图形的翻折及相似三角形学生

授课类型 限时训练 图形的翻折因动点产生的相似三角形问题教学内容（2010闵行）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2010年上海世博会预测参观总人次超过70 200 000人次，将70 200 000用科学计数 法表示正确的是（A ）702×105； （B ）7.02×107； （C ）7.02×108； （D ）0.702×108． 2．点P （1，-3）关于原点对称的点的坐标是 （A ）（-1，-3）； （B ）（1，3）； （C ）（-1，3）； （D ）（3，-1）． 3．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，如果AC = m ，∠A =β，那么AB 的长为（A ）βsin ⋅m ； （B ）βcos ⋅m ； （C ）βsin m； （D ）βcos m．4．在直角坐标平面内，如果抛物线223y x =-经过平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的要求是（A ）沿y 轴向上平移3个单位； （B ）沿y 轴向下平移3个单位； （C ）沿x 轴向左平移3个单位； （D ）沿x 轴向右平移3个单位．5．已知两圆的半径分别是1 cm 和5 cm ，圆心距为3 cm ，那么这两圆的位置关系是 （A ）内切； （B ）内含； （C ）外切； （D ）相交． 6．如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多 边形（A ）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （B ）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （C ）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：32(3)a = ____________.8．不等式320x -<的解集是________________． 9．方程213x +=的解是________________．10．已知函数2()x f x x -=，那么(2)f -=_______________． 11．已知点A （2，-1）在反比例函数k y x =（k ≠ 0）的图像上，那么k =________． 12．一次函数25y x =-的图像在y 轴上的截距是_________．13．抛物线222y x x =-+在对称轴的左侧部分是_______．（填“上升”或“下降”）14．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，那么掷出的点数小于3的概率为____________．15．已知AB a =，AC b =，那么BC =_____________．（用向量a 、b 的式子表示）16．已知⊙O 的直径AB = 26，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，且OE = 5，那么CD =____．17．在四边形ABCD 中，AD // BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．（只要填写一种情况）18．如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上 的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =___________．图形的翻折【解题策略分析】解决动态问题需要我们运用运动与变化的观点去观察与研究图形，把我图形运动与变化的全过程，在运动中找出不变的因素，利用不变的因素来解决变化的问题。

（1）通过翻折后与原图形全等找出等量关系；（2）联结原点和翻折后的点，必定关于折痕对称（或者用折痕是对称点的垂直平分线）； （3）跟其他线段中点结合构造中位线； （4）做垂线运用“双勾股”。

例题精解一、全等三角形相关计算（边和角）例1、 如图所示，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= ．变形如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm ，宽BC=cm ，然后以虚线CE （E 点在AB C D E（第18题图）AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=cm，∠DCE=．例2、如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（）A．22.5°B．67.5°C．22.5°或67.5°D．45°或135°变形如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°二、相似三角形相关计算例3、有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A．1B．1 C．D．变形）中，AB = AC = 5，BC = 8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，已知三角形纸片（ABC相似，那么BF的长度是________记为点'B，折痕为EF，若以点'B，F，C为顶点的三角形与ABC三、几何计算例4、把图一的长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，①求BC的长；②求长方形纸片ABCD的面积；③求图二中AD的长．变形如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．四、压轴题目中的翻折例5在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；ABCDEO lF AB CDEOlA ′(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S. ①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以 x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；变形如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数；（2）△MNK 的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．达标测试1．如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N= _________ ．2．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使A 点落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到了线段BN ，过N 作NH ⊥BC 于Q ，则∠NBC 的度数是 _________ ．3．现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B'．则线段B'C= _________ ．相似三角形的存在问题例1、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；相似三角形的分类按角分 按边分 几何方法代数方法（2）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．（★★★）图1例2、如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．（★★★★）图1练一练直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（★★★）图1达标测试Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D（4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（★★★） （1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1课后作业： 1．（本题满分10分）先化简，再求值：2121)a a a a a -+-÷（，其中3a =．2．（本题满分10分）解方程组：2225,210.x y x x y y +=⎧⎨-+-=⎩3.（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，点M 是边CD 的中点，联结AM 、BM ． 求：（1）△ABM 的面积；（2）∠MBC 的正弦值．4．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上，且BE = EF = FD ，联结AE 、AF 、CE 、CF ． 求证：（1）AF = CF ；（2）四边形AECF 菱形．5．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分，满分12分）如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值；① ②A B C（第22题图）M D F（第23题图）D C B A E（2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A 作射线AE // BC ，点P 是边BC 上任意一点，联结PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B 、P 两点间的距离为x ． （1）如图1，如果四边形ABPQ 是平行四边形，求x 的值；（2）过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为点R ，当x 为何值时，△PQR ∽△CBO ？ （3）设△AOQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域．yO x C A B D（第24题图） ECOBA E （备用图）CO PBQ A E （第25题图1）CO BA E （第25题图）Q P。