第53讲双曲线(解析版)

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高中数学(理)一轮复习课件：第9章第53讲双曲线

双曲线的定义
【例1】 1 在 ABC中， BC ＝4，sinB－sinC＝ sinA，若 2 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，则求动点A的轨迹方程．
【解析】依题意由正弦定理得： 1 AC － AB ＝ BC ＝2，即顶点 2 A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长等于2的双曲线的一支(除去该支的顶点)．建立如图所示直角坐标系，则C (－2,0)，B 2,0 ，由2a＝2，得a＝1，又c＝2，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3， y 所求轨迹方程为x －＝1 x 1． 3
2
2
x y 解析：设所求的双曲线方程为 1， 16 k 4 k 18 4 又双曲线过(3 2，，所以 2) 1，解得k 16 k 4 k 4或k 14. 又16 k 0, 4 k 0，所以 4 k 16，所以k 4， x2 y 2 故所求的双曲线方程为 1. 12 8
4 2
2 3 所以e 2，所以应舍去e＝，所以e＝2. 3
本题是一道求圆锥曲线离心率的大小 ( 或范围 ) 的典型题，求解的关键在于根据条件列出关于该曲线的基本量 a ， c的齐次方程(或不等式)，再解方程(或不等式)，进而求得离心率的值 ( 或范围 ) ．值得注意的是，本题极易忽视题设中的条件“ 0<a<b”，从而出现增解．
面积为 12 .
解析:设 PF1 3k，则 PF1 PF2 3k 2k k 2 ，则 PF1 6， PF2 4， | F1 F2 | 2 3，故VPF1 F2是直角三角形，则其面积等于12.
x y 4.与双曲线 1共焦点，且过(3，的 2) 16 4 x2 y 2 1 双曲线的方程是 12 8

双曲线知识点abc关系-解释说明

双曲线知识点abc关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是数学中的一种重要曲线形式，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将介绍双曲线的一些基本概念和相关知识点，包括知识点a、知识点b和知识点c。

通过深入研究和探索这些知识点，我们可以更好地理解双曲线的性质和应用。

在知识点a中，我们将讨论双曲线的定义和特点。

双曲线具有两个分支，其形状类似于对称的开口。

我们将探讨双曲线的方程形式、坐标轴、焦点和直角截距等重要概念，并介绍双曲线的几何性质和图形表示。

知识点b将进一步探讨双曲线的特点和应用。

我们将以具体的示例和实际应用为基础，展示双曲线在几何学、物理学、工程学等领域的重要性和用途。

通过深入了解双曲线的应用领域，我们可以更好地认识到双曲线对现实世界的实际意义和价值。

知识点c将围绕双曲线的探索和研究展开。

我们将介绍一些最新的研究成果和进展，包括双曲线的性质和变换、相关矩阵和方程、曲线的拟合等内容。

通过这些深入的研究，我们可以进一步掌握双曲线的数学本质和更高级的应用技巧。

通过本文的阐述，我们希望读者能够对双曲线有一个全面和深入的理解。

同时，我们也希望通过探索和研究双曲线的知识点a、b和c，能够拓宽我们在数学和其他领域中的思维和应用能力。

双曲线知识的掌握对于我们的学习和职业发展具有重要意义。

接下来，我们将深入讨论知识点a，揭示双曲线的定义和特点。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分进行论述。

引言部分主要对文章的主题进行概述，并介绍了文章的结构和目的。

首先会对双曲线的概念进行简单介绍，解释其在数学领域的重要性和应用价值。

接着，会对文章的结构进行说明，具体列出了正文各个部分的内容，以便读者能够清晰地了解文章的逻辑组织。

最后，会明确本文的目的，即通过对知识点a、b和c的探索和研究，揭示它们之间的关系，并展望双曲线知识点的应用前景。

正文部分是本文的核心，主要包括了三个知识点的介绍和分析。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第53讲双曲线

听课正文第53讲双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形(续表)标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)性质范围,y∈R ,x∈R对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1,A2A1,A2渐近线y= y=离心率e=ca,e∈a ,b ,c的关系c 2= (c>a>0,c>b>0)实、虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|= ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长常用结论双曲线的几个常用结论: (1)与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x 2a2-y 2b2=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P (x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,则①x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在右支上,则r 1=ex 0+a ,r 2=ex 0-a ;若点P 在左支上,则r 1=-ex 0-a ,r 2=-ex 0+a.②y 2a2-x 2b2=1(a>0,b>0),若点P 在上支上,则r 1=ey 0+a ,r 2=ey 0-a ;若点P 在下支上,则r 1=-ey 0-a ,r 2=-ey 0+a.题组一常识题1.[教材改编] 若双曲线E :x 29-y 225=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=5,则|PF 2|= .2.[教材改编] 已知双曲线经过点P (4,-2√2)和点Q (-4√2,2√3),则该双曲线的标准方程为 .3.[教材改编] 双曲线C :4x 2-10y 2=100的离心率是 ,渐近线方程是 .题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F 1F 2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.4.平面内到点F 1(5,0),F 2(-5,0)距离之差的绝对值等于10的点P 的轨迹是 .5.已知A (-5,0),B (5,0),动点P 满足|PA |-|PB |=6,则点P 的轨迹是 .6.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为 .7.P 是双曲线x 216-y 281=1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且|PF 1|=9,则|PF 2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( )A .x 24-y 212=1B .x 212-y 24=1 C .x 23-y 2=1D .x 2-y 23=1(2)[2018·辽宁朝阳一模] 设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12,圆(x-6)2+y 2=20与该双曲线的渐近线相切,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离是9,则点P 到F 2的距离是 ( ) A .17或1 B .13或5 C .13 D .17[总结反思] (1)应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用配方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支.(2)待定系数法求双曲线方程时,一要注意焦点位置的判断,二要注意c 2=a 2+b 2,a ,b ,c 的关系不要弄错.变式题 (1)[2018·合肥三模] 已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)的上焦点为F ,M 是双曲线虚轴的一个端点,过F ,M 的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点,且|AF|=6,则双曲线C 的方程为 ( ) A .y 22-x 28=1 B .y 28-x 22=1 C .y 2-x 24=1D .y 24-x 2=1(2)双曲线C的渐近线方程为y=±2√33x,一个焦点为F(0,-√7),点A(√2,0),点P为双曲线在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4+3√7D.3+3√7(3)已知双曲线的虚轴长为12,离心率为54,则其方程为.探究点二双曲线的几何性质有关问题微点1已知离心率求渐近线方程例2[2018·辽宁凌源二中月考]已知圆E:(x-3)2+(y+m-4)2=1(m∈R),当m变化时,圆E上的点与原点O的最短距离与双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率相等,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12xC.y=±√3xD.y=±√33x[总结反思]已知离心率求渐近线方程,即e=ca ⇒c2=e2·a2=a2+b2⇒e2=1+b2a2,即得渐近线方程为y=±√e2-1x.微点2已知渐近线方程求离心率例3[2018·赣州模拟]若双曲线y2a2-x2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为y=34x,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.169D.259[总结反思]已知渐近线方程y=±kx,若焦点位置不明确要分k=ba 和k=ab两种情况讨论.已知渐近线方程为y=±ba ·x,可由c2=a2+b2⇒c2a2=1+b2a2,从而求得离心率e=√1+(ba)2.微点3由离心率研究渐近线夹角问题例4定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E:x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),当其离心率e∈[√2,2]时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为()A.[0,π6]B.[π6,π3]C.[π4,π3]D.[π3,π2][总结反思]已知离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.微点4利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围例5已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的离心率为.[总结反思]一般可以先求解已知直线与渐近线的交点,再结合相关条件得到关于a与b的方程(或不等式),利用c2=a2+b2,转化为关于a与c的方程(或不等式),从而得离心率的值(或范围).应用演练1.【微点1】[2018·永州模拟]双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率e=√5,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A .y=±12x B .y=±15xC .y=±2xD .y=±5x2.【微点2】[2018·合肥一模] 若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=-2x ,则该双曲线的离心率是 ( )A .√52B .√3C .√5D .2√33.【微点3】已知双曲线x 2a2-y 2b2=1的离心率为2√33,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A .π6B .π4C .π3D .π24.【微点4】[2018·珠海三模] 双曲线x 2a2-y 2b2=1的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为( ) A .√52B .√5C .√3+12 D .√3+15.【微点2】已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线经过圆E :x 2+y 2-2x+4y=0的圆心,则双曲线C 的离心率为 ( )A .√5B .√52C .2D .√26.【微点4】过双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为P ,且该直线与y 轴的交点为Q ,若|FP|<|OQ|(O 为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围为 .探究点三直线与双曲线的位置关系例6 [2018·安阳一模] 如图8-53-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:y=x 与直线l 2:y=-x 之间的阴影部分记为W ,区域W 中动点P (x ,y )到l 1,l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)动直线l 穿过区域W ,分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点,若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.图8-53-1[总结反思]解决直线与双曲线的位置关系问题的常用方法:(1)将直线方程代入双曲线方程得到关于x(或y)的方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题,设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|=√1+k2·|x1-x2|;(2)比较直线的倾斜角(或斜率)与渐近线的倾斜角(或斜率)的大小,得到直线与双曲线的交点情况;(3)与中点有关的问题常用点差法.变式题已知双曲线C以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,且过点P(7,12).(1)求双曲线C与其渐近线的方程;(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),求直线l的方程.。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

数学双曲线讲解

双曲线是几何学中的一种重要曲线，它定义在平面上的一个点集，这个点集由满足某种条件的点的集合组成。

具体来说，双曲线是由平面与一个固定焦点的距离和另一个固定点（称为中心）的距离之差等于常数的点的集合。

这个常数可以是正数、负数或零，这决定了双曲线的形状和性质。

当常数大于零时，双曲线有两个分支，它们像两个翼片一样展开，并随着接近无穷远处而趋于平行。

双曲线的两个分支在焦点之间相遇，形成一个封闭的曲线。

双曲线的离心率是一个重要的几何量，它表示双曲线与直线之间的偏离程度。

双曲线的标准方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a 和b 是常数，它们决定了双曲线的形状和大小。

离心率 e = c/a，其中c 是焦点到中心的距离，a 是中心到顶点的距离。

双曲线的应用非常广泛，包括天文学、光学、工程学和物理学等领域。

在天文学中，行星和卫星的运动轨迹可以用双曲线或椭圆来描述。

在光学中，透镜的形状和光学路径可以用双曲线来描述。

在工程学中，桥梁、建筑和航空器的设计可以涉及到双曲线的应用。

在物理学中，双曲线用于描述粒子的运动轨迹和波的传播路径。

总之，双曲线是一种重要的几何曲线，它具有丰富的性质和应用。

通过深入了解双曲线的性质和方程，我们可以更好地理解其应用和解决问题。

双曲线的基本性质详解PPT课件

16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 62
(m
它与y y
bax0的)的位x 渐置的近变线化为趋势
:
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
（3）利用慢渐慢近靠线近可以较准确的画出双曲线的草图
ybx a
ybx a
第五页，编辑于星期五：十二点三十三分。
5、离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
a 双曲线的离心率。
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）c a
-b o b x -a
第八页，编辑于星期五：十二点三十三分。
小结
性
双曲
质图象
线
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
x2 a2

双曲线知识点归纳与例题分析

双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。

本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。

一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。

常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。

椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。

其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。

在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。

2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。

渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。

在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。

而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。

3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。

即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。

三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。

解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。

因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。

双曲线经典知识点总结

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

高考数学考点第七章平面解析几何53双曲线市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

线 y＝x－1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，
则此双曲线的方程是(
)
A.x32－y42＝1 B.x42－y32＝1
C.x52－y22＝1
D.x22－y52＝1
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解析依题意得 a2＋b2＝c2＝7，由此设双曲线方程为ax22－7－y2a2＝1，另设直线与双曲线的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为(x，y)．则ax212－7－y21a2＝1，① ax222－7－y22a2＝1，②
a2＋ a2 b2＝ 2.故选 A.
26/67
13．[2016·北京高考]双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝____2____.
解析由 OA、OC 所在直线为渐近线，且 OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为 90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为 x2－y2＝a2.OB 是正方形的对角线，且点 B 是双曲线的焦点，则 c＝2 2，根据 c2＝2a2 可得 a＝2.
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二、高考小题
9．[2016·全国卷Ⅰ]已知方程m2x＋2 n－3my2－ 2 n＝1 表示双
曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
(
)
A．(－1,3) B．(－1， 3) C．(0,3) D．(0， 3)
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解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为 4，
m2＋n>0，
线 y2＝8x 的焦点相同，若以点 F 为圆心， 2为半径的圆与
双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为(

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04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$，根据双曲线的定义，点$P$到两个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义，可以得到点$P$到两个焦点的距离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称，即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称，即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的交点，也是双曲线离准线最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离心率和准线方程。
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目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口的抛物线。

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

高考数学理一轮总复习必修部分开卷速查53双曲线(含解析)新人教A版

开卷速查(五十三) 双曲线A 级基础巩固练1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.答案：C2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B ．x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B ．52C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则由题意得b a＞2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞1＋4＝ 5.答案：C6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.答案：C7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝__________.解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16＞2a ，又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：449．已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为__________．解析：依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．由FB →·AB→＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac ＝1，即e －1e ＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52. 答案：1＋5210．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2＝b 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1. ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c . ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c . 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.B 级能力提升练11．直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )A.3＋ 2 B ．3＋1 C.2＋1D ．2 2解析：由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ，由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3＋1. 答案：B12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2.又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：A13．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .(1)求双曲线的离心率e ；(2)求菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2. 解析：(1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ， ∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52.∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝cb 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 14．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得 (k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由FA ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。

双曲线知识点讲解

双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。

它具有许多有趣的特性和应用。

在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。

1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。

也就是说，对于平面上的任意点P，有|PF1 - PF2| = 2a。

这两个给定点称为焦点，常数2a称为双曲线的离心率。

双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t)，其中a和b分别表示双曲线的半轴长度，cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。

2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：•双曲线是对称的：双曲线关于x轴和y轴都是对称的，即当(x, y)在双曲线上时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。

•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是x = a和x = -a。

当x 趋近于正无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于这两条直线。

•双曲线的焦点和直线关系：双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1 + PF2| = 2a。

•双曲线的离心率：离心率e是双曲线的一个重要参数，它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。

3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：•光学抛物面：双曲线是抛物面的一种特殊情况。

抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。

双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。

•交通流动：交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。

双曲线的曲率变化较为平缓，能够减小车辆转弯时的离心力。

•经济学中的边际效用曲线：在经济学中，边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。

双曲线定义(带动画)ppt课件

②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
1 2.已知方程 x2
y2
2m m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是___m__＜__－_2______
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 ___m_＜__－__2_或__m__＞__－__1_
曲线，圆。
解：由各种方程的标准方程知，
当m 0, n 0, m n 时方程表示的曲线是椭圆
当m n 0 时方程表示的曲线是圆当m n 0 时方程表示的曲线是双曲线
15
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
1 ①a=4,xb2=3，y焦2 点在x轴上； 16 9
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
9
双曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2

0, b

0)
y2 a2

x2 b2
1(a

0, b
0)
焦点
a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
13
课堂巩固

2021届高考数学一轮复习第七章平面解析几何考点测试53双曲线(含解析)新人教版B版

考点测试53 双曲线高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲研读1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B ． 5 C ．62D ． 6答案 B解析由题意可得a b ＝12，则离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝5，故选B.2．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45C ．±53D ．±35答案 D解析由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35，故选D.3．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)答案 D解析由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 ∵0<k <9，∴9－k >0,25－k >0.∴x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示双曲线，又25＋(9－k )＝34－k ＝(25－k )＋9，∴它们的焦距相等，故选A.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17. 解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 D ． 5答案 A解析设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca ＝2，即e ＝ 2.故选A.10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B ．322C ．2 2D ．3 2答案 A解析双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A. 11．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ． 2D ．2答案 C解析由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a2＝1＋12＝ 2.故选C. 12．(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 D解析由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a＝4|OF |＝4，所以b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选D.13．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析因为e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，所以ba＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.14．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4答案 B解析由题意分析知，∠FON ＝30°.所以∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.15．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2答案 C解析由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－6a 22b ·2c＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.16．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. 17．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2.又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－32c .∵点B 在直线y ＝－ba x 上，∴b a＝3， ∴离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c . 如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝2.18．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．答案 y ＝±2x解析因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .19．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．答案 2解析双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c ，0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋－a2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2. 20．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2.又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b 2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.三、模拟小题21．(2019·白银二模)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8答案 B解析由双曲线C ：x 2－y 28＝1，可得a ＝1，b ＝22，c ＝3，点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝－2a ＋2c ＝4.故选B.22．(2019·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，以点P (b,0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．52D ．72答案 A解析不妨设双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0与圆P 交于M ，N ，因为∠MPN ＝90°，所以圆心P 到bx －ay ＝0的距离为b 2a 2＋b 2＝b 2c ＝22a ，即2c 2－2a 2＝2ac ，解得e ＝ 2.故选A.23．(2019·咸宁模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1F 2P ＝( )A ．45B ．35C ．5564D ．－2340答案 D解析由题意可知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝5，设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x＝2a ＝8，故|PF 1|＝16，|PF 2|＝8，又|F 1F 2|＝10，∴利用余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝－2340.24．(2019·福州模拟)已知P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1的右支上一点，直线l 是双曲线C的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1答案 D解析设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x2或y ＝－x2，F 2(3，0)，可得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D.25．(2019·安阳一模)设F 1，F 2分别为离心率e ＝5的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2答案 A解析由题意知e ＝5＝ca ，∴b a＝2，故渐近线方程为y ＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝2x ，得y ＝±2c 5，由双曲线与圆的对称性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又5＝ca ，得a ＝1，c ＝5，b ＝2，故选A.26．(2019·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案 4解析由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，由题意得a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，解得a 2＝b 2＝2，所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，将其代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0，因为e >1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.2．(2020·河北武邑中学月考)已知∀m ∈R ，直线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b >0)恒有公共点．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 交于P ，Q 两点，并且满足FP →＝15FQ →，求双曲线C 的方程．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22－y2b2＝1，消去y ，整理得(b 2－2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0.当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠ 2.当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2＋b 2)≥0，即b 2≥2－m 2，故b 2>2，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b 22>2，e > 2.综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)．(2)由题意知F (c,0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 22－y2b2＝1，消去x ，化简，得(b 2－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2cb 2b 2－2， ①y 1y 2＝b 2c 2－2b 2b 2－2， ②因为FP →＝15FQ →，所以y 1＝15y 2， ③由①③可得y 1＝－cb 23b 2－2，y 2＝－5cb23b 2－2，代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)，又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7. 所以双曲线C 的方程为x 22－y 27＝1.3．(2019·丹东质量测试)已知离心率为2的双曲线C 的一个焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上异于A 1，A 2的一点，直线A 1P 与A 2P 分别交y 轴于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆D 经过两个定点．解 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为离心率为2，所以c ＝2a ，b ＝3a . 所以双曲线C 的渐近线为3x ±y ＝0，由3＝|3c －0|32＋±12，得c ＝2.于是a ＝1，b ＝3，故双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠±1)，因为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，可得直线A 1P 与A 2P 的方程分别为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，y ＝y 0x 0－1(x －1)．由题设，得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，y 0x 0＋1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 0x 0－1， |MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0y 0x 20－1，MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 01－x 20，于是圆D 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 01－x 202＝x 20y 20x 20－12.因为x 20－y 203＝1，所以圆D 的方程可化为x 2＋y 2＋6y 0y －3＝0.当y ＝0时，x ＝±3，因此圆D 经过两个定点(－3，0)和(3，0)．4．(2020·山西太原一中月考)已知直线l ：y ＝x ＋2与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设双曲线C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|BF |·|DF |＝17，试判断△ABD 是否为直角三角形，并说明理由．解 (1)设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．把y ＝x ＋2代入x 2a 2－y 2b2＝1，并整理得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2.由M (1,3)为BD 的中点，得x 1＋x 22＝2a2b 2－a 2＝1，即b 2＝3a 2，故c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a＝2.(2)由(1)得双曲线C 的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4＋3a22<0，不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，则|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， |DF |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，所以|BF |·|DF |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝2a (x 1＋x 2)－4x 1x 2－a 2＝5a 2＋4a ＋8，又|BF |·|DF |＝17，所以5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．所以A (1,0)，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72.所以AB →＝(x 1－1，y 1)＝(x 1－1，x 1＋2)， AD →＝(x 2－1，x 2＋2)，因为AB →·AD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋5＝0，所以AB →⊥AD →，即△ABD 为直角三角形．。

双曲线的几何性质课件

双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x，其中a和b是双曲线的半焦距。
双曲线的
标准方程
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
a和b是双曲线的半轴长， a>b
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
双曲线关于x轴对称
双曲线关于原点对称
添加标题
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双曲线关于y轴对称
添加标题
添加标题
双曲线关于直线y=x对称
顶点：双曲线有两个顶点，分别位于x轴和y轴上
中心：双曲线的中心位于顶点连线的中点
顶点坐标：顶点的坐标可以通过双曲线的方程求解得到
中心坐标：中心的坐标可以通过顶点的坐标和双曲线的方程求解得到
双曲线的离心率与焦点距离成反比离心率越大，焦点距离越短离心率越小，焦点距离越长双曲线的离心率决定了焦点距离的大小
离心率：双曲线的离心率是双曲线的性质之一，决定了双曲线的形状和位置
开口大小：双曲线的开口大小是指双曲线的两个焦点之间的距离，与离心率有关
关系：双曲线的离心率越大，开口越小；离心率越小，开口越大
双曲线的渐近线与直线的交点称为渐近线与直线的交点
渐近线与直线的交点性质是双曲线的几何
性质之一
渐近线与直线的交点性质决定了双曲线的
形状和位置
渐近线与直线的交点性质是双曲线的重要
特征之一
确定双曲线的渐近线方程计算渐近线与直线的交点坐标判断交点是否在双曲线上应用交点坐标求解双曲线的参数

双曲线全解——精选推荐

双曲线全解双曲线百科名片双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

·双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。

两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c。

其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴） ·双曲线的第二定义 1.文字语言定义平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

2.集合语言定义设双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d, 这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线. 注意:定点F要在定直线外且比值大于1. 3.标准方程设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1. 推导出的双曲线的标准方程为 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程. 而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. ·双曲线的简单几何性质 1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。

双曲线的基本知识点九年级

双曲线的基本知识点九年级双曲线的基本知识点双曲线是高中数学中重要的曲线之一，它具有独特的形状和性质。

本文将介绍双曲线的基本知识点，包括定义、方程、性质等内容。

通过对双曲线的学习，我们可以更好地理解和应用这一数学概念。

一、定义双曲线是平面上一个点与两个给定点的距离之差等于一个常数的点集合。

其定义可以表述为：对于给定的两个焦点F1和F2以及常数c，双曲线上的每个点P到焦点F1和F2的距离之差等于常数c。

二、方程双曲线的方程形式可以根据焦点的位置和曲线的性质而不同。

常见的双曲线方程有以下几种类型：1. 横轴方向上的双曲线：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长，(h,k)为双曲线的中心点。

2. 纵轴方向上的双曲线：(y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长，(h,k)为双曲线的中心点。

三、焦点、顶点和渐近线双曲线的焦点、顶点和渐近线是双曲线性质中重要的概念。

1. 焦点：双曲线的焦点是指与双曲线定义中的两个焦点F1和F2对应的点。

焦点在双曲线的中心轴上，距离中心轴的距离等于半轴长的大小。

2. 顶点：双曲线的顶点是指离中心轴最近的点，它同时也是双曲线的对称轴上的点。

3. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线无限延伸时趋近的直线。

对于横轴方向上的双曲线，其渐近线方程为y=k，其中k为双曲线的中心轴；对于纵轴方向上的双曲线，其渐近线方程为x=h，其中h为双曲线的中心轴。

四、性质双曲线具有一些独特的性质，这些性质有助于我们进行双曲线的分析和应用。

1. 双曲线是非闭合曲线，其两个分支无限延伸。

2. 双曲线关于中心轴对称。

3. 焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于常数c。

4. 双曲线的两支与中心轴的交点称为顶点，顶点离中心轴的距离等于半轴长。

5. 双曲线的渐近线在无穷远处与曲线相切。

【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第53讲双曲线(解析版)

2b＝12，e＝c＝5，所以 a4
b
6 / 13
＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为 x2 － y2 ＝1 或 y2 － x2 ＝1.
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(2)因为双曲线经过点 M(0,12)，所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12.又 2c＝26，
所以 c＝13，所以 b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为 y2 － x2 ＝1. 144 25
a 2、与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22＝t(t≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 4、若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
四、自主热身、归纳总结
2 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围对称性顶点
性渐近线
质
离心率 a，b，c 的关系实虚轴
x≥a 或 x≤－a，y∈R
y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0) y＝±bx
9m－28n＝1， (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以
72m－49n＝1，
m＝－ 1 ， 75
解得 n＝－ 1 . 25
所以双曲线的标准方
程为 y2 － x2 ＝1. 25 75
线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若△F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2＝____． (2)已知点 P 为双曲线x2 －y2＝1 右支上一点，点 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF1F2 的内