14.1(3)平面及其基本性质--三个公理三个推论的应用

平面的三个推论的证明

平面的三个推论的证明平面几何中有很多重要的推论，其中包括角平分线定理、外角定理和内角和定理。

这三个推论都是在平面上的一条直线和两条交叉直线之间的关系中推测得出的。

首先是角平分线定理，该定理指出在一个平面的任意三角形中，如果一个角的两边上存在一条直线将这个角平分，那么这条平分线将平分这两个相邻角的面积。

接下来证明这个定理。

证明：设在三角形ABC中，角BAC的两边上存在一条直线AD将其平分，且交于点D。

我们要证明∠BAD = ∠CAD。

我们可以通过坐标几何方法证明，假设点A的坐标为(0,0), 点B的坐标为(a,0), 点D的坐标为(b,c)。

由于点D在线段BC上，所以可以得到下列方程：(1) b = λa，其中0 < λ < 1；(2) c = μa，其中μ > 0。

而点D在线段AD上，所以可以得到下列方程：(3) b = b + λ(c - b)。

将(1)(2)代入(3)，得到b = b + μa - λb。

可以化简为：(4) λb = μa。

由于λb < b，所以我们可以得到λ < 1，同理可以得到μ < 1。

根据(4)，我们可以得到λ : μ = a : b。

假设a是b的整数倍，那么必然存在一个整数n，使得λ = n, μ = 1 的关系成立。

因此，点D的坐标可以写成 (na, a) 的形式。

我们可以证明，当a不是b的整数倍时，点D的坐标也可以写成 (an, a) 的形式，其中n是一个整数。

根据向量坐标的几何含义，我们可以得到向量AD和向量BD 的均值积等于零。

即：(5) [ (n - 1)(a^2) + a(b - c) ] /(ab) = 0。

将(1)(2)代入(5)，我们可以得到：(6) [ [(n - 1)(a^2) + a(λa - μa) ] /(ab) = 0。

化简(6)可得：(7) (n - 1) + λ - μ = 0。

这就证明了∠BAC可以被直线AD 平分。

平面的基本性质与推论

如果点A , 点B , 那么直线AB
C 练习1、下列说法正确的是_____
A:任何三点不一定都在同一平面内 B:平面与平面可以只有唯一的一个公共点 C:若点A∈平面α,点A∈平面β,点B∈平面α,点B∈平面β,则α∩β=AB D: 若A∈平面α,B∈平面α,C∈平面α, 则α是唯一确定的
点A在平面内，记作 A 点A不在平面内，记作 A
直线l在平面内，记作 l 直线l不在平面内，记作 l 平面与平面相交于直线a, 记作 a 直线l和直线m相交于点A, 记作 l m A 简记作l m A
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
不共线的三点确定一个平面。
R
平面ABC α
A Q P C
B
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。两个平面相交两个平面的交线注意：
α β
P
a
2.平面的基本性质的推论：推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一
个平面.
B A C
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
1.平面的基本性质：
点和直线的基本性质：（1）连接两点的线中，线段最短（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线。基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。直线在平面内或平面经过直线 B
A α 作用:可以判断一条直线是否在一个平面内。
基本性质2：经过不在同一直线的三点有且只有一个平面。
A B C
推论3:经过两条平行直论：
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？ A

平面及其基本性质--三个公理三个推论的应用

资源信息表（3）平面及其基本性质——三个公理三个推论的应用上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题四、教学流程设计五、教学过程设计（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α∉ C 、AB α⊄ D 、AB C α⋂= 2）判断①若直线a 与平面α有公共点，则称a α⊄. （×）②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ）A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C 、三条互相平行的直线一定共面.D 、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分；三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明 1、共面问题例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上.证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ⋂=⋂=⋂=⋂=l 3l 2B C l 1A1312131232,1,,,l l C C l l C l B BC l l l l ααααα⎫⇒⎫⇒∈⎬⎪=⋂⇒∈⎬⎭⎪∈⎭⇒⊂∈⇒（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法. 归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内. 练习：l 4D FE l 3l 2B Cl 1A12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l E l l C l l l l A AB B l l A l l B l l l D DE l l l E αααααααα⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⇒⇒⊂∈⎫⎧⇒⇒⊂⎬⎨∈⋂=⋂=⎩⎭⇒⊂⎫⎪⋂=⇒⊂⇒⊂⎬⎪⋂=⎭⇒33已知：两两相交且无三线共点。

平面、平面的基本性质及应用

平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。

因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。

另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。

1_平面基本性质第三课时

（×）
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或两个平面可以把空间分成________部分部分，（2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分，，，或三个平面呢?_________________。。三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，上在上：：，：：，求证：、交于一点。求证：EF、GH、BD交于一点。、交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法：证明三线共点的方法：证明两直线的交点在第三直线上，证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，证共面问题：可先由公理（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、两两相交，例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，、直线AB BC、CA两两相交交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)

高中数学《平面三公理》公开课优秀教学设计一可编辑

平面三公理教学设计一、教学内容解析本节课是上海教育出版社出版的高三年级第一学期数学第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质的第一课时．“平面三公理”是高中立体几何教学的第一堂课．立体几何，将研究对象从平面图形拓展至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，同时通过立体几何的教学，提升学生的空间认知水平，发展学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力．“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，具有生活中的事物所没有的无限性，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，也是将平面几何知识向空间拓展的奠基石，在立体几何与平面几何问题的转化过程中具有重要的桥梁作用．在平面几何中，通过研究点、直线的位置关系来认识平面图形．在立体几何中则是通过研究点、直线、平面的位置关系来认识空间图形. 平面的“平”的特征是利用直线与平面、平面与平面的位置关系来刻画的，这是教学的重点. 在探讨位置关系的过程中，通过公共点的个数来刻画不同的直线与平面、平面与平面位置关系并给出相应的定义，这些定义反过来又可以作为判定相关位置关系的依据. 但“直线在平面上”，“两个相交平面”，“两个重合平面”这三种情况下公共点个数都是无穷多个，不适合作为判定依据，那么这时就需要引入更加有效的判定准则, 也就是平面的三个公理，这是这节课的核心.三个公理不仅大量存在于我们的生活中，并且是后续章节的性质、定理的出发点，通过三个公理的应用示例可以体会数学来源于生活而又回馈于生活的应用价值.在平面的教学过程中，熟悉如何用文字语言、图形语言、符号语言去表达空间问题,将为今后的立体几何学习打下基础.“平面三公理”这节内容在不同的教材和专著中有不同的处理方法:(1)在人教版教材中将“不在同一直线上的三点确定一个平面.”作为公理2，而将“如果两个不同的平面,αβ有一个公共点A，那么,αβ的交集是过点A的直线l.”作为公理3. 和上教版教材相比，在公理出现顺序上不同，文字表述也略有差异，并且选取了不同的例子.(2)在法国数学家阿达玛(Hadamard,1865-1963)的《几何学教程立体几何》中，有不同的处理方法. 他将教材中的公理1作为平面的描述性说明，而公理2则可以推出，被作为定理，将公理3中前半部分稍作修改：“过空间中任意三点有一个平面”作为公理，后半部分“过空间中不共线三点只有一个平面”作为定理.二、教学目标设置教学目标1. 知道现实平面与抽象平面概念的联系与区别；能够用文字语言、图形语言和符号语言表述平面以及空间的点、直线和平面及其位置关系.2. 发现和理解平面的三条公理，并会在简单情形下应用它们作为推理的依据.3. 从身边的实例中发现平面的三条公理，体会数学在生活中的价值.了解公理体系的发展历史.教学重点发现和理解平面的三条公理.教学难点通过公共点个数分析直线与平面、平面与平面位置关系.三、学生学情分析学生在小学和初中初步接触了一些立体图形，比如上海教育出版社六年级数学第二学期“长方体的再认识”就直观地介绍了长方体中有关两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.另外，学生在高一地理课中已经接触到诸如球体等几何体的概念，学生通过高中各科学习也具备了一定的转化能力和解决问题的能力．因此，在本节课之前，学生已经具备了较为完整的平面几何知识与简单的立体几何认知能力. 但由于本节课的教学内容——平面基本性质，对学生来说较为抽象，如果能借助一些直观的教具进行演示实验，就会事半功倍. 所以我们采用硬纸片和竹签这样的实物来加强学生的空间位置认知是必要的.“公理”对学生来说，并不是新名词；“定理”更是学生初中学习平面几何的过程中非常熟悉的名词，这两个名词作为概念最早出现在上教版八年级数学第一学期的“几何证明”中. 学生已有欧氏几何公理体系的初步概念，现在学习平面三公理，实际上是面对空间中的公理体系．这里需要为学生简单介绍公理体系的发展历史和相关特点，使学生能够更加全面地了解公理体系.本课的学习主体为市实验性示范性高中的学生，他们是基础知识扎实、思维活跃、敢于创新的学生群体.鉴于上述原因，本节课的定位是：通过学生自己动手操作，构建立体几何的基础——平面的三条公理，体现以逻辑性知识为主的立体几何第一课的特点．（说明：由于高三学生已学习过此内容，故借校、借班（高二学生）进行授课，学校由市里决定、班级由抽签决定，本节课为上海市决赛课）四、教学策略分析（一）平面概念引入1.通过平静的湖面和广场的地面来感知平面的“平”的特征，并让学生观察身边的事物. 利用已经学过的“直线”概念，抽象出“平面”的概念.设计说明：通过现实中的事物对平面的“平”的特征有一个直观的感知，并理解数学中的平面概念是从这些例子中抽象出来的，这是两者间的联系与区别，在引导学生时，借助现实中平面的例子，为思考数学中平面的问题提供帮助.2.回顾初中六年级第二学期第八章“长方体的再认识”中平面的表示方法.设计说明: 平面的表示方法在六年级第二学期已经学过，但由于时间间隔比较长，这个部分起到复习的作用. 强调平行四边形代表整个平面，也就是用有限图形表示无限图形. 并利用长方体的画法给出不同放置方法的平面的画法.（二）平面基本性质1.利用教具（代表平面的硬纸板和代表直线的竹签）讨论直线与平面、平面与平面的位置关系.设计说明：让学生充分发挥主观能动性. 在利用硬纸板和竹签的过程中，潜移默化地学会利用身边的事物来思考数学问题的方法. 这样不仅形象而且克服了用平面图形呈现立体图形的局限性.在讨论过程中，引导学生借鉴平面几何中已知结论来类比空间中的对应问题.由于探讨平面与平面的位置关系时，需要两块硬纸板，可以培养同学的协作能力.2.通过线面关系、面面关系的讨论归纳总结出平面的三条公理.设计说明：这个环节中线面关系、面面关系是明线，位置关系的判定是暗线. 通过有无穷多个公共点的位置关系，公共点数不宜作为判定依据，是否可以将公共点数的限制放宽.然后通过实践操作和日常经验引出平面的三条公理，这样处理条理清晰，使学生明白并不是随意选择三个正确的命题作为公理，而是可以将这三个命题作为判定点、直线、平面位置关系的依据. 在此过程中可使学生不断巩固用文字语言、图形语言和集合语言表示点、线、面的关系，以及三种语言间的相互转化. 通过实验操作，加深学生对公理来源于人们长期的实践经验的印象. 最后总结，通过点、线、面的位置关系归纳出了这三条公理，即平面的基本性质，实际上刻画了平面的“平”的特征.（三）三公理的应用1.利用平面三公理解决问题1与问题2.设计说明：通过这两道习题巩固加强学生对三公理的理解，会使用公理作为简单情形下推理的依据，同时培养分析立体几何问题的能力，增强空间想象能力. 2.从望远镜的支架、信箱、三角剖分这几幅图片中发现隐藏在身边的平面三公理. 设计说明：通过这几个具体例子，加深同学对三条公理的印象. 同时也让学生体会到数学不是抽象的逻辑游戏，而是扎根于我们的日常生活中，从而了解平面三公理的应用价值.人脸3D建模告诉我们可以用许多平面来逼近其他面，所以平面在所有面中是最基本的，这也就是我们研究平面的原因.（四）公理体系发展简单介绍公理体系的发展历史.设计说明：了解公理体系的发展，公理体系所具有的三个重要特征相容性、独立性、完全性（分别代表：正确的，最简的，完整的）.并且回到公理的出发点——人们长期的实践，指出公理具有局限性，引起感兴趣的同学在课后思考和查阅课外书.（五）课堂反思小结思考题：圆柱侧面的问题.设计说明：通过思考圆柱侧面上两点连线并不在面上，从反面的角度进一步凸显平面的“平”，并引起学生对除“平面”以外的“面”的兴趣.但由于牵涉到“面”的概念，学生现阶段的理解能力还不能都达到，所以作为课后思考.五、教学过程（一）平面概念引入1.通过图片建立平面的直观印象,发现身边平面的例子,请学生类比直线的特征，进而总结平面的特征.2.复习初中阶段学习过的平面的图形表示方法，并强调平行四边形代表整个平面.从长方体出发了解不同放置平面的画法.（二）平面基本性质首先介绍用符号语言表示点与直线、点与平面的关系．而后组织学生分组讨论，以公共点个数为线索，通过操作、实验发现直线与平面、平面与平面的位置关系，并给出相应的定义，并由此引出平面三公理.1.直线与平面的位置关系我们可以根据公共点个数（也就是定义）来判定直线与平面的位置关系，但在“直线在平面上”的情况下要验证有无穷多个点，这明显是不可行的,所以需要更有效的判定方法，继而归纳出公理1.公理1 如果在直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.符号表示：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒Ü.公理1可以作为判定直线在平面上的依据.公理1实际上就将立体几何中的直线转化为了平面几何中的直线.2.平面与平面的位置关系通过分析相交平面和重合平面的判定方法，归纳出公理2和公理3.公理2如果不同的两个平面,αβ有一个公共点A ，那么,αβ的交集是过点A 的直线l .符号表示：, , A l l αβαβαβ≠∈⇒=是直线,A l ∈.公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.符号表示：,,A B C 是不共线的三点，那么存在唯一的平面α使得,,A B C α∈. 公理2和公理3可以分别作为两平面相交和两平面重合的判定依据.3.介绍“直线在面上”和“两个平面相交”的作图方法.（三）三公理的应用1.问题1：如图，一条直线上有三个点,,A B C ,其中,A B 两点在平面α上，那么C 点在平面α上吗？分析：,A B 两点在平面α上，根据公理1可知直线AB 在平面α上，所以C 点在平面α上.2.问题2: 如图，平面β上的三点,,A B C 不共线，并且不在平面α上，直线 ,,BC AB AC 与平面α交于,,D E F 三点，试判断这三点的位置关系.分析：根据公理1,,,D E F 在平面β上,所以平面α和平面β有公共点，根据公理2，这些点在一条直线上，所以,,D E F 三点共线.3.望远镜：根据公理3，望远镜三个支架的着地点确定一个平面，这个平面和水平面基本吻合，确保了望远镜的稳定性.（忽略重心）4.邮箱：在投递信件的过程中，信件所在平面和信箱正面所在平面有公共点，根据公理2，它们的交集是一条直线,也就是信箱的口子.5.三角剖分：根据公理3，人脸上不共线的三点都可确定一个平面，这样就可以得到许多的平面，而人脸可以由这些平面的局部拼接近似得出，说明平面可以逼近其它的面，在所有面中这个方法可用于人脸识别.（四）公理体系的发展简单介绍公理体系的发展历史及特点.1. 德国数学家希尔伯特（1863-1943）在公理体系发展史中的作用.2. 公理体系的三个重要特征.（五）课堂反思小结1.平面的概念和平面的表示（文字、图形、符号）；2.直线与平面、平面与平面的位置关系；3.平面的三条公理，刻画了平面的“平”的特征.思考题：将一张纸卷起来形成一个“面”，在这个面上任取两个点，过这两点的直线在这个“面”上吗？（六）课后作业1.为什么三角形、梯形一定是平面图形？n n 条直线两两相交，确定这n条直线的位置关系.2.如果(3)3.三条两两平行的直线最多确定几个平面？请画出示意图(可以参考两个相交平面的画法).“平面三公理”课的点评“平面三公理（平面及其基本性质(1)）”这节课有两大亮点：一、逻辑主线清晰，公理化思想突出利用平面几何中两直线公共点个数和他们位置关系间的联系，来讨论空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系。

平面的基本性质：三个公理,三个推论.

资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面（四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

14.1 平面及其基本性质

二、典型习题
（一）概念的辨析 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（）
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．
（）
(3)一个平面的面积为20 cm2．
（）
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
（）
2、在下列命题正确的是（
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1，2
• 3、画一个正方体
2．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
(2)l , m A
(3) l
思考题：
几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），
类比思考：
如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？
如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？
BB
两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点，而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线．
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型：证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.

第3讲平面的基本性质及推论

第3讲平面的基本‎性质及推论‎【2013年‎高考会这样‎考】 1．本讲以考查‎点、线、面的位置关‎系为主，同时考查逻‎辑推理能力‎与空间想象‎能力． 2．有时考查应‎用公理、定理证明点‎共线、线共点、线共面的问‎题． 3．能运用公理‎、定理和已获‎得的结论证‎明一些空间‎图形的位置‎关系的简单‎命题．【复习指导】 1．掌握平面的‎基本性质，在充分理解‎的基础上结‎合图形理解‎点、线、面的位置关‎系及等角定‎理．2．异面直线的‎判定与证明‎是本部分的‎难点，定义的理解‎与运用是关‎键．基础梳理1．平面的基本‎性质及推论‎ (1)基本性质1‎：如果一条直‎线上的两点‎在一个平面‎内，那么这条直‎线上所有的‎点都在这个‎平面内．(2)基本性质2‎：经过不在同‎一条直线上‎的三点，有且只有一‎个平面． (3)基本性质3‎：如果不重合‎的两个平面‎有一个公共‎点，那么它们有‎且只有一条‎过这个点的‎公共直线．推论1：经过一条直‎线和直线外‎一点，有且只有一‎个平面．推论2：经过两条相‎交直线，有且只有一‎个平面．推论3：经过两条平‎行直线，有且只有一‎个平面． 2．直线与直线‎的位置关系‎ (1)位置关系的‎分类{ 共面直线{ 平行相交异面直线：既不相交又‎不平行的直‎线. (2)异面直线所‎成的角①定义：设a ，b 是两条异‎面直线，经过空间任‎一点O 作直‎线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角‎或直角叫做‎异面直线a ‎，b 所成的角‎(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.3．直线和平面‎、平面和平面‎的位置关系‎ (1)直线和平面‎有：平行、相交和在平‎面内三种位‎置关系． (2)平面和平面‎有：平行、相交两种位‎置关系． 4．平面与平面‎的位置关系‎有平行、相交两种情‎况． 5．平行公理：平行于同一‎条直线的两‎条直线互相‎平行． 6．等角定理：空间中如果‎两个角的两‎边分别对应‎平行，那么这两个‎角相等或互‎补．两种方法异面直线的‎判定方法： (1)判定定理：平面外一点‎A 与平面内‎一点B 的连‎线和平面内‎不经过该点‎的直线是异‎面直线．(2)反证法：证明两线不‎可能平行、相交或证明‎两线不可能‎共面，从而可得两‎线异面．三个作用(1)公理1的作‎用：①检验平面；②判断直线在‎平面内；③由直线在平‎面内判断直‎线上的点在‎平面内．(2)公理2的作‎用：公理2及其‎推论给出了‎确定一个平‎面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作‎用：①判定两平面‎相交；②作两平面相‎交的交线；③证明多点共‎线．双基自测1．(人教B版教‎材习题改编‎)下列命题是‎真命题的是‎()．A．空间中不同‎三点确定一‎个平面B．空间中两两‎相交的三条‎直线确定一‎个平面C．一条直线和‎一个点能确‎定一个平面‎D．梯形一定是‎平面图形解析空间中不共‎线的三点确‎定一个平面‎，A错；空间中两两‎相交不交于‎一点的三条‎直线确定一‎个平面，B错；经过直线和‎直线外一点‎确定一个平‎面，C错；故D正确．答案 D2．已知a，b是异面直‎线，直线c平行‎于直线a，那么c与b‎()．A．一定是异面‎直线B．一定是相交‎直线C．不可能是平‎行直线D．不可能是相‎交直线解析由已知直线‎c与b可能‎为异面直线‎也可能为相‎交直线，但不可能为‎平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直‎线相矛盾.答案 C3．(2011·浙江)下列命题中‎错误的是()．A．如果平面α‎⊥平面β，那么平面α‎内一定存在‎直线平行于‎平面βB．如果平面α‎不垂直于平‎面β，那么平面α‎内一定不存‎在直线垂直‎于平面βC．如果平面α‎⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α‎⊥平面β，那么平面α‎内所有直线‎都垂直于平‎面β解析对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内‎的直线可能‎不垂直于平‎面β，甚至可能平‎行于平面β‎，其余选项均‎是正确的．答案 D4．(2011·武汉月考)如果两条异‎面直线称为‎“一对”，那么在正方‎体的十二条‎棱中共有异‎面直线()．A．12对B．24对C．36对D．48对解析如图所示，与AB异面‎的直线有B‎1C1；CC1，A1D1，DD1四条‎，因为各棱具‎有相同的位‎置且正方体‎共有12条‎棱，排除两棱的‎重复计算，共有异面直‎线12×42＝24(对)．答案 B5．两个不重合‎的平面可以‎把空间分成‎_____‎___部分‎．答案3或4考向一平面的基本‎性质【例1】►正方体AB‎C DA1B‎1C1D1‎中，P、Q、R分别是A‎B、AD、B1C1的‎中点，那么，正方体的过‎P、Q、R的截面图‎形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形[审题视点] 过正方体棱‎上的点P、Q、R的截面要‎和正方体的‎每个面有交‎线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1‎D1于G，连接QP并‎延长与CB‎交于M，连接MR交‎B B1于E‎，连接PE、RE为截面‎的部分外形‎．同理连PQ‎并延长交C‎D于N，连接NG交‎D D1于F‎，连接QF，FG.∴截面为六边‎形PQFG‎R E.答案 D画几何体的‎截面，关键是画截‎面与几何体‎各面的交线‎，此交线只需‎两个公共点‎即可确定．作图时充分‎利用几何体‎本身提供的‎面面平行等‎条件，可以更快的‎确定交线的‎位置．【训练1】下列如图所‎示是正方体‎和正四面体‎，P、Q、R、S分别是所‎在棱的中点‎，则四个点共‎面的图形是‎_____‎___．解析在④图中，可证Q点所‎在棱与面P‎R S平行，因此，P、Q、R、S四点不共‎面．可证①中四边形P‎Q RS为梯‎形；③中可证四边‎形PQRS‎为平行四边‎形；②中如图所示‎取A1A与‎B C 的中点‎为M、N可证明P‎M QNRS‎为平面图形‎，且PMQN‎R S为正六‎边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体AB‎C DA1B‎1C1D1‎中，M、N分别是A‎1B1、B1C1的‎中点．问：(1)AM和CN‎是否是异面‎直线？说明理由；(2)D1B和C‎C1是否是‎异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与C‎N共面；第(2)问可采用反‎证法．解(1)不是异面直‎线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A‎1B1、B1C1的‎中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C‎1C，∴A1ACC‎1边形，为平行四‎∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平‎面内，故AM和C‎N不是异面‎直线．(2)是异面直线‎．证明如下：∵ABCDA‎1B1C1‎D1是正方‎体，∴B、C、C1、D1不共面‎．假设D1B‎与CC1不‎是异面直线‎，则存在平面‎α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，方体矛盾．∴D1，B、C、C1∈α，与ABCD‎A1B1C‎1D1是正‎∴假设不成立‎，即D1B与‎C C1是异‎面直线．证明两直线‎为异面直线‎的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条‎直线不是异‎面直线，即两直线平‎行或相交，由假设的条‎件出发，经过严密的‎推理，导出矛盾，从而否定假‎设，肯定两条直‎线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正‎三棱柱的顶‎点或所在棱‎的中点，则表示直线‎G H、MN是异面‎直线的图形‎有____‎____(填上所有正‎确答案的序‎号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面‎，但M∉面GHN，因此直线G‎H与MN异‎面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与‎M N共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN‎异面．所以图(2)、(4)中GH与M‎N异面．答案(2)(4)考向三异面直线所‎成的角【例3】►(2011·宁波调研)正方体AB‎C DA1B‎1C1D1‎中．(1)求AC与A‎1D所成角‎的大小；(2)若E、F分别为A‎B、AD的中点‎，求A1C1‎与EF所成‎角的大小．[审题视点] (1)平移A1D‎到B1C，找出AC与‎A1D所成‎的角，再计算．(2)可证A1C‎1与EF直．垂‎解(1)如图所示，连接AB1‎，B1C，由ABCD‎A1B1C‎1D1是正‎方体，易知A1D ‎∥B 1C ，从而B1C ‎与AC 所成‎的角就是A ‎C 与A1D ‎所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ， ∴∠B 1CA ＝60°. 即A1D 与‎A C 所成的‎角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体A ‎B CDA1‎B 1C1D ‎1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1， ∵E 、F 分别为A ‎B 、AD 的中点‎， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1.即A1C1‎与EF 所成‎的角为90‎°.求异面直线‎所成的角常‎采用“平移线段法‎”，平移的方法‎一般有三种‎类型：利用图中已‎有的平行线‎平移；利用特殊点‎(线段的端点‎或中点)作平行线平‎移；补形平移．计算异面直‎线所成的角‎通常放在三‎角形中进行‎．【训练3】 A 是△BCD 平面‎外的一点，E ，F 分别是B ‎C ，AD 的中点‎． (1)求证：直线EF 与‎B D 是异面‎直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与B ‎D 所成的角‎． (1)证明假设EF 与‎B D 不是异‎面直线，则EF 与B ‎D 共面，从而DF 与‎B E 共面，即AD 与B ‎C 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平‎面内，这与A 是△BCD 平面‎外的一点相‎矛盾．故直线EF ‎与BD 是异‎面直线．(2)解如图，取CD 的中‎点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直‎线EF 与E ‎G 所成的角‎，即为异面直‎线EF 与B ‎D 所成的角‎．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线‎E F 与BD ‎所成的角为‎45°.考向四点共线、点共面、线共点的证‎明【例4】►正方体ABCDA ‎1B1C1‎D 1中，E 、F 分别是A ‎B 和AA1‎的中点．求证： (1)E 、C 、D 1、F 四点共面‎； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共‎点． [审题视点] (1)由EF ∥CD1可得‎；(2)先证CE 与‎D 1F 相交‎于P ，再证P ∈AD . 证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E 、F 分别是A ‎B 、AA1的中‎点， ∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面‎． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1， ∴CE 与D1‎F 必相交，设交点为P ‎，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABC ‎D ，得P ∈平面ABC ‎D . 同理P ∈平面ADD ‎1A 1.又平面AB ‎C D ∩平面ADD ‎1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共‎点．要证明点共‎线或线共点‎的问题，关键是转化‎为证明点在‎直线上，也就是利用‎平面的基本‎性质3，即证点在两‎个平面的交‎线上．或者选择其‎中两点确定‎一直线，然后证明另‎一点也在此‎直线上．【训练4】如图所示，已知空间四‎边形ABC ‎D 中，E 、H 分别是边‎A B 、AD 的中点‎，F 、G 分别是边‎B C 、CD 上的点‎，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线E ‎F 、GH 、AC 交于一‎点．证明 ∵E 、H 分别为边‎A B 、AD 的中点‎，∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD . ∴四边形EF ‎G H 为梯形‎，从而两腰E ‎F 、GH 必相交‎于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ‎，∴P ∈平面ABC ‎. 同理，P ∈平面ADC ‎. ∴P 在平面A ‎B C 和平面‎A DC 的交‎线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线‎交于一点．阅卷报告1‎0——点、直线、平面位置关‎系考虑不全‎致误【问题诊断】由于空间点‎、直线、平面的位置‎关系是在空‎间考虑，这与在平面‎上考虑点、线的位置关‎系相比复杂‎了很多，特别是当直‎线和平面的‎个数较多时‎，各种位置关‎系错综复杂‎、相互交织，如果考虑不‎全面就会导‎致一些错误‎的判断．【防范措施】借助正方体‎、三棱锥、三棱柱模型‎来分析．【示例】►(2011·四川)l1，l2，l3是空间‎三条不同的‎直线，则下列命题‎正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何‎知识限制，未能全面考‎虑空间中的‎情况．实录甲同学：A乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一‎直线的两条‎直线不一定‎平行，故A错；两平行线中‎的一条垂直‎于第三条直‎线，则另一条也‎垂直于第三‎条直线，B正确；相互平行的‎三条直线不一定共‎面，如三棱柱的‎三条侧棱，故C错；共点的三条‎直线不一定‎共面，如三棱锥的‎三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(2010·江西)过正方体A‎B CDA1‎B1C1D‎1作直线l，使l与棱A‎B，AD，AA1所成‎的角都相等‎，这的顶点A‎样的直线‎l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答]如图，连结体对角‎线AC1，显然AC1‎与棱AB、AD，AA1所成‎的角都相等‎，所成角的正‎切值都为 2.联想正方体‎的其他体对角‎线，如连结BD‎1，则BD1与‎棱BC、BA、BB1所成‎的角都相等‎，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线B‎D1与棱A‎B、AD、AA1所成‎的角都相等‎，同理，体对角线A‎1C、DB1也与‎棱AB、AD、AA1所成‎的角都相等‎，过A点分别‎作BD1、A1C、DB1的平‎行线都满足‎题意，故这样的直‎线l可以作‎4条．答案 D。

14.1平面的基本性质(2)--三个公理的应用

平面的基本性质(2) ---三个公理的应用
一:共面问题例1: 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．
C
A
B C
B
D D
E
F
A
知识点：公理１
一、共面问题：
例1：求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面。
已知：a // b // c, l
a
l c
a A, l b B, l
二:点共线问题例2.如图：AB∥CD ，AB∩ = B， CD∩ = D ，AC∩ = E 求证：B，E，D三点共线．A

B E D
C
证明点共线通常采用以下两种方法：
１.先找出两个平面的交线，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，由公理２可知，这些点在交线上. ２.首先确定一条直线，然后证明其余的点也在在此直线上.
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是空间四边形ＡＢＣＤ各边ＡＢ，ＡＤ，ＣＢ，ＣＤ上的点，且直线ＥＦ和ＧＨ交于Ｐ点，求证：点Ｂ，Ｄ，Ｐ在同 A 一直线上．
E B
GHale Waihona Puke CF DHP
三、共点问题：
例3:如图所示：E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且 EH和FG交于点O，求证：直线EH,BD,BF 交于一点
c C
求证：直线a, b, c和l共面。
A B C

b
证明共面的方法： 1、先由部分元素确定一个平面，再证其余的元素也在这个平面内； 2、先由部分元素确定一个平面，另一部分元素确定另一平面，再证重合。
证明线线共面一般有两种方法：１.先确定一个平面，再证有关的线在这个平面内. 2.过有关的线分别作多个平面，再证明这些平面重合. ３.利用反证法.

高中数学《平面三公理》公开课优秀教学设计一可编辑

平面三公理教学设计一、教学内容解析本节课是上海教育出版社出版的高三年级第一学期数学第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质的第一课时．“平面三公理”是高中立体几何教学的第一堂课．立体几何，将研究对象从平面图形拓展至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，同时通过立体几何的教学，提升学生的空间认知水平，发展学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力．“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，具有生活中的事物所没有的无限性，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，也是将平面几何知识向空间拓展的奠基石，在立体几何与平面几何问题的转化过程中具有重要的桥梁作用．在平面几何中，通过研究点、直线的位置关系来认识平面图形．在立体几何中则是通过研究点、直线、平面的位置关系来认识空间图形. 平面的“平”的特征是利用直线与平面、平面与平面的位置关系来刻画的，这是教学的重点. 在探讨位置关系的过程中，通过公共点的个数来刻画不同的直线与平面、平面与平面位置关系并给出相应的定义，这些定义反过来又可以作为判定相关位置关系的依据. 但“直线在平面上”，“两个相交平面”，“两个重合平面”这三种情况下公共点个数都是无穷多个，不适合作为判定依据，那么这时就需要引入更加有效的判定准则, 也就是平面的三个公理，这是这节课的核心.三个公理不仅大量存在于我们的生活中，并且是后续章节的性质、定理的出发点，通过三个公理的应用示例可以体会数学来源于生活而又回馈于生活的应用价值.在平面的教学过程中，熟悉如何用文字语言、图形语言、符号语言去表达空间问题,将为今后的立体几何学习打下基础.“平面三公理”这节内容在不同的教材和专著中有不同的处理方法:(1)在人教版教材中将“不在同一直线上的三点确定一个平面.”作为公理2，而将“如果两个不同的平面,αβ有一个公共点A，那么,αβ的交集是过点A的直线l.”作为公理3. 和上教版教材相比，在公理出现顺序上不同，文字表述也略有差异，并且选取了不同的例子.(2)在法国数学家阿达玛(Hadamard,1865-1963)的《几何学教程立体几何》中，有不同的处理方法. 他将教材中的公理1作为平面的描述性说明，而公理2则可以推出，被作为定理，将公理3中前半部分稍作修改：“过空间中任意三点有一个平面”作为公理，后半部分“过空间中不共线三点只有一个平面”作为定理.二、教学目标设置教学目标1. 知道现实平面与抽象平面概念的联系与区别；能够用文字语言、图形语言和符号语言表述平面以及空间的点、直线和平面及其位置关系.2. 发现和理解平面的三条公理，并会在简单情形下应用它们作为推理的依据.3. 从身边的实例中发现平面的三条公理，体会数学在生活中的价值.了解公理体系的发展历史.教学重点发现和理解平面的三条公理.教学难点通过公共点个数分析直线与平面、平面与平面位置关系.三、学生学情分析学生在小学和初中初步接触了一些立体图形，比如上海教育出版社六年级数学第二学期“长方体的再认识”就直观地介绍了长方体中有关两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.另外，学生在高一地理课中已经接触到诸如球体等几何体的概念，学生通过高中各科学习也具备了一定的转化能力和解决问题的能力．因此，在本节课之前，学生已经具备了较为完整的平面几何知识与简单的立体几何认知能力. 但由于本节课的教学内容——平面基本性质，对学生来说较为抽象，如果能借助一些直观的教具进行演示实验，就会事半功倍. 所以我们采用硬纸片和竹签这样的实物来加强学生的空间位置认知是必要的.“公理”对学生来说，并不是新名词；“定理”更是学生初中学习平面几何的过程中非常熟悉的名词，这两个名词作为概念最早出现在上教版八年级数学第一学期的“几何证明”中. 学生已有欧氏几何公理体系的初步概念，现在学习平面三公理，实际上是面对空间中的公理体系．这里需要为学生简单介绍公理体系的发展历史和相关特点，使学生能够更加全面地了解公理体系.本课的学习主体为市实验性示范性高中的学生，他们是基础知识扎实、思维活跃、敢于创新的学生群体.鉴于上述原因，本节课的定位是：通过学生自己动手操作，构建立体几何的基础——平面的三条公理，体现以逻辑性知识为主的立体几何第一课的特点．（说明：由于高三学生已学习过此内容，故借校、借班（高二学生）进行授课，学校由市里决定、班级由抽签决定，本节课为上海市决赛课）四、教学策略分析（一）平面概念引入1.通过平静的湖面和广场的地面来感知平面的“平”的特征，并让学生观察身边的事物. 利用已经学过的“直线”概念，抽象出“平面”的概念.设计说明：通过现实中的事物对平面的“平”的特征有一个直观的感知，并理解数学中的平面概念是从这些例子中抽象出来的，这是两者间的联系与区别，在引导学生时，借助现实中平面的例子，为思考数学中平面的问题提供帮助.2.回顾初中六年级第二学期第八章“长方体的再认识”中平面的表示方法.设计说明: 平面的表示方法在六年级第二学期已经学过，但由于时间间隔比较长，这个部分起到复习的作用. 强调平行四边形代表整个平面，也就是用有限图形表示无限图形. 并利用长方体的画法给出不同放置方法的平面的画法.（二）平面基本性质1.利用教具（代表平面的硬纸板和代表直线的竹签）讨论直线与平面、平面与平面的位置关系.设计说明：让学生充分发挥主观能动性. 在利用硬纸板和竹签的过程中，潜移默化地学会利用身边的事物来思考数学问题的方法. 这样不仅形象而且克服了用平面图形呈现立体图形的局限性.在讨论过程中，引导学生借鉴平面几何中已知结论来类比空间中的对应问题.由于探讨平面与平面的位置关系时，需要两块硬纸板，可以培养同学的协作能力.2.通过线面关系、面面关系的讨论归纳总结出平面的三条公理.设计说明：这个环节中线面关系、面面关系是明线，位置关系的判定是暗线. 通过有无穷多个公共点的位置关系，公共点数不宜作为判定依据，是否可以将公共点数的限制放宽.然后通过实践操作和日常经验引出平面的三条公理，这样处理条理清晰，使学生明白并不是随意选择三个正确的命题作为公理，而是可以将这三个命题作为判定点、直线、平面位置关系的依据. 在此过程中可使学生不断巩固用文字语言、图形语言和集合语言表示点、线、面的关系，以及三种语言间的相互转化. 通过实验操作，加深学生对公理来源于人们长期的实践经验的印象. 最后总结，通过点、线、面的位置关系归纳出了这三条公理，即平面的基本性质，实际上刻画了平面的“平”的特征.（三）三公理的应用1.利用平面三公理解决问题1与问题2.设计说明：通过这两道习题巩固加强学生对三公理的理解，会使用公理作为简单情形下推理的依据，同时培养分析立体几何问题的能力，增强空间想象能力. 2.从望远镜的支架、信箱、三角剖分这几幅图片中发现隐藏在身边的平面三公理. 设计说明：通过这几个具体例子，加深同学对三条公理的印象. 同时也让学生体会到数学不是抽象的逻辑游戏，而是扎根于我们的日常生活中，从而了解平面三公理的应用价值.人脸3D建模告诉我们可以用许多平面来逼近其他面，所以平面在所有面中是最基本的，这也就是我们研究平面的原因.（四）公理体系发展简单介绍公理体系的发展历史.设计说明：了解公理体系的发展，公理体系所具有的三个重要特征相容性、独立性、完全性（分别代表：正确的，最简的，完整的）.并且回到公理的出发点——人们长期的实践，指出公理具有局限性，引起感兴趣的同学在课后思考和查阅课外书.（五）课堂反思小结思考题：圆柱侧面的问题.设计说明：通过思考圆柱侧面上两点连线并不在面上，从反面的角度进一步凸显平面的“平”，并引起学生对除“平面”以外的“面”的兴趣.但由于牵涉到“面”的概念，学生现阶段的理解能力还不能都达到，所以作为课后思考.五、教学过程（一）平面概念引入1.通过图片建立平面的直观印象,发现身边平面的例子,请学生类比直线的特征，进而总结平面的特征.2.复习初中阶段学习过的平面的图形表示方法，并强调平行四边形代表整个平面.从长方体出发了解不同放置平面的画法.（二）平面基本性质首先介绍用符号语言表示点与直线、点与平面的关系．而后组织学生分组讨论，以公共点个数为线索，通过操作、实验发现直线与平面、平面与平面的位置关系，并给出相应的定义，并由此引出平面三公理.1.直线与平面的位置关系我们可以根据公共点个数（也就是定义）来判定直线与平面的位置关系，但在“直线在平面上”的情况下要验证有无穷多个点，这明显是不可行的,所以需要更有效的判定方法，继而归纳出公理1.公理1 如果在直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.符号表示：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒Ü.公理1可以作为判定直线在平面上的依据.公理1实际上就将立体几何中的直线转化为了平面几何中的直线.2.平面与平面的位置关系通过分析相交平面和重合平面的判定方法，归纳出公理2和公理3.公理2如果不同的两个平面,αβ有一个公共点A ，那么,αβ的交集是过点A 的直线l .符号表示：, , A l l αβαβαβ≠∈⇒=是直线,A l ∈.公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.符号表示：,,A B C 是不共线的三点，那么存在唯一的平面α使得,,A B C α∈. 公理2和公理3可以分别作为两平面相交和两平面重合的判定依据.3.介绍“直线在面上”和“两个平面相交”的作图方法.（三）三公理的应用1.问题1：如图，一条直线上有三个点,,A B C ,其中,A B 两点在平面α上，那么C 点在平面α上吗？分析：,A B 两点在平面α上，根据公理1可知直线AB 在平面α上，所以C 点在平面α上.2.问题2: 如图，平面β上的三点,,A B C 不共线，并且不在平面α上，直线 ,,BC AB AC 与平面α交于,,D E F 三点，试判断这三点的位置关系.分析：根据公理1,,,D E F 在平面β上,所以平面α和平面β有公共点，根据公理2，这些点在一条直线上，所以,,D E F 三点共线.3.望远镜：根据公理3，望远镜三个支架的着地点确定一个平面，这个平面和水平面基本吻合，确保了望远镜的稳定性.（忽略重心）4.邮箱：在投递信件的过程中，信件所在平面和信箱正面所在平面有公共点，根据公理2，它们的交集是一条直线,也就是信箱的口子.5.三角剖分：根据公理3，人脸上不共线的三点都可确定一个平面，这样就可以得到许多的平面，而人脸可以由这些平面的局部拼接近似得出，说明平面可以逼近其它的面，在所有面中这个方法可用于人脸识别.（四）公理体系的发展简单介绍公理体系的发展历史及特点.1. 德国数学家希尔伯特（1863-1943）在公理体系发展史中的作用.2. 公理体系的三个重要特征.（五）课堂反思小结1.平面的概念和平面的表示（文字、图形、符号）；2.直线与平面、平面与平面的位置关系；3.平面的三条公理，刻画了平面的“平”的特征.思考题：将一张纸卷起来形成一个“面”，在这个面上任取两个点，过这两点的直线在这个“面”上吗？（六）课后作业1.为什么三角形、梯形一定是平面图形？n n 条直线两两相交，确定这n条直线的位置关系.2.如果(3)3.三条两两平行的直线最多确定几个平面？请画出示意图(可以参考两个相交平面的画法).“平面三公理”课的点评“平面三公理（平面及其基本性质(1)）”这节课有两大亮点：一、逻辑主线清晰，公理化思想突出利用平面几何中两直线公共点个数和他们位置关系间的联系，来讨论空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系。

平面的基本性质和推论

1.2.1平面旳基本性质与推论
一、复习回忆
点A在直线l上点A在直线l外点A在平面内点A在平面外
直线l在平面内
直线l在平面外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
l
l
l
Al Al
A A
l
l
二.引领探究
文字语言：公理1 假如一条直线上有两点在一种平面内，
那么这条直线上全部旳点都在这个平面内．
图像语言：
4条直线相交于一点时：
(1)、4条直线全共面时
(2)、有3条直线共面时
(3)、每2条直线都拟定一平面时
三条直线相交于一点，用其中旳两条拟定平面，能够拟定1、4、6个。
四.课堂小结
• 三点共线问题：公共点在公共直线上 • 共面问题：找平行直线或相交直线 • 三线共点问题：先证两条直线交于一点，然后证交
M
当堂检测
(3)三条直线相交于一点，用其中旳两条拟定一种平面，能够拟定旳平面数是_______;
(4)四条直线过同一点，过每两条直线作一种平面，则能够作_____________个不同旳平面 .
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线拟定一平面时
三条直线相交于一点，用其中旳两条拟定平面，能够拟定1、3个。
使A , B , C
作用：拟定平面旳根据.
A•
B
C
•
•
公理2旳推论
推论1 经过一条直线和直线外旳一点，有且只有一种平面．
•A
C•
B•
•A
•
•
B
C
推论2 经过两条相交直线，有且只有一种平面．

平面的基本性质及推论

（2）推论2：
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言： a是任意一条直线
符号语言： b是任意一条直线
a∩b=A a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
（2）推论3：文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面. 图形语言：
符号语言：a，b是两条直线
a//b a，b共面于平面α，且αБайду номын сангаас惟一的 .
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，可以确定1、3个。
4条直线相交于一点时：
(1)、4条直线全共面时
(2)、有3条直线共面时
(3)、每2条直线都确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，可以确定1、4、6个。
把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。
公理1的作用有三：
一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；
二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.
三是表明平面是“平的”
用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？
手指的位置需要满足什么条件？
B
αA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
图形语言：符号语言：
B
αA
C
或记为平面ABC
A, B,C三点不共线有且只有一个平面
点A在直线a上：记为：A∈a

平面、平面的基本性质及应用

平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。

因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。

另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。

高考数学—平面的基本性质的应用

证明过程即
O
A1C
,而
A1C
平面A1C1CA
,
D1
因此 O 是平面 BDC1 和
A1
平面 A1C1CA 的公共点.
C1 B1
而 M ,C1 也是平面 BDC1 和平面 ACC1 A1 的公共点,
•
D
O C
•
M
A
B
所以 C1,O, M 三点共线.
（1）思想方法化归思想．
回顾反思
（2）基本思路（证多点共线） ①细心观察； ②证这些点是两个平面的公共点．
证E 于明是B过1F/程/CN．BNEA是平行四
A 边形，所以EN//AB，EN=AB.又
C
D
CD//AB，CD=AB，
从而EN// CD ，且EN=CD，所以 CDEN是平行四边形,
图形语言：
符号语言：
A B
B A 直线AB
基础知识
文字语言：（公理2）如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
图形语言：
符号语言：
l P
P P l且Pl
例 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平
面 BDC1 交于点 O，AC，BD 交于点 M．求证: C1，O，
思路分析
DF C
M1(M2)
H
A
G
B
证明：D、G 分别是三棱锥 S-ABC 的棱 SA、AB 的中点，
于是 DG / / SB，DG 1 SB .而 BH SF 2 ，
2
HC FC
S
于是 FH / / SB，FH 1 SB ，
D

14.1平面的基本性质

14．1平面及其基本性质（2课时）教学目标：1．理解平面的概念。

2．能画出平面各种常见的位置（水平，侧面等）和掌握平面的表示。

3．能够熟练地用符号表示点线、点面、线面、面面关系。

4．掌握平面性质的三个公理，加深对平面的理解。

5．理解三个推论的证明。

6．初步掌握立体几何的论证方法。

教学重点难点：重点：平面的概念；揭示平面性质的三条公理及三个推论难点：平面的画法与表示；三个推论的证明教学过程：一．引言1．立体几何无论是研究对象，还是研究的内容和方法，都是平面几何课程的继续和发展。

2．立体几何是在平面几何基础上，来研究空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用。

（1）空间图形如同平面图形一样是从现实世界上具体物体的空间形式在数学中的抽象。

（2）空间图形和平面图形都可以看作是点的集合，但构成空间图形的所有点不全在同一平面内，而构成平面图形的所有点全在同一平面内，平面图形是空间图形的一部分。

3．问题与要求问题：（1）论证推理要求高；（2）立体几何涉及空间图形的观察，需要一定的空间想象力要求：（1）注意对实物和模型的观察与分析；（2）正确画好图；（3）注意与平面几何知识类比，区别异同。

二．平面概念的引入：1．通过对桌面、地面、墙面和平静的水面等实例的观察，引出平面的概念。

2．复习直线的无限延伸性，类比得出平面的无限延伸性。

（1）复习直线的无限延伸性： ① 可向两端无限延伸；②要多长，有多长。

能够画出的只是一部分“线段”（2）平面的无限延展性： ①可向“四面八方”无限延展②要多大有多大。

能够画出的只是一部分。

3．区分“平面”和“平面的一部分”思考：如果一张平整的桌面的面积是 230006050cm =⨯，能不能说“它所在的平面的面积是23000cm ”？注：任何一种几何体的表面都是面，它可能是“平”的。

也可能是“曲”的，平面和点与直线一样，是立体几何中最原始的、不定义的概念。

平面的基本性质与推论

延长D1F，∵ D1F与DA 不平行，因此D1F与DA
A1
必相交于一点，设为P， F D
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， ∴连接PB，PB 即为
在平面α内，记作B α；
（2）直线l在平面α内，记作l α，直线m
不在平面α内，记作m α；
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l；
（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面
ABCD记作β，根据图形填写：（1）A∈α，B ∈α，E ∈α，
例3．（1）不共面的四点可以确定几个
平面？
4个
（2）三条直线两两平行，但不共面，它
们可以确定几个平面？ 3个（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
1个或3个
例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解：在平面AA1D1D 内， D1
符号语言：a，b是两条直线
a//b a，b共面于平面α，且α是唯一的 .
三、空间中两直线的位置关系
m
m
P
l
l
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
1、异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）

关于平面性质三个公理的理解及应用

关于平面性质三个公理的理解及应用
夏宝海
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】学生在初学立体几何时，首先学习到的是平面性质的三个公理及其推论．通过教学发现，多数学生感觉到这三个公理很简单，但是却不知道如何去应用，因而造成对基础知识理解不透，学习受阻．针对这一情况，本文对这三个公理的理解、应用等方面加以说明，以期对学生的学习有所帮助．
【总页数】2页(P6-7)
【作者】夏宝海
【作者单位】河北省滦南县第一中学063500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.基于"三个理解"的"平面向量基本定理"的教学设计及反思 [J], 龚永辉
2.基于“三个理解”的“平面向量基本定理”的教学设计及反思 [J], 龚永辉;
3.略谈平面公理二的几点应用 [J], 唐灿章;陈长兴
4.为何引入"平面三公理"?——"平面及其基本性质"教学设计及评析 [J], 戴中元
5.基于"三个理解",提升学生学力
——"平面与平面垂直第一课时"的教学实践与反思 [J], 徐荣新
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平面的三个公理

平面的三个公理第一篇：平面的三个公理平面的三个公理公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。

公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（推论一:直线与直线外一点可确定一个平面；推论二：两条相交直线可确定一个平面；推论三：两条平行直线可确定一个平面）公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a￠α，bα，且a∥b→a∥α两个平面平行的判定定理定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥αα∥β.推论：:如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行。

aα，bα，a∩b=P，cβ，dβ，c∩d=P’,a∥b, b∥c→α∥β.直线与平面平行的性质定理定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．a∥α, aβ, α∩β=b两个平面平行的性质定理a∥b 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，直线与平面垂直的判定定理定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.a∥b mα，nα，M∩N＝A,l⊥m,l⊥nl⊥α重要结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.a∥b，a⊥αb⊥α直线与平面垂直的性质定理定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a⊥α，b⊥αa∥b两个平面互相垂直的定义及判定定理与性质定理定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。