高中数学《映射与函数》

第二章 函数

函数八字图

方程

不等式

函数

性质

图像

本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.

第一节映射与函数

考纲解读

1、了解函数的构成要素，了解映射的概念.

2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

3、了解简单的分段函数，并能简单应用.

命题趋势探究有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2019年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主.

知识点精讲

1、映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f，对A中的任何―个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.

注由映射的定义可知，集合A到集合B的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素，即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.

注象与原象

如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫a的象．记作b＝f(a),a叫b的原象．A的象记为f(A)

2、一一映射

设A，B是两个集合，f是A到B的映射，在这个映射下，对应集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f为A→B 的一一映射.

注由一一映射的定义可知，当A，B都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A与集合B

中的元素个数相等. 3、函数

设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素

构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.

题型归纳及思路提示 题型10 映射与函数的概念

思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射. 例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（ ） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合B

A ①②

B .③④

C .①③

D .②③④

变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应

[]2(1):1,2,0;

p x x a ∀∈-≥

(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；

（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f ：:x →y 是x 的外接圆； （4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :：x →y 是x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______

变式2 已知函数y ＝f (x ),定义域为A ＝｛1,2,3,4｝值域为C ＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？

例2.2 有以下判断： ①||

f(x)=

x x 与1,0()1,0

x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数； ②函数()y f x ＝的图象与直线1x =的交点最多有1个； ③2

(1)2f x x x ＝－＋与2

(1)2g t t t ＝－＋是同一函数； ④若1()||f x x x ＝－－，则1

(())02

f f =. 其中正确判断的序号是________． .

变式1 下列所给图象是函数图象的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数

例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组 （1）0

x y =与y =1 （2）()2x y =与2x y =

（3）x x y 3

1-=与331

t

t y -=

评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性 变式1下列函数中与y ＝x 是同一函数的是( ) (1)2x y = (2)x a a y log =

(3)x

a a

y log = (4)33x y =

(5))(*N n x y n n ∈=

A (1)(2)

B (2)(3)

C (2)(4)

D (3)(5)