宁波市高二下册数学期末考试试卷.doc
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分表示（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·西安期中) 下列命题中的真命题是（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若|a|＞b，则a2＞b2C . 若a＞b，则a2＞b2D . 若a＞|b|，则a2＞b23. （2分） (2018高二下·陆川期末) 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（）A .B .C .D .4. （2分）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·汕头月考) 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（）A . 20πB . 40πC . 50πD . 60π6. （2分）设F1 ， F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 4D .7. （2分） (2015高二上·济宁期末) 若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为（）A . ﹣7B . ﹣3C . 1D . 98. （2分）(2016·黄山模拟) 已知直线与抛物线交于A,B两点，且交AB 于D，点D的坐标为（2,1），则p的值为（）A .B .C .D .9. （2分）在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（）A . 180种B . 220种C . 260种D . 320种10. （2分）如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）A . 121B . 132C . 1320D . 1188011. （2分） (2019高二上·宁波期中) 等腰梯形中， ,沿对角线将平面折起，折叠过程中，与夹角的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为a，则a等于（）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·成都开学考) 如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________m2 ．14. （1分） (2017高二下·红桥期末) 二项式（ +2）5的展开式中，第3项的系数是________．15. （1分） (2016高一下·岳阳期中) 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．16. （1分） (2016高三上·大庆期中) 给出以下命题：①双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=± x；②命题P：∀x∈R+ ， sinx+ ≥1是真命题；③已知线性回归方程为 =3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）=0.6；则正确命题的序号为________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2019高一下·安徽月考) 已知数列满足，是数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，30，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数，的值；（Ⅲ）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.18. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．19. （10分） (2016高二下·漯河期末) 已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，侧面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F为SD的中点．（1）证明：SB∥面ACF；（2）求面SBC与面SAD所成锐二面角的余弦值．20. （5分）(2018高二上·牡丹江期中) 已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为 .若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．21. （5分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，，（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证： .22. （5分）(2017·绵阳模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ= （ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．23. （10分）(2017·西安模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R，（1）解不等式f（x）＜x+1；（2）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤ ，|2y+1|≤ ，求证：f（x）＜1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。
浙江省宁波市高二下学期数学期末统考试卷
浙江省宁波市高二下学期数学期末统考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共3题；共6分)1. （2分）设,则集合= （）A . {i}B . {i,-i}C . {2i}D .2. （2分）火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星的（）A . 4倍B . 8倍C . 倍D . 倍3. （2分） (2016高二上·包头期中) 已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A . 若l∥m，m⊂α，则l∥αB . 若l∥α，m⊂α，则l∥mC . 若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥m二、填空题 (共8题；共8分)4. （1分） (2015高二下·和平期中) 已知i为虚数单位，a∈R，（2﹣ai）i的实部与虚部互为相反数，则a 的值为________．5. （1分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________.6. （1分）(2017·海淀模拟) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于________．7. （1分） (2016高二上·重庆期中) 若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于________．8. （1分） (2018高二下·重庆期中) 的展开式中的常数项是________9. （1分）正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________.10. （1分）(2020·桂林模拟) 某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一-组或者3人一组.如果2人一组，则必须角色相同;如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.11. （1分）(2017·绍兴模拟) 将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为________．（用具体的数字作答）三、解答题 (共4题；共40分)12. （10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．13. （10分）(2018高三上·大连期末) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为 .（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.14. （10分）如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．15. （10分）(2018·许昌模拟) △ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．参考答案一、单选题 (共3题；共6分)1-1、2-1、3-1、二、填空题 (共8题；共8分)4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共4题；共40分)12-1、13-1、13-2、14-1、15-1、15-2、。
浙江省宁波市高二数学下学期期末考试试卷(含解析)
2016-2017学年浙江省宁波高二下学期期末考试数学一、选择题：共10题1．设,且,则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查排列组合.解答本题时要注意根据排列数与组合数公式，确定选项.由排列、组合数公式可知，.故选A.2．若,则正整数的值为A.2B.8C.2或6D.2或8【答案】D【解析】本题考查组合数公式的性质.解答本题时要注意利用组合数公式的性质，计算求值.因为，所以有，解得.故选D.3．下列求导运算正确的是A.＝B.(3x)′＝3x log3eC.(log2x)′＝D.(x2cos x)′＝-2x sin x【答案】C【解析】本题考查导数的运算.解答本题时要注意根据导数的运算法则，判断选项的准确性.因为，所以选项A错误；因为(3x)′=，所以选项B错误；因为(x2cos x)′=，所以选项D错误；选项C正确.故选C.4．用反证法证明命题:“已知,若可被5整除,则中至少有一个能被5整除”时,反设正确的是A.都不能被5整除B.都能被5整除C.中有一个不能被5整除D.中有一个能被5整除【答案】A【解析】本题考查反证法.解答本题时要注意利用反证法时反证的正确性.由题可得，“中至少有一个能被5整除”的反设为“都不能被5整除”.故选A.5．设是函数的导函数,的图象如图1所示,则的图象最有可能的是【答案】C【解析】本题考查导数的应用.解答本题时要注意根据导函数的图象，确定倒数在给定区间的正负，判断函数的单调性，由此确定函数的图象.由题可得，当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在(0,2)上单调递减，在上单调递增，对比选项.故选C.6．某校三位学生参加省举行的数学团体竞赛,对于其中一题,他们各自解出的概率分别是,则此题能解出的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查随机事件的概率.解答本题是要注意根据条件利用对立事件的概率求值计算.由题可得，此题能解出的概率为.故选D.7．甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次,有下列说法: ①目标恰好被命中一次的概率为+;②目标恰好被命中两次的概率为;③目标被命中的概率为; ④目标被命中的概率为,以上说法正确的序号依次是A.②③B.①②③C.②④D.①③【答案】C【解析】本题考查随机事件的概率.解答本题时要注意根据每种说法，分别推理，确定其准确性，得到正确答案.对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为.所以错误，结合选项可知，排除B,D；对于说法③，目标被命中的概率为，所以错误，排除A.故选C.8．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝,k＝1,2,3,4,其中c是常数,则P()的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查随机变量的分布列.解答本题时要注意先根据k的值及分布列的特点，确定c的值，再求满足条件的事件的概率.由题可得，，解得.所以P()=.故选D.9．设,则的值是A.17B.18B.19C.20【答案】B【解析】本题考查二项分布.解答本题时要注意利用二项分布的期望方差的求法，计算求值.由题可得，因为是二项分布，所以，所以解得，所以.故选B.10．有下列命题:①若存在导函数,则;②若,则;③若函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)>e a f(0);④若,则是有极值点的充要条件,其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题考查导数相关性质的真假判断.解答本题时要注意利用导数的相关运算及性质，对每个命题的真假解析判断.对于①，所以错误；对于②，由导数的运算法则可知，正确；对于③当f′(x)>f(x)时，则有函数是增函数，所以当a>0时，>,所以f(a)>e a f(0),正确；对于④，，要使函数存在极值，则需且,所以错误.所以正确命题的个数为2个.故选B.二、填空题：共7题11．若+++,则_____,_____.【答案】6,63【解析】本题考查二项式定理.解答本题时要注意利用二项式展开式特点，化简式子，求值计算.因为+++，解得.因为,所以原式.12．现有5本不同的书,其中有2本数学书,将这5本书排成一排,则数学书不能相邻且又不同时排在两边的排法有_________种;将这5本书分给3个同学,每人至少得1本,则所有不同的分法有_________种.【答案】60,150【解析】本题考查排列组合.解答本题时要注意根据排列组合的及两个计数原理，采用恰当的分法，求值计算.采用插空法，先排其他书，再排数学书，则满足要求的排法有.书可按1+2+2或1+1+3的模式进行分配.所以满足条件的不同的分法由.13．若对于任意实数,恒有成立,则__________,______________.【答案】【解析】本题考查二项式定理.解答本题时要注意先利用换元法，转化二项式，再利用二项式展开式的通项公式，求相应的系数，再通过赋值法，求系数的和.令，则，所以上述二项式展开式可转化为.所以.令，则.所以.14．已知,则在处的切线方程是_____________,若存在使得成立,则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】本题考查导数的应用.解答本题时要注意先利用导数的几何意义，求切线方程；再通过构造函数，利用导数求函数的最值，通过函数的最值，求得实数的取值范围.因为.由导数的几何意义可知，，且.所以在处的切线方程是.令，则,所以可知在上单调递减，在上单调递增.因为存在使得成立，所以只需.所以.15．从装有6个白球和4个红球的口袋中任取一个球,用表示“取到的白球个数”,即则______________.【答案】【解析】本题考查随机变量的分布列及其期望和方差.解答本题时要注意根据条件形成分布列，并计算期望，由此计算方差.由题可得.所以.所以.16．锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同. 从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为___________.【答案】【解析】本题考查随机事件的概率.解答本题时要注意结合排列组合数公式，利用古典概型，求相应事件的概率.由题可得.17．已知都是定义在上的函数,>=,在有穷数列中,任意取正整数,则前项和大于的概率是__________.【答案】【解析】本题考查等可能事件的概率，数列与函数的综合.解答本题时要注意先根据导数不等式，构造函数，并确定其单调性，再计算得到实数的值，然后构造不等式，确定n的取值范围，再利用等可能事件的概率，求值计算.令，则.所以单调递减，所以.因为，解得.所以其前n项和为.所以有，解得.故所求概率为.三、解答题：共5题18．已知二项式的展开式中第四项为常数项.(1)求的值;(2)求展开式的各项系数绝对值之和;(3)求展开式中系数最大的项.【答案】（1）的展开式中第四项为常数项，，（2）由（1）知，展开式的各项系数绝对值之和为.（3）设展开式的第项系数绝对值为，且为最大值则，或，又时是展开式中第四项，其系数是负值，故的展开式中系数最大的项为：.【解析】本题考查二项式定理.解答本题时要注意(1)利用二项式展开式的通项公式，结合第四项为常数项，建立关于n的方程，解得n的值.（2）利用条件，结合最大项的表示方式，建立不等式组，求解不等式组，确定系数最大的项，并表示之.19．设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内,(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?【答案】（1）（种）；（2）（种）；（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种；第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种；故满足条件的放法数为种.【解析】本题考查排列组合.解答本题时要注意(1)根据条件先确定哪两个球在一起，然后再确定哪四个盒子有球，最后利用分步乘法计数原理求得投放的方法；(2)利用间接法，所有情况去掉球的编号与盒子编号相同的，剩余的就是满足条件的；(3)利用分类加法计数原理，确定满足条件的方法，最后将所得到的方法相加.20．某校为促进学生全面的发展,在高二年级开设了化学研究性学习课程,某班学生在一次研究活动课程中,一个小组进行一种验证性实验,已知该种实验每次实验成功的概率为.(1)求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率;(2)如果在若干次实验中累计有2次成功就停止实验,否则将继续下次实验,但实验的总次数不超过5次,求该小组所做实验的次数ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)记“该小组做了5次试验至少有2次成功”为事件A,“只成功1次”为事件A1,“一次都不成功”为事件A2,则P(A)=1-P(A1+A2)=1-P(A1)-P(A2)=1-()5-()5=,故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为.(2)ξ的可能取值为2,3,4,5.则P(ξ=2)=()2=;P(ξ=3)=()3=;P(ξ=4)=()4=;P(ξ=5)=()5+()5+()5=.所以ξ的分布列为所以Eξ=2×+3×+4×+5×=.【解析】本题主要考查概率的计算、分布列、期望等知识,考查考生的数据处理能力、运算求解能力.根据对立事件的概率计算公式可求出(1);对于(2),写出ξ的取值情况,由相互独立事件同时发生的概率计算公式可得出ξ的分布列,进而求出数学期望.【备注】高考对离散型随机变量的考查主要有两个方面:一是求随机变量的概率分布列,二是求随机变量的期望.求概率的过程中要注意分类讨论思想的运用,分类要做到不重不漏,所有变量的概率之和为1,可用来快速检验计算结果或分类是否正确.21．是否存在常数使得对一切均成立,并证明你的结论.【答案】令得：,下面利用数学归纳法加以证明：（1）验证当时，由上面计算知等式成立；（2）假设时等式成立，即=；当时有：===，时等式成立.故由（1）（2）知存在常数使得=对一切均成立.【解析】本题考查数学归纳法.解答本题时要注意先通过赋值法，利用n的前3个值，确定参数a,b,c的值，然后结合数学归纳法，证明等式成立.22．已知,函数,(1)若函数在上递减, 求实数的取值范围;(2)当时,求的最小值的最大值;(3)当时，设，证明：.【答案】（1）函数在(0,2)上递减⇔, 恒有成立, 而⇒,恒有成立, 而, 则 即满足条件的的取值范围是.（2）当时,x 2(0,)a 2a 2(,)a +∞()f x ' － 0 ＋()f x ↘ 极小值 ↗的最小值= ,a (0,2) 2 (2,)+∞()g a '＋ 0 － ()g x ↗ 极大值 ↘ 故的最大值为（3）当时，,所以在上是增函数，故 当时， x a x a x )2(ln 2--+ ==解得或，. 综上所述：.【解析】本题考查导数的应用.解答本题时要注意(1)先对函数进行求导，然后利用导数与函数单调性的关系，利用不等式恒成立问题，求得实数的取值范围；(2)先对函数进行求导，然后利用导数判断函数的极值及单调性，确定函数的最值，再对最值进行求导，利用导数判断函数单调性，由此确定最大值的最大值；(3)构建新函数并求导，利用新函数的单调性，判断其最值，证明不等式成立.。
浙江省宁波市2022届数学高二(下)期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2022届数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2 B ．1+s ，2 C ．1，2+s D ．1+s ，2+s【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用均值和方差的性质即可确定新的数据的方差和均值. 【详解】由题意结合均值、方差的定义可得：数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为1s +,2122⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查离散型数据的均值与方差的性质和计算，属于中等题. 2．函数()(1)e x f x x =-有( ) A ．最大值为1 B ．最小值为1 C ．最大值为e D ．最小值为e【答案】A 【解析】 【分析】对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况. 【详解】解:()e (1)e e x x xf x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴有最大值为(0)1f =，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键. 3．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为 ( )．A ．22123221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．22232233C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．22112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．21112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，若前两局都是甲赢，所求概率为223⎛⎫⎪⎝⎭，因此，甲获胜的概率为22112221333C⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）A．1622+B．1522+C．19D．14+22【答案】B【解析】【分析】判断几何体的形状几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】由题意可知几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，如图：几何体的表面积为：12 61222222115222++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+．故选B．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.5．设随机变量，且，则实数a的值为A．10B．8C．6D．4【答案】D【解析】【分析】根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于对称，从而得到结果．【详解】随机变量，正态曲线关于对称，，与关于对称，，解得，故选D．【点睛】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，.6．设a=log 20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则 A ．a<b<c B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a【答案】A 【解析】 【分析】求出三个数值的范围，即可比较大小. 【详解】2log 0.30a =<，lg0.3100.3b ==，0.3101c =>，a ，b ，c 的大小关系是：a b c <<.故选：A. 【点睛】对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．7．已知回归直线的斜率的估计值为1.8，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是（ ） A ．$1.8 2.3y x =+ B ．$1.8 2.3y x =-C ．$1.8 2.2y x =+D ．$1.8 2.2y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本点的中心可构造方程求得结果. 【详解】Q 回归直线斜率的估计值为1.8，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，∴()ˆ5 1.84yx -=-，即ˆ 1.8 2.2y x =-. 故选：D . 【点睛】本题考查回归直线的求解问题，关键是明确回归直线必过样本点的中心，属于基础题.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则(|)P B A =（ ）A ．13B ．16C ．19D ．112【答案】B 【解析】 【分析】(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式()()(|)=n AB P B A n A 求解即可．【详解】解：由题意，(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．Q 抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有1863=⨯个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4）， 1(|)1836P B A ∴==． 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 9．已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a+（ ） A ．都大于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都小于4 D ．至少有一个不小于4【答案】D 【解析】分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a +++++6≥，假设三个数都小于2，则1116a b c b c a+++++<不可能，从而可得结果. 详解：1111116a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 假设三个数都小于2， 则1116a b c b c a+++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．10．设a ，b 是实数，则1133a b -->的充要条件是（ ）A ．a b >B ．a b <C ．11a b> D ．11a b< 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质证明1133a b -->与11a b >可进行互推.【详解】对选项C 进行证明，即11a b >是1133a b-->的充要条件， 必要性：若1133a b -->，则两边同时3次方式子仍成立，∴113333()()a b -->，∴11a b>成立；充分性：若11a b>成，两边开时开3次方根式子仍成立，∴>，∴1133ab -->成立.【点睛】在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.11．命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，210x x --≤B ．x ∀∈R ，210x x --＞C ．0x ∃∈R ，20010x x --≤ D ．0x ∃∈R ，20010x x --≥ 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是“x ∀∈R ，210x x --≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.12．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查，已知该小镇的小学生、初中生、高中生分别有1400人、1600人、800人，按小学生抽取70名作调查，进行分成抽样，则在初中生中的抽样人数应该是________ 【答案】80 【解析】 【分析】根据小学生抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求初中生中需抽取的人数. 【详解】解：由题可知抽取的比例为701140020=， 故初中生应该抽取人数为116008020N =⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题.14．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ． 【答案】12． 【解析】试题分析：老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则甲同学站两端，故不同站法种数为：132312C A =，故填：12．考点：排列组合综合应用．15．已知地球半径为R ，地球上两个城市A 、B ，城市A 位于东经30°北纬45°，城市B 位于西经60°北纬45°，则城市A 、B 之间的球面距离为________ 【答案】3R π 【解析】 【分析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可.A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离.即可得到答案. 【详解】由已知地球半径为R ，则北纬45°， 又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L R R ==， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=，则A 、B 两地之间的距离是3R π.故答案为：3Rπ.【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题.16．已知函数1()(0)ln(21)2f x f x x'=+-+，则(0)=f'________【答案】1 【解析】【分析】由题得2()(0)121f x fx''=⋅-+，令x=0即得解.【详解】由题得2()(0)121f x fx''=⋅-+，令x=0得2(0)(0)1=2(0)11f f f'''=⋅--，所以(0)=1f'.故答案为1【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数,函数①当时,求函数的表达式;②若,函数在上的最小值是2 ,求的值;③在②的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,, ∴当时,当且仅当时取等号. ∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=18．已知函数()ln (,)f x x bx a a b =-+∈R . （1）讨论函数()f x 在(1,)+∞上的单调性；（2）当1b =时，若()1212110f f x x x x ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，求证：122x x >-.【答案】（1）当0b …时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当1b …时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递减；当01b <<时，函数()f x 在11,b ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导后讨论b 的范围来判断单调性；（2）构造函数111()ln g x f a x x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，借助a 得到212121ln x x x x x x -=，设211x t x =>，使得21212ln 22ln t t t x x t⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=，设21()ln (1)2t h t t t t -=->，根据该函数性质即可证明 【详解】（1）由题意可知，1()f x b x=-'，(1,)x ∈+∞， （i ）当0b …时，1()0f x b x'=->恒成立， 所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；（ii ）当0b >时，令1()0f x b x '=-=，得1x b=， ①当101b<≤，即1b ≥时，()0f x '<在(1,)+∞上恒成立， 所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减； ②当11b>，即01b <<时， 在11,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 在11,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0b …时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当1b …时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递减； 当01b <<时，函数()f x 在11,b ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：令111()ln g x f a x x x ⎛⎫==-+⎪⎝⎭， 由题意可得()()120g x g x ==，不妨设120x x <<. 所以121211ln ln a x x x x =+=+，于是212121ln x x xx x x -=. 令211x t x =>，11ln t t tx -=，则11ln t x t t-=， 21211(1)ln t x x x t t t -+=+=，21212ln 22ln t t t x x t⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=. 令21()ln (1)2t h t t t t-=->，则22(1)()02t h t t-'=>，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为1t >，所以()(1)0h t h >=，且ln 0t >， 所以1220x x +->，即122x x >-. 【点睛】本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想19．已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】 (1)见解析.(2) 1e -.【解析】 【分析】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值，即可求解．【详解】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证. (Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ，则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x b a x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，2ln 0x x ->，所以100<<x ，()()()()2000000002222ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．20．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ，若()f x 在1x =处与直线12y =-相切． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在1[,]e e 上的极值．【答案】（1）11,2a b == （2）极大值为12-，无极小值． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；（2）利用导函数判断()f x 在1[,]e e 上的单调性，于是可求得极值.【详解】 解：（1）'()2af x bx x=- ∵函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切， ∴'(1)01(1)2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）由（1）得：21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞． 211'()x f x x x x-=-=， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，得1x >．∴()f x 在1(,1)e上单调递增，在(1,)e 上单调递减，∴()f x 在1[,]e e 上的极大值为1(1)2f =-，无极小值．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，比较基础.21．已知函数()|1||1|f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集. （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈，|1|||ab a b +≥+. 【答案】（1）[1,1]M =- （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式． （2）用分析法证明． 【详解】（1）2,1()112,112,1x x f x x x x x x >⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪-<-⎩，1x >时，22x >，()2f x ≤无解，同样1x <-时，22x ->，()2f x ≤无解，只有11x -≤≤时，()2f x =满足不等式()2f x ≤，∴[1,1]M =-；（2）要证|1|||ab a b +>+，只需证22(1)()ab a b +≥+， 即证222210a b a b --+≥，即证()()22110a b --≥，因为,[1,1]a b ∈-，所以2210,10a b -≤-≤，则()()22110a b --≥， 原不等式成立. 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．22．己知数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足：23n n S a n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令(1)1n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有56n T <．【答案】（Ⅰ）121n n a -=+（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）由23n n S a n =+-，可得112(1)n n a a --=-，即数列{1}n a -时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ）111111111(2)(1)2(21)224n n n n n n n n b n a a -----==<=-+g …，当2n …时，21111111115412444223614n n T -<+++⋯+<+=+=-，当1n =时，11526T =<，即有56n T <．【详解】（Ⅰ）由23n n S a n =+-，于是，当2n ≥时,11221n n n n n a S S a a --=-=-+， 即121n n a a -=-，112(1)n n a a --=-，∵111a -=，数列{1}na -为等比数列，∴112n n a --=，即121n n a -=+．（Ⅱ）111111111(2)(1)2(21)224n n n n n n n n b n a a -----==<=≥-+⋅，∴当2n ≥时，21111111115412444223614n n T -<+++⋅⋅⋅+<+=+=-，当1n =时，11526T =<显然成立， 综上，对于任意的*n N ∈，都有56n T <． 【点睛】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题．。
宁波市高二下册数学期末考试试卷
宁波市高二下册数学期末考试试卷宁波市2019年高二下册数学期末考试试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则 ( )A. B. C. D.2. 若a、b为实数，则是的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.平面向量与的夹角为，且，，则 ( )A. B. C. 2 D.4. 已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知函数 , 是定义在上的奇函数,当时, ,则函数的大致图象为( )6.数列的首项为1，数列为等比数列，且，若则 ( )A. 12B. 13C. 1D. 27. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为( ) A. B. C. D.16.已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的最大值为______________17.已知分别是双曲线的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B，则的面积等于_______三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)已知向量，设函数 .(1)求函数的单调递增区间 ;(2)在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长.19.(本小题满分14分)已知数列{ }的前n项和 (n为正整数)。
(1)令，求证数列{ }是等差数列;(2)求数列{ }的通项公式，并求数列的前n项和 .20.(本小题满分14分)在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.(Ⅰ)求证：平面 ;(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(本小题满分15分)函数 ,当点是函数图象上的点时，是函数图象上的点.(1)写出函数的解析式;?(2)当时，恒有 ,试确定的取值范围.22.(本小题满分l5分)已知抛物线上有一点到焦点的距离为 .(1)求及的值.(2)如图，设直线与抛物线交于两点且 ,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接 .试判断的面积是否为定值?若是，求出定值;否则，请说明理由。
浙江省宁波市2022-2023学年第二学期高二期末考试数学试卷及答案
试卷类型：A 宁波市2022学年第二学期高二期末考试试卷数学2023.06本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．12B．22C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{3,},{,1}A m B m m ==+，若{4}A B ⋂=，则A B ⋃=___________.14．圆心在原点且与直线40x y +-=相切的圆的方程为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)求四棱锥B AECD -的体积；(2)若F 在侧棱BC 上，34BF BC =，求证：二面角C EF D --18．在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD (1)求cos CBD ∠；(2)若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.19．在ABC 中，角，，C 所对的边分别为a c cos A21．已知2:820p x x --求实数a 的取值范围．22．已知函数()xf x e =（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数()g x f =参考答案：7．C【分析】根据函数()13,0,2232,2x x f x f x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪--∈ ⎪⎪⎝⎭⎩2log y x =的图象，数形结合，求得不等式的解集【详解】根据题意当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()2f x =当93,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()3)](22[(f x f x f ==---由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.8．B∵,,AE D E AE CE D ''⊥⊥∴⊥AE 平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN34EF EB BF EB BC =+=+ 设面CEF 的一个法向量为由1111200304y n EC x n EF =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩解法二：由（1∠= sin sinABD所以1sin A D BD =⋅1cos A B BD ABD ∠=⋅所以1122A BD S =⨯△又2tan A D BD ∠=⋅所以2122A BD S =⨯△因为几何体是由等高的半个圆柱和所以45ECD DCG ∠=∠=︒因为//BC EF ，BC EF =，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、(2,0,0F ()0,2,0AB = ，()1,1,2AG =- ，FB 设平面BDF 的一个法向量为(n =r 则00n FB n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，整理得2222x y x z -+⎧⎨-+=⎩令1z =，则()1,1,1n = ，（1）通过线面关系得到线面垂直，从而得到面面垂直；（2）建系，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.21．[9,)+∞.【分析】解不等式，由题可得{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，进而即得．【详解】由题可得2:8200210p x x x --≤⇔-≤≤，:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--≤>⇔-≤≤+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，故有121100a a a -≤-⎧⎪+>⎨⎪>⎩或121100a a a -<-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9a ≥，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+∞．22．（1）1a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x '≥对R x ∀∈恒成立.求导后分离参数得到x a e x ≤-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a '∴∀∈=--≥，()min x a e x ∴≤-，设()x h x e x =-则()1x h x e '=-，令()0h x '>解得0x >，()0h x '<解得0x <，故()h x 在(),0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，。
浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知复数12z i =+，则1z的虚部为（）A ．25B ．2i5C ．2i5-D ．25-3．已知角α的终边过点()4,3-，则sin cos sin ααα+=（）A ．12-B ．13-C ．14D ．734．已知a ，b 均为单位向量，则a b ⊥是22a b a b -=+ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误．．的是（）A ．若//m α，//n α，m ，n 共面，则//m nB ．若m α⊂，//n α，m ，n 共面，则//m nC ．若m β⊥，且//αβ，则m α⊥D ．若m α⊥，且//m β，则αβ⊥6．若22ln ln x y y x ->-，则（）A ．e 1x y ->B ．e 1x y -<C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<7．袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()e e cos 2x x h x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为()e e sin 2x xh x --=．若关于x 的不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知平面向量()1,2a =，()2,b x =- ，则（）A ．当2x =时，()1,4a b +=-B ．若a b，则=1x -C ．若a b ⊥，则1x =D ．若a 与b的夹角为钝角，则()(),44,1x ∞∈--⋃-10．已知函数()2121x x m f x ⋅-=+是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．1m =B ．()1f x =-无解C ．()f x 是减函数D ．()()202420230f f +->11．如图，点P 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，11113A E AB =，11113A F A D =，1B P 平面AEF ，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥A PEF -的体积是定值B ．存在一点P ，使得11C P A C ⊥C ．动点P的轨迹长度为+D ．五面体EF ABD -非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()2f f =．13．已知正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，则xy 的最大值为．14．在ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，22213b a c -=，当1tan tan A B+取得最小值时，角C 的大小为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅= ．(1)求1223e e + ；(2)求123e e - 在1e 上的投影向量（用1e表示）．16．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图，2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,3Q ⎛ ⎝均在函数()f x 的图象上，且Q 是图象上的最低点．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若()0f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0πcos 2x 的值．17．如图，在三棱锥-P ABC 中，45ABC PBC ∠=∠=︒，PA ，2AB BC PB ===，AD BC ⊥，点D 在BC 上，点E 为PA 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)求BE 与平面PBC 所成角的正弦值．18．为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在[]0,140，将得分数据按照[)0,20，[)20,40，…，[]120,140分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；(3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在[)100,120内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在[]120,140内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．19．已知函数()3243f x x ux u =-+．(1)当1u =时，求54f ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断函数()f x 零点的个数；(2)当1,13u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有三个零点123123,,,()x x x x x x <<，记223i i u t x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1i =，2，3．证明：①1232235x x x <++<；②13231181t t t t +<．参考公式：()()()()()32123123122331123x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+++++-．1．C【分析】利用集合的交集和补集做题即可.【详解】{}3,5U A =ð，则()U A B ⋂=ð{}5.故选：C.2．D【分析】利用复数的除法化简1z，然后确定其虚部即可.【详解】复数12z i =+，则()()i 11i 11221212i i 2i 155z -===-++-，所以1z 的虚部为25-.故选：D.3．B【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα，然后代入计算即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3-，所以34sin ,cos 55αα====-，所以34sin cos 1553sin 35ααα-+==-，故选：B 4．C【分析】a ，b 均为单位向量，等式|2|2|a b a b -=+两边平方，利用数量积运算性质化简，即可得答案；【详解】 a ，b均为单位向量，∴|2||2|144414a b a b a b a b -=+⇔-⋅+=++⋅ ⇔0a b ⋅= ．∴a b⊥ 是|2||2|a b a b -=+ 的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积运算、向量垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力．5．A【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面之间的位置关系及其性质选项进行判断.【详解】若//m α，//n α，m ，n 共面，则直线m ，n 可能平行可能相交，A 选项错误；若m α⊂，//n α，则直线m ，n 没有公共点，当m ，n 共面，则//m n ，B 选项正确；若m β⊥，且//αβ，由面面平行的性质可得m α⊥，C 选项正确；//m β时，当m ⊂平面γ，l γβ= ，有//m l ，若m α⊥，则l α⊥，由l β⊂，有αβ⊥，D选项正确.故选：A 6．A【分析】构建()2ln ,0f x x x x =+>，根据题意结合单调性分析可得0x y >>.对于AB ：结合指数函数单调性分析判断；对于CD ：举反例说明即可.【详解】若22ln ln x y y x ->-，可得22ln ln x x y y +>+，且,0x y >，构建()2ln ,0f x x x x =+>，因为2,ln y y x x ==在()0,∞+内单调递增，可知()y f x =在()0,∞+内单调递增，由22ln ln x x y y +>+，即()()f x f y >，可得0x y >>.对于选项AB ：因为0x y >>，则0x y ->，且e x y =在R 内单调递增，所以0e e 1x y ->=，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：利用2,1x y ==，满足0x y >>，但ln ln10x y -==，故CD 错误；故选：A.7．C【分析】利用超几何分布求解.【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件A ,242C 1P(A),C 6n ==即,(1)6162n n -=解得9,n =设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B,115429C C 5P().C 9B ==故选：C.8．B【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，通过换元有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题.【详解】不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->，即222e e e e 441022x x x xm --⎛⎫+--⨯-> ⎪⎝⎭，化简得224222422e 2e 2e 2e e e 2e 2e 11x x x xx x xx m --++--=++>++，不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，即42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，令2e x t =，则1t >，有()22222222211t t t t m t t t -++->=+++对任意的1t >恒成立，令1k t =+，则2k >，有222231312m k k k k k --->=-对任意的2k >恒成立，令1s k =，则102s <<，有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，令()223g s s s =--，()g s 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()02m g ≥=，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.故选：B.9．ACD【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A ；根据向量平行的标公式计算即可判断B ；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C ；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.【详解】对A ，当2x =时，()2,2b =- ，所以()1,4a b +=-，故A 正确；对B ，若a b，则()220x -⨯-=，解得4x =-，故B 错误；对C ，若a b ⊥，则()1220x ⨯-+=，解得1x =，故C 正确；对D ，若a 与b 的夹角为钝角，则220a b x ⋅=-+<且a 与b 不共线，解得1x <且4x ≠-，即()(),44,1x ∞∈--⋃-，故D 正确，故选：ACD10．ABD【分析】利用奇函数()00f =可求得1m =，再根据指数函数值域可知B 正确，利用复合函数单调性可得C 错误；结合单调性和奇偶性可知D 正确.【详解】对于A ，易知函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以()1002m f -==，解得1m =；经检验1m =满足题意，即A 正确；对于B ，由()1f x =-可得21121x x -=-+，即20x =，显然此时无解，即B 正确；对于C ，化简可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++，易知21x y =+为单调递增函数，由复合函数单调性可知()f x 为增函数，即C 错误；对于D ，由于()f x 为奇函数可得()()202320230f f +-=，结合C 选项可得()()20242023f f >，所以()()()()20242023202320230f f f f +->+-=，可得D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】根据等体积变换判断A,D ，利用题意分析出点P 的轨迹判断B,C ；【详解】根据题意正方体的棱长为3，111,1A E A F ==，利用勾股定理可得AE AF EF ====，如图所示，在AB 边上取点,2G AG GB =，在AD 边上取点,2H AH HD =，在平面11ABB A 中，11,,EB AG EB AG = 四边形1EB GA 为平行四边形，则1AE B G又AE ⊂平面AEF ,1B G ⊄平面AEF ,所以1B G ∥平面AEF ；同理11EF B D ∥,FE ⊂平面AEF ,11B D ⊄平面AEF ,所以11B D ∥平面AEF 因为1111111,,B D B G B B D B G ⋂=⊂平面11D B GH ,所以平面11D B GH 平面AEF 点P 是正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，1B P 平面AEF ，则点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ）对于A ，三棱锥A PEF -的体积等于三棱锥P AEF -的体积，在AEF △中，1224AEF S =⨯ ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，且平面11D B GH 平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离为111133A C ==11193833412AEF P AEF V S h -=⨯⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），在正方体中，1111,,,A C BD A C BC BD BC ⊥⊥是平面1BDC 内两条相交直线，所以1A C ⊥与平面1BC D ，在平面1BC D 任意一条直线都已1A C 垂直，所以从点1C 出发的直线在平面1BC D 内才能使11A C C P ⊥成立，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），则可知不存在点P ，使得11A C C P ⊥，所以B 错误；对于C ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，利用勾股定理计算动点P 的轨迹长度为11110321025105221D B D G HG B H +++=++++=，所以C 正确；对于D ，五面体EF ABD -是四棱锥A EFDB -，四边形EFDB 是等腰梯形，22223332,2,2313BD EF BE DF =+====+=,10,3AE AF AB AD ====，设ABD △所在圆的圆心为N ,M 是11B D 的中点,四棱锥A EFDB -的外接球球心为O ,连接MN ，根据题意ABD △是直角三角形,N 是BD 的中点，O 在线段MN 上，设ON a =，因为,3OE OD R MN ===，222221332(3)()()()222a a -++=+解得76a =所以四棱锥A EFDB -的外接球半径为226732()()26211R =+=.故选：ACD.【点睛】三棱锥体积求解方法：直接法；等体积变换法；12．1-【分析】根据分段函数定义，先计算出()2f 的值，然后计算()()2f f 即可得出结果.【详解】函数()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()3112log 133f f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：1-.13．12##0.5【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，所以221244xy x y xy +=+≥，解得12xy ≤.当且仅当2x y =，即11,2x y ==时取等号，所以xy 最大值为12．故答案为：12．14．2π##90 【分析】先根据余弦定理化简得2c s 3o c b A =,再由正弦定理把边的关系化为角的关系s 2i si c 3n s n o A B C =,得到2sin cos cos sin A B A B =,最后根据基本不等式求最值的可求得结果.【详解】由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=,又因为22213b a c -=,所以2212cos 3c c bc A +=,即242cos 3c bc A =,化简得2c s 3o c b A =,由正弦定理可得,s 2i si c 3n s n o A B C =,即()2sin 3sin cos A B B A +=,n 2sin cos 2cos sin cos 3si A B A B B A =+,化简得2sin cos cos sin A B A B =.1sin cos tan 222tan cos sin A B A B A B +=+≥当且仅当sin cos cos sin A B A B =时,等号成立,1tan tan A B +取得最小值.即cos cos sin sin 0A B A B -=，cos cos sin sin ,A B A B =()cos 0,cos 0A B C +==,因为()0,πC ∈,所以π2C =.故答案为:π215．(2)112e - 【分析】（1）利用模长计算公式和数量积的运算规律计算即可；（2）由投影向量的概念和公式求解123e e - 在1e上的投影向量即可.【详解】（1）1223e e +=（2）123e e - 在1e 上的投影向量为()121111312e e e e e e -⋅⋅=-．16．(1)154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)【分析】（1）根据图象得出A =，34T ，求出ω，再将11,3Q ⎛ ⎝代入，结合π2ϕ<，求出ϕ，得出解析式，在求出单调递增区间即可．（2）()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用同角三角函数关系式，得出0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，00ππππcos cos 2233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，用和角关系式展开求值即可．【详解】（1）由题得A =，334T =，故4T =，π2=ω．由113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得π113π2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，故π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，π2ϕ<，故π3ϕ=-，故()ππ23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．ππππ152π2π44,Z 223233k x k k x k k -+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，即()f x 单调递增区间为154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦17．(1)证明见解析(2)2114【分析】（1）要证明平面PAD ⊥平面PBC ，只需证明BC ⊥平面PAD ，进而转化为证明PD BC ⊥；（2）通过把AM 平移至EN ，从而证明出EBN ∠就是BE 与平面PBC 所成的角，再计算出EN 和BE 即可求解。
2022-2023学年浙江省宁波市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（ ） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（ ）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ ，f （log 23）＝ ．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 ．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1． （1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由； （3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数． （1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2． 故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)． 故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4， 故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4． 故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π． 故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13， 第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13， 由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130， 则(32)n ≤30， 因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数， 又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *， 所以n ＝8， 故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b， 若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →， 则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍）， 又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确． 故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′， 所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2， 此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小， 因为PC ′∥AC ， 所以△PC ′M ∽△ACM ， 所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2， 所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23， 又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′， 所以BO ⊥平面ACC ′A ′， 所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误； 对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ， 因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ， 所以BT ∥ES ， 又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0， 所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18， 所以AB =√AE 2+BE 2=82， 所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ， 所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）． 故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ． 解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ， 所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2， 当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为 （1，2） ．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ， 由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ， 即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2， 所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34， 由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2）， 即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1， 解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间， 设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28， 故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0， 所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）， 因为f(π2)=f(2π3)， 所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)， 所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3， 所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增， 又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12． 综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确； 对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形， 此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4， 所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20， 所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误． 故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域， 函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]， 由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ， 当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误； 当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12， 所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确； 当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确； 当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误． 故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0， 由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ， 设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ， 因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数， 所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错； 对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0， 所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23， 则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2， 解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3， 同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)， 因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)， 则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23， 故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55， 所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55． （3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0， 则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0， 则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π， 所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19， 所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3； 所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。
【精选试卷】宁波数学高二下期末习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13886]已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1B ．25C ．25-D ．-12．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π3．(0分)[ID ：13871]已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56πB ．53π C ．116πD ．23π 4．(0分)[ID ：13862]函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．35．(0分)[ID ：13839]设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ） A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 6．(0分)[ID ：13838]在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．(0分)[ID ：13926]已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴8．(0分)[ID ：13924]若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．(0分)[ID ：13923]已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．10．(0分)[ID ：13922]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：13911]已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．(0分)[ID ：13910]在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH13．(0分)[ID ：13906]已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称14．(0分)[ID ：13904]设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．7915．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．(0分)[ID ：14023]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.17．(0分)[ID ：14020]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.18．(0分)[ID ：14018]已知函数()sin()(,0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.则()f x 的解析式为________． 19．(0分)[ID ：14013]已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 20．(0分)[ID ：13995]点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，1AP =，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为___.21．(0分)[ID ：13991]在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．22．(0分)[ID ：13967]在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．23．(0分)[ID ：13961]已知()1sin 3x y +=，()sin 1x y -=，则tan 2tan x y +=__________．24．(0分)[ID ：13955]已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．25．(0分)[ID ：13950]设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____．三、解答题26．(0分)[ID ：14126]已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.27．(0分)[ID ：14118]在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC ∆的面积为22，求边b ．28．(0分)[ID ：14075]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ； （2）平面1APC 平面1B CD ．29．(0分)[ID ：14049]已知(2)2a m i j =-⋅+，(1)b i m j =++⋅，其中i j 、分别为x y 、轴正方向单位向量（1）若2m =，求a 与b 的夹角 （2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值30．(0分)[ID ：14029]已知(1,2),(2,2),(1,5)a b c ==-=-．若a b λ-与b c +平行，求实数λ的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．A5．A6．D7．C8．C9．C10．D11．C12．C13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线18．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；20．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+221．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为25．8【解析】由题意得三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题解析：C 【解析】因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=35-，4cos 5α=，所以2sin cos αα+=642555-+=-，故选C.2．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．4．A【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于12BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 6．D 解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.7．C解析：C 【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位，可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==，()2f ϕ=-不正确，故选C. 8．C解析：C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ，因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.11．C解析：C 【解析】 【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭， 即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选C. 【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．12．C解析：C 【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.13．A解析：A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数23111()3cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，131()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线 解析：2116【解析】 【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 32B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为-所以直线BC 的方程为32y x ⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，解得y =C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则t ∈，则(1,)AE t =-，3,2BE t ⎛=- ⎝⎭，所以23312222AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．18．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思解析：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数周期为π，求出2ω=，再由图象的最低点2(,2)3M π-，得到振幅2A =，及6π=ϕ.【详解】因为图象与x 两个交点之间的距离为2π，所以222T T ππππω=⇒=⇒=， 所以2ω=，由于图象的最低点2(,2)3M π-，则2A =， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，当23x π=时，4sin 13πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，故填：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意02πϕ<<这一条件限制，从面得到ϕ值的唯一性.19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】 将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()4πθ+==，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.20．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2解析：(1,22] 【解析】 【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对AP =λAB +μAD 两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λ+μ的最大值． 【详解】解：依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，1AP =2＝λ2AB 2+2λμAB •AD +μ2AD 2＝4λ2+4μ2．令λ12cos θ=，μ＝12sin θ,θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴λ+μ＝12cos θ12+sin θsin （θ4π+）；θ3,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, sin （θ4π+）∈]∴λμ+的取值范围为(1,22] 故答案为（122，]． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题解析：3【解析】 【分析】由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由22222221414414233999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】由题意知1cos1202AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则222222214144144442223399999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=⎪⎝⎭，（当且仅当224199AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）故23AM ≥，即线段AM . 【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则解析：12. 【解析】分析：先根据三角形法则化AE 为12AB AD +，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为12AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为,AB AD 不共线，所以111=1+=0=-,+=.222λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题解析：0 【解析】分析：利用和差角的正弦公式，可求sin cos x y 及cos sin x y 的值，可得tan 2.tan xy=- 详解：()1sin sin cos cos sin ,3x y x y x y +=+=()sin sin cos cos sin 1,x y x y x y -=-= 联立可解得21sin cos ,cos sin ,33x y x y ==-sin cos tan 2.cos sin tan x y x x y y∴==- 故tan 2tan 0.x y += 即答案为0.点睛：本题综合考查了三角函数公式，灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键，属于中档题．24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），25．8【解析】由题意得解析：8 【解析】 由题意得2115,3,8132m n m n m n +-==∴==--=-三、解答题 26．（1）1-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a ba +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =． 【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题． 27．（1）1cos 3B =；（2）3b = 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理的变换求出B 的余弦值．（2）利用（1）的结论首先求出sin B 的值，进一步利用平面向量的模的运算求出c ，再利用三角形的面积公式求出a ，最后利用余弦定理的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．则：2222222223222a c b a b c a c b c b a ac ab ac+-+-+-+=， 整理得：22223ac a c b =+-，所以：2221cos 23a cb B ac +-==； （2）由于1cos 3B =，(0,)B π∈，所以：sin B ==在ABC ∆中，由于：||2CA CB -=， 则：2BA =， 即：2c =．由于ABC ∆的面积为所以：1sin 2ac B =解得：3a =，故：2222cos b a c ac B =+- 14922393=+-=， 解得：3b =． 【点睛】本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．28．（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1APDB ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ， ∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点， 又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1ADB P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， ∴1AP DB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．29．（1）310arccos10；（2）1m = 【解析】【分析】（1）把2m =代入向量，利用向量的夹角公式计算得到答案.（2）根据()()a b a b +⊥-得到()()(1)(3)(3)(1)0m i m j m i m j -⋅++-⋅+-=，即 ()()()()13310m m m m --++-=计算得到答案.【详解】（1）当2m =时，(2)222a m i j j a =-⋅+=∴=，310b i j b =+∴= 则()()236a b j i j ⋅==+，6310310cos arccos 1010210a ba b αα⋅====⋅ （2）()()a b a b +⊥-即()()(1)(3)(3)(1)0m i m j m i m j -⋅++-⋅+-= 即()()()()13310m m m m --++-= 解得1m =【点睛】本题考查了向量的夹角和向量的垂直，意在考查学生对于向量知识的灵活运用. 30．18【解析】【分析】a b λ-与b c +用坐标表示，根据向量的平行坐标关系，即可求解.【详解】解：由题意得(12,22)a b λλλ-=-+，(1,3)b c +=， 因为a b λ-与b c +平行，所以(12)3(22)1λλ-⋅=+⋅， 解得18λ=． 因此所求实数λ的值等于18． 【点睛】 本题考查平行向量的坐标关系，属于基础题.。
(试卷合集3份)2023届宁波市高二数学下学期期末综合测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A={x |1x >}，B={x |2230x x --<}，则A∪B = A ．{x |1x <-或1x ≥}B ．{x |13x <<}C ．{x |3x >}D ．{x |1x >-}2．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞3．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S = A ．20B ．35C ．45D ．904．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．35．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.6．已知集合{0,1,2},{0,}A B x ==，若B A ⊆，则x ＝( )A ．0或1B ．0或2C ．1或2D ．0或1或27．()131x -的展开式中，系数最小的项为（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项8．如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到2 5.852K ≈，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ） 注：()2P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.7063.8415.0246.635 10.828A ．2.5%B ．0.5%C ．1%D ．0.1%9．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e=2,圆A 的圆心是抛物线218y x =的焦点，且截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，则圆A 的方程为 A ．22165()3264x y +-= B ．22165()3264x y ++= C ．22(2)2x y +-= D ．22(2)4x y +-=11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13B ．23C ．43D ．212．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．17二、填空题：本题共4小题13．821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为______. 14．现有3个大人，3个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）15．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点，设函数()(1)x g x e e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 一个不动点，则实数a 的最小值为________。
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宁波市高二下册数学期末考试试卷
为大家整理的宁波市2014年高二下册数学期末考试试卷文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击高二考试网
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若a、b为实数，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.平面向量与的夹角为，且，，则( )
A. B. C. 2 D.
4. 已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5.已知函数, 是定义在上的奇函数,当时, ,则函数的大致图象为( )
6.数列的首项为1，数列为等比数列，且，若则( )
A. 12
B. 13
C. 1
D. 2
7. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为( ) A. B. C. D.
8. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，若四边形是矩形，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.9.已知正实数满足，则的最小值为( )
A. B. 4 C. D.
10.已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为( )
A. B. C. D.
非选择题部分(共100分)
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11. 已知函数则的值是___________
12. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l 的方程为_____________
13. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
__ __
14.已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为
15.如果关于的不等式和的解集分别为和( )，那么称这两个不等式为对偶不等式。
如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=________________
16.已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则
的值为______________
17.已知分别是双曲线的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B，则的面积等于_______
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分)
已知向量，设函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长.19.(本小题满分14分)
已知数列{ }的前n项和(n为正整数)。
(1)令，求证数列{ }是等差数列;
(2)求数列{ }的通项公式，并求数列的前n项和.
20.(本小题满分14分)
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.
(Ⅰ)求证：平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
21.(本小题满分15分)
函数,当点是函数图象上的点时，是函数图象上的点.
(1)写出函数的解析式;
(2)当时，恒有,试确定的取值范围.
22.(本小题满分l5分)
已知抛物线上有一点到焦点的距离为.
(1)求及的值.
(2)如图，设直线与抛物线交于两点且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值?若是，求出定值;否则，请说明理由。