一般常数项级数

一、交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1
1，
1 n
n2
因为
先判断
lim n
n
un
lim
n
1 2
1
1 n
n
e 1 2
由根值判别法，级数 un n1
发散，故
lim
n
un
0，
从而题设级数发散.
小结
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.绝对收敛
法 5.交错级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例3
判别级数
n1
s
i n
nn
2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
例4
判定级数
（
n1
1）n
nn1
n+1！
的敛散性.
解
级数为交错级数.un
（
1）n
nn1 ，先判断
n+1！
级数 un =
n1
n1
nn1
n+1 ！是否收敛.
因为
lim
n
un1 un
lim
n
n+1n2 n+1 1！
n+1！
nn1
lim
n
n
n
1
n
n 12 nn 2
lim
n
1
1 n
n
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
e
1.
由比值判别法，级数 un 发散，从而题设 n1
级数不是绝对收敛.
又因为
lim un1 u n
n
1
,所以当
n
充分大时，
un1 un
,
故
lim
n
un
0
,从而题设级数发
散.
例5
判定级数
n1
1n
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1 2n
1
1 n
n2
的敛散性.
解级数级n1数un为=n交1 21n错1级n1 数n2 ,是u否n 收敛1 n.21n
(莱布尼茨定理)
练习题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还
是条件收敛?
1、
n1
( 1) n1
n 3 n1
；
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
例2 判定级数
（
1）n1
ln
n
n2
n
的敛散性.
解 级数为交错级数.令 f (x) ln x ，则
x
f
(
x)
1
ln x2
收敛.
（
1）n1
ln
n
n2
n
二、一般常数项级数
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
证明
令
vn
1 2 (un
un
)
(n 1,2, ),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
x
0(
x
3)
即当 x 3 时，f (x) 0 ，所以在[3， ）上，
f (x) 单调减少.于是当 n 3 时，f (n) f (n 1)，
即 un un1，(n 3, 4,L ) ,又利用洛必达法则
有
ln n
ln x
1
lim lim lim 0.
n n x x x x
所以，由莱布尼兹定理知，级数