2021年高考文科数学总复习(第七章 第3节)不等式讲义

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

.

知识梳理

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点

组成的平面区域不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋

C)(Ax2＋By2＋C)>0.

3.线性规划的有关概念

名称意义

线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件

目标函数关于x，y的解析式

线性目标函数关于x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[微点提醒]

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域

(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )

(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )

解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(必修5P98例3改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，

x －y ＋2<0

表示的平面区域是( )

解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B

3.(必修5P103练习1T1改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，

x ＋y ≤1，y ≥－1，

则z ＝2x ＋y ＋1

的最大值、最小值分别是( ) A.3，－3 B.2，－4 C.4，－2

D.4，－4

解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.

其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，12，

画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4， 平移l 0过点A 时， z min ＝－2. 答案 C

4.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，

－1≤x －y ≤1表示图

形的面积等于( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.

答案 B

5.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，

x －y ＋1≥0，y ≤0，

则z ＝3x ＋2y 的最大值为

________.

解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.

答案 6

6.(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，

则z ＝3x －4y 的最小值为

________.

解析 画出可行域如图阴影部分所示.

由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z

4，

作出直线y ＝3

4x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案 －1

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】 (1)(2019·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组

⎩⎨⎧3x －y ≤0，

x －3y ＋2≥0，y ≥0

表示的平面区域的面积是( )

A.32

B. 3

C. 2

D.2 3

(2)(2018·咸阳二模)已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，

2x －y ≤4，y ≤4

所表示的平面

区域，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－72，74

D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

74，＋∞ 解析 (1)作出不等式组表示的平面区域是以点O (0，0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为1

2×2×3＝ 3.