对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究
拉格朗日量、哈密顿量及变分原理
拉格朗日量、哈密顿量及变分原理牛顿力学大家非常熟悉，但是我们仔细思考会发现，牛顿的理论并没有对这个世界的本质进行建模分析，它的三定律只能算是表象级的描述，现在我们来学习一种新的模型，这种模型本质上与牛顿力学相等价，但是在形式上有所不同，并且便于推广到物理学的其他各门分支，我们称之为拉格朗日力学。
拉格朗日力学认为，一切经典力学的规律可以通过称之为最小作用量原理的一种方式导出，对每一个物理体系，我们有一个称之为作用量的物理参量，我们选取时间作为参数，则另有一个称为朗格朗日量的参量，假定我们已经知道了一个物理系统必定会随时间经历两个确定的物理状态，那么以这两个状态为起始与终末对拉格朗日量进行积分将会得到对应的作用量，而真实的物理过程对应的数学方程将会是作用量取极值时拉格朗日量中各参的关系。
需要说明的是，作用量实质上是拉格朗日量的泛函，而他取极值的方式是通过变分原理。
首先我们给出变分原理的作用形式，我们用A和B来表征一个物理系统的起始与终末状态。
欧拉-拉格朗日方程就是最小作用量原理工作的形式，接下来我们直接给出一些经典体系的拉格朗日量，并且通过变分原理验证拉格朗日力学确实与牛顿力学等价。
自由质点：由这几个例子可以知道，拉格朗日力学确实与牛顿力学等价，但是他们的作用形式非常的不同。
接下来我们介绍另一个等价描述方式，称之为哈密顿力学，哈密顿力学描述物理系统的方式是通过哈密顿方程组。
现在我们由拉格朗日量导出哈密顿量：由定义可知，哈密顿量表征的物理意义是能量，最后一个由微分方程导出的方程组就是哈密顿方程组。
从导出的过程来看我们已经知道了，哈密顿力学与拉格朗日力学相等价。
从作用形式来看，拉格朗日力学的欧拉-拉格朗日是二阶方程组，因为其中可能含有q的二阶导数，而哈密顿力学的哈密顿方程组是一阶方程组，但是自变量变成了原来的两倍（动量p也成了变量）。
哈密顿原理虽然是由经典力学发现出来的，但是它的应用范围却极大的扩展到其他的领域，后续将进行进一步的介绍。
拉格朗日方程与哈密顿方程
01
通过勒让德变换，拉格朗日方程可以转化为哈密顿方程，两者
在描述物理系统的运动规律时具有等价性。
拉格朗日方程的优势
02
在处理具有约束条件的系统时，拉格朗日方程具有较大的优
势，可以通过引入拉格朗日乘子来简化问题的求解。
哈密顿方程的特点
03
哈密顿方程具有明确的物理意义，可以方便地引入正则量子化
方法，为量子力学的发展奠定了基础。
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05 拉格朗日方程与哈密顿方 程在物理学中的应用
在力学中的应用
描述质点和刚体的运动
拉格朗日方程和哈密顿方程可用于描述质点和刚体在力作用下的运动，通过定义适当的拉格朗日函数或哈密顿函数， 可以推导出质点和刚体的运动方程。
约束条件下的运动
对于受到约束的力学系统，拉格朗日方程和哈密顿方程同样适用。通过引入约束条件，可以推导出系统在约束条件下 的运动方程。
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经典力学中的应用
哈密顿方程在经典力学中用于描述质点和刚体的 运动，可以方便地处理约束和非保守力的问题。
量子力学中的应用
在量子力学中，哈密顿算符对应于经典力学中的 哈密顿函数，用于描述微观粒子的运动状态和能 级结构。
控制理论中的应用
在控制理论中，哈密顿方程被用于描述系统的动 态行为和最优控制问题，如最小时间控制、最小 能量控制等。
哈密顿函数是描述物理系统总能量的函数，通常表示为H(q, p, t)，其中q是广义坐 标，p是广义动量，t是时间。
哈密顿函数与拉格朗日函数的关系
哈密顿函数可以通过对拉格朗日函数进行勒让德变换得到，即H(q, p, t) = p·q̇ L(q, q̇, t)，其中L是拉格朗日函数，q̇是广义速度。
拉格朗日和哈密尔顿力学建模
拉格朗日和哈密尔顿力学建模
拉格朗日和哈密尔顿力学是理论力学中非常重要的两个分支，它们都是用来描述物理系统的运动的。
拉格朗日力学建立在能量原理的基础上，通过定义一个称为拉格朗日量的函数来描述系统的动力学。
这个函数包含了系统的动能和势能，并且可以通过求解欧拉-拉格朗
日方程来得到系统的运动方程。
哈密尔顿力学则是建立在哈密尔顿原理的基础上，通过定义一个称为哈密尔顿量的函数来描述系统的动力学。
这个函数包含了系统的动能和势能，并且可以通过求解哈密尔顿方程来得到系统的运动方程。
在实际应用中，拉格朗日和哈密尔顿力学都可以用来建模各种物理系统，包括机械系统、电磁系统、量子系统等。
它们被广泛应用于天体力学、固体力学、流体力学、电动力学、热力学、量子力学等领域。
在建模过程中，需要确定系统的自由度、广义坐标和广义速度，以及系统的拉格朗日量或哈密尔顿量。
通过求解欧拉-拉格朗日方程
或哈密尔顿方程，可以得到系统的运动方程和各种物理量随时间的变化规律。
总的来说，拉格朗日和哈密尔顿力学是理论力学中非常重要的工具，它们的应用在科学研究和工程实践中都发挥着重要作用。
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第九讲 拉格朗日-哈密顿力学
牛顿世界观
牛顿的困惑：为什么行星能够保持圆周运动？什么是第一推动？
这个问题带着他走向了神学。
“牛顿一脚把上帝踢出了
太阳系，但还让他临走前 推了太阳系一把。”
康德，“星云假说”
“在这个世界上只有两种 东西最能震撼人们的心 灵，一是我们内心崇高 的道德；二便是我们头 顶上灿烂的星空。”
S + H (q, p,t) = 0 t
简化的偏微分方程
经典力学达到巅峰
牛顿世界观
➢18世纪后整个自然科学都走上牛顿指引的道路。 ➢“自然哲学的全部任务看来就在于从各种现象来研究各种自然之
力，而后用这些力去论证其他的现象” ➢不同领域均发生了力学化：天体力学、流体力学、电动力学。 ➢直到19世纪末，整个自然科学可以说就是力学。
哈密顿力学
经典力学体系：拉格朗日-哈密顿力学
标准模型的拉格朗日量
哈密顿力学
经典力学体系：拉格朗日-哈密顿力学
哈密顿作用量 S = t2 Ldt t1
哈密顿量 H (q, p,t) = T +U
H ( p, q,t) = piqi − L
i
哈密顿方程
q=
H p
p
=
−
H
两个常微分方程
q
哈密顿-雅可比方程
小时绕地球一周会变成常识？ • 有没有可能，我们目前的世界观也是错误的？或者在我们的子
孙看来，我们的观念是陈旧而且诡异的？
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19世纪末
伽利略：《两门新科学的对话》
运动学
材料的强度
一般力学 牛顿运动定律
胡克定律
牛顿流体
电磁场
力学发展史的几个重要阶段
力学发展史的几个重要阶段引言力学作为物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律以及力的作用和效果。
力学的发展历程可以追溯到古代希腊时期，经过了多个重要的阶段。
本文将对力学发展史的几个重要阶段进行探讨。
古代力学的奠基希腊古代力学的兴起希腊古代力学的兴起可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的观念，将力与数学联系在一起。
这为后来的力学研究奠定了基础。
阿基米德的力学成就古希腊科学家阿基米德在力学领域做出了重要贡献。
他提出了浮力定律和杠杆原理，为后来的力学研究提供了重要的理论基础。
经典力学的建立牛顿力学的诞生17世纪末，英国科学家牛顿提出了经典力学的三大定律，即惯性定律、运动定律和作用-反作用定律。
这一理论体系完整地描述了物体运动的规律，开创了经典力学的时代。
牛顿力学的发展牛顿力学的建立并不是一蹴而就的，它经历了长期的发展过程。
随着科学技术的进步，人们对力学规律的认识不断加深，牛顿力学也得到了进一步的完善和发展。
进一步发展的力学理论拉格朗日力学18世纪末，法国数学家拉格朗日提出了拉格朗日力学，这是一种以能量和广义坐标为基本概念的力学理论。
拉格朗日力学更加简洁优美地描述了物体运动的规律，成为经典力学的重要组成部分。
哈密顿力学19世纪初，爱尔兰数学家哈密顿提出了哈密顿力学，它是一种以广义坐标和广义动量为基本概念的力学理论。
哈密顿力学在力学研究中起到了重要的作用，为后来的量子力学的发展奠定了基础。
相对论力学20世纪初，爱因斯坦提出了相对论的理论框架，将时间和空间统一起来。
相对论力学修正了牛顿力学的一些不足，对高速运动和强引力场下的物体运动提供了更加准确的描述。
现代力学的新发展量子力学20世纪初，量子力学的理论被提出。
量子力学描述了微观粒子的运动规律，与经典力学有着本质的区别。
量子力学的发展为理解微观世界的力学行为提供了新的视角。
统计力学统计力学是一种研究大量微观粒子统计行为的力学理论。
理论力学的课程研究报告
理论力学的课程研究报告理论力学是一门理论基础课程，在物理学、工程学等领域起着重要的作用。
本篇报告将对理论力学课程进行研究和总结。
理论力学课程主要涵盖牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学三个部分，主要学习物体受力学的基本规律以及运动的规律。
通过这门课程的学习，可以深入了解运动物体的力学特性，从而对各种物理现象和工程问题进行分析和解决。
首先，牛顿力学是理论力学的基础，它通过牛顿三定律描述物体受力和运动的规律。
学习这一部分，我们可以了解到质点和刚体的运动特性以及力的作用方式。
熟练掌握牛顿三定律及其应用，可以准确描述和分析物体的运动轨迹，并解决与运动相关的问题。
其次，拉格朗日力学是对牛顿力学的进一步推广和发展。
它以一种更抽象的方式描述物体的运动，引入广义坐标和广义力。
拉格朗日力学通过建立拉格朗日方程，可以用更简洁的数学形式描述系统的运动，对于复杂系统的分析尤为有用。
掌握了拉格朗日力学，可以更深入地理解物体的运动规律，并应用于各种物理问题的研究。
最后，哈密顿力学是对拉格朗日力学的又一种表述方式。
哈密顿力学引入了广义动量和哈密顿函数，通过哈密顿方程描述系统的演化。
相较于拉格朗日力学，哈密顿力学更适用于能量守恒和瞬时性质的研究，能够提供更多问题的解析解。
哈密顿力学在量子力学和统计力学中有广泛的应用，掌握了哈密顿力学，可以进一步拓展自己的理论物理知识。
除了牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的基本理论，理论力学课程还包括刚体力学、运动学和动力学、孤立性和守恒性、稳定性和非线性振动等内容。
通过这些内容的学习，可以全面了解物体力学特性的各个方面，培养解决实际问题的能力。
综上所述，理论力学是物理学和工程学中一门重要的基础课程，通过学习这门课程，可以深入了解物体受力和运动的规律，掌握牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的基本理论，提高分析和解决实际问题的能力。
希望通过本篇报告的研究和总结，能够对理论力学课程有一个清晰的认识，并对相关领域的研究和应用提供一定的指导。
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式经典力学是物理学中的一个重要分支，用来研究物体在作运动时的力学规律。
在经典力学的发展历程中，拉格朗日力学和哈密顿力学是两个基本的理论框架。
本文将对拉格朗日力学和哈密顿力学的基本概念、原理和应用进行介绍。
一、拉格朗日力学拉格朗日力学是由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出的一种描述力学系统的方法。
它基于一个称为“拉格朗日函数”的函数来描述物体的运动。
拉格朗日函数由广义坐标和广义速度构成，具体形式为L(q, ẋ)，其中q表示广义坐标，ẋ表示广义速度。
在拉格朗日力学中，通过引入一个称为“作用量”的量来描述系统的运动。
作用量定义为物体在运动过程中受到的广义力与广义坐标变化的积分，即S = ∫L(q, ẋ)dt。
拉格朗日原理指出，物体在运动时，其实际路径是使作用量S取极值的路径。
通过应用拉格朗日原理，可以得到运动方程及其解。
对于单个质点的运动，拉格朗日力学方程可以写为∂L/∂q - d(∂L/∂ẋ)/dt = 0。
对于多个质点的系统，可以将拉格朗日函数写为各质点的质量、速度以及势能、动能的函数，并将系统的位形空间表示为广义坐标的空间。
拉格朗日力学具有坐标变换不变性、方程形式简洁等优点，适用于描述各种复杂力学系统的运动。
二、哈密顿力学哈密顿力学是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的一种力学描述方法。
它是拉格朗日力学的一种等价形式，通过引入广义动量，将力学系统的描述从坐标空间转化为相空间。
在哈密顿力学中，广义动量定义为p = (∂L/∂ẋ)，并利用广义动量和广义坐标构成哈密顿函数H(q, p)。
哈密顿函数描述了系统的总能量，并在相空间中表示系统的状态。
利用哈密顿原理，可以推导出哈密顿力学的运动方程，即哈密顿正则方程。
对于单个质点的运动，哈密顿正则方程写为dq/dt = (∂H/∂p)，dp/dt = - (∂H/∂q)。
对于多个质点的系统，可以将哈密顿函数表示为各质点坐标、动量以及势能、动能的函数。
力学的发展历程
力学的发展历程力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动和力的作用。
它的发展历程可以追溯到古代，经历了漫长的发展和演变，形成了现代力学的基础。
本文将详细介绍力学的发展历程，并探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
1. 古代力学的起源古代力学的起源可以追溯到古希腊时期。
古希腊的哲学家和数学家亚里士多德提出了一些关于力和运动的理论，他认为物体的运动是由于其本质的内在动力而产生的。
然而，亚里士多德的理论并没有提供明确的数学描述和实验验证，因此在科学发展中的地位并不重要。
2. 开普勒和伽利略的贡献在16世纪，约翰内斯·开普勒和伽利略·伽利莱的研究对力学的发展产生了重要影响。
开普勒通过对行星运动的观测和分析，提出了行星运动的三个定律，揭示了行星运动的规律性。
伽利略通过实验和观察，提出了自由落体和斜面上物体滑动的规律，奠定了力学实验基础。
他的研究为后来的牛顿力学奠定了基础。
3. 牛顿力学的建立17世纪末，艾萨克·牛顿提出了经典力学的三大定律，即牛顿定律。
第一定律（惯性定律）指出，物体在没有受到外力作用时保持静止或匀速直线运动。
第二定律（动力学定律）描述了物体受力时的加速度与力的关系。
第三定律（作用-反作用定律）说明了相互作用物体之间的力是相等且反向的。
牛顿力学为解释天体运动、机械运动和其他物体运动提供了统一的理论框架。
4. 拉格朗日力学和哈密顿力学的发展18世纪末和19世纪初，约瑟夫·拉格朗日和威廉·哈密顿提出了新的力学理论，即拉格朗日力学和哈密顿力学。
拉格朗日力学通过定义广义坐标和拉格朗日函数，从能量角度描述物体的运动。
哈密顿力学通过定义广义动量和哈密顿函数，从相空间的角度描述物体的运动。
这两个力学理论在解决复杂系统的运动问题时具有重要的作用。
5. 相对论力学的出现20世纪初，阿尔伯特·爱因斯坦提出了相对论力学，即狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论描述了高速运动物体的运动规律，引入了相对论性质量和相对论动力学。
简论哈密顿力学的和拉格朗日力学几何的差异性
简论哈密顿力学的和拉格朗日力学几何的差异性翻开大多数海内外的一本中级理论物理学教材（即本科高年级和硕士低年级），都是简要地回顾了一下牛顿力学（包括拉格朗日力学在内）和哈密顿力学两种力学的所谓的“物理学”差异性，几乎从不论述它们二者的几何学差别性。
而有的美国教授正确地说道，把在一个正交空间中展现的牛顿力学，放进两个互为倒易的斜交空间重新表述出来的力学就是拉格朗日力学。
可是，却没有把“牛顿力学和哈密顿力学的几何差别”陈述出来。
当然，在高等物理学的教材（硕士高年级和博士年级）中，很多国内外的作者几乎是清一色地把“哈密顿力学和拉格朗日力学的差别”诠释为“余切丛和切丛上的函数”（微分几何中，一个微分流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛；一个微分流形的切丛是一个由流形各点上切空间组成的向量丛，其总空间是各切空间的不交并集），固然这是正确滴。
可是，切丛和余切丛的关系又是什么呢？呵呵，遗憾的是几乎没有一个专著明确指出和推导。
仿佛我们除了只有一个“勒让德变换”来从数学上来连接“哈密顿力学和拉格朗日力学”之外，再就无能为力了！然而，更重要的问题却是：“同一个物理学质点的几何模型，真的会有任何物理学上的差别吗？”换言之，当我们选择不同的数学几何学来描述在光滑自由空间中同一个物理质点的加速运动的时候，无疑地将产生数学上的形式差别，可是这会出现物理学上的本质差别吗？欧几里德几何学比较特殊，它是在笛卡尔正交坐标系里展开讨论的。
这是牛顿力学首选的数学模型，人人对它都耳熟能详。
碰巧的是，它的两个左右共轭的空间恰好一模一样，镜像一般而无需任何区分。
正是这个特点，让我们觉得欧几里德几何学是在自然那不过的，并且直觉上感到这是很简单、又很真实的几何学。
欧几里德几何学是仿射几何学的一个子几何，它可以被称作是“正交几何学”；而仿射几何学也可以称作是“斜交几何学”。
显而易见的是正交的欧几里德几何学是斜交的仿射几何学的一个子几何，因为假如坐标系的个坐标轴恰好是正交的——即彼此相互垂直的话，这时的仿射几何学依旧是仿射几何学，但是，同时还可以被称作是欧几里德几何学了。
哈密顿原理和拉格朗日
哈密顿原理和拉格朗日哈密顿原理和拉格朗日哈密顿原理和拉格朗日是经典力学中的两个重要概念，它们是描述物理系统运动的基本原理。
哈密顿原理和拉格朗日的提出，为研究物理系统的运动提供了一种新的方法，使得研究者可以更加深入地了解物理系统的本质。
哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它描述了物理系统在所有可能的路径中，真实路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是一个物理量，它描述了物理系统在某个时间段内所受到的所有作用的总和。
哈密顿原理的提出，使得研究者可以通过求解作用量的极小值来确定物理系统的真实路径，从而更加深入地了解物理系统的运动规律。
拉格朗日是经典力学中的另一个重要概念，它是描述物理系统运动的一种方法。
拉格朗日的提出，使得研究者可以通过求解拉格朗日方程来确定物理系统的运动规律。
拉格朗日方程是一个微分方程，它描述了物理系统在某个时间段内的运动状态。
通过求解拉格朗日方程，研究者可以确定物理系统的运动轨迹和运动规律，从而更加深入地了解物理系统的本质。
哈密顿原理和拉格朗日的提出，为研究物理系统的运动提供了一种新的方法，使得研究者可以更加深入地了解物理系统的本质。
哈密顿原理和拉格朗日的应用范围非常广泛，它们不仅被应用于经典力学中，还被应用于量子力学、相对论等领域。
在物理学的研究中，哈密顿原理和拉格朗日是不可或缺的工具，它们为研究者提供了一种新的思路和方法，使得研究者可以更加深入地了解物理系统的本质。
总之，哈密顿原理和拉格朗日是经典力学中的两个重要概念，它们为研究物理系统的运动提供了一种新的方法，使得研究者可以更加深入地了解物理系统的本质。
哈密顿原理和拉格朗日的应用范围非常广泛，它们不仅被应用于经典力学中，还被应用于量子力学、相对论等领域。
在物理学的研究中，哈密顿原理和拉格朗日是不可或缺的工具，它们为研究者提供了一种新的思路和方法，使得研究者可以更加深入地了解物理系统的本质。
数学物理中的哈密顿力学和拉格朗日力学的应用
哈密顿力学和拉格朗日力学是数学物理中两个重要的力学理论。
它们都是描述物质运动的基本原理，但在一些特定的问题中，哈密顿力学和拉格朗日力学各有其优势和应用。
首先，我们来谈谈拉格朗日力学。
拉格朗日力学是一种描述封闭系统的力学理论，它以广义坐标和广义速度作为自变量，利用拉格朗日方程来描述物体的运动。
在拉格朗日力学中，我们通常将系统的动能和势能表示成广义坐标和广义速度的函数，并根据最小作用量原理建立起系统的运动方程。
这种描述方式非常适用于复杂的系统，尤其是那些具有约束条件的系统，比如弹簧振子、万有引力系统等。
在这些问题中，通过建立拉格朗日函数和拉格朗日方程，我们可以简洁地描述出系统的运动方程，从而方便地进行定性和定量的分析。
接下来，我们来看看哈密顿力学。
哈密顿力学是一种描述开放系统的力学理论，它以广义坐标和共轭动量作为自变量，利用哈密顿方程来描述物体的运动。
在哈密顿力学中，我们通常将系统的动能和势能分别表示成广义坐标和共轭动量的函数，并利用哈密顿方程进行运动的描述。
哈密顿力学的优势在于其在描述相空间中的运动时更加方便和简洁。
相空间是由广义坐标和共轭动量构成的多维空间，描述了系统在不同广义坐标和共轭动量取值下的运动状态。
对于一些具有大量自由度的系统，如分子动力学模拟中的分子，哈密顿力学可以非常方便地描述和分析这些系统的运动。
此外，哈密顿力学还可以方便地引入变分原理，如哈密顿最小作用量原理和基于哈密顿量的极值原理。
在实际应用中，哈密顿力学和拉格朗日力学常常是相辅相成的。
有时候，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行运动方程的建立。
在求解解析解和进行数值模拟时，哈密顿力学和拉格朗日力学也有不同的适用性。
在一些简单系统中，拉格朗日力学的任务更多，因为我们可以更容易地找到拉格朗日函数和方程，从而得到系统的运动方程。
而在复杂系统中，哈密顿力学的优势更加突出，可以方便地引入坐标和共轭动量，从而更好地描述系统的运动特性。
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系力学是研究物体运动的学科，它是自然科学中的重要分支之一。
在力学中，我们常常会遇到两个重要的概念：哈密顿量和拉格朗日量。
这两个概念在力学系统的描述中起着至关重要的作用，它们之间存在着一定的关系。
首先，让我们来了解一下哈密顿量和拉格朗日量的定义。
在力学中，哈密顿量是描述系统能量的函数，通常用H表示。
而拉格朗日量则是描述系统运动的函数，通常用L表示。
哈密顿量和拉格朗日量都是由系统的广义坐标和广义速度所决定的。
在经典力学中，我们可以通过拉格朗日量来描述力学系统的运动方程。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能来构造，即L = T - V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
通过变分原理，我们可以得到系统的运动方程，即拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以通过求解系统的广义坐标和广义速度的变分来得到。
与此相对应的，我们可以通过哈密顿量来描述力学系统的运动。
哈密顿量可以通过拉格朗日量和广义动量来构造，即H = Σpiqi - L，其中pi是广义动量，qi是广义坐标。
通过求解哈密顿方程，我们可以得到系统的运动方程。
哈密顿方程可以通过对广义坐标和广义动量的变分来得到。
哈密顿量和拉格朗日量之间的关系可以通过勒让德变换来建立。
勒让德变换是一种将拉格朗日量转化为哈密顿量的方法。
它可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换，即对广义速度进行变换，来得到哈密顿量。
勒让德变换的过程中，我们需要求解广义动量和广义速度之间的关系。
在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系是等价的。
也就是说，通过哈密顿量可以得到与通过拉格朗日量得到的运动方程完全相同。
这种等价关系在经典力学中被称为勒让德定理。
然而，在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系并不是等价的。
量子力学是描述微观粒子运动的理论，它与经典力学有着本质的不同。
在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量描述的是系统的能量和运动规律，它们之间存在着一定的关系，但并不是完全等价的。
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学是物理学中两种最主要的力学。
拉格朗日力学是通过拉格朗日的原则来研究物理系统的运动的方法，它面向的是未知受力的运动系统，而哈密顿力学则用于研究系统的状态为已知的线性运动系统，它强调的是动力学的概念，而不是像拉格朗日力学那样的原则。
拉格朗日力学中，拉格朗日对物体的状态来计算其运动做出了有力的假设，即物体的运动受到一些外界作用力的影响，这些外界作用力可以能量的形式表示，而运动状态可以通过拉格朗日势来确定。
由于拉格朗日势的存在，物体的运动方程就把势、动量、外力的关系给表示出来，从而可以用来求解物体的运动。
哈密顿力学主要利用一组确定的基本方程和统一的机制来研究
物体的运动，其中的基本方程是通过基本量，如动量、势能、惯性力等来确定物体的运动的，这种机制使得物体的运动可以用一组定义统一的规则来描述，而无需考虑外界作用力的影响。
总之，拉格朗日力学和哈密顿力学都是用来解释物体的运动的力学。
拉格朗日力学面向的是未知受力的运动系统，而哈密顿力学则用于研究系统的状态为已知的线性运动系统。
它们的最大的不同点在于，拉格朗日力学需要考虑外界作用力的影响，而哈密顿力学则不需要。
两者都可以有效的用于解释物体的运动。
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拉格朗日力学与哈密顿力学比较研究
拉格朗日力学与哈密顿力学比较研究拉格朗日力学与哈密顿力学是经典力学的两个重要分支，它们都是描述物体运动的数学工具。
虽然两者都是从不同的角度出发，但它们在描述力学系统时有着密切的联系。
本文将对拉格朗日力学和哈密顿力学进行比较研究，探讨它们的异同以及在实际应用中的不同用途。
拉格朗日力学是以能量为基础的力学体系，它的核心思想是通过定义广义坐标和广义速度，建立系统的拉格朗日函数，并通过拉格朗日方程描述物体的运动。
拉格朗日力学的优点在于可以将复杂的力学系统简化为一组广义坐标的微分方程，从而大大简化了求解过程。
同时，拉格朗日力学还具有坐标变换的不变性，即在不同坐标系下，拉格朗日方程形式保持不变，这为力学系统的分析提供了更大的灵活性。
而哈密顿力学则是以动量为基础的力学体系，它通过定义广义坐标和广义动量，建立系统的哈密顿函数，并通过哈密顿方程描述物体的运动。
与拉格朗日力学相比，哈密顿力学更加强调动量的重要性，通过引入哈密顿函数，可以更加直观地描述力学系统的能量和相空间的演化。
此外，哈密顿力学还具有正则变换的不变性，即在不同坐标系下，哈密顿方程形式保持不变，这为力学系统的分析提供了更大的便利。
虽然拉格朗日力学和哈密顿力学有着不同的出发点和描述方式，但它们之间存在着紧密的联系。
事实上，拉格朗日力学可以通过勒让德变换转化为哈密顿力学，而哈密顿力学也可以通过逆勒让德变换转化为拉格朗日力学。
这种相互转化的关系使得两种力学方法可以相互补充和应用，为力学系统的研究提供了更加全面和深入的视角。
在实际应用中，拉格朗日力学和哈密顿力学各有其优势和适用范围。
对于简单的力学系统，如质点的运动、弹簧振子等，拉格朗日力学更加直观和简便，能够提供系统的运动方程和能量守恒等重要信息。
而对于复杂的力学系统，如多体系统、刚体运动等，哈密顿力学的广义坐标和广义动量描述更加方便，能够提供系统的相空间演化和守恒量等重要信息。
总结起来，拉格朗日力学和哈密顿力学是经典力学的两个重要分支，它们在描述力学系统时有着密切的联系。
了解哈密顿力学与拉格朗日力学的区别与联系
了解哈密顿力学与拉格朗日力学的区别与联系在物理学中，哈密顿力学和拉格朗日力学是两个重要的力学体系。
虽然它们都是描述物体运动的数学框架，但在方法和理论上存在一些区别和联系。
拉格朗日力学是由意大利数学家和物理学家拉格朗日于18世纪末提出的。
它基于一个称为拉格朗日量的函数，通过对系统的动能和势能进行数学描述，来推导出描述物体运动的方程。
拉格朗日力学的核心思想是最小作用量原理，即物体在运动过程中，其实际路径使作用量取极小值。
通过对拉格朗日量求极值，可以得到运动方程，从而描述物体在各种力的作用下的运动状态。
哈密顿力学则是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪初提出的。
它以哈密顿函数为基础，通过对系统的广义坐标和广义动量进行数学描述，来推导出描述物体运动的方程。
哈密顿力学的核心思想是哈密顿原理，即物体在运动过程中，其哈密顿函数保持不变。
通过对哈密顿函数的求导，可以得到运动方程，从而描述物体在各种力的作用下的运动状态。
虽然哈密顿力学和拉格朗日力学在形式上有所不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，拉格朗日力学可以看作是哈密顿力学的一种特殊情况。
在某些情况下，拉格朗日力学可以通过对哈密顿函数的Legendre变换得到。
这种变换可以将系统的广义坐标和广义动量相互转化，从而实现从拉格朗日力学到哈密顿力学的转换。
此外，哈密顿力学和拉格朗日力学在求解复杂力学问题时具有各自的优势。
拉格朗日力学适用于描述有势力的系统，如重力、弹性力等。
它通过建立拉格朗日方程，可以将复杂的力学问题简化为求解一组常微分方程的问题。
而哈密顿力学则适用于描述无势力的系统，如惯性力、洛伦兹力等。
它通过建立哈密顿方程，可以将问题转化为求解一组偏微分方程的问题。
因此，在不同的问题和情境下，选择适合的力学体系可以更加高效地解决问题。
总结起来，哈密顿力学和拉格朗日力学是物理学中两个重要的力学体系。
它们在方法和理论上有所不同，但又存在着密切的联系。
量子力学中的拉格朗日量与哈密顿量
量子力学中的拉格朗日量与哈密顿量量子力学是研究微观粒子行为的一门科学，它对于理解原子、分子和基本粒子的性质起着至关重要的作用。
在量子力学中，拉格朗日量和哈密顿量是两个重要的概念，它们是描述系统运动的数学工具。
本文将详细介绍量子力学中的拉格朗日量和哈密顿量的概念、作用以及它们之间的关系。
拉格朗日量是描述系统运动的一种数学形式，它是由法国数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出的。
在经典力学中，拉格朗日量可以用来描述质点、刚体或者场的运动。
在量子力学中，拉格朗日量同样起着重要的作用。
在量子力学中，拉格朗日量可以通过对系统的动力学进行分析得到。
动力学是研究物体运动的规律和原因的学科，它描述了物体受到的力以及物体如何响应这些力。
通过对系统的动力学进行分析，我们可以得到系统的拉格朗日量。
拉格朗日量的形式可以根据系统的性质而不同。
在量子力学中，拉格朗日量通常包含了系统的动能和势能。
动能描述了系统的运动能量，而势能描述了系统的势能场。
通过对系统的动能和势能进行数学表达，我们可以得到系统的拉格朗日量。
在量子力学中，拉格朗日量的形式可以用来推导系统的运动方程。
运动方程描述了系统随时间的演化规律。
通过对拉格朗日量进行变分，我们可以得到系统的欧拉-拉格朗日方程，从而推导出系统的运动方程。
这些运动方程描述了系统的运动状态和性质。
与拉格朗日量相对应的是哈密顿量。
哈密顿量是描述系统能量的一种数学形式，它由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出。
在量子力学中，哈密顿量是描述系统能量的一个重要概念。
哈密顿量可以通过拉格朗日量进行变换得到。
通过对拉格朗日量进行勒让德变换，我们可以得到系统的哈密顿量。
哈密顿量描述了系统的总能量，包括了系统的动能和势能。
在量子力学中，哈密顿量是描述系统的物理量的算符的本征值所对应的能量。
通过求解哈密顿量的本征值问题，我们可以得到系统的能级和能量谱。
这些能级和能量谱描述了系统的能量分布和能级结构。
理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式
理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式拉格朗日与哈密顿是理论力学中重要的数学方法和形式，它们在描述物理系统的运动方程、守恒量以及对称性等方面起着至关重要的作用。
本文将就理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式进行探讨，分别阐述其基本原理、应用领域以及特点。
一、拉格朗日形式拉格朗日形式是理论力学中最常用的一种描述物理系统的数学方法。
它由法国数学家拉格朗日在18世纪提出，建立在广义坐标与拉格朗日函数之间的关系上。
广义坐标是一组描述物体状态的变量，而拉格朗日函数则是物体的动能减势能的差值。
拉格朗日形式通过最小作用量原理来导出物体的运动方程。
在拉格朗日形式中，我们首先需要确定系统的广义坐标和拉格朗日函数。
广义坐标的选取与具体问题相关，可以是物体的位置、速度或其他有意义的变量。
拉格朗日函数则包括了物体的动能和势能，它是广义坐标和它们的导数的函数。
通过对拉格朗日函数进行变分，应用欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到描述系统运动的微分方程。
拉格朗日形式在解决多体问题、刚体运动、非惯性系或非完整约束等问题中具有广泛的应用。
例如，在天体力学中，我们可以利用拉格朗日函数描述行星的运动，求解其轨迹方程。
此外，拉格朗日形式还能够很好地处理带有约束的问题，通过引入拉格朗日乘子可以将约束条件纳入形式体系中。
二、哈密顿形式哈密顿形式是理论力学中与拉格朗日形式等价的一种数学描述方法。
它由爱尔兰物理学家哈密顿在19世纪提出，建立在广义动量和哈密顿函数之间的关系上。
广义动量是拉格朗日函数对广义坐标的偏导数，而哈密顿函数则是广义坐标、广义动量和拉格朗日函数之间的关系。
在哈密顿形式中，我们可以通过哈密顿函数对广义坐标和广义动量的变分来得到系统的运动方程。
与拉格朗日形式相比，哈密顿形式在不同的应用情境中更为方便。
例如，在描述粒子受力系统时，哈密顿形式能够更直接地推导出系统的守恒量和对称性。
哈密顿形式在处理系统的相空间、正则变换等问题中具有独特的优势。
相空间是描述系统状态的一个无限维空间，其中每个点对应着系统的一个可能状态。
力学的发展历程
力学的发展历程力学是研究物体运动和相互作用的科学，它是自然科学中最基础、最重要的学科之一。
本文将详细介绍力学的发展历程，从古代的经验总结到现代的理论建立，为读者全面了解力学的发展提供参考。
1. 古代力学的起源古代力学的起源可以追溯到公元前4世纪的古希腊。
著名的古希腊哲学家亚里士多德提出了一套关于物体运动和力量的观点，他认为物体的运动是由于其天性所决定的，而力量是使物体改变其状态的原因。
这种观点被称为亚里士多德力学，它在古代长期占据主导地位。
2. 牛顿力学的奠基17世纪，英国科学家艾萨克·牛顿提出了经典力学的基本原理。
他提出了三大运动定律，即牛顿第一定律（惯性定律）、牛顿第二定律（运动定律）和牛顿第三定律（作用-反作用定律）。
这些定律为力学奠定了坚实的基础，成为后续研究的重要依据。
3. 拉格朗日力学的发展18世纪，意大利数学家约瑟夫·拉格朗日提出了一种新的力学方法，即拉格朗日力学。
他将力学问题转化为一种优化问题，通过定义广义坐标和拉格朗日函数，建立了一种全新的力学体系。
拉格朗日力学在处理复杂的多体系统和非惯性系中具有重要的应用价值。
4. 哈密顿力学的发展19世纪，爱尔兰数学家威廉·哈密顿提出了哈密顿力学，它是拉格朗日力学的一种补充和发展。
哈密顿力学通过定义广义动量和哈密顿函数，建立了一种全新的力学描述方法。
相比于拉格朗日力学，哈密顿力学在处理能量守恒和正则变换等问题上更为方便和简洁。
5. 狭义相对论力学的突破20世纪初，德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦提出了狭义相对论，对传统力学提出了新的挑战。
狭义相对论将时空视为统一的四维时空，重新定义了质量、能量和动量的概念，提出了质能关系E=mc²。
狭义相对论修正了牛顿力学在高速和强引力场下的适用性，为后续的广义相对论奠定了基础。
6. 量子力学的兴起20世纪初，量子力学的诞生标志着力学的又一次革命。
量子力学是研究微观粒子行为的理论，它引入了不确定性原理和波粒二象性的概念，颠覆了经典力学的观念。
后牛顿拉格朗日和哈密顿系统的动力学比较
后牛顿拉格朗日和哈密顿系统的动力学比较对于拉格朗日与哈密顿系统近年来许多科研工作者进行了研究,这些研究工作大致都是围绕两者等价性进行的,即什么时候等价什么时候不等价。
因此,本文也将追随前人的脚步继续深入研究。
根据目前研究表明,致密天体往往是强引力系统,其研究需要借助爱因斯坦广义相对论引力理论。
通常爱因斯坦场方程没有分析解,后牛顿近似方法便被广泛应用来近似求解。
像在牛顿力学中那样,拉格朗日函数与哈密顿函数仍然是后牛顿力学中两种常用表述形式,前者最为常见。
但由于后者采用正则变量而具有正则动力系统性质的优点,所以常常将前者转换成后者来研究。
毫无疑问二者在牛顿力学中无疑是等价的,并且根本不需论证,但在后牛顿力学框架内等价与否的问题却很难回答。
事实上,分析致密双星系统先从拉格朗日着手再去研究其对应的哈密顿。
通过多种的模型构造,研究了利用勒让德变换公式将拉格朗日转换到哈密顿时,在耦合的情况下会产生一些新的哈密顿后牛顿项。
理论和数值分析结合说明了几点,第一:同等阶数下拉格朗日和哈密顿的不等价性;第二:在哈密顿部分中的自旋自旋轨道耦合是引起混沌的主要原因;第三:不含自旋轨道耦合的拉格朗日系统甚至比含有自旋轨道耦合更容易引起混沌。
对于线性动量的高阶自旋轨道耦合致密双星的动力学研究,主要是在一体哈密顿的形势下去研究拉格朗日部分的特征。
因为对于含有自旋轨道项和牛顿项的哈密顿形式通过勒让德变换为拉格朗日时会产生一些高阶自旋自旋耦合项,所以也要严格的进行比较。
这个部分主要是考虑了新产生的这些高阶自旋自旋项会怎样改变系统的动力学。
同时在研究与之近似等价的哈密顿,这里所得的近似等价哈密顿可以和原先的进行比较,并讨论哈密顿的可积性。
随后再去考虑哈密顿中含有自旋自旋项的效果,所得的拉格朗日又将会发生什么变化,这也是研究的一个重点。
拉格朗日方程与哈密顿方程
L = T-U
把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。
N个质点的牛顿运动方程写为：
i X i , mi i Yi , mi i Zi , (i 1,2..., N ) mi x y z
质点系的动能表示为：
1 N 2 2 2 T mi xi yi zi 2 i 1
拉氏方程的特点:
① 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形 式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方 程形式不变。 ② 方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分 析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少， 方程个数也越少，问题也就越简单。
13
L 0 q j
3
• 阿基米德:古希腊哲学家、数学家、物理学 家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德 到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大 里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟 大学者，并且享有“力学之父”的美称。 浮力原理和杠杆原理
4
前 言
用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较烦琐。18 世纪,拉格朗日和哈密顿,伯努利、达朗贝尔、欧拉等 人发展了经典力学的分析形式，采用了可以使用于各 种运动形式的“能量”和“功”这两个标量函数，用 它们取代“力”和“动量”这些几何矢量，建立了分 析力学体系。 它有两个代表人物：拉格朗日和哈密顿。他们 分别根据牛顿运动定律写出了以他们的名字命名的 拉格朗日方程和哈密顿方程。牛顿力学的地位仍 不可取代.
哈密顿方程是哈密顿函数的微分形式.拉格朗日函数是 , q 和t的函数。 q
哈密顿函数是p、q、t的函数。
16
1.3 哈密顿函数及其物理意义
对于一个保守系，并且L不显含t时， 哈密顿函数的物理意义：通过化简:
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对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究----2010应用物理学专业----王兵本文从达朗贝尔原理出发，导出拉格朗日方程，进而得到哈密顿力学,最后再讨论两者之间的统一性，共包含三大部分。
一 拉格朗日力学体系的形成已知达朗贝尔公式：0)(1=⋅-∑=iii ni ir m F r δ（1） 仔细观察我们发现达朗贝尔公式存在如下不足：1.对于一个力学系统共含有n 个部分，单是对矢径r 共需要至少考虑3n 次，由此可见此法考虑的相关量较多，实际问题中比较复杂。
2.始终存在矢量，因此在处理过程中也会增加复杂程度。
针对以上问题，我们提出一种新的思路或方法：1.能将n 个整体量的研究转化为对另外s 个部分量(广义坐标)的研究, 从而使问题简化。
但是对这n 个量的研究意义等价于对这s 个部分量(广义坐标)的研究.2.能实现将矢量的研究转化为对标量的研究。
基于上面的分析讨论，我们将广义坐标引入,并对达朗贝尔公式做如下修正： 基本关系式：),,,,(21t q q q r r i i α⋅⋅⋅⋅⋅⋅= s ,,2,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α由此得到： αααδδq q r r sii ∑=∂∂=1 （2） 首先我们将达朗贝尔公式作如下分解：0)(111=⋅-⋅=⋅-∑∑∑===iini i in i iiii n i ir r m r F r r m F δδδ接下来将（2）式分别中的两部分分别研究：第一部分：ini ir F δ⋅∑=1将（2）式代入有：ααααααααδδδδαq Q q q r F q F r F sis ni i sq r n i iin i ii∑∑∑∑∑∑====∂∂===⋅∂∂⋅=⋅=⋅111111)()( （3）式中：ααq r F Q ini i ∂∂⋅=∑-1，由于其具有力的量纲，所以称其为广义力。
第二步分：iini i r r m δ⋅∑=1首先将（2）式代入：ααααααδδq q r r m q q r r m iis n i i si i ni i ⋅∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑∑====)()(1111 （4） 式中存在两阶全导数，而且还有矢量，而且还有质量。
因此我们尝试将其转化为动能，因此首先想到将其降阶处理，所以尝试用分部求导法，并将括号内的部分提取出来单独研究：)(d d )(d d 111αααq r t r m q r r t m q r r m i in i i i i n i i i i ni i ∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑=== （5） 观察发现上式两部分中均含有i r，为了能将其放入到偏导符号内部，我们需要将偏导符号内部的i r 转化为i r，所以我们尝试做如下分析： 假设有22y x r i+=（1）由上式可直接得到：x xr i2=∂∂，x x ri ⋅=2 再有：x xri 2=∂∂ 结果我们发现如下关系式： x r xri i ∂∂=∂∂因此，我们猜测：ββq rqr i i ∂∂=∂∂ （6）（2）已知x x r i2=∂∂，x x ri ⋅=2 则：x xr t i2)(d d =∂∂再有：x xri 2=∂∂ 我们仍可以发现：xrx r t i i ∂∂=∂∂ )(d d同样给出猜测：ββq rq r t i i ∂∂=∂∂ )(d d （7）接下来，我们分别给出（6）和（7）式的证明：证：我们已知αααqq r t r r si i i ∑=∂∂+∂∂=1 首先将上式代入（6）式得：αβααααααββq rqq q r q q r t r q q r isi s i i i ∂∂=∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∑∑== 11)( 证毕再将其代入（7）式得：)(d d )()()(11βαβααβαεαββq rt qq r q q r t q q r t r q q r i i s i s i i i ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∑∑== 证毕 现在我们将（6），（7）两式均代入（5）式得：αααααααααq Tq T t q r m q r m t q rr m q r r t m q r t r m q r r t m q r r m ni i i ni i i i ini i i i n i i i i n i i i i n i i i i ni i ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑∑∑∑∑=======d d )())((d d )(d d )(d d )(d d 1221122111111式中；221i i r m T =，为广义动能。
将上式代入（4）式后，再与（3）式一起代入：0)(111=⋅-⋅=⋅-∑∑∑===iini i in i iiii n i ir r m r F r r m F δδδ得：0)d d (1=⋅∂∂+∂∂-∑=sq q TqT t Q αααααδ 又由于αδq 通常不为零,所以括号内部应等于零:αααQ q TqT t =∂∂-∂∂ d d ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α （8）通常将这一方程组称之为完整系统下的拉格朗日方程。
基于拉格朗日方程，我们考虑主动力全是保守力的情况：首先我们知道当主动力全是保守力时，存在势能函数),,,,(21t r r r V n ⋅⋅⋅，使得：V F i i -∇= 由广义力的基本关系式得：ααααααααααq V q z z V q y y V q x x V k q z j q y i q x k z V j y V i x V q rV q r F Q i i i i i i ni i i i i i ni ini ii i ni i ∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂⋅∇-=∂∂⋅=∑∑∑∑====)())((1111将上式代入拉格朗日方程可以得到：0)(d d =∂-∂-∂∂ααq V T q T t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α 而势能通常只是广义坐标的函数而与广义速度无关，所以上式又可以改写为：0)()(d d =∂-∂-∂-∂ααq V T q V T t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α 将上式括号中的部分定义为拉格朗日函数，则：V T L -=这样我们就可以得到完整系统下，主动力全是保守力的拉格朗日方程：0d d =∂∂-∂∂ααq L qL t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α （9） 这里通常将αq L ∂∂定义为广义动量，记作：ααq L p ∂∂=，而αq L∂∂称之为拉格朗日力。
针对（9）式，我们做如下讨论：1.如果拉格朗日函数不显含广义坐标，即0=∂∂αq L则有：0d d =∂∂αqLt即：C qLp =∂∂=αα （常数） 所以就有广义动量守恒。
2.将拉格朗日函数对时间求全导数得：t qq L q q L t L t L ss d d d d 11αααααα ∑∑==∂∂+∂∂+∂∂=在主动力全是保守力的情况下，利用拉格朗日函数0d d =∂∂-∂∂ααq L qL t 得到： )(d d d d )(d d d d 111∑∑∑===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=s ss q q L t t L tqq L q q L t t L t L ααααααααα 将广义动量带入可得：tLL qp t s ∂∂-=-∑=)(d d 1ααα 定义广义能量函数：L qp H s-=∑=ααα 1这样就可以得到：tLt H ∂∂-=d d 如果拉格朗日函数不显含时间，则：0=∂∂tL那么就可以得到广义能量积分：=H 常数为了弄清楚广义能量函数的意义，接下来作如下讨论：首先，我们先证明齐次函数的欧拉定理：mf xx fini i=∂∂∑=1已知f 是m 次齐次多项式。
证：因为f 是m 次齐次多项式，所以f可以表示为k l k n i m ii x f )(11∑∏===，且m m ni i =∑=1mfm f f m x x f f m x m x x f x m x f ni i n i i ni i ii k l k n i m i i i i klk n i m i i i i i ===∂∂∴==∂∂∴=∂∂∴∑∑∑∑∏∑∏=======-11111111)()()( 证毕接下来我们考虑广义能量函数,首先假设势能与广义速度无关，此时我们可以用tL∂∂代替tH∂∂. 如果变换式)(q r r i i =不显含时间，则：αααq q r rsii ∑=∂∂=1 于是;βαβαβαβββαααq qq rq r m q q r q rq m r rm T i n i s si i sii sn i i i i i ni ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=⋅=∑∑∑∑∑∑∑=======1111111212121这是广义坐标的二次齐次多项式，依据齐次函数的欧拉定理可以得到：T q Ts21=∂∂∑=αα由此，我们可以得到广义能量函数：V T V T T L T H +=+-=-=22如果约束是非定常的，用同样的方式也可得到相应的广义能量函数。
到此，拉格朗日力学的体系基本已经形成。
最后，我再谈谈我个人对广义力，广义动量等的理解；首先，对于这些广义量，它们都分别具有与相应量相同的量纲。
而且其并不是表示一种量，而是一类量。
比如广义动量就包含我们常见的角动量，通常的动量等等。
再者，我认为这些广义力并没有什么实在的物理意义，而是人们在用数学解决物理问题时产生的一种产物，仅仅是一种数学形式。
二 哈密顿力学体系的建立首先，我们先思考这样一个问题:“为什么拉格朗日函数与哈密顿函数都是一个三元函数？”从哲学里我们知道：时空具有不可分割性，即时间和空间是辩证统一的！而物质存在于时空之中，但物质与时空也是辩证统一的。
换句话说，空间总是充实的空间，绝不能和充实于其中的物质分离开，即不存在抽象的绝对空间。
因此，物质存在必然也具有时空特性，这是物质存在的基本属性之一。
然而事物存在并不是孤立的，其必然存在着和其他事物的相互作用。
即在物理学中，我们除了研究物质的时空特性之外，还要考虑其与其他物质的相互作用。
（在此我们以力学系统为例，即要考虑物体之间的机械相互作用）所以我们在研究力学系统的时候必须以这两大性质或量去描述力学系统。
换句话说用于描述物体运动状态的函数必须是二元函数。
但由于在通常情况下我们不将时间和空间看成是统一的，所以在研究时将时间与空间分开。
因此直接导致了拉格朗如函数和哈密顿函数是三元函数。
在上面的讨论中，我们已经知道：在研究力学系统时，除了时空特性，还要考虑机械相互作用。
可以发现在拉格朗日函数和哈密顿函数中分别用速度和动量来描述机械相互作用。