第6讲双曲线 (1)
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第6讲 双曲线
一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y =±
12x B.y =±2
2x C.y =±2x
D.y =±2x
解析 因为2b =2,所以b =1,因为2c =23,所以c =3,所以a =c 2-b 2
=2,所以双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±
2
2x ,故选B. 答案 B
2.(2015·广东卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =5
4,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2
3=1 B.x 29-y 2
16=1 C.x 216-y 2
9=1
D.x 23-y 2
4=1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e =c a =5
4,所以c =5,a =4,b 2
=c 2
-a 2
=9,所以所求双曲线方程为x 216-y 2
9=1,故选C.
答案 C
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0),右焦点F 到渐近线的距离为2,点F 到原点的距离为3,则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53
B.355
C.63
D.62
解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2,∴F (c ,0)到y =b
a x 的距离为2,即|bc |a 2+
b 2
=2,又b >0,c >0,a 2+b 2=c 2,∴bc
c =b =2,又∵点F 到原点的距
离为3,∴c =3,∴a =c 2
-b 2
=5,∴离心率e =c a =35
=35
5.
答案 B
4.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14
B.35
C.34
D.45
解析 由x 2-y 2=2,知a =b =2,c =2. 由双曲线定义,|PF 1|-|PF 2|=2a =22, 又|PF 1|=2|PF 2|,
∴|PF 1|=42,|PF 2|=22,
在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c =4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=3
4.
答案 C
5.(2017·成都调研)过双曲线x 2
-y 2
3=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲
线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB |=( ) A.433
B.2 3
C.6
D.4 3
解析 由题意知,双曲线x 2
-y 2
3=1的渐近线方程为y =±3x ,将x =c =2代入得y =±23,即A ,B 两点的坐标分别为(2,23),(2,-23),所以|AB |=4 3. 答案 D 二、填空题
6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 27-y 23=1的焦距是________. 解析 由已知,得a 2=7,b 2=3,则c 2=7+3=10,故焦距为2c =210.
答案 210
7.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a =________.
解析 取B 为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2,∴c =|OB |=22, 又∠AOB =π4, ∴b
a =tan π4=1,即a =
b . 又a 2+b 2=
c 2=8,∴a =2. 答案 2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.
解析 由已知得|AB |=2b 2a ,|BC |=2c ,∴2×2b 2
a =3×2c .
又∵b 2
=c 2
-a 2
,整理得:2c 2
-3ac -2a 2
=0,两边同除以a 2
得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c a -2
=0,即2e 2-3e -2=0,解得e =2或e =-1(舍去). 答案 2 三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10). (1)求双曲线的方程;
(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→=0.
(1)解 ∵e =2,
∴可设双曲线的方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线的方程为x 2-y 2=6.
(2)证明 法一 由(1)可知,a =b =6, ∴c =23,∴F 1(-23,0),F 2(23,0), ∴k MF 1=m 3+23,k MF 2=m
3-23,
k MF 1·k MF 2=m 29-12
=-m 2
3.
∵点M (3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3, 故k MF 1·k MF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→=0.
法二 由(1)可知,a =b =6,∴c =23, ∴F 1(-23,0),F 2(23,0),
MF 1→=(-23-3,-m ),MF 2→=(23-3,-m ), ∴MF 1→·MF 2→=(3+23)×(3-23)+m 2=-3+m 2, ∵点M (3,0)在双曲线上,∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴MF 1→·MF 2
→=0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2
=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;
(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB →>
2(其中O 为原点),求k 的取值范围.
解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0), 则a 2=3,
c 2=4,再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1. 故C 2的方程为x 23-y 2
=1. (2)将y =kx +2代入x 23-y 2
=1,