2018北京101中学高一(下)数学期中考试试卷

2018北京101中学高一（下）期中

数 学

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ）

A. 5

B. 7

C. 9

D. 10 2. tan （α－4

π）=31，则tan α=（ ） A. 2 B. －2 C. 2

1 D. －21 3. 在△ABC 中，若bcosA=a sinB ，则∠A 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 己知a=5，c=3，cosA=6

3，则b=（ ） A. 1 B. 2 C. 25 D. 6

5. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ）

A. a 2+3>2a

B. a 2+b 2>0

C. a 3+b 3≥a 2b+ab 2

D. a+a

1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n =a 4n －3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ）

A. 是等差数列

B. 是公比为q 的等比数列

C. 是公比为q 4的等比数列

D. 既非等差数列也非等比数列 7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）

A. 17m

B. 16m

C. 15m

D. 14m

8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若6193=S S ，则12

6S S =（ ） A. 101 B. 103 C. 105 D. 10

7 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）

A. y=x 3+34x

B. y=sinx+x sin 4

C. y=log 3 x+log x 81

D. y=e x

+4e －x 10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）

A. 不增不减

B. 约增1.4％

C. 约减9.2％

D. 约减7.8％

二、填空题共6小题。

11. △ABC 中，cosAcosB －sinA sinB=－

21，则角C 的大小为_______. 12. 已知sin α·cos α=5

2，则tan α=_________. 13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足对于任意的n ∈N*，a n =

31（2+S n ），则数列{a n }的通项为a n =_________. 14. 定义：称n p p p n +++ 21为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为121-n ，则数列{a n }的通项公式为a n =_________.

15. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A ，B 两地之间的距离，某同学选定了与A ，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A ，AC ，BC ；②测量∠A ，∠B ，BC ；③测量∠C ，AC ，BC ；④测量∠A ，∠C ，∠B. 其中一定能唯一确定A ，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_______.

16. 有纯酒精a （a>1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升.

三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 已知函数f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－2

1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；

（2）设α>0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值.

18. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 3·a 5=112，a 1+a 7=22.

（1）求等差数列{a n }的第七项a 7和通项公式a n ；

（2）若数列{b n }的通项b n =a n +a n+1，{b n }的前n 项和S n ，写出使得S n 小于55时所有可能的b n 的取值.

19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知a=2c.

（1）若∠A=2∠B ，求cosB ；

（2）若AC=2，求△ABC 面积的最大值.

20. 已知数列{a n }满足：a 1=1，|a n+1－a n |=p n

，n ∈N*，S n 为数列{a n }的前n 项和.

（1）若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；

（2）若p=2

1，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式； （3）在（2）的条件下，令c n =n （a n+1－a n ），求数列{c n }的前n 项和T n .

数学试题答案

1. D

2. A

3. B

4. B

5. A

6. C

7. C

8. B

9. D 10. D

11. 60°

12. 2或

52. 13. （2

3）n －1. 14. 4n －3.

15. ②③.

16. （1－a 1）8（2－a

1）. 17. （1）f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－

21=sin （2x+6π）， T=π，f （x ）单调递增区间为[－3π+k π，6

π+k π]（k ∈Z ）. （2）f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－

21=sin （2x+6π）， g （x ）=f （x+α）=sin[2（x+α）+6π]=sin[2x+（2α+6

π）]. 由函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，所以g （－x ）=－g （x ）， 即sin[－2x+（2α+6π）]=－sin[2x+（2α+6

π）]， 展开整理得cos 2x sin （2α+

6π）=0 对∀x ∈R 都成立， 所以sin （2α+

6π）=0， 即2α+6

π=k π，k ∈Z ，且α>0， 所以αmin =

125π. 18. （1）因为{a n }为等差数列，所以a 3+a 5=a 1+a 7=22，

又a 3·a 5=112且d>0，解得a 3=8，a 5=14. 则a 7=20.

由⎩⎨⎧=+=+14

4,8211d a d a 解得a 1=2，d=3，所以a n =3n －1.

（2）b n =a n +a n+l =6n+1，S n =

2)(1n b b +=3n 2+4n<55， 解得－5

11，又n ∈N*， 所以n ≤3，n ∈N *.