第6讲双曲线 (1)
第6节 第1课时 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。
数学(理科) 第七章 第6讲 双曲线
考点 3 双曲线的几何性质
例 3：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表
示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围
是( )
A.(－1,3)
B.(－1， 3)
C.(0,3)
D.(0， 3)
解析：由题意，知双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 m2＋n＋3m2－n＝4，解得 m2＝1. 因为方程1＋x2 n－3－y2 n＝1 表示双曲线，
易错、易混、易漏 ⊙双曲线中的不等关系 例题：(1)已知 F1，F2 分别是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0) 的左、右焦点，若双曲线 C 的右支上存在点 A，满足 2|AF1|－ 3|AF2|＝a，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A.(1,4] C.(1,2]
B.(1,4) D.(1,2)
解析：由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，可设该双曲线的 标准方程为x42－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4， 3)，所以 442－( 3)2＝λ，即 λ＝1.故所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
答案：x42－y2＝1
【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利 用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方 程为ax±by＝0，可设双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).与双 曲线ax22－by22＝1 共渐近线的双曲线系方程为ax22－by22＝λ(λ≠0).
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
解析：由题意，可知 a＝ 2＝b，∴c＝2.设|PF1|＝2x，|PF2|
＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝2 2.故|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， |F1F2|＝4.利用余弦定理可得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2 ＝4 2×242＋22×222－2 42＝34.
双曲线的简单几何性质(1)
§8.4 双曲线的简单几何性质（一）祝林华教学目标：使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。
用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题。
能力目标：通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心。
情感目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物。
教学重点：双曲线的简单几何性质。
教学难点：渐近线的求法及理解。
教具：三角板。
教学流程：(一)创设情境T:前面，我们已经学了什么叫椭圆，什么叫双曲线，以及各自的标准方程。
而对于椭圆我们还进一步研究了它的简单几何性质；我们知道，椭圆和双曲线同属于一类-----都为圆锥曲线，那么研究的方法方式应该是大同小异的。
类比椭圆，我们今天一起来研究一下双曲线的简单几何性质。
【板书】：§8.4 双曲线的简单几何性质T:为了能够对双曲线的简单几何性质有一个更为全面的认识，首先来复习一下前面所学的只是和内容。
T:双曲线有几个标准方程？S:………………….T:分焦点在x轴和焦点在y轴上两种情况。
T:当点在x轴上时，双曲线的大致图像呈现为这样一种趋势吧！T:再来回想一下，椭圆我们研究了它的哪些焦点几何性质啊？(T, S)研究了范围，对称性，顶点以及离心率四个方面的性质。
T:类比椭圆，你认为应该研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？（二）新课讲解T:在没有办法画出双曲线较为精确的图像之前，我们只能够利用双曲线的标准方程及这个草图来研究双曲线的几何性质 T:不妨以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax 。
1．范围：T:由标准方程12222=-b y a x 可得，112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，所以a x -≤或a x ≥，不难发现：|Y|随|x|的增大而增大。
双曲线及其标准方程(一)
课 题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-b y a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：。
高考数学：双曲线的定义及标准方程
第6讲 双曲线的定义及方程一、教学目标：1.了解双曲线的定义､几何图形和标准方程的推导过程.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.二、教学重点、难点：1.重点：用定义法､待定系数法求双曲线的标准方程。
2.难点：双曲线焦点三角形的应用．三、教学方法：探究启发式四、知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. 2.双曲线的标准方程：标准方程 22a x -22b y = 1 （ a>0，b>0 ）22a y -22b x =1 （ a>0，b>0 ）图形焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a,b,c 的关系 c 2＝a 2 + b 2c 2＝a 2 + b 23(1)当________|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在．五､课前测试:1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，31a c ，则椭圆C 的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1解析：选D 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.2.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A.12B.55C.14D.5－2解析：选A 由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.六､典例剖析:题型(一) 双曲线定义应用 例1（1）若双曲线22:1916x y E -= 的左､右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于( )A.11B.9C.5D.3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==,即236PF -=,解得29PF =｡ （2）已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点,P ,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A (5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________. 【答案】44【解析】由双曲线C 的方程,知a =3,b =4,c =5,∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点, 且|PQ |=|QA |+|PA |=4b =16,由双曲线定义,得|PF |-|PA |=6,|QF |-|QA |=6. ∴|PF |+|QF |=12+|PA |+|QA |=28, 因此△PQF 的周长为 |PF |+|QF |+|PQ |=28+16=44.题型(二) 求双曲线的标准方程例2 ⑴经过点()2,5-，焦点在x 轴上，6=c 。
2-1-6双曲线渐近线与离心率问题
1082 32 2，第六讲 双曲线渐近线与离心率的问题x 2 y 2【例 1】（2020•广东一模）已知双曲线 C : a 2 b21(a 0 ， b 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2， A 为双曲线的左顶点，以 F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 P ， Q 两点，且PAQ 5，则该双曲线的离心率1 26为（）A ．B ．C ． 21D ． 3x 2y 2【例 2】已知 F 1， F 2分别是双曲线 a 2b2 1 (a 0 ，b 0)的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过 F 2作F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为 A .若| F 1 A | 5b ，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ． (1 ， 2)B ． ( 3)2C ． (， 3)D ． ( 3， 3)2x 2 y 2【例 3】（2020•香坊区二模）已知双曲线 a 2 b 21(a 0 ，b 0)，过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 P ，以 F 为圆心， FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于 M ， N 两点，且 M ， N ， F 三点共线，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．x 2 y 2【例 4】（2020•贵州模拟）设双曲线C : a 2 b21(a 0 ，b 0)的右焦点为 F ， C 的一条渐近线为l ，以 F为圆心的圆与l 相交于 M ， N 两点， MF NF ， O 为坐标原点， OM ON (2 5)，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ． [5 ， 2)B ． [ 5 ， 13 ]C ． [ 10 ， 13 ]D ． [ 10 ， 34 ]22 33 33 5x 2y 2a 2 b2 1(a 0 ，b 0) F F x l A【例 5】设双曲线的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 、132 51095B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB (，R )，9 64， 则该双曲线的离心率为（）4A ．3 2 2 B ． 32 C ．3 2D ． 3x 2y 2【例 6】（2019•海淀区期末）设点 P 为双曲线 a 2b2 1(a 0 ，b 0)右支上的动点，过点 P 向两条渐近线 作垂线，垂足分别为 A ， B ，若点 AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ． (1， 2 3]3B ． (1， 2]C ． [ 2 3，)3D ． [ ， )x 2 2【例 7】（2020•黄州区模拟）已知双曲线C :y81的右焦点为 F ，渐近线为l 1， l 2，过点 F 的直线l与l 1， l 2的交点分别为 A ， B ，若 AB l 2，则| AB |（ ）A ．16 7B ．18 7C ．11 5D ．135x 2 y 2 【例 8】 （2020•马鞍山二模）已知双曲线 E : a 2 b 2 1的离心率为 2，过 E 的左焦点 F ( 5 ，0)作直线l ，直线l 与双曲线 E 分别交于点 A ， B ，与 E 的两渐近线分别交于点C ， D ，若 FA AC ，则| BD |．2。
双曲线的标准方程1
坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由 MF1－MF2＝±2a，
可得 (x＋c)2＋y2－ (x－c)2＋y2＝±2a.
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)．
① ②
由①式两边平方得 20－2PF1·PF2＝4，
∴PF1·PF2＝8， S△F1PF2＝12PF1·PF2＝12×8＝4.
例：若椭圆x2 y2 1(m n 0)与双曲线 x2 y2 1
mn
ab
(a 0,b 0)有相同焦点F1，F2，P是两条曲线的一个
交点，求| PF1 | | PF2 |
开
关
把 x＝3 代入双曲线方程得 y＝± 15，即 M(3，± 15)．
由两点间距离公式得|MF|＝ (3－4)2＋(± 15－0)2＝4.
5.在三角形ABC中，B(-6，0),C(6，0),直线AB,AC的斜
9
率为 ，求顶点A的轨迹。
4
解：设点A（x，y）（x≠±6，y≠0），依题意，得
y y 9 ，整理，得 x2 y 2 1(x 6)
识”，进一步巩固数形结合思想．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.3.1
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值等于常数
本
(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫
讲 栏
做 双曲 线的焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
目 开
2．双曲线的标准方程
关
焦点在 x 轴上
第06讲双曲线及其性质(十大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
x≥a
对称性
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴：_______；对称中心：_____
坐标轴
原点
顶点
性质
轴
离心率
渐近线
a，b，c的关系
A1(－a，0)，A2(a，0)
____________________
A1(0，－a)，A2(0，a)
____________________
A1A2
实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B
5
故周长为3 + 6 + 2 10 = 9 + 2 10.
【解析】因为1 ⋅ 2 = 2，
【解题方法总结】
5
所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
设 2 = ， 1 = 2 2 = 2，
5
5
因为1 ⋅ 2 = 2，所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
62
对于点， 2
−
2
2
2
=1
，
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双
曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
2
【例2】（2023·全国·高三对口高考）若曲线3+
A． −3,2
B． −∞, −3 ∪ 2, +∞
【答案】B
2
【解析】曲线
3+
【答案】C
所以 = 1 2 = 2 = 10，
【解析】直线 = 与双曲线交于，两点，
所以 1
若 = 1 2 ，则四边形1 2 为矩形，
又 1 − 1 = 1 − 2 = 2 = 8，
所以1 ⊥ 1 ， 1 = 2 ，
高考总复习数学文科第八篇解析几何第6讲双曲线
第 6 讲 双曲线 [最新考纲 ] 1．了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程， 知道其简单的几何性质 (范围、 对称性、顶点、离心率、渐近线 )． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想 .
知识梳理
1．双曲线的定义
平面内动点 P 与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞ 0)的距离之差的绝对值为常数
线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切
时， 直线与双曲线仅有一个交点．如 (6)．
考点一 双曲线的定义及应用
x2 y2 【例 1】 (1)若双曲线 4 －12＝1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8，则
点 P 到它的左焦点的距离是 ( )．
A．4
B．12
C．4 或 12
[感悟 ·提升 ]
1．一点提醒 双曲线定义中的 “差” 必须是 “绝对值的差 ” ，常数必须小
于 |F1F2|且大于零，如 (1)中应为双曲线的一支；如 (2)中应为两条射线．
2．三个防范 一是双曲线中的 “a，b，c，e”和椭圆中的 “a， b，c， e” 既相似又有区别，椭圆中 a2＝ b2＋c2，而双曲线中 c2＝ a2＋b2，一定要注意它们
|F1F2|} 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键， 切记对所求结果进行必要的
检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线
的哪支上．
x2 y2 【训练 1】 (1)(2014 大·连模拟 )设 P 是双曲线 16－ 20＝1 上一点， F1，F2 分
别是双曲线左、右两个焦点，若 |PF1|＝ 9，则 |PF2|＝ ( )．
第8章第6讲 双曲线
第6讲 双曲线[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 性范围x ≥□01a 或x ≤□02－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤□03－a 或y ≥□04a质对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1□05(0，－a)，A2□06(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1□07(0，－c)，F2□08(0，c)渐近线y＝±ba x y＝□09±ab x离心率e＝□10ca，e∈□11(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴：|A1A2|＝□122a；虚轴：|B1B2|＝□132ba，b，c的关系c2＝□14a2＋b2(c>a>0，c>b>0)(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)设双曲线C 的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(2，0)，则C 的方程为________．答案 x 22－y 22＝1解析 由题意，得双曲线C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝2，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝2，b ＝2，所以C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案 17解析 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.(3)(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________. 答案 4解析 由已知，b 2＝4，e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，a ＝4.(4)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析 由已知，得2b ＝2,2c ＝23，所以b ＝1，c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x .题型一 双曲线的定义及应用1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|P A |的最小值为9.故选B.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 由已知条件及双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.条件探究 将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积为________．答案 2 3解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(22)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12 |PF1|·|PF2|sin60°＝2 3.1．利用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．利用焦点三角形需注意的问题在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．1．设P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析易知双曲线的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.2．(2020·广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________．答案 12解析 由双曲线的定义知，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2a ＝2，所以|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝4，又|PQ |＝4，所以|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，|PF 2|＋|QF 2|＝8，所以△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝12.题型二 双曲线的标准方程及应用1．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．条件探究 将本例中的条件改为“动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9都外切”，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)由已知，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ， 解得λ＝－12，所以双曲线方程为x 2－4y 2＝－12，即y 23－x 212＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．见举例说明1.(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．见举例说明2(1)．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解．见举例说明2(3)．1．(2019·昆明模拟)已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( )A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1答案 B解析 因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.2．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q (5，3)，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，∵F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a 2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.题型三 双曲线的几何性质角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点 及范围问题1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.故选A.2．(2019·武汉武昌区调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．答案 8解析 双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y a ±x b ＝0，即ax ±by ＝0，因为焦点(0，c )到直线ax ＋by ＝0的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝3，又a 2＋b 2＝c 2，所以b＝3，又因为2c ＝10，c ＝5，所以a ＝c 2－b 2＝4，所以C 的实轴长为8.角度2 与双曲线渐近线有关的问题3．(2019·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba ＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .4．(2019·湖北四地七校联考)已知直线x ＝4与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12B ．a 2＋b 2≥18C ．a 2＋b 2≤12 D ．a 2＋b 2≤18答案 B解析 因为双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线为y ＝±x2，与直线x ＝4交于A (4,2)，B (4，－2)，设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，OA →＝(4,2)，OB →＝(4，－2)，因为OP →＝aOA →＋bOB →，所以x ＝4a ＋4b ，y ＝2a －2b ，由于点P (x ，y )在双曲线上，故(4a ＋4b )24－(2a －2b )2＝1，解得ab ＝116，则a 2＋b 2≥2a 2b 2＝18(当且仅当a 2＝b 2且ab ＝116时取“＝”)．故选B.角度3 与双曲线离心率有关的问题5．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →， 得A 为F 1B 的中点． 又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3， ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.解法二：∵F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH||OH|＝b a，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又F1A→＝AB→，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴ba ＝bc－a，∴c＝2a，∴离心率e＝ca＝2.1．与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．见举例说明1.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C ：x 29－y 216＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是( )A ．焦点坐标不变B ．顶点坐标不变C ．渐近线不变D ．离心率不变答案 C解析 当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x 轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y 轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程x 29－y 216＝λ中，令λ＝0，得y ＝±43x ，即为双曲线C 的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOF 2S △AOB＝2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 B解析 由题意，知|F 2A |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，又S △AOF 2S △AOB＝2，则|AB |＝b2，|OA |＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以a 2＝b 22，得2a 2＝c 2－a 2，即3a 2＝c 2，e 2＝c 2a 2＝3，从而e ＝ 3.故选B.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D ．[53，＋∞]答案 B解析 由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，结合|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 2|＝2a3，从而2a 3≥c －a ，得5a 3≥c ，所以e ＝c a ≤53，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.题型四 直线与双曲线的综合问题1．过双曲线M ：x 2－y 23＝1的左焦点F 作圆C ：x 2＋(y －3)2＝12的切线，此切线与M 的左支、右支分别交于A ，B 两点，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y －0＝k (x ＋2)，易知|2k －3|1＋k 2＝22，解得k ＝1或k ＝177.当k ＝177时，切线不与双曲线M 的右支相交，故舍去，所以切线方程为y ＝x ＋2，与双曲线方程联立，消元得2y 2－12y ＋9＝0，所以y 1＋y 2＝6，即线段AB 中点的纵坐标为3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为3.2．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2<k <2且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．3．一组常用结论直线与双曲线位置关系与右支交于两个不同点与左支交于两个不同点与左、右两支各有一个交点满足条件⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1x 2<01．(2019·武汉4月调研)过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3答案 D解析 解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－8k (2k －1)1－2k2＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2＝10. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.故选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 212－y 21＝1， ① x 222－y 22＝1. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于2b 2a (a ，b 分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ ⊥l 于点Q ，且|MQ |＋|MF 1|的最小值为3，则双曲线C 的通径长为________．答案 2解析 如图所示，连接MF 2，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MQ |＋|MF 1|＝|MF 2|＋|MQ |＋2a ≥|F 2Q |＋2a ，当且仅当Q ，M ，F 2三点共线时，|MQ |＋|MF 1|取得最小值3.此时，F 2(c,0)到直线l ：y ＝－1a x 的距离|F 2Q |＝c 1＋a2，∴c1＋a 2＋2a ＝3⇒c c ＋2a ＝3⇒a ＝1，由定义知通径长为2b 2a ＝2.组 基础关1．(2019·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22 B ．1 C. 2 D ．2答案 C解析 由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C.3．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 2169－y 225＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 2169－y 2144＝1 答案 A解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.故选A.5．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为C (2,0)，半径r ＝1.双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆C 相切，所以圆心到渐近线的距离d ＝|2b |a 2＋b 2＝1，所以3b 2＝a 2.由x 2a 2－y23＝1，得b 2＝3，则a 2＝9，所以2a ＝6.故选B.6．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A. 7．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，经过点M (2,1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为( )A ．8x －y －15＝0B ．8x ＋y －17＝0C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0答案 A解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，4x 22－y 22＝4，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为________．答案 32解析 解法一：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝a 2＋b 2＝6.①如图1，在x 2a 2－y 2b 2＝1中，令x ＝6，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2＝25.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝20，所以a ＝4，所以离心率e ＝c a ＝32.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，易知AC ＝13.由双曲线的定义可知2a ＝|AC |－|BC |＝8，即a ＝4.又c ＝12|AB |＝6，所以离心率e ＝c a ＝32.9．(2020·武汉摸底)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 答案 －2解析 由题意可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 10．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．答案 a解析 ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若设△PF 1F 2的内切圆圆心在x 轴上的投影为A (x,0)，则该点也是内切圆与x 轴的切点．设B ，C 分别为内切圆与PF 1，PF 2的切点．由切线长定理，则有|PF 1|－|PF 2|＝(|PB |＋|BF 1|)－(|PC |＋|CF 2|)＝|BF 1|－|CF 2|＝|AF 1|－|F 2A |＝(c ＋x )－(c －x )＝2x ＝2a ，所以x ＝a .所以内切圆圆心的横坐标为a .组 能力关1．(2019·厦门一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为F ′，由OA ＝OB ＝OF ＝OF ′＝c ，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，点F (－c,0)到直线y ＝－ba x (即bx ＋ay ＝0)的距离为|b ·(－c )|a 2＋b2＝b ，所以S △ABF ＝12·2c ·b ＝8，即bc ＝8.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2c ，所以|MN |＝2b 2c＝2，所以b 2＝c ，所以b ＝2，c＝4，所以a ＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2019·河南六市第二次联考)已知直线y ＝2b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的斜率为正的渐近线交于点A ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若tan ∠AF 2F 1＝15，则双曲线的离心率为( )A.1611 B ．2 C ．4或1611 D ．4答案 D解析由⎩⎨⎧y ＝2b ，y ＝b a x ，得点A (2a,2b )，所以tan ∠AF 2F 1＝2b|c －2a |＝15.所以4b 2＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即4(c 2－a 2)＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即64a 2－60ac ＋11c 2＝0，所以11e 2－60e ＋64＝0.解得e ＝4或e ＝1611.经检验，当e ＝1611时，tan ∠AF 2F 1＝－15，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.3．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2＝0时，不符合题意，当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2·16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.综上可知，这样的直线有3条．4．(2019·成都七中高三上学期入学考试)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 D解析 过右焦点F 且与渐近线垂直的直线方程为y ＝±ab (x －c )，不妨取直线y ＝－a b (x －c )．设渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－ab (x －c )的交点为M .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b (x －c )，解得x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ，y ＝abc ，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .由中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c －c ，2ab c .将其代入双曲线的方程，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2b 2c 2＝1，化简，得c 2＝5a 2，由此，得e ＝ca ＝ 5.5．已知等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，则顶点C 的横坐标t 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0> 6.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，于是x 0(x 1－x 2)－2y 0(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 02y 0.又k MC ＝y 0x 0－t ，由k MC ·k AB ＝y 0x 0－t ·x 02y 0＝－1，得x 0＋2(x 0－t )＝0，即t ＝3x 02>362.6．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析 如图，设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1，可知a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为 y ＝26x ＋66，由⎩⎨⎧y ＝26x ＋66，x 2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.7．(2020·济南摸底)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝________；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是________．答案 3 (－3,5)解析 因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以ba ＝22，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋(22)2＝3.又因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3，0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值范围是(－3,5)．组 素养关1．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解 (1)设双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝33，b ＝1，故双曲线的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又因为x 1＋x 2＝－2kk 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1， 所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1. 综上，当k ＝±1时，以线段AB 为直径的圆过原点．2．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意，知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y203＝1，x 0>23，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.由OM→＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
高中数学教案 第6讲 双曲线
第6讲双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，(0<2a<|F1F2|)}.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R□1y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：□2坐标轴；对称中心：□3原点顶点A1□4(－a，0)，A2□5(a，0)A1□6(0，－a)，A2□7(0，a)渐近线□8y＝±bax□9y＝±abx 离心率e＝□10ca，e∈(1，＋∞)实虚轴实轴：线段A1A2，|A1A2|＝□112a虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝□122ba ，b ，c 的关系c 2＝□13a 2＋b 23.等轴双曲线(1)定义：实轴与虚轴□14等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0).(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③两条渐近线y ＝±x 互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.e ＝ca＝1＋b 2a2∈(1，＋∞)；e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.常用结论1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径.2.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3.若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .4.x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线、相等的焦距.5.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F 1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2tan θ2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线.()(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为.解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为x28－y28＝1.答案：x28－y28＝1(2)已知方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是.解析：由题意可知(2＋m)(m＋1)＞0，解得m＜－2或m＞－1.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)(3)一动圆过定点A(－4，0)，且与圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为.解析：设动圆圆心为点P，连接PB，PA，则|PB|＝|PA|＋4，则|PB|－|P A|＝4＜|AB|＝8，所以点P的轨迹是以A(－4，0)，B(4，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，则a＝2，b2＝42－a2＝12.所以动圆圆心的轨迹方程为x24－y212＝1(x≤－2).答案：x24－y212＝1(x≤－2)双曲线的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2－y28＝1B.x28－y2＝1C.x2－y28＝1(x≤－1)D.x2－y28＝1(x≥1)解析：C设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).(2)(2024·十堰调研)已知P(x0，y0)是双曲线E：x24－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋25，则cos∠F1PF2＝，△PF1F2的面积为.解析：在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝a2＋b2＝ 5.根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则|PF1|－|PF2|＝4.因为|F1F2|＝2c＝25，△PF1F2的周长为12＋25，所以|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF1|＝8，|PF2|＝4.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝15 16，则sin∠F1PF2＝1－cos2∠F1PF2＝1－（1516）2＝3116，所以△PF1F2的面积S＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×8×4×3116＝31.答案：151631反思感悟1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧：经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1|·|PF 2|的联系.2.应用双曲线定义需注意的问题在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F 1F 2|，否则轨迹是两条射线或不存在.训练1(1)已知平面内两定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是()A.|PF 1|－|PF 2|＝±7B.|PF 1|－|PF 2|＝±6C.|PF 1|－|PF 2|＝±4D.|PF 1|2－|PF 2|2＝±6解析：C因为|F 1F 2|＝6，所以由双曲线的定义知，当0＜||PF 1|－|PF 2||＜6时，动点P 的轨迹为双曲线，故选C.(2)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝10，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是.解析：由题意，得|PF 2|－|PF 1|＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2.∵|PF 1|＋|QF 1|＝|PQ |＝10，∴|PF 2|＋|QF 2|－10＝4，∴|PF 2|＋|QF 2|＝14，∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝14＋10＝24.答案：24双曲线的标准方程例2(1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A.x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C.x2－3y23＝1 D.3x23－y2＝1解析：A由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是.解析：法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0).设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x22－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P(2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x22－y2＝1.答案：x22－y2＝1反思感悟求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.训练2(1)(2024·泉州质检)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.x2－y24＝1 B.x24－y2＝1C.3x2 20－3y25＝1 D.x216－y24＝1解析：B由题可知c＝5，故a2＋b2＝5，因为P(2，1)在C的一条渐近线上，所以ba＝12，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的方程为x24－y2＝1.(2)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为.解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3，27)，Q(－62，7)，m＋28n＝1，m＋49n＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝1双曲线的几何性质渐近线和离心率问题例3(1)(2024·邯郸部分学校开学考)若双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，则m＝()A.－1B.±1C.2D.±2解析：B当λ>0时，双曲线焦点在x 轴上，a 2＝λ，b 2＝λm2，故b 2a 2＝1m 2y ＝±1mx .当λ＜0时，双曲线焦点在y 轴上，b 2＝－λ，a 2－λm2，故a 2b 2＝1m 2y ＝±1mx .因为双曲线x 2－m 2y 2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，所以－1m ×1m＝－1，解得m ＝±1.故选B.(2)(2024·重庆第二次模拟)F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线E 右支上的一点，点N 在x 轴上，满足∠F 1MN ＝∠F 2MN ＝60°.若3MF 1→＋5MF 2→＝λMN →(λ∈R )，则双曲线E 的离心率为()A.87B.65C.53D.72解析：D设λMN →＝MQ →，则3MF 1→＋5MF 2→＝MQ →，∴MQ 是邻边边长分别为3|MF 1|，5|MF 2|的平行四边形的一条对角线.又∵∠F 1MN ＝∠F 2MN ＝60°，∴MQ 为∠F 1MF 2的平分线，∴邻边边长分别为3|MF 1|，5|MF 2|的平行四边形为菱形，∴3|MF 1|＝5|MF 2|.由双曲线定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MF 2|＝3a ，|MF 1|＝5a .在△F 1MF 2中，由余弦定理得4c 2＝9a 2＋25a 2－30a 2cos 120°＝49a 2，∴双曲线E 的离心率e ＝ca ＝494＝72.故选D.反思感悟1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线可由x 2a 2－y 2b 2＝0即得两渐近线方程xa ±yb＝0.双曲线几何性质的综合应用例4(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，都有x 1x 2－y 1y 2＞0成立，则实数a 的取值范围是.解析：设O 是坐标原点，点P 3与点P 2关于x 轴对称，如图，则P 3(x 2，－y 2)，OP 1→·OP 3→＝x 1x 2－y 1y 2＞0，即OP 1→·OP 3→＞0恒成立，∴∠P 1OP 3恒为锐角，∴∠MON ≤90°，∴双曲线Γ的其中一条渐近线y ＝1a x 的斜率1a ≤1，又a ＞0，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞).答案：[1，＋∞)反思感悟与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.训练3(1)(2024·长沙适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 有交点，则其离心率的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(1，2]C.(1，2)D.[2，＋∞)解析：A 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴，一条渐近线方程为y ＝ba x ，这条渐近线的斜率应大于直线y ＝3x 的斜率，即ba＞3，则e ＝1＋（ba）2＞2.(2)(2024·梧州一模)过四点(－1，0)，(2，1)，(2，3)，(2，－3)中的三点的双曲线为C ，则C 的渐近线方程为.解析：由双曲线的对称性可知，(2，3)，(2，－3)必在双曲线C 上，所以双曲线C 过点(－1，0)，(2，3)，(2，－3)，设双曲线C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，＝1，m ＋3n ＝1，＝1，＝－1.所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .答案：y ＝±x限时规范训练(六十二)A 级基础落实练1.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1解析：D 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m ＞0时，2m ＝4，m ＝2；当m ＜0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2.(2024·惠州第三次调研)“m ＞2”是“方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B 因为方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2－m )(m ＋1)＜0，解得m ＜－1或m ＞2，即m ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞).因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m ＞2”是“方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线”的充分不必要条件.故选B.3.(2024·凉山一诊)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线的斜率为()A.±1B.±33C.±2D.±3解析：D ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝2，即c 2＝4a 2，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3a 2，即ba＝ 3.∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∴双曲线C 的渐近线的斜率为± 3.故选D.4.(2023·北京顺义区一模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，则e的取值范围是()A.(1，2)B.(2，＋∞)C.(1，2)D.(2，＋∞)解析：C e ＝ca＝c 2a2＝a 2＋b 2a2＝1＋（ba ）2，由于a ＞b ＞0，所以0＜b a ＜1，0＜(b a )2＜1，1＜1＋(ba)2＜2，所以e ＝1＋（ba）2∈(1，2)，故选C.5.(2024·福建质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，左、右焦点分别为F 1，F 2，F 2关于C 的一条渐近线的对称点为P .若|PF 1|＝2，则△PF 1F 2的面积为()A.2B.5C.3D.4解析：D 不妨设直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直且交点为M ，O 为坐标原点，则tan ∠MOF 2＝b a ，sin ∠MOF 2＝bc，所以|F 2M |＝|OF 2|·sin ∠MOF 2＝b ，|OM |＝|OF 2|2－|MF 2|2＝a .由O ，M 分别是F 1F 2与PF 2的中点，知OM ∥PF 1，且|OM |＝12|PF 1|＝1，即a＝1.由e ＝c a ＝5得c ＝5，b ＝2，所以S △PF 1F 2＝4S △OMF 2＝4×12×2×1＝4.6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝()A.55B.255C.355D.455解析：D 由e ＝5，则c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba＝2，所以双曲线的一条渐近线方程不妨设为y ＝2x ，易知渐近线y＝2x与圆相交.则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以|AB|＝21－d2＝21－（55）2＝455，故选D.7.(2024·南京调研)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为4，则a＝.解析：双曲线的一条渐近线的斜率为ba＝tan∠BOC＝tan45°＝1，所以a＝b，因为正方形OABC的边长为4，点B为双曲线的焦点，所以双曲线的半焦距c＝|OB|＝42，则a2＋b2＝2a2＝c2＝32，解得a＝4.答案：48.(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值.解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±ba x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈(1，5]，∴填写(1，5]内的任意值均可.答案：2((1，5]内的任意值均可)9.(2024·芜湖期末)已知双曲线M：x2a2－y2b21(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P为双曲线M的渐近线上的一点，满足PF1→·PF2→＝0，且直线PF1，PF2的斜率之和为－233，则双曲线M的离心率为.解析：P为双曲线M的渐近线上的一点，即点P在渐近线y＝±bax上，不妨设点P 在第一象限，因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，则P 在以F 1F 2为直径，O (0，0)为圆心的圆上，所以|OP |＝c ，则点P 的坐标为(a ，b ).因为直线PF 1，PF 2的斜率之和为－233，所以b a ＋c ＋b a －c ＝－233，得3ab ＝c 2－a 2＝b 2，即ba ＝3，所以e ＝1＋（ba）2＝1＋（3）2＝2.答案：210.已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程.解：(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12×2ch ，∴h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255.(2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16).∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.11.已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0).(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值.解：(1)因为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|，因为△PF 1F 2的面积为9，所以|PF 1|·|PF 2|＝18，又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10，所以b ＝3.B 级能力提升练12.(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则()A.C 的焦点坐标为(±3，0)B.C 的渐近线方程为y ＝±3xC.若点P 为双曲线C 上的动点，则点P 到两条渐近线的距离之积为定值D.直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与C 恒有两个交点解析：BC由题意，双曲线C 的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，设双曲线C的半焦距为c ，由题意知双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，该双曲线的离心率e＝ca＝2，得c＝2，a＝1，则b＝c2－a2＝3，所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.对于A选项，双曲线C的焦点坐标为(±2，0)，A选项错误；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，B选项正确；对于C选项，设点P(x0，y0)，则x20－y203＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为3x－y＝0，3x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为|3x0－y0|3＋1·|3x0＋y0|3＋1＝|3x20－y20|4＝34，C选项正确；对于D选项，当m＝3时，直线方程为y＝3(x－1)，联立，得＝3（x－1），x2－y2＝3，得x＝1，所以直线y＝3(x－1)与双曲线C只有一个交点，D选项错误.故选BC.13.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A→⊥F1B→，F2A→＝－23F2B→，则C的离心率为.解析：法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A→＝(x1－c，y1)，F2B→＝(－c，y0).因为F2A→＝－23F2B→，1－c＝23c，1＝－23y0，1＝53c，1＝－23y0，所以A(53c，－23y0).F1A→＝(83c，－23y0)，F1B→＝(c，y0)，因为F1A→⊥F1B→，所以F1A→·F1B→＝0，即83c2－23y20＝0，解得y20＝4c2.因为点A(53c，－23y0)在双曲线C上，所以25c29a2－4y209b2＝1，又y20＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25（a2＋b2）9a2－16（a2＋b2）9b2＝1，化简得b2a2＝45，所以e2＝1＋b2a2＝95，所以e＝355.法二：由法一得A(53c，－23y0)，y20＝4c2，所以|AF1|＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y209＝64c29＋16c29＝45c3，|AF2|＝（53c－c）2＋（－23y0）2＝4c29＋4y209＝4c29＋16c29＝25c3，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，即45c3－25c3＝2a，即53c＝a，所以双曲线的离心率e＝ca＝35＝355.法三：由F2A→＝－23F2B→可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝23|F2B|.设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F 1B |＝|F 2B |＝3m ，|AB |＝5m .由F 1A →⊥F 1B →可得∠AF 1B ＝90°，所以|AF 1|＝|AB |2－|BF 1|2＝4m ，所以2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2m ，即a ＝m .过F 1作F 1D ⊥AB ，垂足为D ，则12|AB |·|F 1D |＝12|F 1A |·|F 1B |，即12·5m ·|F 1D |＝12·4m ·3m ，所以|F 1D |＝125m ，所以|BD |＝|BF 1|2－|F 1D |2＝95m ，所以|F 2D |＝65m ，则|F 1F 2|＝|F 1D |2＋|F 2D |2＝655m ＝2c ，即c ＝355m ，所以e ＝c a ＝355.答案：35514.如图，已知双曲线的中心在原点，F 1，F 2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10).(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF 2交双曲线于另一点N ，求△F1MN的面积.解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2)证明：由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上.(3)由(2)知，点M坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为y－3＝－323－3(x－3)＝－(2＋3)(x －3)，即x＝(3－2)y＋23，代入双曲线方程整理可得(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0，∵M的纵坐标为3，∴N的纵坐标为6（6－43）×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F1MN的面积为S＝12|F1F2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋4 3.。
高考数学一轮复习第七章第六讲双曲线课件
项目
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
(续表)
项目
范围 性 对称性 质 顶点
渐近线
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≥a或x≤－a，y∈R
对称轴：坐标轴 A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±bax
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) x∈R，y≤－a或y≥a 对称中心：原点 A1(0，－a)，A2(0，a)
(5)双曲线的离心率公式可表示为 e＝ 1＋ba22.
考点一 双曲线的定义
1. x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示的曲线方程为( )
A.x42－y52＝1(x≤－2)
B.x42－y52＝1(x≥2)
C.y42－x52＝1(y≤－2)
D.y42－x52＝1(y≥2)
解析： x2＋(y－3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0，3)的 距离， x2＋(y＋3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F2(0，－3)的距 离，则 x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示点 M(x，y)到点 F1(0， 3)的距离与到点 F2(0，－3)的距离的差为 4，且 4<|F1F2|，所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半 轴长 a＝2，半焦距 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝5，则 x2＋(y－3)2－
解析：因为|PF2|为 F2(c，0)到直线 y＝bax 的距离， 则|PF2|＝ b|b2＋c| a2＝b，所以 b＝2.
联立，得y＝bax， y＝－ab(x－c)，
可得 x＝ac2，y＝acb，即 Pac2，acb.
第6讲双曲线
第6讲 双曲线
1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定 义、几何图形． 2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准 方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择 题．填空题进行考查．
1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦 距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为 常数且a>0，c>0； (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
一条规律
两种方法
三个防范
考向一
双曲线定义的应用
16 [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题．
【反思与悟】 由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系， 在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右 焦点与右准线相对应．
4
考向二
求双曲线满足的几何条件用定义法求方程．
考向三
双曲线的几何性质的应用
答案
C
答案
D
高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一 个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件 求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离 心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a， b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a， c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆 和双曲线的离心率问题难点的根本方法．
第8章 第6讲双曲线
b y＝____±_a_x___
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ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0) x∈R，y≤－a或y≥a 对称中心：原点
顶点坐标： A1__(_0_，__－__a_)___，
A2__(_0_，__a_)___ a
即有c2＝52a2，e＝ 210知，故选C．
第八章 解析几何
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考点二
双曲线的标准方程——师生共研
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y＝±12x，焦距为10； (3)经过两点P(－3,2 7)和Q(－6 2，－7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点(4， － 10)．
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(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝ 1＋ba22．
(6)双曲线的形状与e的关系：|k|＝ba＝ ac22－1＝ e2－1，e越大，即
渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．
(7)
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)与
y2 b2
－
x2 a2
x2 b2
－
y2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的离心
率分别是e1，e2，则e121＋e122＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)． (√ )
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题组二 走进教材
2．(必修2P61T1)若双曲线
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第6讲 双曲线一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53B.355C.63D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝ba x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案 B4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5.(2017·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.答案 2107.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴ba ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28.(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b ).设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ， ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。