勾股定理及逆定理 课件

勾股定理
【知识点介绍】
1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即： 222c b a =+。

2、勾股数
满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 【考点解析】
考点一：勾股定理的直接应用
例1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A 、第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10
例2．如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm
例3. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家， 若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家， 小红和小颖家的直线距离为（ ）。

A 、600米
B 、800米
C 、1000米
D 、不能确定
考点二：求第三条边的长
例1．若Rt ABC 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26
例2．若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25
考点三：与高、面积有关
例1．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．3
10 C.25 D ．
5
12 例2．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是2_____cm
【变式练习】
1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3
B 、a=7,b=24,c=25
C 、a=6, b=8, c=10
D 、a=3,b=4,c=5
3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形.
4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
5、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。

A ．122
cm B ．62
cm C ．8 2
cm D ．92
cm
6．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
7．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ）
A 、121
B 、120
C 、90
D 、不能确定
8．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
勾股定理的逆定理
【知识点介绍】 1、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1）先确定最大边（如c ）
（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系
（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形； 若2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。

【例题精讲】
例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。

（填“合格”或“不合格” ）
例2．试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角形？
【变式练习】
1．在△ABC 中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m ，求△ABC 三边的长。

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为362cm ，642cm ，则以斜边为边长的
正方形的面积为__________2
cm .
3. 在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________.
4. 一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是__________. 5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

6、直角三角形的三边长为连续偶数，则其这三个数分别为__________.
7. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处．旗杆折断之前有__________米.
8. 如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是__________m.
勾股定理的应用
【勾股定理的应用】
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【例题精讲】
题型一：勾股定理的综合应用 例1、 如图1，︒=∠90ACB ，BC=8，
AB=10，CD 是斜边的高，求CD 的长？ （面积法应用）
例2、有一块土地形状如图3所示，︒
=
∠
=
∠90
D
B，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）
3、如图，求该四边形的面积
题型二：折叠问题（图形与方程的综合）
例1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E
为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好
落在DC边上的点G处，求BE的长。

图4
E
G C
D
B
A
D
C
B
A
图3
例2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？
题型三：勾股定理的应用
例1、如图7，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于A点，CB⊥AB 于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得
C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？
例2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。

E
B
C
D
A
例3、在一棵树的10m处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度。

例4、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC= BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由。

【课后作业】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A ：4，5，6
B ：1，1：6，8，11 D ：5，12，23
2、有长度为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 、24cm ，则斜边上的高为（ ）
A ．6cm
B ．17cm
C ．24013cm
D ．120
13cm
4．有下面的判断：
①△ABC 中，222
a b c +≠，则△ABC 不是直角三角形。

②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则222
a b c +=。

③若△ABC 中，222
a b c -=，则△ABC 是直角三角形。

④若△ABC 是直角三角形，则
2a b a b c （+）(-)=。

以上判断正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5．若△ABC 中，∠A=2∠B=3∠C ，则此三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 二、简答题
1、在△ABC 中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求CD 的长？
2．如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

3．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。