建筑力学大纲 知识点第九章位移法

第9章位移法

用计算机进行结构分析时通常以位移法原理为基础。位移法是求解超静定结构的另一基本方法。

9.1 等截面单跨超静定梁的杆端内力

位移法中用加约束的办法将结构中的各杆件均变成单跨超静定梁。在不计轴向变形的情况下，单跨超静定梁有图9－1中所示的二种形式。它们分别为：两端固定梁；一端固定另端链杆（铰）支座梁。

9.1.1 杆端力与杆端位移的正、负号规定

1.杆端力的正、负号规定

杆端弯矩：顺时针转向为正，逆时针转向为负。对结点而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。

杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正，有逆时针转动趋势为负。

2.杆端位移的正、负号规定

杆端转角：顺时针方向转动为正，逆时针方向转动为负。

杆端相对线位移：两杆端连线发生顺时针方向转动时，相对线位移Δ为正，反之为负。

9.1.2 荷载作用下等截面单跨超静定梁的杆端力———载常数

荷载所引起的杆端弯矩和杆端剪力分别称为固端弯矩和固端剪力，统称为载常数。

9.1.3杆端单位位移所引起的等截面单跨超静定梁的杆端力—刚度系数（形

常数）

杆端单位位移所引起的杆端力称为刚度系数或称形常数。

§9.2 位移法的基本概念

1.基本未知量

当不计轴向变形时，刚结点1不发生线位移，只发生角位移Z

1

，且A1和杆B1

的1端发生相同的转角Z

１。刚结点1的角位移Z

１

就是求解该刚架的位移法基本未知

量。

图9 －７

2.基本结构 在刚结点1上加一限制转动（不限制线位移）的约束，称之为附加刚臂，如图9－7（ｂ）所示。因不计轴向变形，杆A1变成一端固定一端铰支梁，杆B1变成两端固定梁。原刚架则变成单跨超静定梁系，称为位移法基本结构。

3.荷载在附加刚臂中产生的反力矩R 1F

在基本结构图9－7（ｂ）上施加原结构的荷载，得到的结构，称为位移法基本体系,杆B1发生虚线所示的变形，但杆端1截面被刚臂制约，不产生角位移，使得刚臂中出现了反力矩R 1F 。

4.刚臂转动引起的刚臂反力矩R 11

为使基本结构与原结构一致，需将刚臂（连同刚结点1）转动一角度Z 1，使

得基本结构的结点1 转角与原结构虚线所示自然变形状态刚结点转角相同。刚臂转动角度Z １所引起的刚臂反力矩用R 11 表示，如图9－7（ｄ）中所示。

5.刚臂总反力矩R 1，位移法基本方程

荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩R 1F ；刚结点转角Z 1引起刚臂反力矩R 11。二者之和为总反力矩R 1，即

1111F R R R =+

1111

0 F

r Z R

+=（9－1）

式（9－1）可用于求解基本未知量Z

1

，称为位移法基本方程。

9.3 位移法基本未知量数目的确定

位移法的基本未知量是结点位移，其中包含结点转角和结点线位移。形成基本结构时所需施加的约束(刚臂和支杆)的数目，即是位移法基本未知量数。9.4 位移法典型方程

本节将以图9－14（ａ）中所示刚架为例，说明用位移法求解一般超静定结构的原理和方法，并导出位移法典型方程。

9.4.1 位移法基本体系

刚架在荷载的作用下，会产生如图9－14（ａ）中虚线所示的变形。刚结点B、

C 的转角分别为Z

1、Z

2

。柱端线位移为Z

3

。在刚架结点B和C处各加一刚臂约束，

在结点C（或B）处加一支杆约束，形成位移法的基本体系如图9－14（ｂ）所示。

图9 －14

9.4.2 位移法典型方程

1111221331

0 F

r Z r Z r Z R

+++=

2112222332

0 F

r Z r Z r Z R

+++=（9－4）

3113223333

0 F

r Z r Z r Z R

+++=

式（9－4）是关于位移法基本未知量的代数方程组，称为位移法典型方程。解方

程组即可求出基本未知量Z

1、Z

2

、Z

3

。

9.5力矩分配法的基本概念

图9-21

工程中，对于求解连续梁和无侧移的刚架，可以用力矩分配法进行渐进计算。

力矩分配法以位移法为理论基础，下面以图9-21为例说明力矩分配法的基本原理。图9-21(a)为一连续梁，荷载施加前，在节点1、2施加刚臂，图9-21(b)，对结构进行固定结点（称为约束状态），结构变成相当于三个单跨梁了（梁A1, A端铰支1端固定；梁12，两端均为固定端；梁2B,2端固定B端铰支），施加荷载，则结点1、2的刚臂中就存在了力

矩，分别为、

（称为不平衡力矩），图9-21c，

、

的值可由约束状态下的结点平衡条件求得。

力矩分配法是一种渐近法，一般情况下，要按一定的程序反复运算，使杆端弯矩趋于精确解。力矩分配法具有较快的收敛速度，通常经二三个循环所得结果的精度就可满足工程的需要。

9.6 超静定结构的特性

与静定结构比较，超静定结构具有以下特性：

(1)超静定结构比静定结构具有较大的刚度。

(2)在局部荷载作用下，超静定结构的内力分布比静定结构均匀，分布范围也大。

(3) 静定结构的内力只用平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质及构件

截面尺寸无关；而超静定结构的内力需要同时考虑平衡条件和变形条件才能确定，故超静定结构的内力与结构的材料性质和截面尺寸有关。

(4)在静定结构中，除荷载以外的其他因素，如支座移动、温度改变、制造误差等，都不会引起内力；而超静定结构由于有多余约束，构件的变形不能自由发生，上述因素都要引起结构的内力。

(5)静定结构的某个约束遭到破坏，就会变成几何可变体系，不能再承受荷载；而当超静定结构的某个多余约束被破坏时，结构仍然为几何不变体系，仍能承受荷载。

9.7 多跨连续梁、排架、刚架、桁架的受力特点

9.7.1 多跨连续梁

q作用在图9－24(ａ)为一多跨静定梁，多跨静定梁的受力特点是：当荷载

1

q作用在附属部分时，附属部分和基基本部分时，附属部分不产生内力；当荷载

2

本部分都产生内力。图9-24(ｂ)为另一形式的静定多跨梁。当其中两跨有荷载作用时，只引起本跨梁的内力，对其他跨梁无影响。

图9－24

9.6.2 排架

排架结构中的排架柱与横梁（屋架）铰接，通常可不考虑横梁的轴向变形。横梁对排架柱的支座不均匀沉降不敏感。在实际工程结构中，排架与排架之间需要加设支撑和纵向系杆，以保证结构体系的纵向刚度。