2021年高考文科数学总复习(第七章 第3节)不等式讲义

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修5P98例3改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B3.(必修5P103练习1T1改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( ) A.3，－3 B.2，－4 C.4，－2D.4，－4解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4， 平移l 0过点A 时， z min ＝－2. 答案 C4.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( ) A.1B.2C.3D.4解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.答案 B5.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.答案 66.(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示.由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案 －1考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2019·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.32B. 3C. 2D.2 3(2)(2018·咸阳二模)已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，74D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析 (1)作出不等式组表示的平面区域是以点O (0，0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝ 3.(2)画出不等组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，如图所示，直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A (－2，4)， 当直线y ＝kx －3过点A 时， k ＝－3－40－（－2）＝－72； 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B (2，0)， 当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32.由图形知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 (1)B (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】 (2019·南昌模拟)已知不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A.－1B.－12C.12D.1解析由题意知k >0，且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图所示.∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1， ∴三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，∴k ＝1. 答案 D考点二 线性规划中的最值问题多维探究角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________.解析 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，故z max ＝2＋13×3＝3.法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知z max ＝2＋13×3＝3. 答案 3角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)(2019·济南一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则yx 的最大值为( ) A.1B.3C.32D.5(2)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A ．4B ．9C ．10D ．12解析 (1)不等式组表示平面区域是以(1，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).y x 表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与原点的连线斜率最大，即yx 的最大值为321＝32.(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方．由图易知平面区域内的点A (3，－1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10.答案 (1)C (2)C角度3 线性规划中的参数问题【例2－3】 (2019·西安质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a 的值为( ) A.2 B.1 C.1或2D.－1解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .因为a ≠0，所以要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有无数个，故必有a >0. ①当直线y ＝ax ＋z 与直线AC 重合，即a ＝1时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y ＝ax ＋z 与直线BC 重合时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，不符合条件.故a ＝1. 答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义： (1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2]D ．[0，3](2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b＝( )A.94B.32C.1D.34解析 (1)画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.(2)作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94. 答案 (1)B (2)A考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N +，y ≥0，y ∈N +，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值， z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【训练3】 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时.A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( ) A.320千元 B.360千元 C.400千元D.440千元解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.答案B[思维升华]1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界处取得.2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值.直观想象——高考命题中线性规划问题类型探析直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新.类型1 目标函数含参数【例1】 设不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是______.解析 由可行域(如图)易知直线y ＝a (x ＋1)过定点P (－1，0).当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点A (1，1)时，a 取得最小值12； 当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点B 时，a 取得最大值4. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4评析 1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力.2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解. 类型2 线性约束条件含参【例2】 已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A.211B.14C.4D.112解析 作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1，1)， z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，则点B (a ，a ). ∴z min ＝2×a ＋a ＝3a ，∵z的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a，即a＝1 4.答案 B评析当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题.类型3“隐性”的线性规划问题【例3】如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则mn的最大值为()A.16B.18C.25D.812解析f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f′(x)≤0，所以f′⎝⎛⎭⎪⎫12≤0，f′(2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，n≥0，m＋2n≤18，2m＋n≤12.画出可行域，如图，令mn＝t，则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝tn.由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝tn相切时，t取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n ，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max ＝18.答案 B评析 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件.2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A.(－24，7) B.(－7，24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案 B2.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y所表示的平面区域的面积为()A.1B.2C.4D.8解析 不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为12×2×1＝1. 答案 A3.(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A.6B.19C.21D.45解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2，3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15B.－9C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.答案 A5.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C.1D.2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时， 经检验不符合题意，故m ＝2. 答案 D6.(2019·武汉模拟)已知⎩⎨⎧x －y ≥0，3x －y －6≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝22x＋y的最小值是( )A.1B.16C.8D.4解析 作出不等式组对应的平面区域如图，设m ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋m ，由图可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时m 最小，z 也最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1，1)， m min ＝2×1＋1＝3，则z min ＝23＝8. 答案 C7.(2018·汉中调研)已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( ) A.55B.255C.1D.172解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0的可行域如图，因为点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，所以|MN |的最小值就是两条平行直线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离，为|－2＋4|12＋22＝255.答案 B8.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)12 8A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D 二、填空题9.(一题多解)(2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________. 解析 法一 x ＋1≤y ≤2x 表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A (1，2)处取得最小值，最小值为3.法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤－1，2x －y ≥0，则2y －x ＝－3(x －y )＋(2x －y )≥3，所以2y －x 的最小值为3. 答案 310.(2018·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，z max ＝5＋4＝9.答案 911.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，则m ＝5. 答案 512.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________.解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2，3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率.因点D (2，3)与B (8，1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)，故由图知z ＝y －3x －2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13 能力提升题组 (建议用时：15分钟)13. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D ．5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案 D14.(2019·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －m ≤0，若yx ＋1的最大值为2，则m 的值为( ) A.4B.5C.8D.9解析 不等式组对应的可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －m ＝0得B (1，m －1). y x ＋1＝y －0x －（－1）表示动点(x ，y )和点D (－1，0)连线的斜率，可行域中点B 和点D 连线的斜率最大， ∴m －11－（－1）＝2，∴m ＝5.答案 B15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是________．解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1)． 设z ＝OM →·ON→＝2x ＋y ， 当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 316.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球.根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________.解析 设买排球x 个，篮球y 个，买排球和篮球的个数之和z ＝x ＋y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，90x ＋120y ≤1 200，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，3x ＋4y ≤40.由约束条件作出可行域如图阴影部分中的整点.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，3x ＋4y ＝40，解得A (8，4)，化目标函数z ＝x ＋y 为y ＝－x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，此时z ＝8＋4＝12. 答案 12。