一次函数知识要点详解

一次函数知识要点详解
1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，
y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21
x ，y=-x 都是正比例函数.
说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时，y=b 仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
2 确定一次函数的关系式
根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．
3 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
4 一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b
，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质
（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；
①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；
②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经
过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经
过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经
过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
7 点P（x
0，y
）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x
0，y
）在直线y=kx+b的图象上，那么x
,y
的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x
0，y
是满足函数解析式的一对对应值，那么以x
，y
为坐标的点P（1，2）
必在函数的图象上．
如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
9 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．
如已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），由题意可知，
⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=35
34
-x ．
说明： 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.
11。

思想方法 （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-21x ； （2）y=-x 2
； （3）y=-3-5x ；
（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21
（6）y=x(x-4)-x 2.
分析： 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．
解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．
例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
32-m +（m-4）是一次函数？ 分析： 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k≠0．
解：因为函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，
所以⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.故当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数． 说明： 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．
例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．
分析：（1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．
（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x 可知，y 是x 的一次函数．
解：（l ）y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围是0≤x≤18．
（3）y 是x 的一次函数．
例4 （2003·厦门）某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．
分析： 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t 的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，
M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．
答案：102
例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；
（3）当y=4时，求x 的值．
分析： 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．
解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．
把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ，则k ＝2．
故y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21
.
例6 求直线y=-2x-3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线．
分析： 要注意x 轴和y 轴上点的特征，x 轴上所有点的纵坐标为0，y 轴上所有点的横坐标为0，两个交点的坐标求出后，利用这两点就可以画直线了．
解：令x=0，则y=-3；令y=0，则x=-23
．
所以该直线与x 的交点为（-23
，0），与y 轴的交点为（0，-3）图象如图11－20所示．
例7 （哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ﹤O
B ．m ＞0
C ．m ﹤21
D ．m ＞M 分析： 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的
增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m＞21，故正确答案为D 项．
例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．
（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；
（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？
分析： 判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b （k ，b 中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k 为常数，且k≠0)即可．
解：（1）y 是x 的一次函数．因为y+a 与x+b 是正比例函数，
所以设y+a=k(x+b)（k 为常数，且k≠0）整理得y=kx+（kb-a ）．
又k≠0，k ，a ，b 为常数，所以y=kx+(kb-a)是一次函数．
（2）当kb-a=0，即a=kb 时，y 是x 的正比例函数．
例9。

已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x 取何值时，y≥0？
（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；
（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．
分析： 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．
解：（1）因为y+2与x 成正比例，所以设y+2=kx （k 是常数，且k≠0）
因为当x=-2时，y=0．所以0+2＝k·（-2），∴k＝-1．
所以函数关系式为x+2=-x ，即y=-x-2．
（2）列表；
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．所以当x≤-2时，y≥0．
(4)因为点（m ，6）在该函数的图象上，所以6=-m-2,则m ＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，
所以A （-2，0），B （0，-2）．
又S △ABP =21·|AP|·|OA|=4，所以|BP|=428|
|8
==OA . 则点P 与点B 的距离为4．又B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，
所以P 点坐标为(0，-6).
例10 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.
（1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?
（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？
（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？
（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？
分析： 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．
解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．
所以⎩⎨
⎧≠-=+-,03,01822k k 则k ＝-2．故当k=-3时，它的图象经过原点．
（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.
所以-2=-2k 2+18，且3-k≠0，所以k=±10，故当k=±10时，它的图象经过点(0，-2)
（3）因为图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b ＞0．所以-2k 2+18＞0，
所以-3＜k ＜3，故当-3﹤k ﹤3时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．
（4）函数图象平行于直线y=-x ，所以3-k=-1，则k ＝4．
所以当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．
（5）因为随x 的增大而减小，所以3-k ﹤O ．则k ＞3．故当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．
例11 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．
分析： 先求出两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．
解法1：①当y 甲=y 乙时，有9x=8x+5000，所以x=5000．
所以当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．
②当y 甲﹤y 乙时，有9x ﹤8x+5000，所以x ＜5000．又x≥3000，
所以当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．
③当y 甲＞y 乙时，有9x ＞8x+5000，所以x ＞5000．
所以当x ＞500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案．
解法2：图象法，作出y 甲=9x 和y 乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象
可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y 甲﹤y 乙,即选择甲方案付款少；
当购买量为5000千克时，y 甲﹥y 乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y 甲
＞y 乙，即选择乙方案付款最少．
说明： 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.
例12。

一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .
分析： 本题分两种情况讨论：①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，则有：当x=-3，
y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得⎩⎨
⎧+=-+-=-,62,
35b k b k 所以⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,31b k 故函数解析式为y=-31x-4．
②当k ﹤O 时则随x 的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx ＋b 中可得
⎩⎨⎧+=-+-=-,65,
32b k b b 所已
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,3,31b k 则函数解析式为y=-31x-3. 故函数解析式为y=31x-4，或y=-31
x-3.
答案：y=31x-4或y=-31
x-3.
注意： 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.。