工程力学轴向拉伸和压缩

在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应 变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之 间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚 度。 L 1 1 P PL L L E E A EA
4、泊松比（或横向变形系数） 或 :
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例5 小变形放大图与位移的求法。
2P
N3
D
PD D PD
N4
5P P x 3P
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§1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出：
P P P P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。
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工程构件，绝大多数情形下，内力并非均匀分 布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。 2. 应力的表示：
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
N BD PL hcos
BD杆面积A：
A NBD /
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L x
XA
A
B
YA

NB
P
C
求VBD 的最小值：
V ALBD 2 PL Ah / sin [ ] sin 2
o
45 时, Vmin
dL L1 L L L
30
P
a´ c´
x dx
b´ d´
P
L1
4、x点处的纵向线应变： 5、杆的横向变形：
dx lim x 0 x
ac ac ac
ac ac
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6、x点处的横向线应变：
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律) 1 ; E E
D
PD D PD
解： 求OA段内力N1，设置截面如图所示
X 0
N1 PA PB P PD 0 C
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
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N 同理，可求得AB、 2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
BC、CD段内力分 别为： N2= –3P N3= 5P N4= P 轴力图如图 N
①校核强度：

max


; P f ( Ni )
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②设计截面尺寸： Amin N max [ ] ③许可载荷： Nmax A

[例2] 已知一圆杆受拉力P =25 kN，直径 d =14 mm， 许用应力[]=170MPa，此杆是否满足强度要求？ 解：① 轴力：N = P =25kN ② 应力： N 4P 4 25 103 max 2 2 162MPa A πd 3. 0.014 14 ③ 强度校核： max 162MPa 170MPa 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。 3. 轴力的正负规定: N 与外法线同向(指出截面)， N 为正轴力(拉力) N与外法线反向(指向截面)， N 为负轴力(压力)
N N>0
N
N<0
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三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。 轴力沿杆长方向的变化图，横坐标为杆长， 纵坐标为轴力。 意义:
N ( x) max max( ) A( x)
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4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点 有一定 的距离。 5. Saint-Venant原理：
离开载荷作用处一定距离，应力分布及大小 不受外载荷作用方式的影响。
6. 应力集中：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
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Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图：
P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变 形后的形状。) 应力分布示意图：
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7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量 的条件准则。 N ( x) max max( )
A( x)
其中：[]——许用应力，max——最大工作应力 依强度准则可进行三种强度计算：
• 截开：在需要求内力的截面处，用假想的截面 将杆件一分为二。 • 替代：任取这两段中的一段杆件，其弃去部分 对留下部分的作用，用作用在截面上相应的内 力（力和／或力偶）代替。
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• 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上 的已知外力来计算杆在截面上的未知内力（此 时截面上的内力对所留部分而言是外力）。
解：1. 平衡方程:
B 3 1 N3 N1 D C 2
a a
N2 P
X 0
N1 sin a N 2 sin a 0
a a
A P
A
Y 0
N1 cos a N 2 cos a N3 P 0
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B 3
D
C
2.几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos a
L2 vB L1ctga sin a
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§1－5 拉压超静定问题及其处理方法 一、超静定问题及其处理方法 1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全 部未知力（外力、内力、应力）的问题。 2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方 程、物理方程相结合，进行求解。
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例6 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆 长为：L1=L2，L3 =L ；各杆面积为A1=A2，A3=A； 各杆弹性模量为：E1=E2，E3=E。外力沿铅垂方向， 求各杆的内力。
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结点A的平衡方程为
Fy 0 FN1 sin 30 F 0 Fx 0 FN 2 FN1cos30 0
得到
y
FN1
30
。
A
x
FN1 2 F FN 2 1.732F
FN2
F
由型钢表查得
A1 1086 2 2172 106 m 2 A2 1430 2 2860 106 m 2
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（2） 许可轴力为
[ FN1 ] [ ] A1 369.24kN [ FN 2 ] [ ] A2 486.20kN
（3）许可荷载
FN max [ ] A
FN1 2F FN 2 1.732F
[ FN1 ] F1 184.6kN 2
[ FN 2 ] F2 280.7kN 1.732
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例7 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在
横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模
量均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力 FN1,
FN2, FN3.
l
3
a
2 C
a
1 A
B
F
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解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fy 0 MB 0
Fx 0
l
3
B
a
2
C
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二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设： 变形前 a c a´ c´
b d
b´ d´ P
受载后 P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
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均匀材料、均匀变形，内力自然均匀分布。 2. 拉伸应力： P

N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。 3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
当a = 0°时，( a ) max 0 (最大正应力在横截面上)
a pa sina 0 cosa sina
0
sin 2a
a
k
a
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
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1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
1
第一章
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5
轴向拉伸和压缩
轴向拉压的概念及实例 内力、截面法、轴力及轴力图 截面上的应力及强度条件 拉压杆的变形 弹性定律 拉压超静定问题及其处理方法
§1-6
材料在拉伸和压缩时的力学性能
2
§1–1 轴向拉压的概念及实例 一、概念 外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 变形特点：主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩， 轴线仍为直线。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
2 PL [ ]
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[例4] 简易起重设备中，AC杆由两根 80807等边
角钢组成，AB杆由两根 10号工字钢组成. 材料为
Q235钢，许用应力[]=170MPa .求许可荷载 [F].
C
30。
B
A
F
23
C
y
FN1
30° B A 30
。
A
x
F
FN2 F
解：（1） 取结点A为研究对象，受力分析如图所示.
a
1
A
FN1 FN 2 FN 3 F 0
① 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
② 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位 置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依 据。
8
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、 8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O A PA N1 A PA B PB B PB C内力
P P pa a cosa 0 cosa Aa A