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高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2，所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2．故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。

(完整版)指数函数对数函数专练习题(含答案).docx

指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析：数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析：当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析：如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解：要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ －，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解：令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解：法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、已知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ，且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10，上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。

4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)

x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a

(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

指数及指数函数高考复习题及标准答案详细解析

指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数（B ）对数函数（C ）指数函数（D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（）A.124 B.112C.18D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1)C ．(－1,1) D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________．15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解读式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解读] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解读：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解读】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

(完整版),指数函数讲义经典整理(含答案),推荐文档

1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。

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指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算 1、根式（1）概念：若nx a =（*∈>N n n 且1），则称x 为a 的n 次方根，”是方根的记号．（2）a 的n 次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．①na =；② n 为奇数，nna =a ；n 为偶数，nna =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义：① )0(10R a a a ∈≠=且（注：00无意义）；② )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m；③ )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm ．（2）指数幂的运算性质① (0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈； ② (0,,)rsr sa a a a r s R -÷=>∈；③ ()(0,,)sr rs aa a r s R =>∈；④ ()(,0,)rrrab a b a b r R =⋅>∈．二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象与性质【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题1：化简：（1）77)2(-；（2）44)3(π-；（3）44)2(-a ．【解析】（1）2)2(77-=-；（2）3)3(44-=-ππ；（3）44)2(-a =⎩⎨⎧<-≥-.2,2,2,2a a a a【点评】不注意n 的奇偶性对式子n na 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用‘本题易错的是第（3）题，往往忽视a 与2大小的讨论，造成错解．例题2：计算：（1）(101130.2561022---⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭；（2）33·33·63．【解析】（1）原式()382032101234--=+⨯-⨯⨯=；（2）33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9．【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．变式1：化简：（1）)31()3)((656131212132b a b a b a -÷-；（2）14623)(---÷⋅y x y x )0,0(>>y x ；（3【解析】（1）原式=)]31(÷3)( [--612132-+a 653121-+b a ab 990==；（2）原式21121622)21(1)21(46)6(31-+-+--⨯--⨯---⨯=⋅=⋅⋅⋅=yyx yxy x ；（3）原式22223223)22()32()23(222=+--++=---++=．【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．变式2：若103x=，104y=，则210x y-=________ ．【解析】()494310101010102222=÷=÷=÷=-y x y x y x ．【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将10x、10y看作一个整体，再进行代数运算．题型二、指数函数概念、定义域和值域例题3：下列函数中属于指数函数的有（）个．（1）xy 32⋅=；（2）13-=x y ；（3）x y )3(-=；（4）xy )31(=；（5）23x y =；（6）xy -=4；（7）x a y )12(-=．A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选A ．只有（4）（6）属于指数函数)1,0(≠>=a a a y x的形式．【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照)1,0(≠>=a a a y x的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明a 的取值范围．例题4：求下列函数的定义域和值域：（1）=y 241-x ；（2）=y (32)||x -；（3）y=a x -1 (a >0，a ≠1) ．【解析】（1）令x-4≠0，则x ≠4，所以函数y=241-x 的定义域是｛x ∈R ∣x ≠4｝，又因为41-x ≠0，所以241-x ≠1，即函数y =241-x 的值域是｛y |y >0且y ≠1｝．（2）因为-|x |≥0，所以只有x =0. 因此函数y =(32)||x -的定义域是｛x ∣x =0｝．而y=(32)||x -=(32)0=1，即函数y=(32)||x -的值域是｛y ∣y =1｝．（3）定义域为R ，因为xa y =的值域为),0(+∞，所以1-=xa y 的值域为),1(+∞-．【点评】由于指数函数y=a x ,(a ＞0且a ≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性．例题5：如图，设a ,b ,c ,d>0，且不等于1，y=a x ，y=b x ，y=c x ，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a ,b ,c ,d 的大小顺序【】 A 、a<b<c<d B 、a<b<d<c C 、b<a<d<c D 、b<a<c<d【解析】∵a 1=a ∴直线x =1与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故b<a<d<c ，选C ．【点评】由上述结果可知：当底数>1时，指数函数底数越大，图象越靠近y 轴；当0<底数<1时，指数函数底数越小，图象越靠近y 轴．变式3：函数1)0,>5(+≠=a a a y x恒过定点___________．【解析】因为y =a x 过点（0，1），所以当x =0时，y =1+5=6，所以原函数过定点（0,6）．【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点．变式4：已知指数函数的图象过点（π,3），（1）求(-3)，(1)，(0)f f f 的值；（2）利用图像比较三个函数值的大小．【解析】（1）设指数函数f (x )=a x （a ＞0且a ≠1）因为图象过点（3,π），所以f (3)=a 3=π，即a =π31，f (x )=(π31)x．再把0,1,3分别代入,得：f (0)=π0=1，f (1)=π1=π，f (-3)=π-1=π1．（2）由图易知f (1)>f (0)>f (-3) ．【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用．变式5：当a ≠0时，函数y a x b =+和axb y =的图象只可能是（）A B C D【解析】选项A 中一次函数1,0<>b a ，指数函数应是减函数，故A 对．选项B 中一次函数1,0>>b a ，指数函数应是增函数，故B 错．选项C 中一次函数1,0><b a ，指数函数应是减函数，故C 错．选项D 中一次函数1,0<<b a ，指数函数应是增函数，故D 错．故答案选A ．【点评】利用一次函数和指数函数b a ,的关系来确定图象，是本题的关键．题型三、解指数式方程、不等式例题6：解下列方程：（1）12321=⋅-x x；（2）12122=--x x．【解析】（1）236612323112321=⇒=⇒=⋅⋅⇒=⋅-x x x x x x；（2）34012122122-==⇒=--⇒=--x x x x x x 或．【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解．例题7：解下列不等式：（1）1614<-x ；（2）14221+<⎪⎭⎫⎝⎛x x．【解析】（1）410141614<⇒<-⇒<-x x x （2）5114222211414->⇒+<-⇒<⇒<⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x x x x x．【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解．变式6：解下列方程：（1）273291=⨯---x x；（2）2353252+⋅-=++x x ．【解析】（1）原方程化为2)3(x -－6×3-x －27=0，∴(3-x ＋3)(3-x －9)=0． ∵3-x ＋3≠0，∴由3-x －9=0得3-x =32，故x =－2是原方程的解．（2）原方程化为0235)3(3222=-⋅+⋅++x x ，0)23)(13(23=+-∴++x x ，0)23(2≠++x Θ，0133=-∴+x 得133=+x ，3-=x ．【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1），把x-3看成未知数x ，解得的一元二次方程的根等于x-3，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验．题型四、指数函数性质的应用例题8：比较下列两个数的大小：（1）0.70.83,3；（2）0.1-0.10.75 ,0.75；（3） 1.60.60.8 ,1.8；（4）32)31(-,253-．【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数y=3x 在R 上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8>30.7；对（2）因为函数y=0.75x 在R 上是减函数，0.1＞-0.1，所以0.75-0.1>0.750.1；对（3）由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6，所以1.80.6>0.81.6；对（4）由指数函数的性质知(31)32->(31)0=1=20>253-，所以(31)32->253-．【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”．例题9：求函数232312+-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=x x y 的单调区间和值域．【解析】令223132()24u x x x =-+=--在3(,]2-∞上递减，在3[,)2+∞上递增，又uy ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=312为减函数，所以232312+-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=x x y 在3(,]2-∞上递增，在3[,)2+∞上递减，当23=x 时，44132312=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-y 为最大值，所以232312+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x x y 的值域为]32,0(4．【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间．变式7：已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值．【解析】由)(x f 是奇函数，得0)()(=+-x f x f ，即0132132=+-++--m m x x ，023132132=+-⋅+-m x x x，0231)13(2=+--m xx ，得1=m ．【点评】此题中函数的定义域为0≠x ，所以不能利用0)0(=f 来求解，应利用奇函数的定义)()(x f x f -=-求出m 值．变式8：判断函数1212)(+-=x x x f 的单调性、奇偶性．【解析】任取R x x ∈21、，使21x x <，)12)(12()22(212121212)()(2121221121++-=+--+-=-x x x x x x x x x f x f ，因为02>x，所以0)12)(12(21>++xx，xy 2=为增函数，所以02221<-x x，所以0)()(21<-x f x f ，所以)(x f 在R 上单调递增；)(2121)12(2)12(21212)(x f x f xxx x x x x x -=+-=+-=+-=-----，所以)(x f 为奇函数．【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断．在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘x2化简，从而比较)(x f -与)(x f 的关系．【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为：① 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； ② 有分式的转化为负数指数幂； ③ 底数尽量化为一致；④ 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序．2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想．※ 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1．下列各式中正确的是（）A 、44a =aB 、62)2(-=32- C 、a 0=1 D 、105)12(-=)12(-.2．将322-化为分数指数幂的形式为（）A 、212-B 、312- C 、212-- D 、652-3．函数f (x )＝x21-的定义域是（）A 、(]0,∞-B 、),0[+∞C 、)0,(-∞D 、),(+∞-∞ 4．下列函数中，值域为()+∞,0的函数是（）A 、xy 23= B 、12-=xy C 、12+=xy D 、xy -⎪⎭⎫⎝⎛=2215．已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f ． 6．若122+a -a = a-1，则a 的取值范围为．7．48373)27102(1.0)972(032221+-++--π=__________．8．若函数141)(++=xa x f 是奇函数，则a =_________．9．已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．10．已知函数()f x x x -+=22.（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：()f x 是区间),0(+∞上的增函数；（2）若325)(+⋅=-xx f ，求x 的值．【课后作业】1．下列各式中成立的一项（）A 、7177)(m n mn = B 、31243)3(-=- C 、43433)(y x y x +=+ D 、3339=2．化简4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅(a , b 为正数)的结果是（）A 、a b B 、ab C 、ba D 、a 2b3．设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 4．函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）A 、0,1<>b aB 、0,1>>b aC 、0,10><<b aD 、0,10<<<b a5．函数y = ）A 、(0,)+∞B 、[0,)+∞C 、(1,)+∞D 、[1,)+∞ 6．函数1)1(222)(+--=x a xx f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、[6,+)∞B 、),6(+∞C 、]6,(-∞D 、)6,(-∞7．设5x =4，5y =2，则yx -25= ．8．105432)(0625.0833416--+++π= ． 9．函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________．10．若函数141)(-+=xa x f 是奇函数，则a =_________． 11．已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值．12．已知xx xx x f --+-=10101010)(．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：)(x f 是定义域内的增函数；（3）求)(x f 的值域．【拓展训练】1．化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（）A、11321122--⎛⎫-⎪⎝⎭B、113212--⎛⎫-⎪⎝⎭C、13212--D、1321122-⎛⎫-⎪⎝⎭2．若函数(1)(0,1)xy a b a a=-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A、01>>ba且B、010<<<ba且C、010><<ba且D、11>>ba且3．设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R==∈==-∈，则S TI是（）A、∅B、TC、SD、有限集4．2()1()(0)21xF x f x x⎛⎫=+⋅≠⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x不恒等于零，则()f x（）A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数5．函数)1(||>=aay x的图象是（）6．函数164xy=-的值域是（）A、[0,)+∞B、[0,4]C、[0,4)D、(0,4)7．（2010重庆）函数()412xxf x+=的图象（）A、关于原点对称B、关于直线y=x对称C、关于x轴对称D、关于y轴对称8．方程08417214=+⨯-+xx的解=x．9．函数)1()(≠>=aaaxf x且在区间]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a=__________．10．若32121=+-xx，求23222323-+-+--xxxx的值．11．如果函数)1(122≠>-+=aaaay xx且在[]1,1-上的最大值为14，求实数a的值．12．已知)1,0)((1)(2≠>--=-a a a a a a x f xx ．（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）当]1,1[-∈x 时，b x f ≥)(恒成立，求b 的取值范围．13．（2006重庆文）已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．（1）求a,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．【参考答案】一、巩固练习答案 1、选D ． 2、选A ．原式2131)211(22-=-=⨯+．3、选A ．由021≥-x得12≤x，从而0≤x ．4、选D ．注意先确定定义域．5、271．设xa y =，把)3,1(-代入得31=a ，27131)3(3=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ．6、1≥a ．1)1(1222-=-=+-a a a a ，得01≥-a ，所以1≥a ．7、100．原式1004837316910035=+-++=． 8、21-．由0)0(=f 得21-=a ．9、解：令4)1(5222++=++=x x x u ，由于uy ⎪⎭⎫⎝⎛=31为减函数，所以22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在]1,(--∞单调递增，在),1[+∞-单调递减，当1-=x 时，y 取到最大值1，所以值域为]1,0(．所以)(x f 在),0(+∞上是增函数．（2）解：由32522+⋅=+--x xx得x x 2351)2(2⋅+=+，即0423)2(2=-⋅-x x ，得42=x 或12-=x ，得2=x ．二、课后作业答案 1、选D ．2、选C ．原式ba baab b a b a ===--37343235323721233231)(． 3、选C ．8.19.02122==⨯y ，44.148.03222==⨯y ，5.1)5.1()1(322==-⨯-y ，由指数函数单调性得132y y y >>．4、选D ．5、选B ．6、选C ．u u f 2)(=是增函数，所以1)1(22+--=x a x u 在),5[+∞上单调递增，所以52)1(2≤---a ，解得6≤a ． 7、8．8245)5(5222===-y x yx8、59、)4,3(．根据指数函数xa y =恒过点)1,0(可得出．12、（1）解：∵)(x f 的定义域为R ，且)(10101010)(x f x f xxxx -=+-=---，∴)(x f 是奇函数．（2）证明：方法一：1102111011*********)(222+-=+-=+-=--xx x x x x x x f ．令x 2>x 1，则)110)(110(10102)11021()11021()()(12121222222212++-⋅=+--+-=-x x x x x x x f x f 当x 2>x 1时，1022x -1012x >0. 又∵1012x +1>0,1022x +1>0，故当x 2>x 1时，)()(12x f x f ->0，即)()(12x f x f >，所以)(x f 是增函数．方法二：考虑复合函数的增减性．由.1102110101010)(2+-=+-=--xx xx x x f ∵y 1=10x 为增函数， ∴y 2=102x +1为增函数，y 3=11022+x为减函数，y 4=11022+-x为增函数，11021)(2+-=xx f 为增函数．∴xx xx x f --+-=10101010)(在定义域内是增函数．（3）解：方法一：令)(x f y =，由,11011022+-=x x y 解得102x =y y -+11．∵102x > 0，∴11<<-y ，即)(x f 的值域为（-1，1）方法二：∵)(x f =1-11022+x ,∵102x >0,∴102x +1 >1.∴0 <11022+x <2，∴11102112<+-<-x ，即值域为(-1,1).三、拓展训练答案1、选A ．分子分母同乘32121--，得原式1321321121212121----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=． 2、选A ．由图象不经过第二象限知1>a ，xa y =向下平移超过1个单位，即11>+b ，得0>b ． 3、选C ．xy 3=值域为),0(+∞，12-=x y 的值域为),1(+∞-．4、选A ．可有奇偶性的定义判断出1221-+=xy 为奇函数，由偶奇奇=⨯得)(x f 为奇函数． 5、选B ．6、选C．[)40,0164160,4xx>∴≤-<Q ．7、选D ．)(241214)(x f x f xxx x =+=+=---．)(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称． 8、21-23或．先通过换元化为一元二次方程再求解． 9、2321或．当10<<a 时，由22a a a =-得21=a ；当1>a 时，由22aa a =-得23=a ．10、解：由32121=+-x x 得71=+-x x ，4722=+-x x2121232312121))((----+++=++xx x x x x x x ，即3732323++=⨯-xx ，得182323=+-xx ，原式314515==． 11、解：令xa u =，则2)1(1222--=--=u u u y ，当1=u ，即0=x 时，y 有最小值．当1>a 时，当1=x 时y 取到最大值14，即14122=--a a ，解得5=a ；当10<<a 时，当1-=x 时y 取到最大值14，即141212=--aa ，解得31=a ．12、解：（1）函数定义域为R ，关于原点对称．又因为)()(1)(2x f a a a ax f x x -=--=--，所以)(x f 为奇函数．（2）当a >1时，a 2－1>0， y ＝a x 为增函数，y ＝xa-为减函数，从而xxaa y --=为增函数，所以)(x f 为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0， y ＝a x 为减函数，y ＝xa-为增函数，从而xx aa y --=为减函数，所以)(x f 为增函数．故当a >0，且a ≠1时，)(x f 在定义域内单调递增．（3）由(2)知)(x f 在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴)1(-f ≤)(x f ≤)1(f ，∴)(x f min ＝)1(-f ＝111)(12212-=-⋅-=---aa a a a a a a ∴要使)(x f ≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 13、解：（1）因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b abf 解得即．从而有.212)(1a x f x x++-=+ 又由aa f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a ．（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得．解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x x x f 又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt ，即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-ktt tttk t，整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故0232>--k t t ，上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得。

超详细指数函数习题及答案(经典)

指数函数习题一、选择题a ≤ba>bab ，则函数 f(x)＝ 1? 2x的图象大致为 ()1．定义运算 a? b ＝2－bx ＋ c 满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)且 f(0) ＝ 3，则 f(b xx2．函数 f(x)＝x )与 f(c )的大小关系是 ()x x) ≤f (c ) A ． f(b xxB ． f (b ) ≥f ( c )C ． f(b )>f( c )D ．大小关系随 xxx 的不同而不同x－ 1|在区间 (k － 1， k ＋ 1)内不单调，则 B ． (－∞，1) D ．(0,2)k 的取值范围是 ( )3．函数 y ＝|2 A ． (－ 1，＋ ∞ ) C ． (－ 1,1)x－2x－1)的定义域是 B ，若 4．设函数 f(x)＝ ln[( x － 1)(2－ x)] 的定义域是 A ，函数 g(x)＝ lg( a A? B ，则正数 A ． a>3 a 的取值范围 ( ) B ． a ≥3 D ． a ≥ 5 C ． a> 5－ a x － 3， x ≤7， *若数列 a n ＝ f(n)(n ∈ N { a n } 满足 5．已知函数 f( x)＝) ，且 { a n } 是递增x － 6， x>7.a数列，则实数 a 的取值范围是 ( )99 ， 3) B ． ( ， 3)4 D ． (1,3)A ． [ 4C ． (2,3)x ∈ (－ 1,1)时，均有 f(x)<1，则实数 a 的取值范围是 ( 2 a ≠1，f (x)＝ x 2－ a x，当 )6．已知 a>0 且 1] ∪[2 ，＋∞ ) 1 ， 1) ∪(1,4] A ． (0， 2 B ． [41 1， 1)∪ (1,2] D ．(0，C ． [ 24)∪ [4 ，＋ ∞) 二、填空题ax，则 a 的值是． 7．函数 y ＝a (a>0，且 a ≠1在) [1,2] 上的最大值比最小值大2x＋1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是． 8．若曲线 |y|＝2 |x|的定义域为 9． (2011 滨·州模拟 )定义：区间 [x 1，x 2]( x 1<x 2)的长度为 x 2－x 1.已知函数 [ a ， y ＝ 2 b]，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为．三、解答题 x23 x 42的定义域、值域和单调区间．10．求函数 y ＝2 x ＋2a x－ 1(a>0 且 a ≠1x ∈ [－ 1,1] 上的最大值为 14，求 a11． (2011 银·川模拟 )若函数 y ＝a 的值．x ， f (a ＋ 2)＝ 18， g(x)＝ λ·3ax －4x的定义域为 [0,1] ． 12．已知函数 f(x)＝ 3 (1) 求 a 的值；(2) 若函数 g(x)在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案 xa b a ≤ba >bx x，2 1x1. 解析：由 a ?b ＝得 f ( x ) ＝ 1?2 ＝答案： A解析：∵ f (1 ＋ x ) ＝ f (1 －x ) ，∴ f ( x ) 的对称轴为直线 x ＝ 1，由此得 b ＝ 2. 2. 又若若f (0) ＝ 3，∴ c ＝ 3. ∴ f ( x ) 在( －∞， 1) 上递减，在 (1 ，＋∞ ) 上递增． xxxxx ≥0，则 3 ≥2≥1，∴ x <0，则 3 <2 <1，∴ f (3 f (3 ) ≥f (2 ) ．)> f (2 ) ． x x x xx x∴f (3 ) ≥ f (2 ) ．答案： A3. 解析：由于函数 xy ＝ |2 －1| 在 ( －∞， 0) 内单调递减，在 (0 ，＋∞ ) 内单调递增，而函数在区间 ( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck －1<0<k ＋ 1，解得－ 1<k <1. xxxx解析：由题意得： A ＝(1,2) ，a － 2 >1 且 a >2，由 A ? B 知 a － 2 >1 在 (1,2) 上恒成立，即4. x x x x x xa －2 － 1>0 在 (1,2) 上恒成立，令 u ( x ) ＝a － 2 － 1，则 u ′(x ) ＝ a ln a － 2 ln2>0 ，所以函数u ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则答案： Bu ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥3. *5. 解析：数列 { a n } 满足 a n ＝ f ( n )( n ∈N ) ，则函数 f ( n ) 为增函数， a >18－63－a >0 注意 a >(3 － a ) ×7－ 3，所以，解得 2<a <3.8－ 6a－ a ×7－3 答案： C1 2 1 21 12 x 2 x x 2 6. 解析： f ( x )< － a < － <a ，考查函数 y ＝ a 与 y ＝x －的图象，? x ? x 2 21－ 1当 a >1 时，必有 a ≥ 2，即 1<a ≤2，1 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 21综上， ≤ a <1 或 1<a ≤2.2 答案： Ca3 x2x7. 解析：当 a >1 时， y ＝ a 在 [1,2] 上单调递增，故 a － a ＝ 2 ，得 a ＝ 2. 当 0<a <1 时， y ＝ aa 1 1 3 2在[1,2] 上单调递减，故 a － a ＝，得 a ＝ . 故 a ＝或 .2 2 2 21 3答案：或2 28. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．xx曲线 | y | ＝ 2 ＋1 没有公共点，则答案： [ － 1,1]与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果 | y | ＝ 2 ＋ 1 与直线 y ＝ bb 应满足的条件是 b ∈ [ － 1,1] ． 9. 解析：如图满足条件的区间[ a ， b ] ，当 a ＝－ 1， b ＝0 或 a ＝0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为答案： 11，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为 2，故其差为 1.2210. 解：要使函数有意义，则只需－－3x ＋4≥0，即＋3x －4≤0，解得－ 4≤ x ≤1. x x ∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤1} ．3 25 222 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋，2 425 4 ，此时 3x ＝－ 2∴当－ 4≤ x ≤ 1 时， t max ＝，t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝ 1. 25 5 2∴0≤ t ≤ . ∴0≤ － x － 3x ＋4≤ .4 2122x 2 3 x 4∴函数 y ＝ ( 的值域为 [ ，1] ．)83 2522 由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋ ( －4≤ x ≤1) 可知，2 43当－ 4≤ x ≤－时， t 是增函数，2 3 当－ ≤ x ≤1 时， t 是减函数．2 根据复合函数的单调性知：1 23 23x 2 3 x 4y ＝ ( 在 [ － 4，－ ] 上是减函数，在 [ －，1] 上是增函数．)2 3 3 ∴函数的单调增区间是 [ －，1] ，单调减区间是 2 [ －4，－ ] ． 2x2211. 解：令 a ＝ t ，∴ t >0，则 y ＝t ＋ 2t － 1＝ ( t ＋ 1) －2，其对称轴为在[ － 1，＋∞ ) 上是增函数．t ＝－ 1. 该二次函数 1 x2①若 a >1，∵ x ∈ [ － 1,1] ，∴ t ＝ a ∈ [ ，a ] ，故当 t ＝a ，即 x ＝ 1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，a解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵ x ∈ [ － 1,1] ，1 1 x∴t ＝ a ∈ [ a ，a ] ，故当 t ＝ a，即 x ＝－ 1 时，ymax＝ ( a＋ 1) － 2＝ 14. 1 21 1∴a ＝或－ ( 舍去 ) ．3 5 1 综上可得 a ＝ 3 或 .3a ＋2a12. 解：法一： (1) 由已知得 3 ＝ 18? 3 ＝ 2? a ＝ log 32.(2) 此时 g ( x ) ＝ λ ·2－4 ，设 0≤ x 1<x 2≤1，xx因为所以由于 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，g ( x 1) － g ( x 2) ＝ (2 x 1－ 2x 2)( λ － 2x 2－ 2x 1)>0 恒成立，即 2x 2＋2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2， λ <2x 2＋2x 1 恒成立．0 0所以实数 λ 的取值范围是法二： (1) 同法一．λ≤2. xx(2) 此时 g ( x ) ＝ λ ·2－4 ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数， xxx 2x所以有 g ′(x ) ＝ λ ln2 ·2－ln4 ·4＝ ln2[ －2·(2) ＋ λ ·2] ≤0成立．x2设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－ 2u ＋ λu ≤0恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ ≤2u 恒成立，所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2.。

指数函数知识点及其习题附答案

〖〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①若是,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没成心义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质（4指数函数练习1．以下各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，那么以劣等式中不正确的选项是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．假设指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于（）A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）7．函数||2)(x x f -=的值域是（） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，知足1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[ 10．已知2)(xx e e x f --=，那么以下正确的选项是（）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的概念域是（1，2），那么函数)2(x f 的概念域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的概念域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判定函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．指数函数练习参考答案一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13．解：要使函数成心义必需：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010∴概念域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。

指数函数习题(经典含答案及详细解析)

指数函数习题一、选择题1．定义运算，则函数的图象大致为( )2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－1,1) D．(0,2)4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )A．a>3 B．a≥3C．a> D．a≥5．已知函数，若数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是( )A．[，3) B．(，3)C．(2,3) D．(1,3)6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－a x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a 的取值范围是( )A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2] D．(0，)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y ＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a⊗b＝得f(x)＝1⊗2x＝答案：A2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b ＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．答案：A3.解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k<1.答案：C4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，a x－2x>1且a>2，由A⊆B知a x－2x>1在(1,2)上恒成立，即a x－2x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝a x－2x－1，则u′(x)＝a x lna－2x ln2>0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3.答案：B5. 解析：数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，则函数f(n)为增函数，注意a8－6>(3－a)×7－3，所以，解得2<a<3.答案：C6. 解析：f(x)<⇔x2－a x<⇔x2－<a x，考查函数y＝a x与y＝x2－的图象，当a>1时，必有a－1≥，即1<a≤2，当0<a<1时，必有a≥，即≤a<1，综上，≤a<1或1<a≤2.答案：C7. 解析：当a>1时，y＝a x在[1,2]上单调递增，故a2－a＝，得a＝.当0<a<1时，y＝a x在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝.故a＝或.答案：或8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1.∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．令t＝－x2－3x＋4，则t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，∴当－4≤x≤1时，t max＝，此时x＝－，t min＝0，此时x＝－4或x＝1.∴0≤t≤.∴0≤≤.∴函数y＝的值域为[，1]．由t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋(－4≤x≤1)可知，当－4≤x≤－时，t是增函数，当－≤x≤1时，t是减函数．根据复合函数的单调性知：y＝在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．11. 解：令a x＝t，∴t>0，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，y max ＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．②若0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，y max＝(＋1)2－2＝14.∴a＝或－(舍去)．综上可得a＝3或.12. 解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

指数函数及其性质(含解析、答案)

A 基础练习2.1.2指数函数（1时） 1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝2－x D ．y ＝1x【解析】 y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x，符合指数函数的定义，故选C.【答案】 C 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．a>0且a ≠1B ．a>3C ．a<3D ．2<a<3【解析】由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，∴a －2>1，∴a>3，故选B. 【答案】 B 3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a ＝5－12∈(0,1)，故a m >a n ⇒m<n. 【答案】 m<n4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．【解析】设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，由题意得a 2＝4，∴a ＝2，∴f(x)＝2x ， ∴f(－3)＝2－3＝18.B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)【解析】由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x－2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．【答案】 D2．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数【解析】因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．由图象可知答案显然是D. 【答案】 D3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝21x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫122－x【解析】在A 中，∵1x ≠0，∴21x≠1，即y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0，∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)．在C中，∵2x >0，∴2x ＋1>1.∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x>0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D 4．方程4x －1＝116的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.【答案】 (0,1)6．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫132≤⎝⎛⎭⎫13x ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.【答案】 [－89，2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域．【解析】 (1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，19，所以a 4－2＝19＝⎝⎛⎭⎫132，∴a ＝13，(2)f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －2(x ≥0)，由x ≥0，得x －2≥－2， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －2≤⎝⎛⎭⎫13－2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]． 8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|； (4)y ＝－2x .【解析】如图所示．y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的；y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.2.1.2指数函数（2时） A 基础练习1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 【解析】因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝⎛⎭⎫14b <⎝⎛⎭⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a .由0<a<b<1知0<a b <1.∵⎝⎛⎭⎫a b a <⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C. 也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 2，∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a ≥6. ∴a 的取值范围是a ≥6. B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.()1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1.又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝⎛⎭⎫1a 1－2x(a>0且a ≠1)．【解析】原不等式可以化为a 2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x . (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x＋3x ＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

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命题：焦雷
（2） (, 1] [0, ) ．
例题三：答案:D.因为 f(x)在 R 上是增函数，故结合图象知Error!，解得 4≤a<8. 例题四：奇函数．
4
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
例题五：（1）x 2 ．（2） (1,) ． 4
例题六：解：由题意得 1＋2x＋4xa>0 在 x∈(－∞，1]上恒成立， 1＋2x
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数 y 2x 1 的奇偶性. 2x 1
题型五：解指数方程、不等式例五．（1）解方程3x2 32x 80 ．
（2）解不等式(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1x .
1
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
题型六：不等式恒成立问题例六．函数 y＝1＋2x＋4xa 在 x∈(－∞，1]上 y>0 恒成立，求 a 的取值范围．
f
(x)
2 2 x
2x
在区间[﹣1，2]上的值域是
．
11.函数 y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间[1且1]上有最大值 14，则 a 的值是
．
12.若函数 f (x) ax 1(a 0, a 1) 的定义域和值域都是0,2，则实数 a 的值为
．
1
1
13. 已知 x y 12, xy 9 ，且 x y ，求
)．
D． a＞1 2
2
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
6.若关于 x 的方程| ax 1| 2a(a 0, a 1) 有两个不等实根，则 a 的取值范围是( ) ．
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,1) 1
C．(1，＋∞)

指数函数讲义经典整理[附答案解析]

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1:指数函数函数y°且a 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R 知识点2 :指数函数的图像和性质知识点3 :指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系图所示，则° C d 1 a b，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4 :指数式、指数函数的理解①分数指数幕与根式或以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幕的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值1 x2x^2x④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y 23,y x ，y 3 ,y 2 1等£馅)-f (x 2)=x t -^- (x 2-^函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数y的图像，应抓住三个关键点:1,a , 0,1 ,1丄a、同步题型分析题型1 ：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1 :已知函数 (1) (2) (3) 工，且求m 的值；判定f (x )的奇偶性；判断f ( x )在(0, + g)上的单调性，并给予证明. 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明. 专题：计算题. 分析：(1) (2) (3) 解答:欲求m 的值，只须根据f (4 ) 求出函数的定义域 x|x 利用单调性的定义证明即可•任取 2=二的值，当x=4时代入f (x )解一个指数方程即可；工0｝，利用奇偶性的定义判断f (x )与f (- x )的关系，即可得到答案; 0 v x1 v x2，只要证明 f (x1 )> f (x2 ),即可.解：(1)因为，所以m=1 .(2)因为f ( x )的定义域为{x|xf ( - K )--0},又所以f ( x ) (3是奇函数.) 任x1 x2因为x1 >x2 >0,所以j - a i+护，所以 f (x1 )> f (x2 ),所以f ( x )在(0, + 8)上为单调增函数. 点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法•在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题.(1) 讨论函数的奇偶性; (2) 证明：f (x )> 0 .考点:指数函数的定义、专题：解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质.计算题. 分析：x=f (x ),故该函数为偶函数.(2 )任取 x € {x|x 工 0}当 x > 0 时，2x > 20=1.当x v 0时，-x > 0 ,故f ( - x )> 0 ,由函数为偶函数，能证明f (x )> 0在定义域上恒成立.解答：解: (1 (该函数为偶函数.由2x - 1工0解得x 工0即义域为 {x|x 丰0}关于原点对称…(分)(1)由2x - 1工0解得义域为{x|x 丰关于原点对称.f ( - x)=(从而1 . 1f (-x )=「2)(-x )=-=(严- 1-12K -1+1 _ 1 2) x=(2K -1 2)故该函数为偶函数. ...(7 分) (2 (证明：任取x € {x|x 丰0}当x > 0时,2x > 20=1 且 x > 0 ,x=(…1 ) x=f (x ) (6 分)例2 :已知函数••• 2x - 1 > 0 ,当 x V 0 时，—x > 0 , f (-x ) > 0 ,••( 12 分) 又因为函数为偶函数，••• f X ) =f (— x ) > 0 ,•••( 13 分) ••• f x )> 0在定义域上恒成立.…(14分)点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f ( x )> 0 •解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用.例3 :已知函数y=ax (a > 0且a 丰1 )在［1 , 2］上的最大值与最小值之和为20 ,(1 )求a 的值；2 )求 f (x ) +f (1 — x )的值;考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题：综合题；函数的性质及应用. 分析：(1 )由y=ax 单调得a+a2=20，由此可求 a ; (2) 写出f (x )，代入运算可得；(3) 借助(2 )问结论分n 为奇数、偶数讨论可求；解答：解：(1 )•••函数y=ax ( a > 0且a 丰1 )在［1 , 2］上的最大值与最小值之和为 20 ,且y=ax 单调,• a+a2=20，得 a=4，或 a= — 5 (舍去)；(2 )由上—"八孚丁—1 ；由(2 )知 f ( x ) +f ( 1 — x ) =1，得从而(3 )求的值.F (Q 1-f (1- 二(3) n 为奇数时,n-1(11 分)点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题.题型2 :指数函数的图像变换.例1 :已知函数y=|2x - 2|(1)作出其图象；(2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值.考点：指数函数的图像变换.专题：综合题；函数的性质及应用.分析：(1)函数y=|2x - 2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到.(2)结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间.(3)数形结合可得，当x=1时，ymiin=0 .解答：解：(1 )函数y=|2x - 2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x 轴上方得到，如图所示：(2 )结合函数的图象，可得函数的减区间为(-a, 1］，增区间为(1, + a).(3)数形结合可得，当x=1时，ymiin=0 .本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.n为偶数时,题型3 :指数函数单调性例1 :已知函数f (x ) =a?2x+b?3x ，其中常数a , b 满足a?b 工0 (1 )若a?b >0,判断函数f (x )的单调性；(2 )若a= - 3b ，求f (x+1 )> f (x )时的x 的取值范围.考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质. 专题：函数的性质及应用. 分析：(1 )分a > 0 , b >0和a v 0, b v 0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；(2 )当 a= - 3b 时，f (x ) = - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x ),分 b > 0 , b v 0 两种情况进行讨论, 整理可得指数不等式解出即可；解答：解：(1 )当 a > 0 , b > 0 时，任意 x1 , x2 € R ,且 x1 v x2，贝V f (x1 ) - f (x2) =a (2- 2) +b (32 T v 2a (2 - 2 )v 0,b (3- 3 )v 0, ••• f (d )- f (x2 )v 0,即卩 f (x1 )v f (x2 ), 故函数f (x )在R 上是增函数；当a v 0 , b v 0时，同理，可判断函数 f (x )在R 上是减函数; (2 )当 a= - 3b 时，f (x ) = - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x ), 则 f (x+1 )> f (x )即化为 b (3x+1 - 3?2x+1 )>b (3x - 3?2x ), 故b >0时，x 的范围是x > 1 ;当b v 0时，x 的范围是x v 1 .点评: 本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题.例2 :已知定义在(-1 , 1)上的奇函数 f (x ).在x € (- 1 , 0)时，f (x ) =2x+2 - x . (1) 试求f ( x )的表达式；(2) 用定义证明f (x )在(-1 , 0)上是减函数；(3) 若对于x €( 0 , 1)上的每一个值，不等式 t?2x?f xO v 4x - 1恒成立，求实数t 的取值范围.考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合. 专题：计算题；函数的性质及应用. 分析：(1 )由f (x )是定义在(-1 , 1 )上的奇函数可得 f ( 0) =0 , x €(0, 1)时，f (x ) = - f (- x ) =-(2x+2 - x );从而写出f (x )的表达式；(2) 取值，作差，化简，判号，下结论五步；(3) 对于x €( 0 , 1 )上的每一个值，不等式 t?2x?f ()V 4x - 1恒成立转化为对于 x €( 0 , 1 )若b >0,则有3x+1若b v 0,则有3x+13?2x+1 3?2x+1 v 3x - 3?2x ，整理得>3x - 3?2x ，整理得解得x > 1解得x v 1上的每一个值，不等式 t >- 4 恒成立，从而可得. 解答：解：(1)••• f x )是定义在(-1 , 1)上的奇函数，••• f 0) =0 ,设€( 0, 1 ),则-x €(—1 , 0),贝Uf (x ) =-f (-x )=-(2x+2 - x ),分+z = xE ( -0)* 0,故f (x )」一⑴十叮"圧© D ；(2)任取 x1 , x2 € ( - 1 , 0)，且 x1 v x2 ,負】_Xi_ U*则 f (x1 )- f (x2 ) =2+2-(2+2)(2】-产)(2匹—I)= :•/ x1 v x2 v 0 ,•••2 <2 2v 0 , 0 v "2 Z v 1 ,故 f (x1 ) - f ( x2 ) > 0 , 故f (x )在(-1 , 0 )上是减函数； (3 )由题意，t?2x?f x ) (v 4x - 1可化为••• x €(0,1 ),2• g (x ) v- 1+4 十 1=0 ,故对于x €( 0 , 1 )上的每一个值，不等式t?2x?f x()v 4x - 1恒成立可化为t > 0.化简可得,t?2x?(-点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题.例 3 :已知函数 f (x )=|2x - 1 - 1| , ( x € R ).(1) 证明：函数f (x )在区间(1 , + R )上为增函数，并指出函数 f (x )在区间(-R, 1)上的单调性；(2) 若函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点 A (m , t ), B ( n , t ),其中m v n ,求m+n 的取值范围.考点：指数函数综合题. 专题：计算题；证明题. 分析：(1)函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；(2 )由(1)可知，函数的值域为(0,1 ),要使函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有t €(0,1)又函数f (x )的图象与直线 y=t 有两个不同的交点，所以 A ( m , t ), B (n , t ) 分别位于直线 x=1的两侧，由 m v n ,得m v 1 v n ,故可以求出m+n ，进而由t €(0 , 1 ),可求 m+n 的取值范围.解答：解：(1 )证明：任取 x1 € ( 1 , + a ), x2 € ( 1 , + a ),且 x1 v x2 , FL]) -f (巾)二丨产 ‘-1丨-12 叫「11 二(2® 1 - D 一(产1)=所以f ( x )在区间(1 , + a)上为增函数.(5分)函数f ( x )在区间(-a,1 )上为减函数.(6分)(2 )因为函数f ( x )在区间(1 , + a)上为增函数，相应的函数值为(0, + a),在区间(-a, 1 )上为减函数，相应的函数值为( 0, 1 ),由题意函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t €(0, 1 ), (8 分)易知A (m , t ), B (n , t )分别位于直线 x=1的两侧，由 m v n ，得m v 1 v n ,故2m - 1 - 1 v 0 , 2n - 1 - 1 >0,又 A ,B 两点的坐标满足方程 t=|2x - 1 - 1| ,故得 t=1 - 2m - 1 , t=2n - 1 - 1 , 即 m=log2 (2 - 2t ), n=log2 (2+2t ), (12分)故 m+n=Iog2 ( 2 - 2t ) +log2 (2+2t ) =log2 (4 - 4t2 ), 当 0 v t v 1 时，0 v 4 - 4t2 v 4 , -av log2 (4 - 4t2 ) v 2 . 因此，m+n 的取值范围为(-a , 2 ). (17分)点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性.依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论2 1- 2 ? C 2 1 - 2x1 <x2 ,2H I - 2H2<0f (1 )v f (x2 ).三、课堂达标检测(1)求函数f (x )的定义域; (2 )判断奇偶性并证明之； 3 )判断单调性并证明之.考点:指数函数的定义、专题：解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断. 计算题；证明题. 分析：(1) 把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数. (2)根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从 f (- x )入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数.(3) 根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，解答：(1 )••• e2x+1恒大于零,• x €R(2)函数是奇函数e丄1-評 f (―X)= e十1 =1 +产• f x1 ) - f (x2 ) V 0 即 f (x1 )V f ( x2 ) • f x )在R 是单调增函数2 ］卜 22 (e 1 - e 0f (x1 )- f ( x2 ) =1 -已 +1&+1 =(e Hl) ( e 2+l)x1 V x2 ,e 1 - e YU则又由上一问知函数的定义域关于原点对称,••• f X )为奇函数(3)是一个单调递增函数设 x1 , x2 € R 且 x1 V x2是一个无理数)判断差和零的关系.检测题1:已知函数e=2.71828解：f (x )=2=1 - ' I2K+1点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明•考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目.检测题2 :已知函数f (x ) =2ax+2 (a 为常数)(1)求函数f (x )的定义域.(2 )若a=1 , x €(1 , 2］，求函数f (x )的值域. (3 )若f (x )为减函数，求实数 a 的取值范围. 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点. 专题：常规题型；转化思想. 分析：(1) 利用指数函数的定义域来考虑.(2) 利用函数f (乂)在(1 , 2］上的单调性求函数的值域. (3 )根据复合函数的单调性，函数 u=ax+2必须为减函数.解答：解：(1 )函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2) 因为a=1，所以f (x ) =2x+2 .易知此时f (x )为增函数. 又因为 1 v x < 2，所以 f (1 )v f (x )< f 2), 即卩 8 v f (x )< 16 . 所以函数f (x )的值域为(8 ,16］.(3) 因为f ( x )为减函数，而 y=2u 是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数.所以得 a v 0 点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想.0 )U( 0，+ a)，且f (x )对任意不为零的实数 x 都满足f(-x ) = - f (x ).已知当 x > 0 时(1)求当x v 0时，f ( x )的解析式 (2 )解不等式考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质. 专题：常规题型. 分析：(1)求当x v 0时，f (x )的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值知区间上求解析式，由 f (- x ) =- f (x )解出f (X )即可.(2 )解不等式f (x )v- ■，分x > 0和x v 0两种情况，根据求得的解析式求解即可.解答：检测题3 :设f (x )的定义域是(-^， x ，再转化到已解：(1 )当 x V 0 时，—x > 0 , 又 f (— x ) = — f (x ) -K 2S 严-1 x-2 所以，当x V 0时, (2) x > 0 时, 化简得••• ：- '■' ，解得 1 V 2x V 4 • 0 v x V 2 当x V 0时,4 (『*) -------------- —>0 3(2—1) 解得2x > 1 (舍去)或 • x V — 2解集为{x|x V — 2 或 0 V X V 2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出 f (x )来•解不等式也要分段求解，注意 x 的取值范围.。

高中指数与指数函数知识点+例题+练习含答案

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

(完整word版)指数函数复习专题(含详细解析)

第讲指数函数时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．在区间上为增函数的是（ B ）A ． B． C． D．2．函数是单调函数时，的取值范围( A ）A． B ． C ． D．3．如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有（ A ）A．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值4．函数，是（ B ）A．偶函数 B ．奇函数 C．不具有奇偶函数 D ．与有关5．函数在和都是增函数，若，且那么（ D )A． B． C． D ．无法确定6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ B ）A． B． C． D．12三、方法培养☆专题1：指数函数的定义一般地，函数x y a =(a ＞0且a ≠1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R 。

例1指出下列函数那些是指数函数:（１）4x y =(２）x y 4=(３)4xy -= (４))4(-=xy (５）π=y x（6）x y 24=（7）xxy =（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x解析：利用指数函数的定义解决这类问题。

解：(１），（５），（８）为指数函数变式练习11函数2(33)x y a a a =-+⋅是指数函数，则有（）Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案：C 2. 计算:105432)(0625.0833416--+++π; 解：（1）105432)(0625.0833416--+++π =（425)21+（827)31+（0。

062 5）41+1-21=（25）2×21+（23）313⨯+（0。

5）414⨯+21=25+23+0。

5+21 =5;☆专题2：指数函数的图像与性质一般地，指数函数y=a x在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a ＞1 0＜a ＜1 图象3性质 ①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1),即x=0时y=1④在R 上是增函数，当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时，y ＞1 ④在R 上是减函数，当x ＜0时，y＞1；当x ＞0时,0＜y ＜1在同一坐标系中作出y=2x和y=（21）x 两个函数的图象，如图2—1-2-3。

指数函数知识点及其习题（附答案）

指数函数知识点及其习题（附答案）〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次⽅根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次⽅根⽤符号表⽰；0的n 次⽅根是0；负数a 没有n 次⽅根．n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a≥．n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥?==?-①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a的负分数指数幂没有意义．注意⼝诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质2.1指数函数练习1．下列各式中成⽴的⼀项（）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><a y =在[－1,1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+ B ．25251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）7．函数||2)(x x f -=的值域是（） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满⾜1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤a 2，求a 的值．2.1指数函数练习参考答案⼀、DCDDD AAD D A⼆、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13．解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠≠≠101010∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ??+=+，其中10,10<<<<c a . 当r ＞1时，1=++? c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>??+ c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。

指数函数知识点总结及练习

指数函数知识点总结及练习 1.指数函数的定义：设 0>a ，1≠a ，x 是任意实数，我们称()x y f x a ==，以a 为底数的指数函数。

2. 指数函数的图形﹕设0>a ，0≠a ，x a x f y ==)(，则(1)当1>a 时 (2)当10<<a 时3. 由图形可以得知﹕ (1)图形必过点)1,0(且渐近线为x 轴.(2)对于任意实数x ﹐恒使得x a 大于0﹐故图形必在x 轴上方.(3)①当1>a 时﹐则)(x f y =为严格递增函数.②当10<<a 时﹐则)(x f y =为严格递减函数.4. 图形与图形的对称及平移﹕原函数变换新函数()x f x a = 对称y 轴 ()y f x =-对称x 轴 ()y f x -=对称原点 ()y f x -=-沿x 轴方向移动h 单位 ()y f x h =-沿y 轴方向移动k 单位 ()y k f x -=x【练习题】用描点的方式作出x y 2=的图形.例2：(讲义1-11老师讲解3)(1)试作出x y 2=之图形.(2)利用上式之图形作出下列各函数图形①2x y -= ②2x y =-③ 2xy = ④42x y =⨯x y【练习题】(讲义1-11学生练习3) (1)试作出x y 3=之图形.(2)利用上式之图形作出下列各函数图形①x y 3-= ②x y -=3③ x y 3= ④13+=x y例2：解下面两个方程式：（1）()327323=+x . （2）03349=+⋅-x xx, 则x的范围为何？例5：若0--x224>x, 则x的范围为何？【练习题】若0⋅-x+3349>。

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