一次函数知识要点详解

一次函数知识要点详解

1 一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，

y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21

x ，y=-x 都是正比例函数.

说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.

（3）当b=0，k≠0时，y=b 仍是一次函数.

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

2 确定一次函数的关系式

根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．

3 函数的图象

把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

4 一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b

，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.

5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质

（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；

①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；

②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经

过第二象限）；

③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经

过第三象限）；

④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经

过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

7 点P（x

0，y

）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x

0，y

）在直线y=kx+b的图象上，那么x

,y

的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x

0，y

是满足函数解析式的一对对应值，那么以x

，y

为坐标的点P（1，2）

必在函数的图象上．

如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

9 待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．

如已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），由题意可知，

⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪

⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=35

34

-x ．

说明： 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.

11。思想方法 （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=-21x ； （2）y=-x 2

； （3）y=-3-5x ；

（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21

（6）y=x(x-4)-x 2.

分析： 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．

解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．

例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

32-m +（m-4）是一次函数？ 分析： 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k≠0．

解：因为函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，

所以⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.故当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数． 说明： 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．

例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．