第37讲第三十七讲双曲线
双曲线的全部知识点
双曲线的全部知识点双曲线是一种重要的数学曲线，它是由平面上一个动点到两个定点距离之差等于常数的轨迹生成的。
双曲线有许多重要的性质，被广泛应用于物理、工程和经济等领域，下面将为大家介绍双曲线的全部知识点。
1. 导出双曲线方程双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b分别为双曲线方程中心点到焦点的距离和横轴半长轴和纵轴半长轴。
2. 双曲线的几何性质双曲线有许多重要的几何性质，例如双曲线的中心点为坐标原点，两个确定双曲线的定点称为焦点，距离为2a，双曲线的两条渐近线分别是y=b/a*x和y=-b/a*x。
双曲线横轴和纵轴之间的夹角为θ，而双曲线方程中的公式则为tanθ=b/a。
3. 双曲线的应用双曲线在物理、工程和经济学等领域中都有广泛的应用。
例如，在天文学中，双曲线用于描述球面反射器的光学性质；在工程领域，双曲线用于计算冲击波的速度和位置；在经济学中，双曲线用于描述罕见事件的概率分布。
4. 双曲线的变形双曲线可以通过平移、旋转和伸缩等方式进行变形。
其中，平移和旋转会保持双曲线的基本形状不变，而伸缩则会导致双曲线的长轴和短轴比例发生变化，从而改变其整体形状。
5. 双曲线的图像和性质双曲线的图像是一条典型的曲线，其形状特征为两个分离的弧形与两条渐近线。
双曲线具有许多特殊的性质，例如其对称轴为x、y轴，其上每个点的切线均垂直于通过焦点的两直线。
总之，双曲线是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用价值，对于学习和掌握其相关知识点，对于计算机学习、经济学和天文学等学科领域的学生和从业者来说都非常重要。
双曲线讲义
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双曲线复习讲义一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线第 2 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
二、 双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；注意：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a不一定大于b.直线与双曲线：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时， k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点；0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；三、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）第 3 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
数学双曲线讲解
双曲线是几何学中的一种重要曲线，它定义在平面上的一个点集，这个点集由满足某种条件的点的集合组成。
具体来说，双曲线是由平面与一个固定焦点的距离和另一个固定点（称为中心）的距离之差等于常数的点的集合。
这个常数可以是正数、负数或零，这决定了双曲线的形状和性质。
当常数大于零时，双曲线有两个分支，它们像两个翼片一样展开，并随着接近无穷远处而趋于平行。
双曲线的两个分支在焦点之间相遇，形成一个封闭的曲线。
双曲线的离心率是一个重要的几何量，它表示双曲线与直线之间的偏离程度。
双曲线的标准方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a 和b 是常数，它们决定了双曲线的形状和大小。
离心率 e = c/a，其中c 是焦点到中心的距离，a 是中心到顶点的距离。
双曲线的应用非常广泛，包括天文学、光学、工程学和物理学等领域。
在天文学中，行星和卫星的运动轨迹可以用双曲线或椭圆来描述。
在光学中，透镜的形状和光学路径可以用双曲线来描述。
在工程学中，桥梁、建筑和航空器的设计可以涉及到双曲线的应用。
在物理学中，双曲线用于描述粒子的运动轨迹和波的传播路径。
总之，双曲线是一种重要的几何曲线，它具有丰富的性质和应用。
通过深入了解双曲线的性质和方程，我们可以更好地理解其应用和解决问题。
高三复习数学双曲线知识点推论
高三复习数学双曲线知识点推论在高中数学的学习中，双曲线是一个重要的知识点。
双曲线不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学中也有着重要的地位。
高三学生即将面临数学高考，这时候复习双曲线的知识点和推论就显得尤为关键。
双曲线是一类特殊的曲线，其定义是在平面上选取两个不相交的直线l1和l2作为双曲线的渐近线，然后取一个定点F（称为焦点），对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F的距离与到直线l1的距离之差等于到直线l2的距离之差。
数学中常用的双曲线有两种，分别是正双曲线和负双曲线。
首先，我们来讨论一下双曲线的基本性质。
正双曲线的两个渐近线之间的距离是一个常数，我们称之为双曲线的长轴。
长轴的一半称为双曲线的半长轴。
正双曲线的焦点到中心的距离称为焦距。
对于负双曲线，定义同样适用，只是焦点到中心的距离是负值。
这些概念在解题时非常重要，可以帮助我们快速确定双曲线的一些性质。
双曲线还有一个重要的性质是对称性。
以双曲线的中心为原点，双曲线的对称轴对于双曲线上的任意一点M，M关于对称轴的对称点M'仍然在双曲线上。
这个性质可以方便我们求解一些求对称点坐标的问题。
另外，双曲线还有一个重要的应用就是求解双曲线的标准方程。
对于给定的双曲线，我们可以通过已知焦点、渐近线或者顶点等信息来确定双曲线的方程。
这在高考中也是一个常考的问题。
记住双曲线的标准方程和相关的公式是非常有必要的。
除了基本性质和标准方程，我们在学习双曲线时还需要了解一些重要的推论。
其中一条重要的推论是双曲线的渐近斜率。
对于一条正双曲线，其渐近斜率等于±b/a，其中a和b分别表示双曲线的半长轴和半焦距。
这个推论的应用广泛，可以方便我们在图中确定渐近线的方程。
双曲线的离心率也是一个重要的推论。
对于正双曲线，离心率的定义是e=c/a，其中c表示焦距，a表示半长轴。
离心率可以帮助我们判断双曲线的形状，并在解题时起到重要作用。
在解题中，我们还可以通过双曲线的性质和推论来求解一些问题。
数学双曲线的定义与性质知识点
数学双曲线的定义与性质知识点在我学习数学的漫漫长路中，双曲线这个家伙可是让我费了不少脑筋。
但当我真正深入了解它之后，却发现其中别有一番趣味。
先来说说双曲线的定义吧。
简单来说，双曲线就是平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹。
这听起来有点抽象，是吧？别急，让我给您细细道来。
比如说，想象一下有两个固定的点 F1 和 F2，就像两个坚守岗位的哨兵。
然后有一个动点 P，这个 P 点呢，它到 F1 和 F2 的距离之差的绝对值始终保持不变，而且这个不变的值还小于F1 和F2 之间的距离。
那这个 P 点运动所形成的轨迹就是一条双曲线啦。
就像有一天，我在纸上试着画出这样的图形。
我先确定了两个点，然后拿着笔，想象着那个动点在不断地移动。
每一笔下去，都在努力接近双曲线的形状。
那过程，就像是在指挥着一支无形的军队，让它们按照特定的规则排列。
双曲线的性质也很有意思。
它有对称轴、渐近线等等。
先说对称轴，这就好比是双曲线的“脊梁骨”，把它分成了对称的两部分。
而渐近线呢，那可真是神奇。
双曲线无限接近但永远不会和渐近线相交，就像是两个互相吸引却永远无法真正相拥的恋人，总是保持着那么一点点距离。
记得有一次做练习题，题目给出了一条双曲线，让求它的渐近线方程。
我一开始还真有点懵，盯着那图形看了半天。
后来我静下心来，回想起老师讲的知识点，先找出了双曲线的中心、实半轴和虚半轴的长度，然后按照公式一步一步地计算。
当我算出渐近线方程，再对照图形一看，哎呀，那种恍然大悟的感觉，真的太棒了！还有双曲线的离心率，这可是个重要的家伙。
离心率决定了双曲线的“扁平程度”。
离心率越大，双曲线就越“扁”；离心率越小，双曲线就越接近圆形。
为了搞清楚这个概念，我找了好多例子，不停地画图、计算。
有时候算得脑袋都大了，但是当我终于弄明白其中的规律时，那种成就感简直无法形容。
再来说说双曲线在实际生活中的应用吧。
您知道吗，双曲线在天文学中可是大有用处呢！比如一些天体的运行轨道就可以用双曲线来描述。
双曲线的基本知识点高三网
双曲线的基本知识点高三网双曲线的基本知识点双曲线是数学中的一个重要概念，它具有许多有趣的性质和应用。
在高三学习数学的过程中，我们经常会接触到双曲线，因此了解双曲线的基本知识点对于我们的学习和理解非常重要。
首先，双曲线可以通过一个简单的方程来表示：x²/a² - y²/b² = 1，其中a和b都是正实数。
这个方程的图像是一个沿着两个分开的曲线延伸的形状，有两个分支，也就是“双”的含义。
对于双曲线而言，存在着两个重要的特殊点，即焦点和顶点。
焦点是定义双曲线的一个重要标志，它的坐标可以通过公式c =√(a² + b²)得到。
而顶点是双曲线两个分支的交点，也是双曲线的对称轴上的一个点。
顶点的坐标可以通过简单的计算得到。
双曲线的形状对于进一步研究它的性质和应用非常重要。
双曲线的形状可以通过a和b的大小关系来确定。
当a² > b²时，双曲线的形状是纵向的，也就是两个分支在y轴方向上延伸。
如果a² <b²，双曲线的形状是横向的，两个分支在x轴方向上延伸。
而当a²= b²时，双曲线的形状是圆锥曲线。
双曲线在数学中具有广泛的应用，特别是在几何、物理和工程等领域。
在几何学中，双曲线被用于描述抛物线之外的曲线形状，例如双曲抛物面和双曲线运动轨迹等。
在物理学中，双曲线可以用来描述电磁波的传播和反射等现象。
在工程学中，双曲线被广泛应用于电信和导航系统中，比如雷达和卫星导航系统等。
除此之外，双曲线还具有一些特殊的性质。
例如，双曲线的两个分支永远不会相交，而是无限地延伸。
双曲线的切线在焦点处与双曲线的两个分支相切，而不会穿过双曲线。
此外，双曲线还具有反射性质，即入射到双曲线上的光线会经过焦点反射出去。
双曲线的基本知识点不仅对于高三学生来说是重要的，对于大学数学学习也具有重要意义。
通过学习双曲线的基本知识，我们可以进一步理解和应用于更复杂的数学概念和问题中。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。
在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 或 \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，且 \( a > 0 \) 和 \( b > 0 \)。
2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 \( 2c \)，其中 \( c^2 = a^2 + b^2 \)。
- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。
- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。
- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 \( c \)。
- 半实轴：实轴的一半，长度为 \( a \)。
- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 \( b \)。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。
渐近线的方程为 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 标准方程- 横向双曲线：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
- 纵向双曲线：\( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。
- 左双曲线：实轴向左延伸。
- 上双曲线：实轴向上延伸。
- 下双曲线：实轴向下延伸。
5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
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名师作业•练全能 第三十七讲双曲线班级 _______ 姓名 __________ 考号 _________ 日期 _________ 得分 __________ 括号内•）1. （2019-全国I ）已知鬥、尺为双曲线C ： W —尸=1的左、右焦点，点P 在C 上，Z FiPF?=60。
，则 IPFiI ・ IP/T=（ ）A ・2B ・4D ・8a 1 解析：由题意得 SAFiPF 2=Z>2cot2=l Xcot30°=V3,又 5AFi PFi =yIPFiI-\PFi\-sin60°=羽，則IPFil ・IPF2l=4,故选 B.答案：B 2. （2019•浙江）设Fi 、F2分别为双曲线召_$右支上存在点P,满足IPF2l=IFiF 2L 且鬥到直线PFi 的距藹等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（）A. 3x±4y=0 B ・ 3x±5y=O C. 4x±3y=0D ・ 5x±4y=0解析：设PFi 的中点为由于IPF 2l=IFiF2l, 故 F2M 丄PFi,即IF?MI=2⑴在直角三角形 F }F 2M 中，\F {\f\=yl(2c)2-(2a)2=2b 9 故 IPF 】l=4b,根据双曲线的定狡得 4b-2c=2xi 9 得 2b-a=c 9 即(2h-a)2=u 2+b 29 即 3庆一4</b=0, 即 3b=4u,h4 故双曲线的渐近线方程是y=±-x,即〉=±多，即4.r±3y=0.答案：C3. 已知双曲线芋一£=1（">0, b>0）的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,//2△OAF 的而积为㊁（0为原点），则两条渐近线的夹角为（）A. 30°C ・6= K</>0, b>0）的左、右焦点.若在双曲线B. 45°C. 60°解析：依题意作图如下: D. 90。
显然A仔，字），A5A O4F=|l^-M=J c-y=y=y,:.a=b9即夹角为45。
+45。
=90。
・答案:Dr2 24.设双曲线/一荒=1（05”）的半焦距为G （仏0）、（0, 〃）为直线/上两点，已知原点到直线/的距离为乎C,则双曲线的离心率为（）A. 2 BpC.V2D.羊解析：由题意得直线/方程为-+7=1, a b・••原点到/的距离〃=#!訂轧X Vc2=«2+b2.:.ab=^-c2b以____•••4 方=75・庐，：Ayje2-\=y[3e2.:.3沪一16以+16=0.解得e=2或e=翠.V 0<ci<l）,."=才=寸1+（少>\/5.答案:A5.（2019-天津）已知双曲线扌一首=1（“>0, b>0）的一条渐近线方程是y=y[3x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）答案：B6. (2019•福建)若点O 和点F(—2.0)分别为双曲线缶一尸=1(“>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则丽序的取值范围为()解析：•・S = ( — 2)2 — 1=3,故双曲线方程为设点P 的坐标为(M ，N )(X&&), 则.一y )2=l, ：,OP FP=(x\, yi)-(Ai+2, yi) =^r+2AI 4-yi 2=AI 24-2vi■—1=弓~+2xi —1,因函数夬M )=¥+2XI — 1在［萌，+8］上单调递增，故./U)三4X 字尸+2萌_I =3 + 2<3,应选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)7. (2019•北京卷)已知双曲线壬一£=1的离心率为2,焦点与椭圆圭+罟=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 _________ :渐近线方程为 __________ ・解析：椭圆的焦点坐标为(4.0), (—4,0),故c=4,且满足十=2,故“=2, b=ylc 2—a 2= 2萌.所以双曲线的渐近线方程为y=£x=±V 右.答案：(4.0), (-4.0) y=±y/3x8. 已知平面内有一固泄线段AB,其长度为4, O 为AB 的中点，动点P 满足IEI-IPBII 4 D|=3,则;的最大值是 ____________ ・解析：由双曲线的定艾，可知动点P 的轨迹为以A 、B 两点为焦点，3为2“的双曲线 靠近点B 的一支，显然IOPI 的最小值为“，故辎•的最大值为扌.口水.32 29•点P 是双曲线G 各一話=l(Q0, b>0)和圆C2： x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2ZPF 1F 2=ZPF 2F I ，其中F P 尺是双曲线C]的两个焦点，则双曲线C,的离心率为A. [3—2羽，+8)B. [3 + 2萌，+8)+7一解析：由题意可知a 2=9,解得仁中，因此选B ・7?- = 2/解析：由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则ZF]PF2=£易知ZPF02=3O。
,Z PF2F X =60。
0羽IPF』=IPF11, 2lPF2l = lFiFJ,2c IFjFJ21阳I __如一护加-朋厂苦?7十1・答案：V3+110.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个立点，k为非零常数，若\PA\-\PB\=k.则动点P的轨迹为双曲线：②过泄圆C上一立点A作圆的动弦AB, O为坐标原点，若OP=^OA + OB),则动点P的轨迹为椭圆：③方程衣一5*+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线左一1与椭圆头+护=1有相同的焦点.其中真命题的序号为 _____ (写出所有真命题的序号).解析：①错误，当*>0且k<\AB\9表示以A. B为焦点的双曲线的一支；当*>0且k = \AB\时表示一条射线：当*>0且k>\AB\时，不表示任何图形；当RV0吋，类似同上.②错误，P是AB中点，且P到圆心与人的距离平方和为定值.故P的轨迹应为圆.③④正确，很易验证.答案：③④点评：多选题的特点是知识点分散，涉及面广，且只有每一个小题都做对时才得分.故为易错題，要求平时掌握知识点一定要准确，运算要细致.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤•)11.双曲线的中心为原点O,焦点在X轴上，两条渐近线分别为氏11.经过右焦点F做垂直于“的直线分别交爪b于礼B两点.已知I页I、丽I、I丽咸等差数列，且BF^FA 同向.(1)求双曲线的离心率；(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解析：（1）因为2筋1 = 1页1 + 1丽I,^\OA\2+\AB\2=\OB\29因此有汤T鬲珂坐护化简有⑸ OA\-3\OB\）（\OA\+\OB\）=0.4 于是得lanZAOB=§.—* —* 1头BF与用同向，it ZAOF=^ZAOB9.2UmZA0F 4聊以l-tan2ZAOF=3f解得UmZAOF=*或UmZAOF=—2（舍去）.因此^=tan ZAOF=|,u=2b, c=\[a2+b2= y[5b9所以双曲线的离心率e=f=芈.（2）由a=2b知，双曲线的方程可化为F-4），2=4/A①由/】的斜率为*. c= £b知,直线AB的方程为y=-2（x-迈b）・②将②代入①并化简，得15疋一32诽加+84夕=0・设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（X, yi）>（X2, yi）,则X1.%2=^y-_28/?2_丁・于是AB被双曲线截得的线段长/= \1 +(—2)2- Ln —xil =p5・[(“ +M)2—4xm]4而已知/=4,所以jZ?=4,得b = 39 u=6・兀2 y2 故双曲线的方程为石一+=1・2 212.点P是以戸，5为焦点的双曲线E： ^-p=l（r/>0, h>0）上的一点，已知阳丄PF2, IPFil=2IPF2l, 0 为坐标原点.(1)求双曲线的离心率"(2)过点P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于Pi ，B 两点，且OPvOP 2=-^. 2W + 而2=0,求双曲线E 的方程.解析:(1)V IPFi I=2IPF2I, IPFi I - IPF2I=2a,：.\PF }\=4a 9 \PF 2\=2U .•；PF 」PFh .\(4</)2+(2^/)2=(2C )2, :.e=y]5..•.双曲线方程为号违=1.13. (2019-全国II)已知斜率为1的直线/与双曲线C ： D 两点,且BD 的中点为M(l,3)・⑴求C 的离心率:(2)设C 的右顶点为A,右焦点为F, \DF\ \BF\=\1,求证：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.解析：(1)由题意知，/的方程为y=x+2.代入 C 的方程，并化简，得(Z?2—^2)^2—4t/2x —4tr —d 2/?2=0. 设 yi)> D(x2t yi)9Y\ +_v> 14,厂由M(l,3)为BD 的中点知9-=1,故㊁X /F_iF =l,即 h 2=3u 29 ② 故 c=^A+P=2</, 所以C 的离心率e=^=2.⑵由⑴知双曲线的方程可设为卡一扌7 =1, 渐近线方程为y=±2v.设 Pdxi2xi)9 P2U2, —2x2), P(x 9 y),—* —► Z / •■•0竹・0凡=一3炯2=—丁9-4T2 两]+ 丽 2=0h■1X\ +.Y2x=3-2(2vi —x ：)L v=—3—T 点P 在双曲线上,.(2山+也)2• 9a 2化简彳寻X]X2=W 99-4=血v2 v 2R —方=1(“>0, b>0)相交于 B. 则.Vl+X2 =4B b 2—a 29 X\X2 =4a 2+a 2b 2夕一&2(2)证明：由①②知，C 的方程为：3x 2-r=3tr, 4+3"?A(a t 0)9 F(2a,0), x\+x2=29 xvxi= ---------- -<0,故不妨设X]W —", Xz^CL\BF\=寸(M —加)2+y 】2=寸(Xi —加)2 + 3心 2 — 3"2 = a — 2x\9IFDI = yJ(X2 一 2")2 +屮2 =寸(%2 — 2“F + 3崔2 — 3“2= 2X2 — ",\BF\\FD\=(a —2x\)(2x2~a)= —4%]疋+2(心]+疋)一R=5“2+4"+8・又IBFI ・IFD=17,故 50+也 + 8=17,9解得a= 1或a= 一§(舍去)・故 \BD\=y[2[x]—疋1=逗• ^/(小+疋尸一4XX 2=6. 连结 MA,则由 A(l,0), M(l,3)知IA£4I=3, 从而MA=MB=MD,且MA 丄x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点、,且在点A 处与x 轴相切. 所以过儿B 、2?三点的圆与x 轴相切.。