学案3：8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行(教学说课)课件高一下学期数学人教A版
四、课堂小结
1、通过本节课的学习，你学会了哪些判定面面平行的方法? 2、面面平行的判定定理体现了什么思想?
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提 高学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
五、作业布置
教科书142页练习第1、2、3题
设计意图：检验学生平面与平面判定定理的的掌握情况，提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
图形表示：
（2）观察长方体各个面之间是怎样的位置关系？
（3）大家观察一下教室，是否可以发现面面平行的例子？
二、探索新知
问题2：我们已经研究了直线与平面的平行判定定理，那么两个平面具 有什么条件才能平行呢?
追问1：可是平面可以无限延展，我们很难判断两个平面是否有公共点， 是否有更简便的判断方法呢？
追问2：平面中有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验，能否将 “无数条直线”减少为“有限条直线”呢？减少为几条就可以了呢？
平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 图形语言：
练习2 判断下列命题是否正确．
设计意图：通过练习，强化学生对定理的理解和巩固，特别是对定理中相 交直线的重视，提高学生的理解能力.
三、典例探究
设计意图：通过例题讲解，进一步理解用平面与平面平行的判定定理证明两平面 平行，提高学生解决问题的能力；通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问 题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
（1）探究并理解平面与平面平行的定义探究，体会立体几何 中研究位置关系的判定和性质的方法，发展学生的数学抽象、逻辑 推理、直观想象的核心素养.
教学重点：平面与平面平行的判定定理的掌握和应用
《平面与平面平行的判定》教学设计、导学案、同步练习
《8.5.3 平面与平面平行》教学设计第1课时平面与平面平行的判定【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。
本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。
空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。
而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。
本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。
【教学目标与核心素养】【教学重点】：空间平面与平面平行的判定定理；【教学难点】：应用平面与平面平行的判定定理解决问题。
【教学过程】3.怎样判断两平面平行？ 二、探索新知1.思考：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？ 【答案】平行，平行探究：如图8.5-11（1）,a 和b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图8.5-11（2),c 和d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】硬纸片与桌面可能相交，如图，三角尺与桌面平行，如图，平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .符号表示：图形表示：注意：线面平行→面面平行练习：判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；通过思考与探究，让学生思考怎样判断两平面平行，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过符号与图形表示定理，提高学生分析问题的能力。
【新教材】8.5.3.1 平面与平面平行的判定 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版必修第二册
8.5.3.1 平面与平面平行的判定【新知初探】要点平面与平面平行的判定定理注意定理条件中直线a和b相交文字语言如果一个平面内的与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言[判断]1.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.( )2.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.( )3.若α∥β，β∥γ，则α∥γ.( )4.若a⊂α，α∥β，则a∥β.( )[训练]在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【题型通关】题型一面面平行判定定理的理解【例1】α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是() A.α，β都平行于直线l，m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥β D.l,m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β跟踪训练1如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是()A.这两个角相等B.这两个角互补C.这两个角所在的两个平面平行D.这两个角所在的两个平面平行或重合题型二平面与平面平行的证明【例2】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.跟踪训练2 在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝2a，E，F分别是AD，AB的中点.证明：平面EFB1D1∥平面BDC1.题型三线面平行与面面平行的综合应用角度1面面平行中点的位置的确定【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?角度2平行关系的探究【例4】已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG 为△SAB中边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG 与平面DEF的位置关系，并给予证明.跟踪训练3 如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△P AB的重心.(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.【课堂达标】1.在正方体中，相互平行的面不会是()A.前后相对侧面B.上下相对底面C.左右相对侧面D.相邻的侧面2.下列命题中正确的是()A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.4.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面P AC？证明你的结论.【札记】参考答案【新知初探】两条相交直线【基础自测】[判断]1.×两平面也可能相交.2.√3.√4.√[训练]解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，∴平面E1FG1∥平面EGH1.答案 A【题型通关】【例1】解析对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；对C，当l∥m时，不能推出α∥β；对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.答案 D跟踪训练1答案 D【例2】证明在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.跟踪训练2 证明连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P.由题意知，BD∥B1D1.∵BD ⊄平面EFB 1D 1， B 1D 1⊂平面EFB 1D 1， ∴BD ∥平面EFB 1D 1， 又∵A 1B 1＝a ，AB ＝2a ， ∴MC 1＝12A 1C 1＝22a .又∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴NP ＝14AC ＝22a . ∴MC 1＝NP . 又∵AC ∥A 1C 1， ∴MC 1∥NP .∴四边形MC 1PN 为平行四边形. ∴PC 1∥MN .∵PC 1⊄平面EFB 1D 1，MN ⊂平面EFB 1D 1， ∴PC 1∥平面EFB 1D 1，∵PC 1∩BD ＝P ，PC 1，BD ⊂平面BDC 1， ∴平面EFB 1D 1∥平面BDC 1.【例3】解 当Q 为C 1C 的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . 证明如下：在△DBD 1中，P 是DD 1中点，O 为DB 中点， ∴PO ∥D 1B ，又∵PO ⊂平面P AO ，D 1B ⊄平面P AO ， ∴D 1B ∥平面P AO .在正方体中，BQ ∥AP ，BQ ⊄平面P AO ， P A ⊂平面P AO ， ∴BQ ∥平面P AO ，又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面P AO，即当点Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.【例4】解分析可知SG∥平面DEF.证明如下：法一连接CG，交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点.∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可得DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF，DF⊂平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.跟踪训练3(1)证明分别连接P A′，PB′，PC′并延长交BC，AC，AB于点D，E，F，连接DE，EF，DF.∵点A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心，∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF ， ∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC . 又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)解 由(1)知A ′C ′∥DF 且A ′C ′＝23DF ， 又DF ∥AC 且DF ＝12AC ， ∴A ′C ′∥AC 且A ′C ′＝13AC . 同理，A ′B ′∥AB 且A ′B ′＝13AB ， B ′C ′∥BC 且B ′C ′＝13BC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC ， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9. 【课堂达标】1.解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D. 答案 D2.解析 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B. 答案 B3.解析 在△P AB 中，因为D ，E 分别是P A ，PB 的中点， 所以DE ∥AB .又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.答案平行4.解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案①②③④5.解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，又P为DD1的中点，则PO∥D1B.∵BD1⊄平面P AC，OP⊂平面P AC，故D1B∥平面P AC.又因为M为AA1的中点，故D1M∥P A，又D1M⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，从而D1M∥平面P AC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以平面α∥平面P AC.。
人教A版(2019)高中数学必修二 8 5 3平面与平面平行 教案
8.5.3平面与平面平行高一数学组备课组一、教材分析本节内容选自普通高中数学高一必修第二册（A版）第八章《立体几何初步》8.5.3节，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。
本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知操作确认(合情推理)，归纳出平面与平面平行的判定定理。
本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。
二、教学目标1．结合具体实物探究并理解平面与平面平行的判定定理，培养学生观察问题和分析问题的能力，发展直观想象素养；2．探究并证明平面与平面平行的性质定理，提升学生逻辑推理素养．三、教学重难点教学重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理．教学难点：判定定理的探究中将“任意直线”转化为“两条相交直线”，性质定理的探究中第三个平面的提出．四、教学过程一、情景引入两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．数学中的“定义”都是充要条件，类似于研究直线与平面平行的判定那样，能否简化平面与平面平行的判定方法呢？【设置意图】有利于学生今后对两个平面平行的理解，有利于基本几何元素位置关系的转化，有利于探究意识的形成．二、探究新知问题：平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验，能否将“一个平面内的任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少，得到更简便的方法？【设置意图】在学生猜想的基础上，师生对话，举出反例．探究：根据基本事实的推论2，3，两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线与另一个平面平行”和“一个平面内两条相交直线与另一个平面平行”，能否判断这两个平面平行？在学生动手操作、合情猜想的基础上，设计如下“观察—探究”的活动：如图1(1)，a，b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片和桌面平行吗？如图1(2)，c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？【设置意图】通过层层递进的问题，将“利用定义”判断，转化为“利用任意直线”来判断，再转化为“利用两条相交直线”来判断．体现了直观感知、操作确认这一立体几何的研究方法在发现图形位置关系中的作用．问题：为什么不能用一个平面内两条平行直线平行于另一个平面判断两个平面平行，而可以用两条相交直线平行另一个平面判断两个平面平行？联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？如图8．5－12，在平面A ADD ''内画一条与A A '平行的直线EF ，显然A A '与EF 都平行于平面D DCC ''，但这两条平行直线所在的平面A ADD ''与平面D DCC ''相交．如图8.5-13的长方体模型中，平面ABCD 内两条相交直线AC ，BD 分别与平面A ′B ′C ′D ′内两条直线A ′C ′，B ′D ′平行 ．由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC ，BD 都与平面A ′B ′C ′D ′平行．此时，平面ABCD 平行于平面A ′B ′C ′D ′．定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ．它可以用符号表示为：//////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒，，，，问题：在实际生活中，你见过工人师傅怎样判断两个平面平行吗？你能说明这么做的道理吗？【设置意图】使学生了解判定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对判定定理的理解．三、例题精讲例已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1B D．追问：（1）看到要证明的结论，你能想到用什么方法？（学生活动预设：两个平面平行的判定定理．）（2）你能发现平面AB1D1和平面C1BD中哪个平面中的两条相交直线平行另一个平面吗？又怎样证明一条直线平行于一个平面呢？问题：下面我们研究平面与平面平行的性质．类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？追问：从哪些角度考虑我们能得到的结论？追问：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候这两条直线平行呢？你能够将上面的探究结果抽象为一般结论，并证明你的结论吗？定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．例题求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB ＝C D ．追问：证明两条线段相等的方法很多，在本题条件下，要证明AB ＝CD ，你想到了什么？【设置意图】熟悉性质定理的应用，规范格式，了解平面与平面其他的一些性质．四、巩固练习1.判断下列命题是否正确．（1）已知平面βα，和直线n m ，，若ββαα////n m n m ，，，⊂⊂，则βα//．（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则βα//．（3）平行于同一条直线的两个平面平行．2.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E N M ，，，分别是棱11111111D C C B D A B A ，，，的中点．求证：平面//AMN 平面.DBEF五、课堂小结小结：直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法,你还有哪些疑惑？【设置意图】梳理本节课内容，提升学生的语言表达能力.六、课后作业1.如图，直线C C B B A A '''，，相交于点O ，O A AO '=，O B BO '=，O C CO '=.求证：平面//ABC 平面C B A '''.2.如图，在三棱锥ABC P -中，R F E D ，，，分别是棱AB PC PB PA ，，，上的点，且平面//DEF 平面ABC ，直线PR 交直线DE 于Q .求证：直线//CR 直线FQ .七、教后回顾反思：1.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知操作确认(合情推理)，归纳出平面与平面平行的判定定理。
学案4：8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行[素养目标·定方向]素养目标学法指导1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理) 2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理) 3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)借助长方体，通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.[必备知识·探新知]知识点1两个平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的__ _与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言知识点2两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__ _符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒___图形语言[知识解读]1．剖析平面与平面平行的判定定理(1)具备两个条件判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件.①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)体现了转化思想此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.2．解读平面与平面平行的性质定理(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可.(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.3．两个平面平行的一些常见结论(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.[关键能力·攻重难]题型探究题型一两个平面平行的判定典例1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．[归纳提升]平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【对点练习1】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q 分别在P A，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.题型二面面平行性质的应用典例2如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.求证：四边形EHFG为平行四边形.【对点练习2】如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.题型三线线、线面、面面平行的转化典例3如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.求证：直线EE1∥平面FCC1．[归纳提升]空间中各种平行关系相互转化关系的示意图【对点练习3】(1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.求证：AF∥平面BDE.(2)将本例改为：如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．参考答案[必备知识·探新知]知识点1两个平面平行的判定定理两条相交直线知识点2两个平面平行的性质定理平行a∥b[关键能力·攻重难]题型探究题型一两个平面平行的判定典例1证明：如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．【对点练习1】证明：∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN ∥PB ，∴QN ∥平面PBC ， 同理PM ︰MA ＝PQ ︰QD ，∴MQ ∥AD . 又底面ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ， ∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面PBC .而MQ ∩NQ ＝Q ，MQ ⊂平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ， ∴平面MNQ ∥平面PBC . 题型二 面面平行性质的应用 典例2 证明：⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∩α＝AC 平面ABC ∩β＝EG α∥β⇒AC ∥EG . 同理AC ∥HF .⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形.【对点练习2】 证明：因为D ，E 分别是P A ，PB 的中点，所以DE ∥AB . 又DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .同理DF ∥平面ABC ，且DE ∩DF ＝D ， 所以平面DEF ∥平面ABC .又平面PCM ∩平面DEF ＝NF ，平面PCM ∩平面ABC ＝CM ，所以NF ∥CM . 题型三 线线、线面、面面平行的转化典例3 证明：因为F 为AB 的中点，所以AB ＝2AF 又因为AB ＝2CD ，所以CD ＝AF ， 因为AB ∥CD ，所以CD ∥AF ， 所以AFCD 为平行四边形，所以FC ∥AD ，又FC ⊄平面ADD 1A 1， AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以FC ∥平面ADD 1A 1，因为CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1，所以CC 1∥平面ADD 1A 1，又FC ∩CC 1＝C ， 所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1．又EE 1⊂平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1．【对点练习3】证明：(1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EF AG为平行四边形，又AF⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，所以AF∥平面BDE.法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，因为MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．而NK与MK相交，所以平面MNK∥平面ADD1A1．因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．。
人教A版新教材高中数学第二册学案1：8.5.3平面与平面平行
8.5.3 平面与平面平行『导学聚焦』『问题导学』预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？『新知初探』1．平面与平面平行的判定定理■名师点拨(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理■名师点拨(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．『基础自测』判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对下列命题正确的是()A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥βB．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面αC．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面αD．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．『探究互动』探究点一平面与平面平行的判定『例1』如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .『互动探究』『变条件』把本例(2)的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?【规律方法】证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．『跟踪训练』已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.探究点二面面平行性质定理的应用『例2』如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.『互动探究』1．『变条件』在本例中将M ，N 分别为AB ，CD 的中点换为M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且AM MB ＝CNND ，其他不变．证明：MN ∥平面α.2．『变条件、变问法』两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A ，B ，C 和D ，E ，F ，求证：AB BC ＝DE EF .『规律方法』应用平面与平面平行性质定理的基本步骤『提醒』 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．『跟踪训练』如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．探究点三平行关系的综合问题『例3』在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【规律方法】解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．『跟踪训练』如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.『达标反馈』1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．——★参*考*答*案★——『新知初探』1．两条相交直线a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α2．平行a∥b『基础自测』『答案』：(1)×(2)√(3)×『答案』：C『答案』：D『解析』：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG，同理EH∥FG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形．『答案』：平行四边形『探究互动』探究点一平面与平面平行的判定『例1』『证明』(1)因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C，同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF ∥AD ，又因为GF ＝AD ，所以四边形ADFG 是平行四边形， 所以AG ∥DF ，所以B 1E ∥DF ，所以DF ∥平面EB 1D 1. 又因为BD ∩DF ＝D ，所以平面EB 1D 1∥平面FBD . 『互动探究』解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明：在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1，连接AM ，FM ，则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM ，同理，FM ═∥CD ， 又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形，所以AM ∥BF ，即有D 1E ∥BF . 又BF ⊂平面FBD ，D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD .又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形，故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ，从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB 1D 1∥平面FBD . 『跟踪训练』证明：因为PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，所以MQ ∥AD ，NQ ∥BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，所以NQ ∥平面PBC ， 又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，所以MQ ∥BC . 而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，所以MQ ∥平面PBC . 又MQ ∩NQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PBC . 探究点二面面平行性质定理的应用 『例2』『证明』 如图，过点A 作AE ∥CD 交α于点E ，取AE 的中点P ， 连接MP ，PN ，BE ，ED ，BD ，AC .因为AE ∥CD ，所以AE ，CD 确定平面AEDC .则平面AEDC ∩α＝DE ，平面AEDC ∩β＝AC ，因为α∥β，所以AC ∥DE ，又P ，N 分别为AE ，CD 的中点，所以PN ∥DE ，PN ⊄α，DE ⊂α，所以PN ∥α.又M ，P 分别为AB ，AE 的中点，所以MP ∥BE ，且MP ⊄α，BE ⊂α.所以MP ∥α，因为MP ∩PN ＝P ，所以平面MPN ∥α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.『互动探究』1．证明：作AE ∥CD 交α于点E ，连接AC ，BD ，如图．因为α∥β且平面AEDC 与平面α，β的交线分别为ED ，AC ，所以AC ∥ED ，所以四边形AEDC 为平行四边形，作NP ∥DE 交AE 于点P ，连接MP ，BE ，于是CN ND ＝AP PE. 又因为AM MB ＝CN ND ，所以AM MB ＝AP PE，所以MP ∥BE . 而BE ⊂α，MP ⊄α，所以MP ∥α.同理PN ∥α.又因为MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.2．证明：连接AF 交平面β于点M ，连接MB ，ME ，BE ，AD ，CF ，因为α∥β，所以ME ∥AD .所以DE EF ＝AM MF ，同理，BM ∥CF ， 所以AB BC ＝AM MF ，即AB BC ＝DE EF. 『跟踪训练』解：(1)证明：因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，所以AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PC CD ，所以45＝3CD， 所以CD ＝154(cm)，所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)． 探究点三平行关系的综合问题『例3』『解』 (1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD ，同理B 1D 1∥平面C 1BD .又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD .(2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E .又因为AO 1⊂平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1，平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ，平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .『跟踪训练』证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，因为MP ∥BB 1，所以CM MB 1＝CP PB. 因为BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，所以B 1M ＝BN ，所以CM MB 1＝DN NB， 所以CP PB ＝DN NB，所以NP ∥CD ∥AB . 因为NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以NP ∥平面AA 1B 1B .因为MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B .所以MP ∥平面AA 1B 1B .又因为MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，所以平面MNP ∥平面AA 1B 1B .因为MN ⊂平面MNP ，所以MN ∥平面AA 1B 1B .『达标反馈』1．『解 析』：选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2.『解 析』：选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 3．『解 析』：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5，所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝⎛⎭⎫222＝322. 所以截面面积为12(2＋22)×322＝92. 『答 案』：924.证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面α＝FG ， 所以AB ∥FG ，所以EH ∥FG ，同理由CD ∥平面α可证EF ∥GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形．。
【新教材】8.5.3.2 平面与平面平行的性质 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版必修第二册
8.5.3.2 平面与平面平行的性质【新知初探】要点两平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒图形语言[判断]1.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.( )2.夹在两平行平面间的平行线段相等.( )[训练]1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线【题型通关】题型一利用面面平行的性质定理求线段长【例1】如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.跟踪训练1如图，已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________.题型二利用面面平行的性质定理证明线线平行【例2】如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.跟踪训练2如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.题型三平行关系的综合应用【例3】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.跟踪训练3如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.【课堂达标】1.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.02.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝22，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.【札记】参考答案【新知初探】平行a∥b【基础自测】[判断]1.×直线l和m也可能是异面直线.2.√[训练]1.解析由面面平行的性质定理易得.答案 A2.解析由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.答案 D【题型通关】【例1】解设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC＋CD＝SASB，即SCSC＋34＝39，所以SC＝17.跟踪训练1解析由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，所以ABAC＝DEDF，所以AC＝DFDE·AB＝52×6＝15.答案15【例2】证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.跟踪训练2证明因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 【例3】(1)证明如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)解由(1)易知PQ＝12D1C＝22a.(3)证明法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝12B1C1.又BE∥B1C1且BE＝12B1C1，所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1， 所以四边形BEFO 1为平行四边形， 所以EF ∥BO 1.又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D . 又EF ⊂平面EE 1F ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .跟踪训练3 解 能.如图，分别取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，平面A 1MCN ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1N ，平面ABCD ∩平面A 1MCN ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理A 1M ∥NC . ∴四边形A 1MCN 是平行四边形.∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ， ∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1.同理A 1M ∥BP .又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，A 1N ，A 1M ⊂平面A 1MCN ，C 1P ，PB ⊂平面PBC 1，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN. 连接MN，作A1H⊥MN于点H.由题意，易得A1M＝A1N＝5，MN＝2 2.∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝2，∴A1H＝ 3.故S菱形A1MCN ＝2S△A1MN＝2×12×22×3＝2 6.【课堂达标】1.解析根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.答案 C2.解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.答案 D3.解析由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.答案 B4.解析设平面AB1C∩平面A1C1＝m.∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面A1C1，∴EF∥m.又平面A1C1∥平面AC，平面AB1C∩平面A1C1＝m，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴m∥AC，∴EF∥AC.又A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.∵E为A1D1的中点，∴EF＝12A1C1＝2.答案 25.证明过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则B1EB1A＝B1GB1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B.∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.。
8.5.3平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行教案课题平面与平面平行单元第八单元学科数学年级高二教材分析本节内容是空间平面与平面平行，由生活实例导入，进而引出本节要学的内容。
教学目标与核心素养1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察平面与平面平行关系。
2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。
4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。
重点平面与平面平行判定，平面与平面平行性质难点平面与平面平行判定定理应用，平面与平面平行性质定理应用教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课上一节我们知道了如何证明线面平行及线面平行的性质，那么面面平行如何证明又有怎样的性质呢？学生思考问题，引出本节新课内容。
问题导入引出新知。
讲授新课 1.探究：根据基本事实的推论2,3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面，由此可以想到，如果一个平面内有两条相交或平行直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？如图（1），a和b分别是矩形硬纸板的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸板和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺与桌面平行吗？根据实例观察体会面面平行段炼学生空间想象能力讲授新课2.如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。
我们借助长方体模型来说明。
如图，在平面A’ADD’内画一条与AA’平行的直线EF,显然AA’与EF都平行于平面DD’CC’,但这两条平行直线所在平面AA’DD’与平面DD’CC’相交。
3.如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的，如图，平面ABCD内两条相交直线A’C’,B’D’平行。
由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC,BD都与平面A’B’C’D’平行，此时平面ABCD平行平面A’B’C’D’定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
学案2：8.5.3 平面与平面平行
8.5.3 平面与平面平行【知识导学】知识点一 平面与平面平行的判定定理1．文字语言：如果 ，那么这两个平面平行．2．符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βb ⊂βa ∩b ＝P a ∥αb ∥α⇒α∥β. 3．图形语言：如图所示．4．作用：证明两个平面 ． 知识点二 平面与平面平行的性质定理1．定理：两个平面平行，如果 ，那么两条交线 ．2．符号表示：若 ，则 .3．作用： ．【新知拓展】1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a .(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b .3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.()2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．(4)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________．【题型探究】题型一平面与平面平行判定定理的理解例1下列命题中正确的是()①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④【规律方法】应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．【跟踪训练1】设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有()①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个题型二平面与平面平行的判定例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【规律方法】线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．【跟踪训练2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面P AO平行？【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【跟踪训练3】如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【规律方法】三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．【跟踪训练4】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′.若P A′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．【随堂达标】1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是()A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状不可能是()A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形4．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②P A∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是________．5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.【参考答案】【知识导学】知识点一平面与平面平行的判定定理1．一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．4．平行知识点二平面与平面平行的性质定理1．另一个平面与这两个平面相交平行2．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝a∥b3．证明或判断线线平行【基础自测】1．答案(1)×(2)×(3)×2．答案(1)C(2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l⊂β【题型探究】题型一平面与平面平行判定定理的理解例1[解析]对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案]D【跟踪训练1】答案A解析①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.题型二平面与平面平行的判定例2[证明](1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF，∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.【跟踪训练2】证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3[解]如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面P AO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面P AO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.【跟踪训练3】证明若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD，∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，∴PN∥α，同理可证MP∥BE，∴MP∥α，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4[解](1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.【跟踪训练4】解∵平面α∥平面ABC，平面P AB∩平面α＝A′B′，平面P AB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又P A′∶A′A＝2∶3，∴P A′∶P A＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.【随堂达标】1．答案D解析A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2．答案D解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．3．答案D解析若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选D.4．答案①②③④解析还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥P A，结合线面平行的判定定理可得P A∥平面BDG，②正确．③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，∴EF∥平面PBC，③正确．④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．5．证明如图所示，取BB1的中点G，连接EG，C1G，则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E綊GC1.又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1，∴BF∥ED1.∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E，∴BD∥平面B1D1E，又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.。
学案6：8.5.3 平面与平面平行（二）
8.5.3平面与平面平行（二）[学习目标]1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题．[学习重点] 平面与平面平行的性质定理及应用．[学习难点] 线线平行、线面平行、面面平行关系的转化．|要点整合夯基础|知识点平面与平面平行的性质定理[学一学][答一答]1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？2．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？3．若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是()①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a∥β.A．①②B．①②③C．②③D．①③|典例讲练破题型|类型一面面平行性质定理的理解[例1](1)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有()A．1种B．2种C．3种D．0种(2)给出三种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.其中正确说法的序号是________．[通法提炼]面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.[变式训练1]与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是() A．都平行B．在这两个平面内C．都相交D．至少与其中一个平面平行类型二平面与平面平行性质定理的应用[例2]如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.[通法提炼]应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[变式训练2]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．类型三平行关系的综合应用[例3]在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.[通法提炼](1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法. [变式训练3]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.|课堂达标练经典|1．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为. 4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为．5．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于点A′，B′，C′.若P A′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．|课堂小结|——本课须掌握的两大问题1．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．2．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：参考答案|要点整合夯基础|知识点平面与平面平行的性质定理[答一答]1．提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．2．提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.3．【答案】C【解析】①a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b可能平行，也可能异面，故①错误；②过a且与β相交的平面有无数个，因此会有无数条交线，a与这些交线都平行，因此②正确；③因为a⊂α，α∥β所以a∥β，因此③正确．综上所述，说法正确的是②③.|典例讲练破题型|类型一面面平行性质定理的理解[例1]【答案】(1)B(2)①②③【解析】(1)因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点．当直线a与直线b共面时，a∥b；综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α.[变式训练1]【答案】D【解析】当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行．类型二平面与平面平行性质定理的应用[例2]证明：如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.[变式训练2]证明：在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形．类型三平行关系的综合应用[例3](1)解：A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)证明：由(1)知，当BC 1∥平面AB 1D 1时，点D 1是线段A 1C 1的中点，则有AD ∥D 1C 1，且AD ＝D 1C 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形． 所以AD 1∥DC 1.又因为DC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1， 所以DC 1∥平面AB 1D 1.又因为BC 1∥平面AB 1D 1，BC 1⊂平面BC 1D ，DC 1⊂平面BC 1D ，DC 1∩BC 1＝C 1， 所以平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.[变式训练3] 证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB.∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .又MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . ∵MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .|课堂达标练经典|1．【答案】D 2．【答案】A【解析】根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行． 3．【答案】24或245【解析】由α∥β得AB ∥CD ， 若P 在α，β的外侧， 则P A PC ＝PB PD ，∴PB ＝165，BD ＝245； 若P 在α，β之间， 则有P A PC ＝PB PD ，∴PB ＝16，BD ＝24. 4．【答案】平行四边形【解析】∵平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面CDHG ＝HG ，∴EF ∥HG . 同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．5．解：∵平面α∥平面ABC ，平面P AB ∩平面α＝A ′B ′，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .同理可证B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC .∴∠B ′A ′C ′＝∠BAC ，∠A ′B ′C ′＝∠ABC ，∠A ′C ′B ′＝∠ACB ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC .又P A ′：A ′A ＝2：3，∴P A ′：P A ＝2：5.∴A ′B ′：AB ＝2：5，∴S △A ′B ′C ′：S △ABC ＝22：52， 即S △A ′B ′C ′S △ABC＝425.。
学案5：8.5.3 平面与平面平行（一）
8.5.3平面与平面平行（一）[学习目标]1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性.2.能利用判定定理解决有关面面平行问题．[学习重点] 平面与平面平行的判定定理的理解及应用．[学习难点] 定理应用条件中“相交”的理解．|要点整合夯基础|知识点平面与平面平行的判定定理[学一学][答一答]1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？3．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面的位置关系是什么？|典例讲练破题型|类型一面面平行判定定理的理解[例1]在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．AD1∥平面EFGHB．BD1∥GHC．BD∥EFD．平面EFGH∥平面A1BCD1[通法提炼]解决此类问题的关键有两点：(1)借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.[变式训练1]下列命题中，错误的命题是()A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．平行于同一平面的两直线关系不确定D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面类型二平面与平面平行的证明[例2]如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.[通法提炼]判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线.[变式训练2]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.类型三线面平行、面面平行的综合应用[例3]已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．[通法提炼](1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.,(2)解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.[变式训练3]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.|课堂达标练经典|1．在长方体ABCDA′B′C′D′中，下列结论正确的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′2．设直线l，m和平面α，β，下列条件能使α∥β的有()①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l∥α，m∥β且l∥m.A．1个B．2个C．3个D．0个3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题． ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α， 其中正确的命题是 .(填序号)5.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，点M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ：S △ACD .|课堂小结|——本课须掌握的两大问题1．证明面面平行的方法：①利用定义：两个平面没有公共点；②判定定理：归纳为线面平行⇒面面平行；③利用平行平面的传递性；④推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．2．要证明面面平行需证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．在判断相关命题时要把握好定理的条件，可结合常见几何模型，比如长方体(正方体)等帮助理解．参考答案|要点整合夯基础|知识点平面与平面平行的判定定理[答一答]1．提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．2．提示：不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交．3．提示：平行.|典例讲练破题型|类型一面面平行判定定理的理解[例1]【答案】D【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误；在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，故BD与EF不可能平行，故C错误．在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，EF∩FG＝F，所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．[变式训练1]【答案】A【解析】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.类型二平面与平面平行的证明[例2]证明：如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB.则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.[变式训练2]证明：(1)连接B1D1，如图．∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.类型三线面平行、面面平行的综合应用[例3]解：存在．证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC.又∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE：ED＝2：1，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.[变式训练3]证明：(1)如图，连接SB.∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.|课堂达标练经典|1．【答案】D【解析】长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，上底面ABCD 与下底面A ′B ′C ′D ′平行， 故选D. 2．【答案】D【解析】①②③都不正确． 3．【答案】C【解析】由题意，取B 1C 1的中点E ，连接EM ，NE ，B 1D 1，BD ，如图．M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点， 所以BB 1∥NE ，B 1D 1∥EM ， EM ∩NE ＝E ，BB 1∩B 1D 1＝B 1， 所以平面EMN ∥平面BB 1D 1D ， 那么MN ∥平面BB 1D 1D . 4．【答案】①④【解析】①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．5. (1)证明：如图，连接BM ，BN ，BG 并延长分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H 三点，∵M ，N ，G 分别是△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2， 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解：由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH . 又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD . 同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ， ∴△MNG ∽△DCA ，∴S △MNG ：S △ACD ＝(NG ：AC )2＝(1：3)2＝1：9.。
(学案)平面与平面平行
平面与平面平行【学习目标】1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【学习重难点】1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断。
2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题。
3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。
【学习过程】一、初试身手1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．不确定2．底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是（）A．平面AA1D1D B．平面AA1B1BC．平面DD1C1C D．平面ABCD3．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________。
4．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；①若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β。
其中错误命题的序号为________。
二、新知探究【例1】已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交。
其中正确的是________（将你认为正确的序号都填上）。
【例2】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EF A1∥平面BCHG。
[探究问题]1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点。
8.5.3平面与平面平行 教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
8.5.3平面与平面平行一、教学目标1.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握平面与平面平行的性质定理及其应用.3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题. 二、教学重难点 1、教学重点平面与平面平行的判定定理和性质定理. 2、教学难点平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 三、教学过程 1、新课导入在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线与平面的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容.本节课我们就研究一下空间中直线与平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质. 2、探索新知一、平面与平面平行的判定定理定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 符号表示：a β⊂，b β⊂，a b P ⋂=，aα，b αβα⇒.图形表示：例题已知正方体1111ABCD A B C D -如图，求证：平面11AB D 平面1BC D .证明：1111ABCD A B C D -为正方体，1111D C A B ∴且1111D C A B =，11AB A B 且11AB A B =，11D C AB ∴且11D C AB =，∴四边形11D C BA 为平行四边形，11D AC B ∴.又1D A ⊄平面1BC D ，1C B ⊂平面1BC D ，1D A ∴平面1BC D . 同理11D B 平面1BC D .又1111D A D B D ⋂=，∴平面11AB D 平面1BC D .二、平面与平面平行的性质定理定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号表示：αβ，a αγ⋂=，b a b βγ⋂=⇒.图形表示：证明：平面αβ，平面γ分别与平面α，β相交于直线a ，b .a αγ⋂=，b βγ⋂=，a α∴⊂，b β⊂，又αβ，∴a ，b 没有公共点.又a ，b 同在平面γ内，ab ∴.例题求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图，αβ，AB CD ，且A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，求证AB CD =.证明：过平行线AB ，CD 作平面γ，与平面α和β分别相交于AC 和BD.αβ，BDAC ∴.又ABCD ，∴四边形ABDC 是平行四边形.AB CD ∴=.从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法. 3、课堂练习1.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 为1CC上的点，要使平面1D BQ 平面PAO ，则点Q ( )A.与C 重合B.与1C 重合C.为1CC 的三等分点D.为1CC 的中点答案：D解析：当Q 为1CC 的中点时，平面1//D BQ 平面PAO ，证明如下：因为Q 为1CC 的中点，P 是1DD 的中点，所以//QB PA ，又QB ⊄平面PAO ，所以//QB 平面PAO ，连接DB ，因为P ，O 分别为1DD ，DB 的中点，所以1//D B PO ，因为1D B ⊄平面PAO ，所以1//D B 平面PAO ，又1D B QB B ⋂=，所以平面1//D BQ 平面PAO. 2.设αβ，A α∈，B β∈，C 是线段AB 的中点，当,A B 分别在平面,αβ内运动时，得到无数个点C ，那么所有的动点C () A.不共面B.当且仅当,A B 分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当,A B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.都共面 答案：D解析：如图所示，设A '，B '分别是A ，B 在,αβ上运动后的两点，此时A B ''的中点为C '，连接A B '，取A B '的中点E .连接CE ，C E '，AA '，BB '，CC '，则//CE AA '，//C E BB ''，//CE α∴，//C E β'.又//αβ，//C E α'∴，C E CE E '⋂=，∴平面//CC E '平面α，∴不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与,αβ平行的平面上.4、小结作业小结：本节课学习了平面与平面平行的判定定理和性质定理. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计8.5.3平面与平面平行1.平面与平面平行的判定定理定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 符号表示：a β⊂，b β⊂，a b P ⋂=，aα，b αβα⇒.图形表示：2.平面与平面平行的性质定理定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号表示：αβ，a αγ⋂=，b a b βγ⋂=⇒.图形表示：。
8.5.3 平面与平面平行(第2课时)平面与平面平行的性质教学设计
8.5.3 平面与平面平行教学设计第2课时平面与平面平行的性质在平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面平行关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的平行关系有一个整体的认知，线线平行、线面平行、面面平行是可以相互转化的.课程目标1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面平行的性质定理.难点：平面和平面平行的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本141-142页，思考并完成以下问题1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?2、满足什么条件时两个平面平行？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?答案:平行.探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】证明见解析【解析】如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证：AB=CD.证明： 因为AB//CD，所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β，所以BD//AC.因此四边形ABCD是平行四边形.所以AB=CD解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.跟踪训练一1、如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.【答案】证明见解析【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF ∥MC.题型二 平行关系的综合应用例2 如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q 分别是BC,C 1D 1,AD 1,BD 的中点.(1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1;(2)求PQ 的长;(3)求证:EF ∥平面BB 1D 1D.【答案】（1）见解析（2 a. (3)见解析.【解析】(1)法一 如图,连接AC,CD 1.因为P,Q 分别是AD 1,AC 的中点,所以PQ ∥CD 1又PQ ⊄平面DCC 1D 1,CD 1⊂平面DCC 1D 1,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.法二 取AD 的中点G,连接PG,GQ,则有PG ∥DD 1,GQ ∥DC,且PG∩GQ=G,所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ=12D 1 a. (3)法一 取B 1D 1的中点O 1,连接FO 1,BO 1,则有FO 112B 1C 1. 又BE 12B 1C 1,所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形,所以EF ∥BO 1,又EF ⊄平面BB 1D 1D,BO 1⊂平面BB 1D 1D,所以EF ∥平面BB 1D 1D.法二 取B 1C 1的中点E 1,连接EE 1,FE 1,则有FE 1∥B 1D 1,EE 1∥BB 1,且FE 1∩EE 1=E 1,所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D.又EF ⊂平面EE 1F,所以EF ∥平面BB 1D 1D.解题技巧 (空间平行关系的注意事项)直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.跟踪训练二1、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ 与平面PAO 平行?【答案】证明见解析【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,点M 在AA 1上,平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1=BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M.假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1=AP,可得AP ∥D 1M,所以BQ ∥D 1M ∥AP.因为P 为DD 1的中点, 所以M 为AA 1的中点,Q 为CC 1的中点, 故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本142页练习4题，143页习题8.5的剩余题.直线与直线平行，直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系捋顺.。
教学设计2：8.5.3 平面与平面平行（二）
8.5.3 平面与平面平行（二）教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课平面与平面平行的性质.空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法，面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中古有重要地位.本节重点是平面与平面平行的性质定理及其性质定理的应用.教学目标与核心素养A.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；B.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.教学重难点1.教学重点：两个平面平行的性质定理；2.教学难点：平面与平面平行的性质定理的应用.课前准备多媒体.教学过程一、复习回顾，温故知新 1.直线与平面平行的判定定理： 2.平面与平面平行的判定定理： 3.直线和平面平行的性质定理： 二、探索新知探究：若α//β，直线l 在α内，直线n 在β内，则直线l 与直线n 的位置关系如何？ 【答案】异面或平行//,.//.a b a b αβγαβαγβγ⋂=⋂=1.已知平面，，，，求证：图8.5-48证明：2.平面与平面平行的判定定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简记：面面平行，则线线平行. 符号语言：//,//.a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭，，3.面面平行的其它一些性质：①若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；②平行于同一平面的两平面平行；③过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行； 例题. 求证： 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知：平面α//平面β，AB 和DC 为夹在α、β间的平行线段. 求证：AB =DC .【答案】C【解析】根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交【答案】D【解析】如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．①②③3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线【答案】D【解析】由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．4.如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.证明：因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，教学反思平面与平面平行的性质定理，应借助模型，让学生去理解，通过模型、习题练习巩固直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的互相转化.。
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8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.【自主预习】1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．2．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？【基础自测】1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．垂直2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交4．已知长方体ABCDA′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究](1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．【规律方法】平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【跟踪训练】1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？【例2】 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[母题探究]1. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝ .2．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：ABBC＝EFFG.【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：类型三平行关系的综合应用【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.【规律方法】1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．【跟踪训练】2．如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.【课堂小结】1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．【当堂达标】1．判断正误(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.()(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.()(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.()(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.()2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．用一个平面去截三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.【参考答案】【自主预习】1．(1)相交(2)a∩b＝P2．(1)平行(2)β∩γ＝b(4)平行思考：[提示]不一定．它们可能异面．【基础自测】1．A[根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]2．A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.] 3．C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]4．A[由面面平行的性质定理易得．]【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】[解](1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF，∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM ⊄平面BDFE ，DF ⊄平面BDFE ，∴AM ∥平面BDFE . 又∵AM ∩MN ＝M ，∴平面MAN ∥平面EFDB .【跟踪训练】1．[证明] ∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP . 又∵BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .∵四边形ABCD 为平行四边形．∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .又∵BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又∵MQ ∩NQ ＝Q ，∴平面MNQ ∥平面PBC . 类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a ；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b .以上三个条件缺一不可．2．[提示] 联系如下：【例2】[解] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ， 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. [母题探究]1. 15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.] 2．[解] 与本例同理，可证AB ∥CD .所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.3．[证明]连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EF FG.类型三平行关系的综合应用【例3】[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.【跟踪训练】2．[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.【当堂达标】1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 4．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH 为梯形．]5．[证明]因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.。