微分方程模型

4）Usher模型
人口预测问题
下面是美国近两个世纪的人口统计数据（百万）， 试建立数学模型，预测2010年美国的人口数。
年 人口 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 3.9 1880 5.3 1890 7.2 9.6 12.9 1910 17.1 23.2 1930 31.4 1940 38.6 1950
1900
1920
人口
年
50.2
1960
62.9
1970
76.0
92.0
106.5 123.2 131.7 150.7
1990 2000
1980
人口
2018/6/30
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
data
1790, 3.9 , 1800, 5.3 , 1810, 7.2 , 1820, 9.6 , 1830, 12.9 , 1840, 17.1 ,
N (t ) N0er (t t 0 )
其中N(t) 表示 t 时刻人口数。
要进行预测 确定参数 N0, r, t0
2018/6/30
参数估计
t0 1790
零时刻的人数为N0
N (t ) N0er (t 1790 )
以下用1790年至1900年的数据来估计参数的值。
ln N (t ) ln N0 r (t 1790 ) ln N (t ) y, ln N0 a
1900 1910 76.0 56.2 92.0 69.7
1920
1930
1940
106.5 123.2 131.7 85.5 103.9 124.5
计算人口N 28.3 年 实际人口
1950 150.7
1960 179.3 171.3
1970 204.0 196.2
1980 226.5 221.2
e
r ( t t0 )
N0
o tm t
6/30/2018
人口推广模型
3） ---Logisitic模型
N dN (t ) rN (1 ( ) ) Nm dt N (t ) N 0 0
调整
，可使阻滞因子变大或缩小。
N dN (t ) N (1 ( ) ) Nm dt N (t ) N 0 0
注意弄清参数的意义，掌握参数估计的技巧的。
我们关注
2018/6/30
1、PM2.5产生发展演化的规律？ 2、如何治理和控制？
1、第三方电子支付平台之间的相互关系的数学模型 2、第三方电子支付平台与银行之间关系的数学模型
1、分析打车软件的本质，建立其盈利模式的数学模型 2、打车软件之间相互竞争关系的数学模型
如，半球形的容器，水从它底 部的小孔流出。
S (dh) S0 vdt
2018/6/30
h dh
h(t ) ?
S 水所在的横截面
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多 现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极
其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际
的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然 后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
人口
年
50.2
1960
62.9
1970
76.0
92.0
106.5 123.2 131.7 150.7
1990 2000
1980
人口
2018/6/30
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
年 增长率%
1790 1800 1810 2.95 3.10 2.99
1820 1830 2.97 2.91
微分方程模型
2018/6/30
微分方程模型：
联系某些变量及其变化率或导数的关系式。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；
2）求数值解（近似解）；
3）定性理论方法。
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建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理 或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的
一 建模分析
目标：寻找人口数量随时间变化的规律。 函数关系式 人口的变化规律有其内在的规律，如 Malthus 模型 Logistic模型
题中给的数据有什么作用呢？
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二 建立模型
Malthus 模型
dN (t ) rN (t ) dt N (t0 ) N 0
1840 3.01
1850 3.08
1860 2.45
年
增长率%
1870 1880 1890
2.44 2.42 2.05
1900 1910
1.91 1.66
1920
1.46
1930
1.02
1940
1.04
年 增长率%
1950 1960 1970 1.58 1.49 1.16
1980 1990 1.05 1.09
关系，来建立微分方程模型。
如，根据放射性元素衰减规律： 放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比
dx (t ) kx (t ) dt
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（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系
式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对
函数及其导数应用规律。
dy f ( x, y)dx

人口模型-------精确解 差分方程-------数值解 生物种群模型-----定性分析
2018/6/30
2018/6/30
人口增长基本模型 1)马尔萨斯(Malthus)模型
N (t )
表示 t 时刻的人口数量 N
dN Ndt
人口相对增长率 N0 o
人口相对增长率为常数
dN rN dt
1860 2.45 1940 1.04
1870 1880 1890 2.44 2.42 2.05
1900 1910 1.91 1.66
1950 1960 1970 1.58 1.49 1.16
1980 1990 1.05 1.09
用1860年至1990年的数据拟合
2018/6/30
拟合结果：
r 0.25025/10 year
2015年6月
这种病毒的演化规律？
2014年非洲的埃博拉疫情
2016年中国全面开放二胎政策的影响作用
2016年中国全面开放二胎政策的影响作用
1790 1800 1810 3.9 5.3 5.0 7.2 6.5
1820 1830 9.6 8.3 12.9 10.7
1840 17.1 13.7
1850 23.2 17.5
1860 31.4 22.3
计算人口N 3.9 年 实际人口
1870 1880 1890 38.6 50.2 35.8 62.9 45.0
2018/6/30
常见的微分方程模型：
1996年，A题：最优捕鱼策略 常微分方程，无限增长模型 2003年，A题：SARS的传播 常微分方程组或差分方程组 2004年，C题：饮酒驾车 线性常微分方程组
常见的微分方程模型：
2007年，A题：人口增长模型 常微分方程或方程组 2011年，C题：企业退休职工养老金制度的改革 常微分方程，阻滞增长模型
N0
2018/6/30
参数估计
r r ( N ) r sN , N m s
年 增长率% 年 增长率%
年 增长率%
1790 1800 1810 2.95 3.10 2.99
1820 1830 2.97 2.91
1840 3.01 1920 1.46
2000 1.16
1850 3.08 1930 1.02
N (t ) Nm
Nm 396.708
Nm 1 ( 1)e r (t 1790 ) N0
模型分析
N (t ) Nm Nm 1 ( 1)e r (t 1790 ) N0
r 0.25025/10 year
Nm 396.708
2018/6/30
年 实际人口
N (2010 ) 307.326
误差约为2.5%
即2010年的美国人口总数为307.326百万。 美报告显示美国人口总数已达3.07亿 2009年12月24日10:49新华网
2018/6/30
微分方程模型表达的是函数的间接关系，虽然有些方 程可求出精确解，但并不意味着就能很好的解决问题。
微分方程模型中参数的估计可能会更重要。
假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。 Logisitic模型
N dN (t ) r (1 )N Nm dt N (0) N 0 r ( N ) r sN Nm r N (t ) s Nm Nm 1 ( 1)e r ( t 1790 )
y a r (t 1790 )
2018/6/30
利用最小二乘法进行线性拟合
1）用1790年至1900年的数据拟合，利用Mathematic 软件计算可得
N (t ) 4.1884 e0.02743(t 1790 )
N (t ) N0er (t 1790)
r 0.2743/10y ear
1990 251.4 245.3
2000 281.4 274.9
计算人口N 147.2
误差约为2.5%
2018/6/30
四 人口预测
将2000年的数据代入计算得
N (t )
Nm Nm r t 1 ( 1)e N0
r 0.2440/10y ear
N m 436.107
代入计算得
N n 1 N n1 rn 20 N n
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 3.9 1880 5.3 1890 7.2 9.6 12.9 1910 17.1 23.2 1930 31.4 1940 38.6 1950
1900
1920
1850, 23.2 , 1860, 31.4 , 1870, 38.6 , 1880, 50.2 , 1890, 62.9 , 1900, 76 , 1910, 92.0 , 1920, 106.5 , 1940, 131.7 , 1950, 150.7 , 1960, 179.3 , 1970, 204.0 , 1980, 226.5 , 1990, 251.4 , 2000, 281.4
2000 1.16
相对增长率并不是常数！与人口数有关。 且随人口数量的增加而减少。
2018/6/30
三 建立新的预测模型
dN (t ) r ( N ) N (t ) dt N (0) N 0
dN (t ) rN (t ) dt N (0) N 0
t
r 称为内禀增长率
N (t ) N (t0 )er (t t0 )
6/30/2018
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r (1 ) Ndt Nm
N m 表示该种群的最大容纳量
N
dN N r (1 wenku.baidu.com)N dt Nm
Nm Nm/2
N (t )
Nm 1
N m N ( t0 ) N ( t0 )
N0 4.1884
2）用全部数据（1790年至2000年）拟合，计算可得
N (t ) 6.0450 e0.02022 (t 1790)
N (t ) N0er (t 1790)
r 0.2022/10y ear
N0 6.0450
不能预测
找原因 观察相对增长率的变化
年 人口 年