微专题：立体几何中的动态问题

微专题: 立体几何中的动态问题

题型一立体几何中动态问题中的距离、角度问题

例题1.如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且

，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则

，则

，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则

，即，应选答案B。

求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。例题2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.

【答案】

，当时取等号.所以

，当时，取得最大值.

【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。

题型二 立体几何中动态问题中的轨迹问题

例题3.设P 是正方体1111ABCD A B C D 的对角面11BDD B （含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面1ABA 、平面1ADA 的距离相等，则符合条件的点P （ ）

A. 仅有一个

B. 有有限多个

C. 有无限多个

D. 不存在 【答案】A

【解析】解：与平面1,ABC ABA 距离相等的点位于平面1111A B C D 上； 与平面1,ABC ADA 距离相等的点位于平面11AB C D 上； 与平面11,ABA ADA 距离相等的点位于平面111ACC A 上；

据此可知，满足题意的点位于上述平面1111A B C D ，平面11AB C D ,平面111ACC A 的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个. 本题选择A 选项.

点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.

例题4.如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线

【答案】B

【解析】由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面a 的交线 ．

例题6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ． 【答案】π

6

【解析】由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点

P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843

163⨯⨯=

ππ

．

题型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题

例题5.在棱长为6的正方体

中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足

，则三棱锥

的体积最大值是（ ）

A. 36

B.

C. 24

D.

【答案】B

例题6.如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．

【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1B C 对称点为

N,则PEQ ∆周长的最小值为MN ==.

巩固练习： 1.如图，已知正方体棱长为4，点

在棱

上，且，在侧面内作边长为1的正方形，

是侧面

内一动点，且点

到平面

距离等于线段

的长，则

当点

运动时，

的最小值是（ ）

A ．21

B ．22

C ．23

D ．25 【答案】B

【解析】在上取点，使得，则面，连结，则

．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，

当时，，故．

2、如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，

，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

试题分析：∵，，，，∴，同理：．∴为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，∴，又

，∴，∴．在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，（）∴

，整理得．∴点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆．∵平面平面，，，∴为二面角的平面角．∴当与圆相切时，最大，取得最小值．此时，，

，∴．．故选：C．