第37讲第三十七讲双曲线

名师作业•练全能 第三十七讲双曲线

班级 _______ 姓名 __________ 考号 _________ 日期 _________ 得分 __________ 括号内•）

1. （2019-全国I ）已知鬥、尺为双曲线C ： W —尸=1的左、右焦点，点P 在C 上，Z FiPF?=60。，则 IPFiI ・ IP/T=（ ）

A ・2

B ・4

D ・8

a 1 解析：由题意得 SAFiPF 2=Z>2cot2=l Xcot30°=V3,又 5AFi PFi =yIPFiI-\PFi\-sin60°

=羽，則IPFil ・IPF2l=4,故选 B.

答案：B 2. （2019•浙江）设Fi 、F2分别为双曲线召_$

右支上存在点P,满足IPF2l=IFiF 2L 且鬥到直线PFi 的距藹等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（）

A. 3x±4y=0 B ・ 3x±5y=O C. 4x±3y=0

D ・ 5x±4y=0

解析：设PFi 的中点为由于IPF 2l=IFiF2l, 故 F2M 丄PFi,即IF?MI=2⑴

在直角三角形 F }F 2M 中，\F {\f\=yl(2c)2

-(2a)2

=2b 9 故 IPF 】l=4b,

根据双曲线的定狡得 4b-2c=2xi 9 得 2b-a=c 9 即(2h-a)2

=u 2

+b 2

9 即 3庆一4

h

4 故双曲线的渐近线方程是y=±-x,即〉=±多，即4.r±3y=0.

答案：C

3. 已知双曲线芋一£=1（">0, b>0）的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,

//2

△OAF 的而积为㊁（0为原点），则两条渐近线的夹角为（）

A. 30°

C ・6

= K0, b>0）的左、右焦点.若在双曲线

B. 45°

C. 60°

解析：依题意作图如下: D. 90。

显然A仔，字），A5A O4F=|l^-M=J c-y=y=y,

:.a=b9即夹角为45。+45。=90。・

答案:D

r2 2

4.设双曲线/一荒=1（05”）的半焦距为G （仏0）、（0, 〃）为直线/上两点，已知原点到直线/的距离为乎C,则双曲线的离心率为（）

A. 2 Bp

C.V2

D.羊

解析：由题意得直线/方程为-+7=1, a b

・••原点到/的距离〃=#!訂轧

X Vc2=«2+b2.:.ab=^-c2

b以____

•••4 方=75・庐，：Ayje2-\=y[3e2.

:.3沪一16以+16=0.解得e=2或e=翠.

V 0\/5.

答案:A

5.（2019-天津）已知双曲线扌一首=1（“>0, b>0）的一条渐近线方程是y=y[3x，它的一个

焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）

答案：B

6. (2019•福建)若点O 和点F(—2.0)分别为双曲线缶一尸=1(“>0)的中心和左焦点，点P

为双曲线右支上的任意一点，则丽序的取值范围为()

解析：•・S = ( — 2)2 — 1=3,故双曲线方程为设点P 的坐标为(M ，N )(X&&), 则.一y )2=l, ：,OP FP=(x\, yi)-(Ai+2, yi) =^r+2AI 4-yi 2=AI 24-2vi

■—1=弓~+

2xi —1,

因函数夬M )=¥+2XI — 1在［萌，+8］上单调递增，故./U)三4X 字尸+2萌_I =3 + 2<3,

应选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)

7. (2019•北京卷)已知双曲线壬一£=1的离心率为2,焦点与椭圆圭+罟=1的焦点相

同，那么双曲线的焦点坐标为 _________ :渐近线方程为 __________ ・

解析：椭圆的焦点坐标为(4.0), (—4,0),故c=4,且满足十=2,故“=2, b=ylc 2

—a 2

= 2萌.所以双曲线的渐近线方程为y=£x=±V 右.

答案：(4.0), (-4.0) y=±y/3x

8. 已知平面内有一固泄线段AB,其长度为4, O 为AB 的中点，动点P 满足IEI-IPBI

I 4 D|

=3,则;的最大值是 ____________ ・

解析：由双曲线的定艾，可知动点P 的轨迹为以A 、B 两点为焦点，3为2“的双曲线 靠近点B 的一支，显然IOPI 的最小值为“，故辎•的最大值为扌.

口水.3

2 2

9•点P 是双曲线G 各一話=l(Q0, b>0)和圆C2： x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且

2ZPF 1F 2=ZPF 2F I ，其中F P 尺是双曲线C]的两个焦点，则双曲线C,的离心率为

A. [3—2羽，+8)

B. [3 + 2萌，+8)

+

7

一

解析：由题意可知

a 2=9

,解得仁中，因此选B ・

7?- = 2/

解析：由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则ZF]PF2=£易知ZPF02=3O。,

Z PF2F X =60。0羽IPF』=IPF11, 2lPF2l = lFiFJ,

2c IFjFJ

21阳I __如

一护加-朋厂苦?7十1・

答案：V3+1

10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个立点，k为非零常数，若\PA\-\PB\=k.则动点P的轨迹为双曲线：

②过泄圆C上一立点A作圆的动弦AB, O为坐标原点，若OP=^OA + OB),则动点P的轨迹为椭圆：③方程衣一5*+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线左一1与椭圆头+护=1有相同的焦点.

其中真命题的序号为 _____ (写出所有真命题的序号).

解析：①错误，当*>0且k<\AB\9表示以A. B为焦点的双曲线的一支；当*>0且k = \AB\时表示一条射线：当*>0且k>\AB\时，不表示任何图形；当RV0吋，类似同上.②错误，P是AB中点，且P到圆心与人的距离平方和为定值.故P的轨迹应为圆.③④正确，很易验证.

答案：③④

点评：多选题的特点是知识点分散，涉及面广，且只有每一个小题都做对时才得分.故为易错題，要求平时掌握知识点一定要准确，运算要细致.

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤•)

11.双曲线的中心为原点O,焦点在X轴上，两条渐近线分别为氏11.经过右焦点F

做垂直于“的直线分别交爪b于礼B两点.已知I页I、丽I、I丽咸等差数列，且BF^FA 同向.

(1)求双曲线的离心率；

(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

解析：（1）因为2筋1 = 1页1 + 1丽I,

^\OA\2+\AB\2=\OB\29

因此有汤T鬲珂坐护

化简有⑸ OA\-3\OB\）（\OA\+\OB\）=0.

4 于是得lanZAOB=§.