第四章正弦稳态分析电子教案
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第4章 正弦稳态分析
126.8698…”
注意到此例分子分母均负，因而为第三象限角。 例2：将10∠-60 → x, y +/1. 10 INV P→R 60 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“-8.66…” +/2. 10 a 60 +/- b 2ndF xy 显示“5” b 显示“-8.66…” 3. 10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66…
1 T i 2 dt 有效值即 i Rdt = ∫ I Rdt = I RT ⇒ I = 正弦量及其描述 ∫0 0 T ∫0 方均根值 符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值： I ， U ， U1 ， 相应的大写字母。 正弦量有效值与最大值的关系： Um = 2 =1.414 U U 若有：u = U m cos(ω t + ψ u )
同理：I = I m
2
, I m = 2 I = 1.414 I
交流表指示值、铭牌交流额定值通常指有效值 ( 如 220V ， 380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V
二．正弦量的频域表示
1、正弦量的运算： ： 已知：u1 = 5 cos( t + 30°)V, u 2 = 10 cos( t + 60°)V ω ω 解：直接用三角函数进行：
T 2 T 2 2
2 Um 则：U = 1 ∫ U cos (ω t + ψ u )dt = T 0 T T 2 m; cos(2ω t + 2ψ u ) dt 2
Um t sin( 2ω t + 2ψ u ) = 0.707U m = 2 + 4ω 2 0
电路第4章 正弦稳电路的分析 100页PPT文档
（ j ）称（为旋转因子。
ej90co9s0jsi9 n0j ej90cos9(0)jsin9(0)j
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电路分析基础
第4章 正弦稳态电路的分析
4.3 电路元件的相量模型
为了利用相量的概念来简化正弦稳态电路的分析， 我们必须先建立单一参数元件电路中电压与电流之间 关系的相量形式，其他电路只是单一参数元件的组合。
电路分析基础
第4章 正弦稳态电路 的分析
内容提要
本章主要介绍正弦交流电的基本概念，电 路基本元器件的相量模型，基本定律的相 量形式，阻抗、导纳及其串并联等效，正 弦稳态电路的相量分析法和正弦稳态电路 中的功率、功率因数的提高及最大功率传 输问题。
电路分析基础
4.1 正弦量 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电路元件的相量模型 4.4 正弦稳态电路的阻抗与导纳 4.5 正弦稳态电路的分析 4.6 正弦稳态电路的功率 4.7 功率因数的提高 4.8 最大功率的传输
- j(t i )
2
Re[ I me j(ti ) ]
表示取实部
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电路分析基础
第4章 正弦稳态电路的分析
上式可更进一步表示为
i R I m e j ( e t i) ] [ R I m e j i e e j t] [ R I m e j e t] [
转相量该时刻在实轴上的投影，如图所示。
1 Im
i(t) Im
i j
O
O i
t
正弦量的相量一般用有效值来表示，如电流
iImco ts(i)的有效值相量为
I Im eji Ieji 2
返回
电路分析基础
第4章 正弦稳态电路的分析
由于相量只表示了对应正弦量的两个特征量——幅值和 初相位，故相量只是表示正弦量，并不等于正弦量。
ej90co9s0jsi9 n0j ej90cos9(0)jsin9(0)j
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第4章 正弦稳态电路的分析
4.3 电路元件的相量模型
为了利用相量的概念来简化正弦稳态电路的分析， 我们必须先建立单一参数元件电路中电压与电流之间 关系的相量形式，其他电路只是单一参数元件的组合。
电路分析基础
第4章 正弦稳态电路 的分析
内容提要
本章主要介绍正弦交流电的基本概念，电 路基本元器件的相量模型，基本定律的相 量形式，阻抗、导纳及其串并联等效，正 弦稳态电路的相量分析法和正弦稳态电路 中的功率、功率因数的提高及最大功率传 输问题。
电路分析基础
4.1 正弦量 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电路元件的相量模型 4.4 正弦稳态电路的阻抗与导纳 4.5 正弦稳态电路的分析 4.6 正弦稳态电路的功率 4.7 功率因数的提高 4.8 最大功率的传输
- j(t i )
2
Re[ I me j(ti ) ]
表示取实部
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第4章 正弦稳态电路的分析
上式可更进一步表示为
i R I m e j ( e t i) ] [ R I m e j i e e j t] [ R I m e j e t] [
转相量该时刻在实轴上的投影，如图所示。
1 Im
i(t) Im
i j
O
O i
t
正弦量的相量一般用有效值来表示，如电流
iImco ts(i)的有效值相量为
I Im eji Ieji 2
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第4章 正弦稳态电路的分析
由于相量只表示了对应正弦量的两个特征量——幅值和 初相位，故相量只是表示正弦量，并不等于正弦量。
4 正弦稳态分析
规定： ° 规定： | θ | ≤ π (180°)
(4-7)
三、正弦量的有效值 （1）定义： ）定义： 上式表明： 上式表明： 周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周 期内积分的平 均值取平方根 。 周期量的有效值又称为方均根值。 ∴ 周期量的有效值又称为方均根值。 ★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 关系， 2 关系，即
初相角的大小与计时起点有关。 初相角的大小与计时起点有关。因本课程用余弦函数表示正 弦量，因而用最大值发生的时刻与 时相比较 时相比较。 弦量，因而用最大值发生的时刻与t=0时相比较。如果正弦量的正 最大值发生在计时起点(t = 0)之前 , 则φu (φi)>0,如图(a)所示 如 最大值发生在计时起点 之前 如图 所示; 所示 发生在计时起点之后, 如图(c)所示 所示;如果正最大值 发生在计时起点之后 则φu (或φi )<0, 如图 所示 如果正最大值 或 恰发生在t 如图(b)所示 所示。 恰发生在 = 0处, 则φu (或φi) = 0, 如图 所示。 处 或
A(t)还可以写成 还可以写成
A(t ) = 2 I e e
复常数
jϕ
jω t
& = 2 I e jω t
对应的有效值相量。 称 I = I ∠ ϕ 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
(4-13)
•
i ( t ) = 2 I cos(ωt + ϕ ) ⇔ I = I∠ϕ 正弦量的有效值相量表示: 正弦量的有效值相量表示 以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角 u( t ) = 2U cos(ωt + ϕ ) ⇔ U = U∠ϕ 例1. 已知 i = 141.4 cos( 314t + 30o ) A 解： I = 100∠30o A
(电路与模拟电子)第4章正弦稳态电路分析
功率与效率
在正弦稳态电路中，功率和效率是两个重要的性能指标。 功率表示电路传输的能量大小，效率表示电路传输能量的 有效程度。
功率和效率的计算需要考虑电压和电流的有效值以及相位 差。在阻抗和导纳已知的情况下，可以计算出电路的功率 和效率，进一步评估电路的性能。
频率响应
频率响应是正弦稳态电路的一个重要 特性，表示了电路在不同频率下的性 能表现。通过分析频率响应，可以了 解电路在不同频率下的增益、相位、 阻抗、导纳等参数的变化情况。
电感器
总结词
电感器在正弦稳态电路中起到储存磁场能量的作用。
详细描述
电感器是一种能够存储磁场能量的电子元件。当电流通过电感器时，会在其周围产生磁场，从而产生 感应电动势。在正弦稳态电路中，电感器可以抑制电流的变化，维持电流的恒定。
电容器
总结词
电容器在正弦稳态电路中起到储存电荷的作 用。
详细描述
电容器是一种能够存储电荷的电子元件。当 电压施加在电容器上时，会在其两侧积累电 荷，从而产生电场。在正弦稳态电路中，电 容器可以储存和释放电荷，从而影响电流的 相位和幅度。
串联谐振电路分析
总结词
串联谐振电路的分析重点是找出谐振频率和阻抗，以 及在谐振状态下的电流和电压。
详细描述
串联谐振电路中，当输入信号的频率与电路的谐振频 率相等时，阻抗最小，电流最大。此时，电压和电流 同相位，呈现纯电阻特性。分析时需要找出谐振频率 和阻抗，以及在谐振状态下的电流和电压。
并联谐振电路分析
要点一
总结词
并联谐振电路的分析重点是找出谐振频率和阻抗，以及在 谐振状态下的电流和电压。
要点二
详细描述
并联谐振电路中，当输入信号的频率与电路的谐振频率相 等时，阻抗最大，电流最小。此时，电压和电流同相位， 呈现纯电阻特性。分析时需要找出谐振频率和阻抗，以及 在谐振状态下的电流和电压。
第四章——正弦稳态分析PPT课件
复数（复习）
（1）复数的表示法
Ⅰ.代数式（直角坐标式）
A a jb
a为实部,用Re 标记, a Re[A] b为实部,用Im标记, b Im[ A]
Ⅱ. 极坐标式（电路分析中常用）
A A cos φ j A sin φ A(cos φ j sin φ)
A e jφ Aφ
利用欧拉公式： e jφ cos φ j sin φ
例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？
1、若i1 10cos(100t 45) i2 100cos(200t 30)
则 45 30 15
2、若i1 10cos(314t 45) i2 20sin(314t 30)
则 45 30 15
解：i2 20cos(314t 30 90) 20cos(314t 60)
ui (ωt u ) (ωt i ) u i
ψui >0(Ψu >Ψi )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u ；
ψui<0(Ψu <Ψi )：称u相位滞后于i 或称i相位超前于u；
ψui =0 (Ψu =Ψi )：称u与i 同相 ；
ψui =±π： 称u与i反相 ； ψui =±(π／2) 称u与i正交。
tg
X R
.
|Z| X
ψz R
Z、|Z|、R、X的量纲皆为Ω，且满足“阻抗三角形”
对R、L、C元件，有： ZR R, ZL jωL jX L , ZC jω1C jXC
N个复阻抗串联：
阻XZXX=串<>抗000(“((ψψψkZ性NZZ1===质ZΨΨΨkuu”u--ΨΨ–：Ψii<>iX00R=))0：：)：kkUNN超滞11UU，RX前后kk同于I于 相但，I，， |INNNZ000z呈|呈呈(电k(电k电NN1阻1)|)感容Z性zk性k性(|谐U振复分K状数压态形公)ZZ式式串K的。UUjIRX串
（1）复数的表示法
Ⅰ.代数式（直角坐标式）
A a jb
a为实部,用Re 标记, a Re[A] b为实部,用Im标记, b Im[ A]
Ⅱ. 极坐标式（电路分析中常用）
A A cos φ j A sin φ A(cos φ j sin φ)
A e jφ Aφ
利用欧拉公式： e jφ cos φ j sin φ
例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？
1、若i1 10cos(100t 45) i2 100cos(200t 30)
则 45 30 15
2、若i1 10cos(314t 45) i2 20sin(314t 30)
则 45 30 15
解：i2 20cos(314t 30 90) 20cos(314t 60)
ui (ωt u ) (ωt i ) u i
ψui >0(Ψu >Ψi )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u ；
ψui<0(Ψu <Ψi )：称u相位滞后于i 或称i相位超前于u；
ψui =0 (Ψu =Ψi )：称u与i 同相 ；
ψui =±π： 称u与i反相 ； ψui =±(π／2) 称u与i正交。
tg
X R
.
|Z| X
ψz R
Z、|Z|、R、X的量纲皆为Ω，且满足“阻抗三角形”
对R、L、C元件，有： ZR R, ZL jωL jX L , ZC jω1C jXC
N个复阻抗串联：
阻XZXX=串<>抗000(“((ψψψkZ性NZZ1===质ZΨΨΨkuu”u--ΨΨ–：Ψii<>iX00R=))0：：)：kkUNN超滞11UU，RX前后kk同于I于 相但，I，， |INNNZ000z呈|呈呈(电k(电k电NN1阻1)|)感容Z性zk性k性(|谐U振复分K状数压态形公)ZZ式式串K的。UUjIRX串
第四章 正弦稳态分析
元件： 三、C元件： 元件
ω 设: uC = 2Uc cos( t +ψ u) du & C& 则: ic = C c ⇒Ic = jω Uc dt
Ic =ω c CU 〈 ψi =ψu +90°
UC = 1 IC C ω ψu =ψi −90°
& IC
1／( jωC) ／
& IC
Ψu
& UC
+
&— UC
交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如 交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值 如220V)； ； 耐压值、冲击值往往指最大值。 而耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V 二．正弦量的相量表示 1、正弦交流量的运算。列： 、正弦交流量的运算。 已知： 例：已知： u1 = 5 cos(ωt + 30 ° ) V , u 2 = 10 cos(ωt + 60 ° ) V
正弦稳态下R 等元件的VAR涉及建立正 正弦稳态下 、L、C 等元件的 涉及建立正 弦量微分方程，由以上可知正弦量微分方程 正弦量微分方程可对应 弦量微分方程，由以上可知正弦量微分方程可对应 为的相量的代数方程。 为的相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较 相量的代数方程 简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首 简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程， 相量法进行 先要确定电路元件的相量模型及 的相量形式。 先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式。 确定电路元件的相量模型及 的相量形式
知 ω 5 , ( t 已 i1 = 100 2 cos( t − 12 π )A u2 = 100sinω +15°)V, & I = 20e jπ/ 3A 求& ,U 及 I & i
第四章正弦稳态电路分析
30
0
+1
Chapter 4
4-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
i4
KCL: 时域内有: i 0
i1 i2
i3
例如: i4 i1 i2 i3 设各电路为同频率正弦量。则
Re 2I4e jt Re 2I1e jt Re 2I2e jt Re 2I3e jt Re 2 I1 I2 I3 e jt
u
Chapter 4
三. 相位差 在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正
弦量。
讨论同频率正弦量的相位差
设: u Um cost u i Im cost i
由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得
t u t i u i
即:同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。
Chapter 4
二. 相量图
已知正弦量可写出其相量,并能画出相量图。
例如: i 10 cos 314t 300 ， u 5cos 314t 600 V
I 10
26
U
5 600 V 2
或
Im
10
6
U m
560 0V
作相量图：相量的模为相量的长度,
+j U
幅角为初相。
60 I
注:在相量图上可做同频率正弦量 的加减（乘除）运算。
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 U m 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
Chapter 4 4-2 正弦量的相量表示
一、复习复数知识 1. 复数的表示的形式: ①代数形式 A=a+jb
第4章 正弦稳态电路分析
a Re 0
+1
(a)复平面表示的复数
(b)简画法
系
统 多
两种表示法之间的关系：
媒
体 室 制 作
|
A |
a2 b2
θ
arctan b a
a | A | cos
b |
A | sin
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2. 复数的运算
Im
(1) 加减运算——直角坐标
A+B
西
安 电
若
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
i
路 与
θ= (ω t + u ) - (ωt + i ) = u - i
0
系
t
统
多 媒 体
•若θ= u - i > 0， 称电压u(t)超前电流i(t) θ角，
u i θ
室 制
或i(t)落后u(t) θ角
作 •若θ= u - i < 0，称电压u(t)落后电流i(t) |θ|角，
或i(t)超前后u(t) |θ|角。
技 大
周期信号的有效值。
学
电
路 与 系
i(t) R
统
I R
I
2 RT
T 0
i 2 (t)R d t
多
媒
体
室 制 作
W AC
T i 2 (t)Rdt
0
WDC=I 2RT
故得交流电流i (t)的有效值
def
I
1 T
T 0
i2
(t)
d
t
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正弦交流电的有效值
第4章 正弦稳态电路分析4.6-4.7
R1 5 W
R2 3W
us
L 1H
C=0.05F
4.6 .2一端口网络的功率
设端口电压为
u (t ) U m cos( t u )
电流i是相同频率的正弦量，设为
i(t ) I m cos(t i )
1.二端电路(N)的瞬时功率
p(t ) u(t )i(t ) U m I m cos( t u ) cos( t i ) 1 1 p(t ) U m I m cos( u i ) U m I m cos(2t u i ) 2 2
（2）对于发电机、变压器等用电设备，它输出的 功率与负载有关，设备上标定的是视在功率。
4.二端电路(N)的无功功率 二端电路N的无功功率Q(或PQ)定义为
1 Q U m I m sin( u i ) UI sin( u i ) 2 Q 的单位：乏 (var)、千乏(kvar)。
P Pk
k 1
m
Q Qk
k 1
m
~ m ~ S Sk
k 1
~都不是正弦量，不能用相量表示。 P、Q、s
例题
例1：电路如图所示，电流 I 5 A ， 求电路的 P 、 PS和 。 解：此电路为R、L、C组成的单 口网络，求电路的平均功率 P 可 用几种方法。
I 5A
1 P T
平均功率
T
0
p( t )dt 0
电感不消耗能量，只与外电路或电源进行能量交换。
电感的瞬时储能
利用三角公式sin2
1 2 1 2 wL Li LI m sin 2 (t u ) 2 2
x=(1-cos2x)/2, 上式可改写成
第04章正弦稳态分析
IL jωL
U L
则:uL LddLitUL jωLIL
UL
I L
UL ωLIL u i 90
U LjX LIL
Ψi
当UL 一定时，ωL越大，IL 就越小，XL =ωL 称为感抗,量
纲[ωL]=[V]／[A]=[Ω], ω越大，XL 越大，高频信号就越难
ψui =±π： 称u与i反相 ； ψui =±(π／2) 称u与i正交。
例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？
1、若 i 1 1 c 1 0 o t 4 0 ) s 5 i 2 0 ( 1 c 2 0 o t 3 0 0 )
则 4 530 15
2、若 i 1 1 c 3 0 o t 4 1 ) s 5 i 4 2 ( 2 s 3 0 i t 3 n 1 )
d i id 2[ cR o(ω e s2 tI (e j ω t i)); ]R d d[ tid e (2 2 I ce jω oω t)st ] (Ri [e9 (20)jω ;Iejωt)]
dt dt
dt
d d的 ti 相 :jω 量 Iω 为 I 90
例2：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39
2ndF CPLX 5 a 4 b × 6 a 3 b =显示“18” b 显示
“39”
例3： 3j45 (126.)87
3 +/- a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“-126.8698…”
例4： 10 ∠-60° =5-j8.66…
10 a 60 +/- b 2ndF →xy 显示“5” b 显示“-8.66…”
第4章 正弦稳态电路的分析1
F1-F2 -F2
2、乘除运算 —— 采用极坐标式或指数式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F1
F e j(12 ) 2
F1 F2 (1 2 )
模相乘 角相加
F1 F2
| F1 | | F2 |
表明：两个同频率正弦量在任意时刻的相 位差均等于它们初相之差，与时间t无关。
相位差反映出两个正弦量在时间上的超前
和滞后关系：
>0， u超前i 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
<0， i 超前 u || 角，或u 滞后 i || 角, i 比 u
先到达最大值）。
第4章 正弦稳态电路的分析
本章内容
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的相量表示法 4.3 基尔霍夫定律的相量形式 4.4 正弦稳态电路的相量模型 4.5 阻抗与导纳 4.6 正弦稳态电路的相量分析法 4.7 正弦稳态电路的功率 4.8 谐振电路 4.9* 三相电路
重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 两类约束关系的相量形式 4. 阻抗和导纳 5. 正弦稳态电路的分析 6. 正弦稳态电路的功率分析 7. 串、并联谐振的概念
电路方程是微分方程：
+R
u
-
iL
L
+
uC-
C
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t)
电路特点：
已知
f (t) Fm cos(wt )
正弦量
复数
2、乘除运算 —— 采用极坐标式或指数式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F1
F e j(12 ) 2
F1 F2 (1 2 )
模相乘 角相加
F1 F2
| F1 | | F2 |
表明：两个同频率正弦量在任意时刻的相 位差均等于它们初相之差，与时间t无关。
相位差反映出两个正弦量在时间上的超前
和滞后关系：
>0， u超前i 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
<0， i 超前 u || 角，或u 滞后 i || 角, i 比 u
先到达最大值）。
第4章 正弦稳态电路的分析
本章内容
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的相量表示法 4.3 基尔霍夫定律的相量形式 4.4 正弦稳态电路的相量模型 4.5 阻抗与导纳 4.6 正弦稳态电路的相量分析法 4.7 正弦稳态电路的功率 4.8 谐振电路 4.9* 三相电路
重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 两类约束关系的相量形式 4. 阻抗和导纳 5. 正弦稳态电路的分析 6. 正弦稳态电路的功率分析 7. 串、并联谐振的概念
电路方程是微分方程：
+R
u
-
iL
L
+
uC-
C
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t)
电路特点：
已知
f (t) Fm cos(wt )
正弦量
复数
第四章正弦稳态相量分析(2)PPT课件
(12 9.62 j3.94) / j4
1.15 31.1 (A)
•
•
(6 j15)U 1 2U 2 j180
•
•
(2 j10)U 1 (3 j3)U 2 j120
•
U 1 9.62 j3.94 10.4 22.3 (V)
•
Z U 1 10.4 22.3 9.038.8
已知 is 8cos 2 105 t( A) 求出正弦稳态响应 u，i1，i2，i3 。
解：
Y
Y1
Y2
Y3
1 10
1 6 j8
j1 5
0.16 j0.12 0.236.87 (S)
•
•
U m I m / Y 40 36.87 (V)
•
•
I 1m U m Y1 40 36.9 0.1
u(t)
N
T
瞬时功率 p ui 2U cos t 2I cos t
UI[cos cos2 t ]
恒定分量 正弦分量（2）
1+cos2t
UI cos UI(cos 2t cos sin 2t sin)
0
sin2t
UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
•
•
400 I A (350 j500) I B 0
10.2 8 (V)
•
Z U s 100 103
•
IA
10.8 j11.1
450 j463
第6节 正弦稳态功率
一、有功功率和无功功率
1. 瞬时功率
设 u 2U cos t i 2I cos( t )
ip(t()t) UIcos
求从电压源看进去二端电路的阻抗。
第4章 正弦稳态电路的分析
4.2.1 复数 1.复数的表示方法
（1）复数的代数形式
设F为一个复数，则其代数形式为
F=a+jb a、b是任意实数
实部 虚数单位 虚部
j 1
复数 F 也可以用复平面内的一条有向线段来表示
+j
复数虚部
b
复数F的辐角
0
r
r a2 b2
F
a +1
arctan b
a
复数F的模 复数实部
（2）复数的三角函数形式
三角函数形式，即复数的实部与实部相加减；虚部与虚部相
加减。
例如
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
则
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则做图来完成
j
F1+F
2
F1
j F2
F1
F2
0
+1
（a） 复数相加
0
+1
F1-F2
-F2 （b） 复数相减
iL 2IL sin t
则有
uL
L
diL dt
2LIL cost
2LIL sin(t 90)
2U L sin(t 90)
UL LIL X L IL
ULm LILm X L ILm
XL
UL IL
L
这里XL称为电感元件的电抗，简称感抗；单位：欧姆[Ω]。
电感元件电流和电压的相量形式分别为
+j
b
F
a r cos b r sin
r
F r cos jr sin r(cos jsin)
0
a +1
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若u 有 U m c： ot su () Um 2U1.41U4
则U ：
T 10TUm 2co2( stu)d
t
Um 2 T
T1co2 st(2u)d
0
2
t
U Tm 22 tsin 24(t2u)T 0 U2 m0.70U7 m
同理 IIm ： , 2
Im2I1.4
1 I
4
交 流 表 指 示 值 、 铭 牌 交 流 额 定 值 通 常 指 有 效 值 ( 如 220V ， 380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V
φui =0 (Ψu =Ψi ) 称u与i同相 φui =±π 称u
iu iu iu
0
φi
Ψi Ψu
iu
ωt
φui =±(π／2) 称u与i正交
与i反相
3．振幅(幅值、最大值)与有效值的关系 有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内 流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间T内 流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。
第四章 正弦稳态分析
正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的应用极为广泛。电
路在以正弦规律变化的激励的作用下的各线性元件的响应的变化 规律的分析是电路分析的又一重点。
第一节 正弦量及其描述
一正正．弦弦正电电弦流压量u i的 时U Im 域m cc 表示o o sts t (( u i))
u(t) Um
0 T i2 R d 0 T It 2 R d I2 R t TIT 1 正0 弦T i2 量d 及其有方t效均描值根述即值
符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值： I ， U ， U1 ， 相应的大写字母。
正弦量有效值与最大值的关系：
1 2
A1 A2
12
复数的四则运算可用具复数计算功能的计算器直接计算
例：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39
2ndF CPLX 5 a 4 b × 6 a 3 b =显示“18” b 显示“39”
形法则或多边形法则进行 A1±A2 =(a1±a2) + j(b1±b2) 复数乘、除 ――宜用极坐标形式进行：
A1·A2 = |A1|ejφ1·|A2| ejφ2 =|A1||A2| ej(φ1 +φ2 )
A1·A2 =|A1|∠φ1·|A2|∠φ2 =|A1||A2|∠(φ1 +φ2)
A1 A1 A2 A2
A a2 b2(0)
正弦量的频域表示
Arctgba(逆时针角度 ,反为 之正 为 ) 负
+j φ=π-arctg|b/a|, a<0, b>0
atrg (b ca )为 Atrg (b ca )在主值范围
φ=arctg(b/a), a>0, b>0
内(-π/2~ +π/2)的取值，φ所在象限的正
3. 1 263 .8 69j84 … ” 3242Atrg c4 35 (artg c 3 418 )0
5 (53.1 138 ) 05 (126).87
注意到此例分子分母均负，因而为第三象限角。
例2：将10∠-60 → x, y
1. 10 INV P→R 60 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“-8.66…”
其相位变化了 2π弧度, ωT=2π
ω 2π2πf
T
低频(音频) ≤20kHz，如工频 f =50Hz(ω=314rad/s T = 0.02s)；
f 中频 几百kHz，如我国电台中波：535～正1弦605量kH及z；其描述
高频 几MHz以上，如电视信号：几十～几百MHz．
2．相(位)角、初相(角)与相位差 （正弦波变化的进程要素）
φ=arctg(b/a), a>0, b<0
负与a、b正负的关系如图 复数代数形式与极坐标形式的计算器互换
φ=arctg|b/a|-π, a<0, b<0
例1：将-3-j4 → r∠θ .
1. 3 +/- INV R→P 4 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“-
2. 1326+.8/6- 98a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“-
相角：如(ωt+Ψi )，反映正弦量的变化进程。
初相:Ψi =(ωt+Ψi )|t=0, 即t = 0时刻的相
角,与计时起点有关，其SI单位为rad
i(t)
且πrad =180°；1°=(π/180)rad .
Im
Ψ=0的正弦量可视为参考正弦量；
0
ωt
Ψi为纵轴左边正向最大值的点与原点间的 最短距离。(纵轴右边正向最大值的点与
2. 10 a 60 +/- b 2ndF xy 显示“5” b 显示“-8.66…”
3. 10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66…
复数的四则运算 设A1 =a1+jb1 = |A1|∠φ1 , A2 =a2+jb2 =|A2|∠φ2, 复数加、减 ――宜用代数形式进行或在复平面上用平行四边
相位差φ：=两同频率正弦量的相角之差，正对弦两量个同及频其率描的述正弦
ω ω 量而言，其相位差等于它们的初相之差(与t无关的常数)。 u i( tu ) (ti)u i
φui >0(Ψu >Ψi )：称
ui
u相位超前于i或称i
u，i u
i
相位滞后于u
φui<0(Ψu <Ψi )：称 u相位滞后于i 或 称i相位超前于u
Ψi Ψi′
原点间的最短距离计为负值)。
图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi )=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im ]；
同理，Ψi' <0 . 通常在 |Ψi |≤π 的主值范围内取值，这样可使波形表达式唯一。
不满足此式时，可通过±2π 来获得其主值范围。
例 : i I m c t 如 o 3 ) I s m 1 c ( t 5 o 3 3 s 1 ) I m 6 ( c 5 t 0 o 4 )
0
ωt
Im 、Um ─振幅(最大值)；
三要素
ω ─角频率；
Ψi 、Ψu ─初相角。
Ψu 2π
(=ωT )
1．周期T 、频率f和角频率ω
（正弦波变化快慢要素）
T—正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，μs
f—正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ω—相角随时间变化的速率， ωddt(ωtΨi)。正弦量变化一周时
则U ：
T 10TUm 2co2( stu)d
t
Um 2 T
T1co2 st(2u)d
0
2
t
U Tm 22 tsin 24(t2u)T 0 U2 m0.70U7 m
同理 IIm ： , 2
Im2I1.4
1 I
4
交 流 表 指 示 值 、 铭 牌 交 流 额 定 值 通 常 指 有 效 值 ( 如 220V ， 380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V
φui =0 (Ψu =Ψi ) 称u与i同相 φui =±π 称u
iu iu iu
0
φi
Ψi Ψu
iu
ωt
φui =±(π／2) 称u与i正交
与i反相
3．振幅(幅值、最大值)与有效值的关系 有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内 流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间T内 流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。
第四章 正弦稳态分析
正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的应用极为广泛。电
路在以正弦规律变化的激励的作用下的各线性元件的响应的变化 规律的分析是电路分析的又一重点。
第一节 正弦量及其描述
一正正．弦弦正电电弦流压量u i的 时U Im 域m cc 表示o o sts t (( u i))
u(t) Um
0 T i2 R d 0 T It 2 R d I2 R t TIT 1 正0 弦T i2 量d 及其有方t效均描值根述即值
符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值： I ， U ， U1 ， 相应的大写字母。
正弦量有效值与最大值的关系：
1 2
A1 A2
12
复数的四则运算可用具复数计算功能的计算器直接计算
例：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39
2ndF CPLX 5 a 4 b × 6 a 3 b =显示“18” b 显示“39”
形法则或多边形法则进行 A1±A2 =(a1±a2) + j(b1±b2) 复数乘、除 ――宜用极坐标形式进行：
A1·A2 = |A1|ejφ1·|A2| ejφ2 =|A1||A2| ej(φ1 +φ2 )
A1·A2 =|A1|∠φ1·|A2|∠φ2 =|A1||A2|∠(φ1 +φ2)
A1 A1 A2 A2
A a2 b2(0)
正弦量的频域表示
Arctgba(逆时针角度 ,反为 之正 为 ) 负
+j φ=π-arctg|b/a|, a<0, b>0
atrg (b ca )为 Atrg (b ca )在主值范围
φ=arctg(b/a), a>0, b>0
内(-π/2~ +π/2)的取值，φ所在象限的正
3. 1 263 .8 69j84 … ” 3242Atrg c4 35 (artg c 3 418 )0
5 (53.1 138 ) 05 (126).87
注意到此例分子分母均负，因而为第三象限角。
例2：将10∠-60 → x, y
1. 10 INV P→R 60 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“-8.66…”
其相位变化了 2π弧度, ωT=2π
ω 2π2πf
T
低频(音频) ≤20kHz，如工频 f =50Hz(ω=314rad/s T = 0.02s)；
f 中频 几百kHz，如我国电台中波：535～正1弦605量kH及z；其描述
高频 几MHz以上，如电视信号：几十～几百MHz．
2．相(位)角、初相(角)与相位差 （正弦波变化的进程要素）
φ=arctg(b/a), a>0, b<0
负与a、b正负的关系如图 复数代数形式与极坐标形式的计算器互换
φ=arctg|b/a|-π, a<0, b<0
例1：将-3-j4 → r∠θ .
1. 3 +/- INV R→P 4 +/- = 显示“5” X Y 或 显示“-
2. 1326+.8/6- 98a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“-
相角：如(ωt+Ψi )，反映正弦量的变化进程。
初相:Ψi =(ωt+Ψi )|t=0, 即t = 0时刻的相
角,与计时起点有关，其SI单位为rad
i(t)
且πrad =180°；1°=(π/180)rad .
Im
Ψ=0的正弦量可视为参考正弦量；
0
ωt
Ψi为纵轴左边正向最大值的点与原点间的 最短距离。(纵轴右边正向最大值的点与
2. 10 a 60 +/- b 2ndF xy 显示“5” b 显示“-8.66…”
3. 10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66…
复数的四则运算 设A1 =a1+jb1 = |A1|∠φ1 , A2 =a2+jb2 =|A2|∠φ2, 复数加、减 ――宜用代数形式进行或在复平面上用平行四边
相位差φ：=两同频率正弦量的相角之差，正对弦两量个同及频其率描的述正弦
ω ω 量而言，其相位差等于它们的初相之差(与t无关的常数)。 u i( tu ) (ti)u i
φui >0(Ψu >Ψi )：称
ui
u相位超前于i或称i
u，i u
i
相位滞后于u
φui<0(Ψu <Ψi )：称 u相位滞后于i 或 称i相位超前于u
Ψi Ψi′
原点间的最短距离计为负值)。
图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi )=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im ]；
同理，Ψi' <0 . 通常在 |Ψi |≤π 的主值范围内取值，这样可使波形表达式唯一。
不满足此式时，可通过±2π 来获得其主值范围。
例 : i I m c t 如 o 3 ) I s m 1 c ( t 5 o 3 3 s 1 ) I m 6 ( c 5 t 0 o 4 )
0
ωt
Im 、Um ─振幅(最大值)；
三要素
ω ─角频率；
Ψi 、Ψu ─初相角。
Ψu 2π
(=ωT )
1．周期T 、频率f和角频率ω
（正弦波变化快慢要素）
T—正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，μs
f—正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ω—相角随时间变化的速率， ωddt(ωtΨi)。正弦量变化一周时