学期(含答案解析)

D. Patients usually cannot offer a fair evaluation.
4. A. Take the man to the station. B. Look after the man’s things.
C. Find out when the next bus leaves. D. Show the man the way to the station.
C. He needs to talk to Harry soon. D. Harry doesn’t have a telephone.
3. A. The new doctor lacks experience.
B. She disagrees with what the man said.
C. The man had better talk with the patients first.
D. The famous writers of self-study books.
Questions 14 through 16 are based on the following passage.
14. A. The reasons railroad regulations in the U.S.A were changed.
D. Its business is kept in a traditional way.
Questions 17 through 20 are based on the following conversation.
17. A. To earn money for her tuition.
B. To make her dream come true.

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含精品解析)

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题。

1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则_____．【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、，是坐标原点，则___．【答案】2【解析】【分析】先画出函数的图象，通过图象分析出点A是P、Q的中点，然后根据向量的运算法则进行运算．【详解】作出函数的图象如图：由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点P与点Q的中点∴2∴•．故答案为2.【点睛】本题考查了反三角函数的图象与性质及向量的运算，解题的关键是通过画图分析出A点是中点．11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题。

2017-2018学年上海交大附中高二(下)期末数学试卷(J)

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷(J)副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，B两地的球面距离是()A. πRB. πR2C. πR3D. πR6【答案】C【解析】解：设在北纬45∘的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC=OAcos45∘=√22R，同理BC=√22R，∵A、B两地经度差为90∘，∴∠ACB=90∘，Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=π3∴A、B两地的球面距离是π3R.故选：C．设在北纬45∘的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC.根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=√22R.由A、B两地经度差为90∘，在Rt△ABC中算出AB=√AC2+BC2=R，从而得到∠AOB=π3，利用球面距离的公式加以计算，即可得到A、B两地的球面距离．本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．2.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β．其中，可以判定α与β平行的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①α与β平行.此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面.也可能α与β不平行.②不正确．③不能判定α与β平行.如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′//l，m′//m，则l′与m′必相交．又∵l//β，m//β，∴l′//β，m′//β，∴α//β．故选：B．直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．3.一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为()A. √510B. √105C. √55D. √1010【答案】D【解析】解：还原正方体如右图所示设AD=1，则AB=√5，AF=1，BE=EF=2√2，AE=3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos∠ABE=2×√5×2√2=√1010，故选：D．先还原正方体，将对应的字母标出，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．4.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，若f(0)=A，f(1)=B，那么下列四个命题中①必存在x∈[0,1]，使得f(x)=A+B2；②必存在x∈[0,1]，使得f(x)=√AB；③必存在x∈[0,1]，使得f(x)=√A2+B22；④必存在x∈[0,1]，使得f(x)=21A+1B．真命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，若f(0)=A，f(1)=B，对于①，由y=f(x)−A+B2，[f(0)−A+B2]⋅[f(1)−A+B2]=−(A−B)22≤0，可得函数y存在零点，即①成立；对于②，由y=f(x)−√AB，[f(0)−√AB]⋅[f(1)−√AB]=(A−√AB)(B−√AB)，若A>0，B>0，则上式为−√AB(√A−√B)2≤0，可得函数y存在零点；若A<0，B<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有②不成立；对于③，由y=f(x)−√A2+B22，[f(0)−√A2+B22]⋅[f(1)−√A2+B22]=[A−√A2+B22][B−√A2+B22]，若A<0，B<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有③不成立；对于④，由y=f(x)−21A+1B，[f(0)−21A+1B]⋅[f(1)−21A+1B]=(A−21A+1B]⋅[B−21A+1B]=−ABA+B⋅(A−B)2，若AB(A+B)<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有④不成立．故选：A．对于①，由y=f(x)−A+B2；对于②，由y=f(x)−√AB；对于③，由y=f(x)−√A2+B22；对于④，由y=f(x)−21A+1B，运用函数零点存在定理，即可判断是否成立．本题考查命题的真假判断，注意运用函数的零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.函数f(x)=√x+1+12−x的定义域为______．【答案】[−1,2)U(2,+∞)【解析】解：根据题意：{2−x≠0x+1≥0解得：x≥−1且x≠2∴定义域是：[−1,2)∪(2,+∞)故答案为：[−1,2)∪(2,+∞)根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．6.表面积为π的球的体积为______．【答案】16π【解析】解：由S=4πR2=π得R=12，所以V=43πR3=π6．则该球的体积为π6．故答案为：π6．先根据球的表面积，就可以利用公式得到半径，再求解该球的体积即可．本题考查球的体积和表面积，主要考查学生对公式的利用，是基础题．7.(2x−1x)7的二项展开式中，x项的系数是______.(用数字作答)【答案】−448【解析】解：(2x−1x )7的二项展开式的通项为T r+1=C7r(2x)7−r(−1x)r=(−1)r⋅27−r⋅C7r⋅x7−2r．由7−2r=1，得r=3．∴(2x−1x)7的二项展开式中，x项的系数是−24×C73=−448．故答案为：−448．写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题．8.高一(10)班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为______人.【答案】6【解析】解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为3636+12×8=3648×8=6人，故答案为：6根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基础．9.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有______种.(用数字作答)【答案】480【解析】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A44中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A52种方法，所以共有：A44⋅A52=480．故答案为：480．排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．10.若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为______．【答案】1【解析】解：∵交大附中共有400名教职工，∴其中至少有两人生日在同一天是必然事件，∴其中至少有两人生日在同一天的概率为1．故答案为：1．交大附中共有400名教职工，其中至少有两人生日在同一天是必然事件，由此能求出其中至少有两人生日在同一天的概率．本题考查概率的求法，考查必然事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，则使得f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围为______．【答案】13<x<1【解析】解：由函数的解析式可得函数f(x)是定义域上的偶函数，且x>0时函数单调递增，则不等式等价于：f(|x|)>f(|2x−1|)，脱去f 符号有：|x|>|2x −1|，求解关于实数x 的不等式可得使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围为13<x <1．故答案为：13<x <1．首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f 符号求解自变量的取值范围即可．本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =4，AA 1=2，则直线BC 1与平面BB 1D 1D所成角的正弦值为______．【答案】√105【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2，0)，C 1(0,2，1)，D(0,0，0)，D 1(0,0，1)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设平面BB 1D 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,0)，设BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√105． ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为：√105．故答案为：√105．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13. 一个正方体的8个顶点可以组成______个非等边三角形．【答案】48【解析】解：一个正方体的8个顶点可以组成C 83=56个三角形，其中等边三角形有8个，如图所示；所以非等边三角形有56−8=48个．故答案为：48．找出一个正方体的8个顶点可以组成三角形的个数，去掉等边三角形的个数，即得所求．本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，是基础题，14.将集合M={1,2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1,a2,a3,a4}，B={b1,b2,b3,b4}，C={c1,c2,c3,c4}，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则满足条件的集合C有______个.【答案】3【解析】解：若A={1,2，3，4}，B={5,8，7，9}，则C={6,10，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，8，10}，则C={7,9，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，7，11}，则C={8,10，12，9}，故满足条件的集合C为3个，故答案为：3．讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15.设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：(1)0∈A，1∈A；(2)对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x−y∈A，xy∈A，xy∈A(y≠0)则称A为一个数域，那么命题：①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q⊆A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域．其中真命题的序号为______．【答案】①②③④【解析】解：由已知中数域的定义可得：则有理数集Q满足定义，是一个数域，故①正确；若A为一个数域，则A中包含任意整数和分数，故Q⊆A，故②正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∩B，故A∩B中的元素均满足定义，故A∩B也是一个数域，故③正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∪B，故A∪B中的元素均满足定义，故A∪B也是一个数域，故④正确；故真命题的序号为①②③④，故答案为：①②③④根据已知中数域的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解数域的定义，是解答的关键．16.已知函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0<m<n，并且x∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m]，则m+n=______．【答案】3+√32【解析】解：根据题意，函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1，则有−b−4=b4=1，即b=4，且−2+4+c=1，解可得c=−1，则f(x)=−2x2+4x−1，又有x ∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m ]，则1m ≤1，解可得m ≥1， f(x)在[m,n]上单调递减，则有f(m)=1m ，f(n)=1n ，即有m 、n 是方程−2x 2+4x −1=1x 的两个根， −2x 2+4x −1=1x ⇒(x −1)(2x 2−2x −1)=0，其根为1、1+√32、1−√32，又有1≤m <n ，则m =1，n =1+√32，则m +n =3+√32；故答案为：3+√32．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b 、c 的值，即可得f(x)=−2x 2+4x −1，进而可得1m ≤1，解可得m ≥1，分析可得f(x)在[m,n]上单调递减，据此可得f(m)=1m ，f(n)=1n ，即有m 、n 是方程−2x 2+4x −1=1x 的两个根，又有−2x 2+4x −1=1x ⇒(x −1)(2x 2−2x −1)=0，求出方程的根，分析可得m 、n 的值，相加即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m 、n 的值，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t −12t 2(万元)． (1)若该公司这种产品的年产量为x(单位：百件).试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为年产量x 的函数；(2)当该公司的年产量x 多大时，当年所得利润y 最大？【答案】解：(1)由题意得：y ={(5x −12x 2)−0.5−0.25x,0<x ≤5(5×5−12×52)−0.5−0.25x,x >5={−12x 2+194x −12,0<x ≤5−14x +12,x >5(6分) (2)当0<x ≤5时，函数对称轴为x =194=4.75∈(0,5)，故x =4.75时y 最大值为34532. (3分) 当x >5时，函数单调递减，故y <−54+12=434<34532，(3分)所以当年产量为475件时所得利润最大. (2分)【解析】(1)由已知中某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当t2(万元).根据年出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t−12利润=销售额−成立，构造出该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x 的函数．(2)根据(1)的分段函数解析式，我们分别求出各段上函数的最大值，进而得到该公司当年所得利润y的最大值，及相应的生产量．本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，二次函数的性质，其中(1)中要注意由于市场对该产品的年需求量为500件，故要分0<x≤5，x>5两种情况将问题转化为分段函数模型，(2)要注意分段函数最值，分段处理．18.解关于x的不等式ax2+ax−1>x.(a∈R)【答案】解：关于x的不等式ax2+ax−1>x，a∈R；①当a=0时，解不等式得x<−1；②当a≠0时：(i)若a>0，则不等式化为ax2+(a−1)x−1>0，因为△=(a−1)2+4a=(a+1)2>0，；所以不等式化为：(ax−1)(x+1)>0，解得x<−1或x>1a<x<−1；(ii)当−1<a<0时，不等式化为(−ax+1)(x+1)<0，解得1a(iii)当a=−1时，不等式化为x2+2x+1<0，此时解集为空集；(iv)当a<−1时，不等式化为(−ax+1)(x+1)<0，解得−1<x<1；a综上，a=0时，不等式的解集为(−∞,−1)；,+∞)；a>0时，不等式的解集为(−∞,−1)∪(1a,−1)；−1<a<0时，不等式的解集为(1aa=−1时，不等式的解集为空集；).a<−1时，不等式的解集为(−1,1a【解析】讨论a=0以及a>0和−1<a<0、a=−1以及a<−1时，求出对应不等式的解集．本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．19.如图，二面角D−AB−E的大小为π，四边形ABCD是边长2为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求二面角B−AC−E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离．【答案】(1)证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ，∵二面角D −AB −E 为直二面角，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABE ， ∴CB ⊥AE ， ∵BF ∩CB =B ，∴AE ⊥平面BCE ，则AE ⊥BE ；(2)解：设二面角B −AC −E 的大小为θ，由(1)知，AE ⊥EB ，AE ⊥EC ，在Rt △AEB 中，由AB =2，可得AE =EB =√2，则S △AEB =12×√2×√2=1，在Rt △CBE 中，由BE =√2，BC =2，可得EC =√6， ∴S △AEC =12×√2×√6=√3， ∴cosθ=S △AEB S △AEC=1√3=√33，即θ=arccos√33； (3)解：设点D 到平面ACE 的距离为h ，则V E−ADC =V D−ACE ，即12×13×2×2×1=13×√3ℎ，则ℎ=2√33，即点D 到平面ACE 的距离为2√33．【解析】(1)由BF ⊥平面ACE ，得BF ⊥AE ，再由二面角D −AB −E 为直二面角，且CB ⊥AB ，可得CB ⊥平面ABE ，则CB ⊥AE ，由线面垂直的判断可得AE ⊥平面BCE ，从而得到AE ⊥BE ；(2)设二面角B −AC −E 的大小为θ，分别求出三角形AEB 与三角形AEC 的面积，由两三角形面积比为二面角B −AC −E 的余弦值求解；(3)设点D 到平面ACE 的距离为h ，由V E−ADC =V D−ACE 列式求解点D 到平面ACE 的距离．本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定，考查二面角平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20. 设全体空间向量组成的集合为V ，a⃗ =(a 1,a 2,a 3)为V 中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x ⃗ )：f(x ⃗ )=−x ⃗ +2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ (x ⃗ ∈V)． (1)设u ⃗ =(1,0,0)，v ⃗ =(0,0,1)，若f(u ⃗ )=v ⃗ ，求向量a ⃗ ； (2)对于V 中的任意两个向量x ⃗ ，y ⃗ ，证明：f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ； (3)对于V 中的任意单位向量x ⃗ ，求|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值．【答案】解：(1)依题意得：f(u⃗ )=−u ⃗ +2(u ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ =v ⃗ ，设a⃗ =(x,y,z)，代入运算得：{2x 2−1=02xy =02xz =1，解得a ⃗ =(√22,0，√22)或a ⃗ =(−√22,0,−√22)．证明：(2)设x⃗ =(a,b,c)，y ⃗ =(m,n,t)，a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)，则f(x⃗ )⋅f(y ⃗ )=[−x ⃗ +2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ ]⋅[−y ⃗ +2(y ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ ]=x ⃗ ⋅y ⃗ −4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )+4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )(a ⃗ )2=x ⃗ ⋅y ⃗ −4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )+4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ． ∴f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ．解：(3)设x⃗ 与a ⃗ 的夹角为α，则x ⃗ ⋅a ⃗ =|x ⃗ |⋅|a ⃗ |cosα=cosα，则|f(x ⃗ )−x ⃗ |=|2x ⃗ −2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ |=√(2x ⃗ −2cosαa ⃗ )2=√4−4cos 2α≤2， ∴|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值为2．【解析】(1)f(u⃗ )=−u ⃗ +2(u ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ =v ⃗ ，设a ⃗ =(x,y,z)，列方程组能求出向量a ⃗ ． (2)设x ⃗ =(a,b,c)，y ⃗ =(m,n,t)，a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)，由此能证明f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ． (3)设x ⃗ 与a ⃗ 的夹角为α，则x ⃗ ⋅a ⃗ =|x ⃗ |⋅|a ⃗ |cosα=cosα，由此能求出|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值为2．本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．21. 对于函数y =f(x)，若关系式t =f(x +t)中变量t 是变量x 的函数，则称函数y =f(x)为可变换函数.例如：对于函数f(x)=2x ，若t =2(x +t)，则t =−2x ，所以变量t 是变量x 的函数，所以f(x)=2x 是可变换函数．(1)求证：反比例函数g(x)=kx (k >0)不是可变换函数； (2)试判断函数y =−x 3是否是可变换函数并说明理由；(3)若函数ℎ(x)=log b x 为可变换函数，求实数b 的取值范围．【答案】(1)证明：假设g(x)是可变换函数，则t =g(x +t)=kx+t ⇒t 2+tx −k =0， ∵变量x 是任意的，故当△=x 2+4k <0时，此时有关变量t 的一元二次方程无解，与假设矛盾，故原结论正确，∴反比例函数g(x)=kx (k >0)不是可变换函数； (2)解：若y =−x 3是可变换函数，则t =−(x +t)3，则有关t 的两个函数：{ℎ(t)=(t +x)3ϕ(t)=−t必须有交点，而φ(t)连续且单调递减，值域为R ，ℎ(t)连续且单调递增，值域为R ， ∴这两个函数φ(t)与ℎ(t)必定有交点，即变量t 是变量x 的函数，故y =−x 3是可变换函数；(3)解：函数ℎ(x)=log b x 为可变换函数，则t =ℎ(x +t)⇒t =log b (x +t)，若b >1，则t 恒大于log b (x +t)，即函数y =t 与y =log b (t +x)无交点，不满足题意；若0<b <1，则{y =log b (t +x)y=t必定有交点，即方程t =log b (x +t)有解，从而满足题意，∴实数b 的取值范围为(0,1)．【解析】(1)利用可变换函数的定义结合反证法证明；(2)由题意可得t =−(x +t)3，结合关于t 的两函数y =−t 与y =(x +t)3有交点可得函数y =−x 3是可变换函数；(3)由题意可得t =log b (x +t)，若b >1，则t 恒大于log b (x +t)，函数y =t 与y =log b (t +x)无交点；若0<b <1，则{y =log b (t +x)y=t必定有交点，从而得到实数b 的取值范围．本题是新定义题，考查函数解析式的求解及常用方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．第11页，共11页。

2017-2018学年上海交通大学附属中学高二10月月考数学试题 pdf版

15 、已知点 A, B, C, D 是直角坐标系中不同的四点，若 AC AB R ， AD AB R ，且
1

1

2 ，则下列说法正确的是（
） B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C、D 可能同时在线段 AB 上
1 ,3m m
D. 无法确定
14、若点 3,1 和 4,6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧，则实数 a 的取值范围为（ A. 7 a 24 B. a 7 或 a 24 C. a 7 或 a 24

）
D.无法确定

上海交通大学附属中学 2017—2018 学年第一学期
高二数学月考一试卷
一、填空题（共 12 题，前 6 题每题 4 分，后 6 题每题 5 分，满分 54 分） 1、若向量 a ， b 满足 a b 12 ，且 b 5 ，则 a 在 b 方向上的投影为 2、设点 A 1,6, B(3,0) ， P 是直线 AB 上一点，且 AP
16、已知在 ABC 中， P0 是边 AB 上的一个定点，满足 P0 B
1 AB ，且对于边 AB 上任意一点 P ，恒有 4
PB PC P0 B PC0 ，则（
A. B

）

2
B. A

2
C. AB AC
D. AC BC
三、解答题（满分 76 分：14+14+14+16+18） 17、（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知 a 与 b 所成的角为，且 a 2, b 3

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题(含解析)

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题（含解析）一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

上海市交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含解析)

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题。

上海交通大学附属中学2017-2018学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高二数学月考试卷一. 填空题 1. 124312⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a +=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则ab 的最大值是12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||PF PF += ，则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线y =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+ ，则||PQ的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（）5D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③ 22221212a ab b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +最小值；20. 已知△ABC的三边长||AB ||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =CA CB λμ+ ，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++ 220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点；（3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题 1. 810⎛⎫⎪⎝⎭2. 72 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2 6.2212x y -= 7. 112-或14 8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-11. 1 12. 2π 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a xb y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题

上海交通大学附属中学 2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分.531、二项式（2_x 5的展开式中，X 3项的系数为 ___________ .2、若 A $1,2,3?, B 」3,5?,用列举法表示 A “ B =/.2a — b a 三 A,b 三 B ”.； = ______________________.3、已知b i 、2_aia,b ・R 是实系数一元二次方程x 2・px ・q=0的两个根，则q = _______ .4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文 60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取 51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 _____________ 篇.lOg a x -115、设a >0,a ，行列式D =2 01中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ,22 七函数y =f x 的反函数经过点1,2，则a = _________6、国际数学教育大会（ICM 巳是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“三三三三”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数也可以读出其二进制码（0） 11111100100，换算成十进制的数是7、在三棱锥 D -ABC 中，AC 二BC = .2 , CD = . 3CD —平面ABC , ZACB =90 •若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为 ________________________ .8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这 6人来自不同的班级的概率为 __________________________________________________sinx,x：- ! 0,—（其中i 为虚数单位）.〉2斤，则方程f （x ）=」的宁4n ,俯视图9、已知y二f x是周期为二的函数，且f x二解集为________ 「X , x10、若函数f x 二arcsin x _1的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、 Q , O 是坐标原点，则 OP • OQ OA 「•11、已知集合M -；x,y x y < 1?，若实数满足：对任意的x,y 尸M ，均有■x^^ M ，则称•，」是集合M 的“可行数对” •以下集合中，不存在“可行数对”的是 _________________ •I22①q 扎門扎+^=i ｝； ②九扎H 半十2=1》；『专43③］•,・2 =2 ； ④ C 」，2 =4,.12、对任意 x • R ，函数 f x 满足：f x • 1 二 f x -f 2 x 1, % 二f 2 n -f n ，数列"dn /■的前15项和-31 ,数列、C n 』满足C n y 1二f 2019 j | ,若数列：C n 』的前n 项和的极限存在，则G 二 ________ •16、已知点P 为椭圆29 •計上的任意一点，点十分别为该椭圆的上下焦点，设:=PFF 2,] = PF2&，则 si n = -si n 的最大值为(A.垃 B • 41C. 9778二、选择题（每题 5分，共20分） 13、 cosvcotv .0,则角所在的象限是:A.第二或第三象限14、如图，已知三棱锥P 所成的角为:-,A.用 > 1：,C. ?:::-与直线 B D（）•第一或第四象限 C •第三或第四象限 D ABC , D 是棱BC 上的动点，则〉与一：的大小关系为（B -ABC , PA —平面 BC 所成的角为' , • ?=- •不能确定15、已知n 三N ,x _2则函数f x =lim x二的大致图像是（F -11—0: -------y-1■1—0:k —■-1|C1)•第一或第二象限记PD 与平面ABC ）三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分.函数f x 二A cos .x 7 | ( A 0 , c > 0 , [■] 部分图像如图所示.(1 )求f x的最小正周期及解析式；(2)设g x =f x 亠sin2x，求函数g x 在区间x • 0,匸上的最大值和最小值.1 2」18、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分. 如图，已知点P在圆柱001的底面圆0上，AB为圆0的直径.(1)若圆柱OO1的体积V为12二,0A =2，乙AOP =120 ,求异面直线A1B与AP所成的角(用反三角函数值表示结果)(2)若圆柱001的轴截面是边长为2的正方形，四面体AA1的外接球为球G，求A,B两点在球G上的球面距离.19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中CD是足球场地边线所在的直线，球门AB处于所在直线的正中间位置，足球运动员(将其看做点P )在运动场上观察球门的角.APB称为视角.(1 )当运动员带球沿着边线DD1奔跑时，设P到底线的距离为PD =x码，试求当x为何值时.APB最大；(2)理论研究和实践经验表明：张角.APB越大，射门命中率就越大•现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以AB的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域ADD1A1内射门到球门AB的最佳射门点的轨迹.20、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3 小题满分6分.已知曲线C的方程为.x - a i亠y2二1 - ax|：；a - 0 .1(1 )当a =2时，试确定曲线C的形状及其焦点坐标；(2)若直线l：y 2x -a交曲线C于点M、N，线段MN中点的横坐标为-2，试问此2时曲线C上是否存在不同的两点A、B关于直线l对称？I a -1 x 1(3)当a为大于1的常数时，设P X1,%是曲线C上的一点，过点P作一条斜率为’——y1的直线l ,又设d为原点到直线l的距离，帚D分别为点P与曲线C两焦点的距离，求证.r1 T2 d是一个定值，并求出该定值.21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分.数列fa n ［满足a n ^2a n -a nl对任意的n > 2,n・N“恒成立，S n为其前n项的和，且玄4 二4,S$ 二36 .（1 ）求数列d ?的通项a n ；（2）数列：b n ［满足匕冷」ba2n3 F「b<a2n2k •川• ga1 =3 2n -1 -2a n，其中k =1,2，山,n,n N .①证明：数列:b n /为等比数列；卢％②求集合g（m, p ）巴=―,m, p€ N^b m b p、填空题二、选择题13、D 14 、C 15 、B 16 、D三、解答题17、（ 1） f x ；=cos 2x -I 6丿8x~2x 1584又y =tanx 在」0匸上单调递增，.••当tanZAPB 取得最大值时，ZAPB 最大, IL 2x =12.11 , Z APB 取得最大值 arctan3，I II ;11（2）过点 P 作 PE _CD 于 E ，设点 P x,y ，其中 x 0 , 4 ：：： y < 40 ,tan 4A PB =tan ： ZEPB ZEPAtan EPB tanEPA'1+ta n^EPB ta n^EPAw1584 xx参考答案(2) g x 在区间x ：.订0 J 上的最大值为最小值为 18、(1 )异面直线A i B 与AP 所成的角为 (2)A,B 两点在球G 上的球面距离为R 2>/3 arccos —5 ■._A GB — . 2 19、（ 1）tan. APB =tan ・ ._DPB -. DPAtan ZDPB -tan^DPA1 tan . DPB tan. DPA36 一 441 △36 44当且仅当1584 x =x即xf 时，E APB 取得最大值讦, 1、-402、〈 _1,_3?3、5 4、18 57、19339、 1 1=k ——或x =k ?；f 川arcsin k 三 Z 4 4v J 10、2 11 、②③ 12_83 11 118I 1584 24 THj x此时轨迹方程为潜詁1 x g ：y < 40 ,其表示焦点为 0, _4 2，实轴长为8的等轴双曲线在x 0,4 ::: y < 40的一部分.2—1, 3，4|:y_y^Zz^x-x 1 ,即 X 1X -导=1 ,y 1a —1当且仅当 8x x 2y 2 -16y 2 -168y 2 -16 x x4.y 2 -16 ,y 2 -16x = x=y 2 -16 时,还APB取得最大值，，两边平方并化简得 x 2•••曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,其长半轴长为 1,短半轴长为— 2 焦点坐标为以0〕；- 2,0；（2）将心，"代入C ：1x 2 y 2a 2 -1 =0，消去 y ,得 3-2a 2 x 2-2 .2ax 4a 2-2 =0 , 由题意,2 2a ,2 ― ~4 ,3 —2a即4a 2- 2a -6 =0 ,解得a =題或a（舍），此时,l:y 」22 2-y =1,设 I AB ：y 一 -2x m, A X 1,y 1 , B X 2,y 2 ,将 I AB 代入 C :x 2-y 2=1，得 x 2—2 2mx m 2^0，则2.：=4m -40l x 1x^ 2 . 2mA,B 的中点坐标为 -2m,-m 在对称轴I 上，二-m不满足.：0 ,•曲线C 上不存在不同的两点 A 、2（3） C:x 2 -需-a -12B 关于直线 2^ - 2，解得m=1，两焦点坐标为 F j —a,0、F 2 a,0 ,l 对称；2丄 1 2 I ° a 一12Xi1 =1 ——x 220、（1）当亡X 1X1212y1 l a2 -1 2用-x, -y 替换C: -ax a 0 中的x,y , a2xf -1 '②由也二邑b m b p，得启哆，即2V 0」p m- m 」 2P1可得 C: J(x +a $ +y 2 =卩 +ax (a ：＞0 ),「• A ，r 2 =1 +ax t ，1 —ax ^ =1_a 2x ；,21、（1）设等差数列:a n :■的公差为d ，因为等差数列满足 a 4 =4,前8项和S 8=36a i 3d =4 8x7 8a 1d =362所以数列fan :啲通项公式为a n =nn（2［①设数列的前项和为B n ，由（1）及7 b k a 2n 1 Jk2a^3 2n -1 n ・N*得k 『n n3 2n -1「b k a 2n 5 2nk±n丄3 2nJ -1 八Ba ?.仁k2(n -1)(n …2)、、7上两式相减，得到 3 2n -1 -3 2心-1 = ba 2n - b 2a 2n JU b n ^a 3 b n a ! 2n-Da 2n3 6a 2n_5 川 b n 怜 2n - 2 二 d a 2n 」2 b 2 a 2n 』2 川 b n 」d 2bnd 2n-D a2n ； ' b 2a2n _5 ' I I I bn J a1 ' 2n- 2=2 b! b 2 川 b n 」b n 2 =2 B n -b n b n 2所以 3 2n± =2B n -b n 2 n …2,n N *又3(21 —1 ) = ^4 +2，所以b T ，满足上式所以 2B n -b n ^3 2n A n • N *当 n _2 时，2B n 二—b n 」-2 =3 2心两式相减，得 b n ■ b n 」=3 2“ ° , b n ~二-b n 丄- 2“° =( H =( -1)2 b, —2° = 0所以b n =2n1, 乩丄2所以此数列为首项为 1,公比为2的等比数列.b n第11页共9页令p-m= n ，显然n ・N *，此时2pjm =空 0变为2n 旦，即m =皐一m m 2n —3 当n =1时，m =_3，不符题意；当n =2时，m =6，符合题意，此时 p =8 ; 当n =3时，m =9，不符题意； 5 12 当n =4时，m = —，不符题意； 13 15 当n =5时，m =—，不符题意； 29 3n 下证当n _6, N 时，方程-3n 1： 2n -3 ••• 2n =(1 +1 n 32(c0 +C ： +c[ ) =n 2 +n +2 ••• 2n — 3n 3 _n 2 —2n —1 = n n —2 —1 _6 4—1 0 • 2n -3 3n ，显然 2n -3 0，从而1 2n —3 3n 当n _6 , n •二N 时，方程m 没有正整数解. 2n —3 广 r 综上所述： m, p |色 p ,m, pw N * =1 6,8i ；. b m b p。

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题含答案

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．1、二项式()52x -的展开式中，3x 项的系数为．2、若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈= ．3、已知b i +、()2,ai a b -∈R 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则q = ．4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有篇．5、设0,1a a >≠，行列式log 11201223a xD -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a = ．6、国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则n= （其中i 为虚数单位）． 7、在三棱锥D ABC -中，2A C BC ==3CD ， CD ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为．8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为．9、已知()y f x =是周期为π的函数，且()sin ,0,2,,02x x f x x x ππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，则方程()14f x =的解集为．10、若函数()()arcsin 1f x x =-的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +⋅= ．11、已知集合(){}22,1M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是． ①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； ③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=． 12、对任意x ∈R ，函数()f x 满足：()()()2112f x f x f x +=-，()()2n a f n f n =-，数列{}n a 的前15项和3116-，数列{}n c 满足()12019nn n c c f ++=⎡⎤⎣⎦，若数列{}n c 的前n 项和的极限存在，则1c = ．二、选择题（每题5分，共20分） 13、cos cot 0θθ>，则角所在的象限是：（）A ．第二或第三象限B ．第一或第四象限C ．第三或第四象限D ．第一或第二象限14、如图，已知三棱锥P A BC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定15、已知n ∈N ，x ∈R ，则函数()22lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（）16、已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（）A 47 C ．98 D ．32三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数()()cos f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，2πφ<）部分图像如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径．（1）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒，求异面直线1A B 与A P 所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱1OO 的轴截面是边长为2的正方形，四面体1A A BP 的外接球为球G ，求,A B 两点在球G 上的球面距离．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中CD 是足球场地边线所在的直线，球门AB 处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P ）在运动场上观察球门的角APB ∠称为视角．（1）当运动员带球沿着边线1DD 奔跑时，设P 到底线的距离为PD x =码，试求当x 为何值时APB ∠最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角APB ∠越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以AB 的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域11A DD A 内射门到球门AB 的最佳射门点的轨迹．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知曲线C ()()2210x a y ax a -+->．（1）当12a =时，试确定曲线C 的形状及其焦点坐标；（2）若直线2:l y a =-交曲线C 于点M 、N ，线段M N 中点的横坐标为2-，试问此时曲线C 上是否存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称？（3）当a 为大于1的常数时，设()11,P x y 是曲线C 上的一点，过点P作一条斜率为()2111a x y -的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，12,r r 分别为点P 与曲线C 12r r d ⋅是一个定值，并求出该定值．21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的2,n n *∈N ≥恒成立，n S 为其前n 项的和，且484,36a S ==．（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-+++++=--，其中1,2,,,k n n *=∈N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()3,,,p m m p a a m p m p b b *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．参考答案一、填空题1、40-2、{}1,3±±3、54、185、26、1- 73 8、19339、()11arcsin 44x x k x k k ππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或 10、2 11、②③ 12、37二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题17、（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3318、（1）异面直线1A B 与A P 所成的角为（2）,A B 两点在球G上的球面距离为R A GB ⋅∠=．19、（1）()tan tan 3644tan tan 1tan tan 13644x x DPB DPAA PB DPB DPA x xDPB DPA -∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅ 28831115841584158424112x x x x x x====++⋅当且仅当1584x x=，即1211x =时，tan APB ∠311，又tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当tan APB ∠取得最大值时，APB ∠最大，∴x =APB ∠取得最大值311；（2）过点P 作PE CD ⊥于E ，设点(),P x y ，其中0x >，440y <≤， ()tan tan 44tan tan 1tan tan 144x xEPB EPA y y A PB EPB EPA x xEPB EPA y y -∠-∠-+∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅-+()22222416881616162y xy x y y x x x x-===-+--+⋅，当且仅当216y x x-=，即216x y =-时，tan APB ∠2416y -，此时轨迹方程为()2210,4401616y x x y -=><≤，其表示焦点为(0,42±，实轴长为8的等轴双曲线在0,440x y ><≤的一部分．20、（1）当12a =2211122x y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，两边平方并化简得22134y x +=， ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其长半轴长为13，焦点坐标为1,02⎛⎫± ⎪⎝⎭；（2）将:l y a =-代入()2222:110C a x y a -++-=，消去y ，得()22232420a x a --+-=4=-，即2460a -=，解得a =a =（舍），此时，:l y =22:1C x y -=，设:A B l y m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将A B l 代入22:1C x y -=，得222210x mx m -++=，则21244022m x x m⎧∆=->⎪⎨+=⎪⎩，,A B 的中点坐标为)2,m m -在对称轴l 上，∴222m m -=-，解得2m =不满足0∆>，∴曲线C 上不存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称；（3）222:11y C x a -=-，两焦点坐标为()1,0F a -、()2,0F a ，2211211y x a -=-，()()211111:a x l y y x x y --=-，即11211y yx x a -=-， ∴2222211121111a d x a x x a -===--+-用(),x y --替换()()2210C x a y ax a -+=->中的(),x y ，可得()10C ax a +>，∴2212111111r r ax ax a x ⋅=+⋅-=-，222212211111a d a x a a x -=-=--21、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列满足44=a ，前8项和836=S 1134878362+=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩a d a d ，解得111=⎧∴⎨=⎩a d 所以数列{}n a 的通项公式为=n a n（2）①设数列{}n b 的前项和为n B ，由（1）及()()()*21212321nn k n k n k b a a n +-=+=-∈∑N 得()()()()212111212132123212(1)(2)nn k n k k n n k n k k b a n b a n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑… 上两式相减，得到()()()11212231313213212-------=+++++n n n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n ()()()1232251112222---⎡⎤=++++++++⎣⎦n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n()()1212222-=+++++=-++n n n n n b b b b B b b所以()1*32222,-⋅=-+∈N …n n n B b n n 又()1113212-=+b a ，所以11=b ，满足上式所以()1*2232--+=⋅∈N n n n B b n 当2≥n 时，2112232n n n B b ----+=⋅两式相减，得2132--+=⋅n n n b b ，()()12101122(1)20-----=--==--=n n n n n b b b所以112,2-+==n n n nb b b 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列． ②由3=p m m p a a b b ，得11322--=m p m p ，即320p m p m-=>，∴p m >．令p m n -=，显然*n ∈N ，此时320p m p m -=>变为332nm n m +=，即323n n m =-，当1n =时，3m =-，不符题意；当2n =时，6m =，符合题意，此时8p =；当3n =时，95m =，不符题意；当4n =时，1213m =，不符题意；当5n =时，1529m =，不符题意；下证当6n ≥，*n ∈N 时，方程3123n n<-：∵()()012221122nn n n n C C C n n =+≥++=++∴()()223321216410n n n n n n -+≥--=--≥⨯-> ∴233n n ->，显然230n ->，从而3123n n<- 当6n ≥，*n ∈N 时，方程323nnm =-没有正整数解．综上所述：()(){}*3,|,,6,8p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．。

上海市交大附中2018~2019学年度高二下期中数学考试卷(图片版)

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。

8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。

2017-2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离.详解：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，则平面，在中，，同理，两地经度差为，，在中，，由此可得是边长为的等边三角形，得，两地球面的距离是，故选C.点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题. 2．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确． ②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．【考点】平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 3．一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命题的个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】分析：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，根据不等式的性质可得①正确；利用特值法可得②③④错误，从而可得结果.详解：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，对于①，，故①正确.对于②，若，则，无意义，故②错误.对于③，时，不存在，使得，故③错误.对于④，可能为，则无意义，故④错误，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，利用定理、公理、结论以及特值判断，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题5．函数的定义域为__________．【答案】【解析】分析：解不等式组即可得结果.详解：要使函数有意义，则有，故答案为.点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6．表面积为的球的体积为__________．【答案】【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.7．的二项展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.详解：的二项展开式的通项为，，展开式项的系数为故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 8．高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．【答案】6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.9．人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有__________种.（用数学作答）【答案】240【解析】分析：甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余的人全排即可.详解：甲乙相邻全排列种排法，利用捆绑法与其余的人全排有种排法，共有，故答案为.点睛：常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.10．若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.11．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为，两边平方利用一元二次不等式的解法求解即可.详解：且在时，，导数为，即有函数在单调递增，函数为偶函数，等价为，即，平方得，解得，所求的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.13．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.【答案】48【解析】分析：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，作差即可得结果.详解：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，所以非等边三角形共有个，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.14．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.15．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意，都有，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.其中真命题的序号为__________．【答案】①②③④【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：，则①正确；对于②，若是一个数域，则，于是任何一个分数，都可以构造出来，即，②正确；对于③，，③正确；定义④，④正确，故答案为①②③④.点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.16．已知函数在时有最大值，，并且时，的取值范围为，则__________．【答案】【解析】分析：由函数在时有最大值，可得，先判断在上单调递减，可得，解高次方程即可得结果.详解：函数在时有最大值，则可得，，，在上单调递减，则满足，，，解得，又，故答案为.点睛：本题考查求二次函数闭区间上的最值，二次函数的应用，体现了分类讨论的数学思想以及转化与划归思想，属于难题.解答本题的关键是判断出函数的单调性，求出解析式，将问题转化为解高次方程.三、解答题17．某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？【答案】(1) ;(2) 当年产量为件时，所得利润最大.【解析】分析：（1）利用销售额减去成本即可得到年利润关于年产量的函数解析式；（2）分别利用二次函数的性质以及函数的单调性，求得两段函数值的取值范围，从而可得结果.详解：（1）由题意得：；（2）当时，函数对称轴为，故当时，；当时，函数单调递减，故，所以当年产量为件时，所得利润最大.点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 18．解关于的不等式.（）【答案】见解析.【解析】分析：对分五种情况讨论，分别利用一元一次不等式与一元二次不等式的解法求解即可.详解：①当时，；②当时：，，因为，故等式左边因式分解得：；当时，；当时，，此时解集为空集；当时，；点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19．如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.20．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.21．对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）利用反证法，假设是可变换函数，，利用关变量的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，进而可得结论；.（3），则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而可得结果.详解：（1）假设是可变换函数，则，因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若是可变换函数，则，则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；（3）函数为可变换函数，则，若，则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意.点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.。

【详解】上海市交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题含答案

的两个根，则
________ ．
【答案】 5
-1-
【分析】
利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．
【详解】因为
、
是实系数一元二次方程
∴+
，
（
整理得：
的两个根，
?
，
∴
故答案为： 5.
【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档
题．
4. 某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有
2. 若
，
，用列举法表示
________ ．
【答案】
【分析】
分别将 A、 B 中的元素代入
求值，结合集合的定义从而求出
中的元素．
【详解】∵
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道
基础题．
3. 已知
、
是实系数一元二次方程
2019 年 5 月上海交通大学附属中学 2018-2019 学年度第二学期
高三数学月考一试卷 2019.3
一、填空题。
1. 二项式【答案】
的展开式中，项的系数为 ________．
分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．
详解：
的展开式的通项公式为
令
，则有
故答案 -40 ．
点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．
54 篇，人文类课题论文 60 篇，其他

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（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① ，，；
② ，，；
③ ，， .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
（2）答案不唯一，见解析
（3）、、、、、、、、，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“直角距离”的定义知，进而得到所求点坐标；
（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；
（3）由条件①可得：；由条件②可得：，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.
11．已知椭圆的焦距为，则实数 __________．
12．已知，是实系数一元二次方程的两根，则的值为__________．
13．若为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若，则
④若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。
14．如图，是三角形所在平面外的一点，，且，、分别是和的中点，则异面直线与所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．
【详解】
由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，
所以椭圆的顶点为，焦点为，
因为，所以椭圆的方程为，
故答案为。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
9．
【解析】
试题分析：两圆为 ①， ②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．
得分
一、单选题
1．在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
【解析】
【分析】
（1）由题意知且，由可知；
（2）由线面平行判定定理知，由线面平行的性质可证得 .
【详解】
（1），证明如下：
，，且
又
（2），证明如下：
，，
又，
【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，考查学生对于空间基本定理的掌握情况，属于基础题.
20．（1）、、、、、、、
由对称性可得其他部分图形
条件③：动点轨迹方程为：
⑴当，时，；⑵当，时，；
⑶当，时，
由对称性可得其他部分图形
（3）满足条件的格点有、、、、、、、、
对于①，设满足到、两点“直角距离”相等
即满足，可得：
对于②，设到、两点“直角距离”和最小
①到，两点“直角距离”相等；
②到，两点“直角距离”和最小.
21．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线 : ，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是 .
【解析】
试题分析：当两条平行直线在平面的同侧，并且这两条平行直线确定的平面与相交，则轨迹是空集.当两条平行直线到平面的距离相等并且在平面的则侧,则轨迹是一条直线，当两条平行直线到平面的距离相等并且在平面的两侧,则轨迹是一个平面.所以轨迹可能是（1）（2）（4）.
考点：空间直线与平面的位置关系，空间想象能力，观察判断能力.
【解析】
【分析】
（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.
【详解】
（1）连接，交于，连接
四边形为正方形为中点，又为中点
平面，平面平面
（2）平面直线与平面所成角即为
设，则
【点睛】
【详解】
（1）是的等差中项
为椭圆上一点，解得：
椭圆方程为：
（2）设，
在中，由余弦定理得：
又，代入可求得：，
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆焦点三角形相关问题的求解；解决焦点三角形相关问题时，常采用余弦定理的形式，结合椭圆的定义可化简长度关系，构造方程求得所需的线段长.
19．（1），证明见解析；（2），证明见解析
【详解】
（1）由“直角距离”的定义可知所求点坐标满足：
则所求点为：、、、、、、、
（2）条件①：动点轨迹方程为：
⑴当，时，；⑵当，时，；
⑶当，时，；⑷当，时，；
⑸当，时，；⑹当，时，
条件②：动点轨迹方程为：
⑴当，时，；⑵当，时，；
⑶当，时，；
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项定义和椭圆定义可构造方程，求得；由椭圆可求得，进而得到椭圆方程；
（2）在中，利用余弦定理，结合椭圆定义可构造方程求得和，再次利用余弦定理求得，根据同角三角函数关系可求得结果.
（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；
（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明.
20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .
A．一定平行B．一定相交
C．一定是异面直线D．一定垂直
3．在四边形（）
A． B． C． D．
4．已知动点的横坐标、纵坐标满足：① ；② ，那么当变化时，点形成的图形的面积为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．复数（是虚数单位）的模是__________．
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
18．已知椭圆的焦点为，，（），为椭圆上一点，且是，的等差中项.
（1）求椭圆方程；
（2）如果点在第二象限且，求的值.
19．已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合.
15．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的是。
16．动点在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定速度为10米/分钟，则当变化时行走2分钟内的可能落点的区域面积是__________．
【详解】
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则，，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为
异面直线与所成角的大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过已知的垂直关系准确的建立起空间直角坐标系，同时需注意异面直线所成角的范围为 .
15．（1）（2）（4）
B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．
考点：点，线，面的位置关系．
2．D
【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，
故选D.
3．C
【解析】
注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，
.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.
【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.
绝密★启用前
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
点评：本小题其实并不难，关键是要具有较强的空间想象能力，根据四个选项考虑两条直线与平面的位置情况有哪些，易错点是容易漏掉情况，考虑不全造成错误，所以平时要多画图，加强空间想象能力方面的训练.
16．
【解析】
【分析】
设改变方向的点为，由可得；由得到，由约束条件可得到可行域，即为所求区域；根据弓形面积的求解方法可求得结果.
4．B
【解析】
【分析】
根据方程表示单位圆的切线，可知点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.

上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题

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