八年级数学定义与命题
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有一位田径教练向领导汇报训练成绩
小明的百米 成绩是9秒9. 继续努力, 争取达到10 秒.
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争 抢非常激烈.于是命令: 发给每个人一
个球,不要再抢 啦.
可见交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 规定,也就是给出它们的定义 . 例如: “具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人 民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
如果两个三角形的三条边对应相等，那 么这三角形全等；
条件
已知事项
结论
由已知事项推断 出来的事项
命题都可以写成“如果……那么……” 的形式；其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论。
1、下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）分数都是有理数； （2）如果 a b ,百度文库么 a b （3）全等三角形的面积相等。
“两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离”
是“两点之间的距离”的定义;
“无限循环小数称为无理数” 是“无理数”的定义; “有两条边相等的三角形” 是“等腰三角形”的
定义;
你还能举出曾学过的“定义”吗?
下图表示某地的一个灌溉系统.
如果B处水流受到污染,那么 C,E,F,G 处水流便受到污染; E 如果C处水流受到污染,那么 处水流便受到污染; 如果D处水流受到污染,那么 K 处水流便受到污染; ……
“如果……那么……”
条件
举反例
结论
• 2、说明一个命题是假命题的方法： • 3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
证明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那 么这两条直线平行． 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8.三边对应相等的两个三角形全等．
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理
观察下列命题,你能发现这些命题有什么 共同的结构特征吗？
(1)如果两个三角形的三条边对应相等, 那么这两个三角 形全等; (2)如果一个四边形的一组对边平行且相等, 那么这个四边形是平行四边形; (3)如果a=b,那么a2=b2 你能把下面的命题写成“如果……,那么……”的形式吗?
命题“锐角小于90度” 每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是 已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
7.2 定义与命题
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
哈!这个黑客 终于被逮住 了. 是的,现在的因特 网广泛运用于我 们的生活中,给我 们带来了方便, 但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一 边也在悄悄地议论着。
这个黑客 是个小偷 吧？
可能是个喜 欢穿黑衣服 的贼.
真正的含义
上面“如果……,那么……”都是对事情进行判断 的语句.判断一件事情的句子,叫做命题.
例：下列句子对事情做出了判断？
(1)熊猫没有翅膀； (2)任何一个三角形一定有一个角是直角； (3)对顶角相等； (4)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数； (5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直 线也互相平行. 没有对某一事情作 (6)你喜欢数学吗? 出任何判断。 (7)作线段AB=CD. 不是命题
+
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
定理2 定理3
……
……
条件2
《原本》问世之前，世界上还没有一 本数学书籍像《原本》这样编排，因 此《原本》是一部具有划时代意义的 著作。
本套教材共九条公理，我们已经学过八条：
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
其中
某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 除了公理外,其它真命题的正确性都通 过推理的方法证实. 推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
原名、公理、证明、定 理、定义及它们的关系
经过证明 的真命题 叫定理
推理的过 一些 程叫证明 条件 证实其它命 推 理 题的正确性 原名 公理
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学 过的观察,实验, 验证特例等方 法. 能不能根据已 经知道的真命 题证实呢? 那已经知 道的真命 题又是如 何证实的?. 这些方法 往往并不 可靠.
哦……那 可怎么办
• 如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似 的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的 数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得 (公元前300前后)编写一本书，书 名叫《原本》，为了说明每一个 结论的正确性，他在编写这本书 时进行了大胆创造：挑选了一部 分数学名词和一部分公认的真命 题作为证实其他命题的起始依据，
解：（1）改写：如果一个数是分数，那么这个 数是有理数。 条件：一个数是分数 结论：这个数是有理数 解：（3）改写：如果两个三角形全等，那么这 两个三角形的面积相等。 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的面积相等
2、这几个命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知 道它们是不正确的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； 不正确 （2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c； 不正确 （3）三角形三个内角和等于180度。 正确 （4）全等三角形的面积相等。正确
在等式或不等式中,一个量可以用它的等量 来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质 也看作公理,称为“等量代换”. 又如，如果a>b,b>c,那么a>c.这一性质同 样可以作为证明的依据.
小结与反思
通过本节课的学习, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
课堂小结
• 1、命题都是由条件和结论两部分组成
正确的命题称为真命题，不正确的 命题称为假命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
试用举反例的方法说明下列命题是假命题：
（1）如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数.
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等， 则这个两个三角形全等.(要求画出图形，并加以说明)
小明的百米 成绩是9秒9. 继续努力, 争取达到10 秒.
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争 抢非常激烈.于是命令: 发给每个人一
个球,不要再抢 啦.
可见交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 规定,也就是给出它们的定义 . 例如: “具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人 民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
如果两个三角形的三条边对应相等，那 么这三角形全等；
条件
已知事项
结论
由已知事项推断 出来的事项
命题都可以写成“如果……那么……” 的形式；其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论。
1、下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）分数都是有理数； （2）如果 a b ,百度文库么 a b （3）全等三角形的面积相等。
“两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离”
是“两点之间的距离”的定义;
“无限循环小数称为无理数” 是“无理数”的定义; “有两条边相等的三角形” 是“等腰三角形”的
定义;
你还能举出曾学过的“定义”吗?
下图表示某地的一个灌溉系统.
如果B处水流受到污染,那么 C,E,F,G 处水流便受到污染; E 如果C处水流受到污染,那么 处水流便受到污染; 如果D处水流受到污染,那么 K 处水流便受到污染; ……
“如果……那么……”
条件
举反例
结论
• 2、说明一个命题是假命题的方法： • 3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
证明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那 么这两条直线平行． 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8.三边对应相等的两个三角形全等．
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理
观察下列命题,你能发现这些命题有什么 共同的结构特征吗？
(1)如果两个三角形的三条边对应相等, 那么这两个三角 形全等; (2)如果一个四边形的一组对边平行且相等, 那么这个四边形是平行四边形; (3)如果a=b,那么a2=b2 你能把下面的命题写成“如果……,那么……”的形式吗?
命题“锐角小于90度” 每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是 已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
7.2 定义与命题
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
哈!这个黑客 终于被逮住 了. 是的,现在的因特 网广泛运用于我 们的生活中,给我 们带来了方便, 但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一 边也在悄悄地议论着。
这个黑客 是个小偷 吧？
可能是个喜 欢穿黑衣服 的贼.
真正的含义
上面“如果……,那么……”都是对事情进行判断 的语句.判断一件事情的句子,叫做命题.
例：下列句子对事情做出了判断？
(1)熊猫没有翅膀； (2)任何一个三角形一定有一个角是直角； (3)对顶角相等； (4)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数； (5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直 线也互相平行. 没有对某一事情作 (6)你喜欢数学吗? 出任何判断。 (7)作线段AB=CD. 不是命题
+
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
定理2 定理3
……
……
条件2
《原本》问世之前，世界上还没有一 本数学书籍像《原本》这样编排，因 此《原本》是一部具有划时代意义的 著作。
本套教材共九条公理，我们已经学过八条：
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
其中
某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 除了公理外,其它真命题的正确性都通 过推理的方法证实. 推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
原名、公理、证明、定 理、定义及它们的关系
经过证明 的真命题 叫定理
推理的过 一些 程叫证明 条件 证实其它命 推 理 题的正确性 原名 公理
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学 过的观察,实验, 验证特例等方 法. 能不能根据已 经知道的真命 题证实呢? 那已经知 道的真命 题又是如 何证实的?. 这些方法 往往并不 可靠.
哦……那 可怎么办
• 如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似 的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的 数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得 (公元前300前后)编写一本书，书 名叫《原本》，为了说明每一个 结论的正确性，他在编写这本书 时进行了大胆创造：挑选了一部 分数学名词和一部分公认的真命 题作为证实其他命题的起始依据，
解：（1）改写：如果一个数是分数，那么这个 数是有理数。 条件：一个数是分数 结论：这个数是有理数 解：（3）改写：如果两个三角形全等，那么这 两个三角形的面积相等。 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的面积相等
2、这几个命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知 道它们是不正确的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； 不正确 （2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c； 不正确 （3）三角形三个内角和等于180度。 正确 （4）全等三角形的面积相等。正确
在等式或不等式中,一个量可以用它的等量 来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质 也看作公理,称为“等量代换”. 又如，如果a>b,b>c,那么a>c.这一性质同 样可以作为证明的依据.
小结与反思
通过本节课的学习, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
课堂小结
• 1、命题都是由条件和结论两部分组成
正确的命题称为真命题，不正确的 命题称为假命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
试用举反例的方法说明下列命题是假命题：
（1）如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数.
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等， 则这个两个三角形全等.(要求画出图形，并加以说明)