高中数学第一章数列等差数列学案北师大版

2.1 等差数列(二) 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．

知识点一 等差数列通项公式的推广

思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n ?

思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a m n －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？

梳理 等差数列{a n }中，若公差为d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d ，当n ≠m 时，d ＝

a n －a m n －m

. 知识点二 等差数列的性质

思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？

梳理 在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋________＝a p ＋________.特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .

知识点三 由等差数列衍生的新数列

思考 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ 梳理 若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有

数列

结论 {c ＋a n }

公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n }

公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k }

公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N ＋) {pa n ＋qb n } 公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)

类型一 等差数列推广通项公式的应用

例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式． 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．

跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )

A．0 B．3 C．8 D．11

类型二等差数列与一次函数的关系

例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)从递推公式上看，a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列；

(2)从任意连续三项关系上看，2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}是等差数列；

(3)从通项公式代数特点上看，a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N＋，a n＋1－a n的结果不等于同一个常数等．

跟踪训练2 若数列{a n}满足a1＝15,3a n＋1＝3a n－2，则使a k·a k＋1<0的k值为________．

类型三等差数列性质的应用

引申探究

1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q ＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?

2．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.例3 已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．

跟踪训练3 在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．

1．等差数列{a n}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )

A．3 B．－6

C．4 D．－3

2．在等差数列{a n}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )

A．32 B．－32

C．35 D．－35

3．等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )

A．3 B．－3

C.32 D ．－32

1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n

，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .

2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．

3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .

4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1 设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ，

变形得a 1＝a m －(m －1)d ，

则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d

＝a m ＋(n －m )d .

思考2 等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图像为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a m n －m . 知识点二

思考 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….

梳理 a n a q

知识点三

思考 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)

＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)

＝d ＋d ＝2d .

∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．

题型探究

例1 解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2.

又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，

所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.

跟踪训练1 B [∵{b n }为等差数列，设公差为d ，

则d ＝b 10－b 310－3＝12－－2

7＝2，

∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.

∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1

＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1

＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.]

例2 解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，