高一数学第二章函数同步辅导讲义

第二章函数同步辅导

第一讲映射与函数

一、辅导内容

1．映射、一一映射的定义和概念的理解

2．函数的定义、表示。

3．函数的三要素及函数的表达方法。

二、重点、难点讲解

1．映射、一一映射

〔1〕集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则f.其中集合A

和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.

〔2〕一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一

．．个．元素〔一个不漏地〕在集合B中都有象〔但集合B中的每一个元素不一定都有原象〕；②

集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一

．．的一个〔集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个〕.也就是说，图1和图2

〔3〕对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上．的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A 到集合B上的一一

．．映射”.

例1如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={a、b、c、d、e}.判断以下对应中，〔1〕哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；〔3〕哪些是集合A到集合B上的一一映射.

图3

①

B

A

②③

B

A

④

图1 图2

解〔1〕②和④是集合A 到集合B 的映射，①中集合A 的元素3在集合中没有象；③中集合A 的元素3在集合B 中有两个象，它们都不是映射.

〔2〕②是集合A 到集合B 上的映射.④中集合B 的元素b 在集合A 中没有原象. 〔3〕②是集合A 到集合B 上的一一映射. 例2 已知集合A={30≤≤

x x }，B={10≤≤y y }

.判断以下各对应f 是否是集合A

到集合B 的映射？一一映射？并说明理由. (1)

f :x y x 3

1

=→； (2) f :x y x 41=→；

(3)

f :2)2(-=→x y x ； (4) f :29

1

x y x =→；

(5)

f :2)1(4

1

-=→x y x

解 〔1〕∵30≤≤

x ， ∴13

1

0≤≤x . 因此对集合A 的每一个元素x ，

B x y ∈=3

1

，所以对应f :B A →是集合A 到集合B 的映射.

对于集合B 中的每一个元素y ，由y x

3=及10≤≤y ，有

30,330≤≤≤≤x y .即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有

一个，所以对应

f :B A →是一一映射.

〔2〕∵30≤≤x ， ∴4

3

410≤≤x .所以对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，因此对应

f :B A →是映射.

而集合B 中有些元素，如1=y ，在集合A 中没有原象，因此映射f :B A →不是一

一映射. 〔3〕∵30≤≤

x ， ∴122≤-≤-x ， ∴4)2(02≤-≤x .由此知集

合A 的某些元素，如0=x ，在集合B 中没有象，因此对应f :B A →不是映射，更不是

一一映射.

〔4〕∵30≤≤

x ， ∴19

1

02≤≤x .因此对于集合

A 中的每一个元素x ，在集

合B 中都有唯一的象，所以对应

f :B A →是映射.

由29

1

x y

=，对于集合B 中的每一个元素y ，A y x ∈=3，即集合B 中的每一个元素在集合A 中有唯一的原象，因此映射

f :B A →是一一映射.

0=x 和2=x ，都对应于集合B 中的同一个元素4

1

，所以对应f :B A →是映射，

但不是一一映射. 2. 函 数

〔1〕函数的定义.

在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射

f :B A →要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A 、B

都是非空集合；②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域，而集合B 不一定是值域.一般地说，值域C 是集合B 的子集，即B C ⊆.〔假设集合B C =，则这个映射

就成为集合A 到集合B 上的映射〕. 〔2〕函数的三要素.

定义域A ，值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则

f

，构成了函数的三个要素.当且仅

当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. 〔3〕区间

设a 、R b ∈，且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤}，用开区间)

,(b a 表示集合{b x a x <<

}，用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<}，用半开半闭区

间),[b a 表示集合{b x a x <≤

}.

〔4〕函数的表示法.

函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号

)(x f 和)(a f 〔a 为常数〕的区别.一般情况下，)(x f 是一个随自变量

x 的变化而变化的变量，而)(a f 是当自变量a x =时函数的值，是一个确定的量.