2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何微专题进阶课7立体几何中的动态问题学案含解析新人教B版

第7章 立体几何

立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点．

求动点的轨迹(长度)

已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形

BCC 1B 1内运动，且直线AM ∥平面A 1DE ，则动点M 的轨迹长度为( )

A ．π4

B ． 2

C ．2

D ．π

B 题目解析：以D 为原点，以DA ，D

C ，D

D 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则DA 1→＝(2,0,2)，D

E →

＝(0,2,1)，则平面A 1DE 的一个法向量为n ＝(2,1，－2)．设M (x,2，z )，则AM →＝(x －2,2，z )．由AM →·n ＝0，得2(x －2)＋2－2z ＝0⇒x －z ＝1，故点M 的轨迹为以BC ，BB 1的中点为端点的线段，长为

12＋12＝ 2.故选B.

已知边长为1的正方形ABCD 与CDEF 所在的平面互相垂直，点P ，Q 分别是线段BC ，DE 上的动点(包括端点)，PQ ＝ 2.设线段PQ 的中点的轨迹为s ，则s 的长度为( )

A.π

4 B.π2 C.22

D.2

A 题目解析：如图，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

设P (m,1,0)(0≤m ≤1)，Q (0,0，n )(0≤n ≤1)，M (x ，y ，z )．由

中点坐标公式易知x ＝m 2，y ＝12，z ＝n

2

，

即m ＝2x ，n ＝2z .① 因为|PQ |＝

m 2＋n 2＋1＝2，

所以m 2＋n 2＝1，② 把①代入②得，4x 2＋4z 2＝1. 即x 2＋z 2＝1

4

.

因为0≤m ≤1,0≤n ≤1， 所以0≤x ≤12，0≤z ≤1

2

.

所以PQ 中点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧

x 2＋z 2＝1

4⎝

⎛⎭⎫0≤x ≤12，0≤z ≤12，y ＝1

2.

轨迹s 为在垂直于y 轴的平面内，半径为1

2的四分之一圆周．

所以s 的长度为14×2π×12＝π

4

.故选A.

求线段的范围最值问题

在空间直角坐标系Oxyz 中，正四面体 P －ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴

上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP |的取值范围是( )

A ．[3－1，3＋1]

B ．[1,3]

C ．[3－1,2]

D ．[1，3＋1]

A 题目解析：如图所示， 若固定正四面体P －ABC 的位置， 则原点O 在以A

B 为直径的球面上运动，

设AB 的中点为M ， 则PM ＝

22－12＝3，

所以原点O 到点P 的最近距离等于PM 减去球M 的半径，最大距离是PM 加上球M 的半径，

所以3－1≤|OP |≤3＋1，

即|OP |的取值范围是[3－1，3＋1]．故选A.

设点M 是棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在平面BCC 1B 1

所在的平面内．若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 与点C 1的最短距离是( )

A.255

B.22

C.1

D.63

A 题目解析：设P 在平面ABCD 上的射影为P ′，M 在平面B

B 1

C 1C 上的射影为M ′(图略)，平面

D 1PM 与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角分别为α，β，则cos α＝S △DP ′M

S △D 1PM ，

cos β＝S △PM ′C 1

S △D 1PM

.

因为cos α＝cos β，所以S △DP ′M ＝S △PM ′C 1.设P 到C 1M ′距离为d ，则12×5×d ＝1

2×1×2，

d ＝255，即点P 到C 1的最短距离为25

5

.

求角的最值问题

如图，平面ACD ⊥α，B 为AC 的中点，|AC |＝2，∠CBD ＝60°，P 为α内的动点，

且点P 到直线BD 的距离为3，则∠APC 的最大值为( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

B题目解析：因为点P到直线BD的距离为3，

所以空间中到直线BD的距离为3的点构成一个圆柱面，它和平面α相交得一椭圆，

即点P在α内的轨迹为一个椭圆，B为椭圆的中心，b＝3，a＝3

sin 60°＝2，则c＝1，所以A，C为椭圆的焦点．

因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，

所以∠APC的最大值为60°.故选B.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为()

A．

2

2B．1

C．2 D． 2

D题目解析：因为当M在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1，

所以tan∠DMD1＝DD1

MD1＝

1

2

2

＝2是最大值．故选D.