学案3：8.5.3 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行

学习目标核心素养

1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.

【自主预习】

1．平面与平面平行的判定

(1)文字语言：如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒β∥α.

(3)图形语言：如图所示．

2．平面与平面平行的性质定理

(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线．

(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

(4)作用：证明两直线．

思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？

【基础自测】

1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是()

A．相交B．平行C．异面D．垂直

2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()

A. l∥β

B. l⊂β

C. l∥β或l⊂β

D. l, β相交

4．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()

A．平行B．相交C．异面D．不确定

【合作探究】

类型一平面与平面平行的判定

【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．

求证：(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

[思路探究](1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．

(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．

【规律方法】

平面与平面平行的判定方法：

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【跟踪训练】

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

类型二平面与平面平行的性质

[探究问题]

1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？

2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？

【例2】 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．

[母题探究]

1. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C

与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25

，则AC ＝ .

2．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．

3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、

B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：AB

BC＝EF

FG.

【规律方法】

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：

类型三平行关系的综合应用

【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：GH∥平面P AD.

【规律方法】

1．证明直线与直线平行的方法

(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．

(2)基本事实4.

(3)线面平行的性质定理．

(4)面面平行的性质定理．

2. 证明直线与平面平行的方法：

(1)线面平行的判定定理．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

【跟踪训练】

2．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：CD∥平面EFGH.

【课堂小结】

1．三种平行关系的转化.

2．常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

【当堂达标】

1．判断正误

(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.()

(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.()

(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.()

(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.()

2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()

A．平行

B．异面

C．相交

D．平行或异面或相交

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为．(填序号)

①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．

5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.