毕奥-萨戈尔定律
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毕奥---萨伐尔定律
毕奥---萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
yyf--毕奥-萨伐尔定律
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
30
R
（圆电流轴线：B
0 IR2
2(R2
x
2
)
3 2
）
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
O1Q1 P Q2 O2
0 NI 1 1 0.677 0 NI R
R
2R 2 2
R
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
R
0 NIR 2
o
R
I
o
B0
0I
8R
B0
30 I
8R
0I 4R
23
讨论：
1. 定义电流的磁矩
P
I Sn
m
规S :定电正流法所线包方围向的：面n积与 I 指向成右旋关系
圆电流磁矩：
Pm
I R2n
Pm
n
圆电流轴线上磁场：
B
IR2i 0
2( R 2
x )2
3 2
P 0m
2
(R2
x )2
3 2
S I
24
B Bx
I dl
R
IO
•
r
d B
dB
x
P d B//
B
LdB//
dB sin 0
L
4
L
Id r2
l
sin
0I sin
4r 2
2R
dl
0
0I sin
2r2
R
I dl
R
IO
r
d B
dB
xP d B//来自B0I sin
毕萨定律
Idl
c
Idl a
μ 0 Idl 水平向右 dB = 2 4π 2 R μ 0 Idl μ 0 Idl dB 总 = ⋅ 2= 2 2 4π 2 R 4 2πR
Y.L.Wang
叠加原理求磁场
例4、薄圆环内半径a，外半径b，可绕与环面垂 直的轴O以ω的角速度逆时针旋转。现给该圆环均匀 带电+Q，求环心o处的磁感应强度 解：将环分成无数同心小环， 任选其中一 个环，设其半径为 r, 环宽dr， 则环上带电量为：
Y.L.Wang
用矢量形式表示的毕奥—萨伐尔定律
I
ˆ μ Idl × r dB = 2 4π r
r
I
μ Idl × r = 3 4π r
α
dB Idl
r
dB 磁场叠加原理： 若磁场由数个运动电荷产生，各电荷单独存在时 产生的磁场分别为B1，B2，…，Bi，…，则：
B = ∑ i Bi
Y.L.Wang
dE
§8-3 毕奥-萨伐尔定律
+ dq
P
•
一、毕奥—萨伐尔定律
dq ˆ r dE = 2 4πε 0 r 1
方向 ： l × r d ˆ μ 0 = 4π × 10 −7 ( NA−2 ) 真空中的磁导率
ˆ μ 0 Idl × r dB = 2 4π r μ 0 Idl sin θ 大小： dB = 2 4π r
说 明 1）它只适用于稳恒电流 2）Ii 与所取环路成右手螺旋时为正,反之为负 3）B 是全空间电流的贡献,但只有Ii对环流有贡献 4） ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明磁场为非保守场，称为涡旋场
Y.L.Wang
例、均匀通电直长圆柱体的磁
例5
Y.L.Wang
6-3毕奥—萨伐尔定律
0 I 1 l r1 r2 0 I 2 l d r1 ln ln 2 r1 2 d r1 r2
2.26 10 6 Wb
运动电荷的磁场
三、 运动电荷的磁场
形成
电荷运动
电 流
磁 场
设电流元 Idl ，横截面积S，单位体积内有n 个定向运动的正电荷 , 每个电荷电量为 q ，定向 速度为v。
L
I d l er 2 r
二、毕奥—萨伐尔定律的应用 先将载流导体分割成许多电流元 Idl 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后
按照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点 磁感应强度的矢量和。 实际计算时要应先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx dBy dBz 然后再对各分量积分，
0 I sin B 2R 2 4r
I dl
R
r
d B
dB
IO
2 2
x
2
P
d B//
R R r R x ; sin 2 2 12 r (R x ) 0 IR 2 0 IS B 2 2 32 2 2 32 2 ( R x ) 2( R x )
0 qv sin dB B dN 4 r2
矢量式：
0 qv er B 2 4 r
其方向根 据 右手螺 旋法则， B 垂直 v 、r 组成的平面。 q 为正， B 为 v 的方向；q为 r 负， B 与 v r 的方向 相反。
1.71 105 T
方向
S点
L
0 I 1 1 BLA (sin sin ) 方向 4a 4 2 L 0 I 1 1 BAL (sin sin ) 方向 4a 2 4
2 毕-萨定律
到P点的矢径与电流流向之间的夹角。 讨论：若导线为无限长，则 1
0
， 2
B
0I
2 d
方向：右手定则
[例2] 圆电流轴线上的磁场
载流单匝圆线圈（圆电流），其半径 R ，电流 强度为 I ，计算它在轴线上任意一点 P 的磁 感应强度 B
R
I
O
P
步骤1: 取对称坐标系如图； 在圆电流上取任一电流元Idl， 画出矢径 r
[例1] 载流长直导线的磁场
真空中载流直导线通有电流 I， 计算空间任意P点的磁场 B
I d
P
步骤1: 以 P点到导线上的垂点为坐标原点O， 沿直导线的电流方向取坐标系OZ，在载 流导线正方向上任一位置取一电流元Idl 画出从电流元 Idl到 P点的矢径 r
步骤2: 写出该电流元在P点产生的 磁感应强度dB的大小
0
2
dr
0 R
2
0
所取的圆环对应的电流为 dI = σωr dr 面积为 S =πr2，载流圆环的磁矩为 dPm = dIS =σωr dr πr2 = πσωr3 dr 整个转动带电圆盘的磁矩为
Pm
S
dP m
R
r dr
3
1 4
R
4
1 4
QR
转动时，小圆环所对应的等效圆电流为
dI = dq/T =σ2πr dr/(2π/ω)= σωr dr dq
r dr
等效电流dI
等效圆电流在圆盘中心O处的磁感应强度为
dB
0 dI
2r
0
2
dB
dr
O
所有的小圆环转动方向都一致，整个带电圆盘 在盘心O处的磁感应强度为
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
毕奥萨伐尔定律
• 我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比 较复杂, 略。为了给同学们一个较全面的印象，下左图显示 了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布图。可以看出， 磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线。
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律
结果对比
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕奥萨伐尔定律
电磁炉具有加热速度快、热效率高、安全可靠等优点，广泛 应用于家庭和餐饮行业。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
毕奥撒法尔定律
毕奥撒法尔定律
毕奥-萨伐尔定律（也被称为电场定律）是电学中的一个重要定律，它描述了电荷之间的相互作用力与它们所带电荷量的乘积以及它们之间距离之间的关系。
具体来说，毕奥-萨伐尔定律表明在真空中，静止的点电荷所产生的电场强度与它们所带电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
公式表示为：$\frac{E}{q} = \frac{k}{r^{2}}$，其中E是电场强度，q是源电荷的电荷量，k是常数，r是源电荷与试探电荷之间的距离。
这个定律是英国物理学家约瑟夫·安培的学生，法国物理学家奥古斯汀·毕奥和其时的科学家萨伐尔共同发现的。
他们在研究电流产生的磁场时，通过实验和理论推导得出了这个定律。
这个定律不仅适用于点电荷产生的电场，还适用于任何形状的电荷分布产生的电场，以及多个电荷共同产生的电场。
需要注意的是，毕奥-萨伐尔定律是在静止电荷产生的电场中得出的，对于随时间变化的磁场，需要使用麦克斯韦方程组来描述。
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
6. 3 毕奥——萨伐尔定律及其应用
L L
或： 大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例： 判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8
2
大小
7 R 6 5
Id l
3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点 ： dB 0
真空的磁导率
I dl
r
Байду номын сангаасdB
d B 方向：I d l r 的 方 向 I d l 和 r 构成的平面
0 I d l r dB 4 r 3
4 r 0 = 4 107 NA2
I※ dl d B =?
Bd dB LB
0 Ia d x 0I l arctan— l 4l ( x 2 a 2 ) = —— 2l a
4l x a
2
0 Ia d x 2 2 4l ( x 2 a 2 ) x a
a
B= — j (匀强场) 2
0
本题下去重做一下
四、运动电荷的磁场
+ + + + + + + + + + + +++ + + + + + + ++ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ +++ + ++++ +++ + ++ + + + + + + + + + + + + ++ + + +++ ＋ ＋ ＋ +++ + ++++ + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + + + + + ++ ++ + + + + + ++ + + + + ++ v ＋ ＋ ＋ 设：导体单位体积内电荷数 n 0 I d l r dl 内电荷数 dN= n (Sdl) (6-11) dB 3 0 I d l 4 r sin 它们的合磁场 d B 每个电荷产生的磁场？ 4 r 2 q 的平均速度 v I = n(vS)q 矢量式 运动电荷 q 产生的磁场 0 qv r (6-13) B 0 3 d B 4 r B = —— dN 4 r 2 vq sin 和 1. 说明： 的方向垂直于 v B 方向与 d B 同向，仍为 I d l r 。 r 所确定的平面。
或： 大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例： 判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8
2
大小
7 R 6 5
Id l
3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点 ： dB 0
真空的磁导率
I dl
r
Байду номын сангаасdB
d B 方向：I d l r 的 方 向 I d l 和 r 构成的平面
0 I d l r dB 4 r 3
4 r 0 = 4 107 NA2
I※ dl d B =?
Bd dB LB
0 Ia d x 0I l arctan— l 4l ( x 2 a 2 ) = —— 2l a
4l x a
2
0 Ia d x 2 2 4l ( x 2 a 2 ) x a
a
B= — j (匀强场) 2
0
本题下去重做一下
四、运动电荷的磁场
+ + + + + + + + + + + +++ + + + + + + ++ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ +++ + ++++ +++ + ++ + + + + + + + + + + + + ++ + + +++ ＋ ＋ ＋ +++ + ++++ + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + + + + + ++ ++ + + + + + ++ + + + + ++ v ＋ ＋ ＋ 设：导体单位体积内电荷数 n 0 I d l r dl 内电荷数 dN= n (Sdl) (6-11) dB 3 0 I d l 4 r sin 它们的合磁场 d B 每个电荷产生的磁场？ 4 r 2 q 的平均速度 v I = n(vS)q 矢量式 运动电荷 q 产生的磁场 0 qv r (6-13) B 0 3 d B 4 r B = —— dN 4 r 2 vq sin 和 1. 说明： 的方向垂直于 v B 方向与 d B 同向，仍为 I d l r 。 r 所确定的平面。
磁学 3-2 毕奥-萨伐尔定律
B
0m 2x3
类似于电偶极子电场强度
m S en
I
B
磁偶极子
E
电偶极子
三、运动电荷产生的磁场
电流是大量电荷定向运动形 成的，所以从本质上说电流 产生的电场就是运动电荷所 产生的磁场。
I
qv
I = nqSv
S
P
在载流 导线中选取一段电流
dl
元 Idl ，其电流 I = nqSv
代入毕奥-萨伐尔定律，得
大小为
dB
0 4
Idl sin
r2
θ2
Id l
θ
r
l
Oa
θ1
B
P
由右手螺旋法则知其方向 垂直于纸面向内。因直导 线上所有电流元在 P 点产 生的磁感应强度方向均相
B
dB
0 4
Idl sin r2
l a cot ( ) a cot
同，故 P 点总的磁感应强
dl ad / sin 2
磁场叠加原理：任意形状的载流导线的磁场是所有
电流元的磁场的矢量和
B dB
0
L
L 4
Idl
r2
er
积分遍及整 个载流导线
实际上不存在孤立的电流元，毕奥-萨伐尔定律是基 于特殊情形的实验结果从数学上倒推出来的。但从 此定律出发推出任意恒定电流的磁场都与实验结果 相符，从而验证了毕奥-萨伐尔定律的正确性。
B 0I 4a
（3）直电流延长线上 B = 0
直线电流的 磁感应线
例 2 载流圆线圈半径为 R，电流强度为 I，求圆线圈 中轴线上与圆心 O 距离为 x 处 P 点的磁感应强度。
解：如图建立坐标 系
任取一电流元 Idl，注意到
毕奥-萨伐尔定律
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
B
o
R
r
dB
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
dB 0 2
R 2 Indx R2 x2 3/2
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 x2 3/2
R2 x2 R2 csc2
B 0nI
2
2 R3csc2 d 1 R3 csc3 d
Idl
cos R r
R
r
dB r2 R2 x2
o
x
*p x
B 0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I cosdl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0IR2
（2 x2 R2）32
I
R
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
大学物理毕奥-萨伐尔定律
1
2
2
I
2 B
B 0I
4πr
3）延长线上的磁场
B=0
I
A
B
1
A
→r
r
＊p
B
+P
2、圆形载流导线（圆电流）轴线上的磁场（R, I）
Id l
o
IR
r dB d B
x
*
p dBx
x
dB'
解： （1）如图建立坐标系
（2）在导线上取电流元 Idl
dB
0
4π
Idl sin 900 r2
0 4
Idl r2
20
2
0, B 向外
0, B 向内
例7（例11-2） 一半径为R的无限长的半圆形金属薄片,沿轴 通有I 的电流,设电流在金属片上均匀分布,试求圆柱轴线上 任意一点P的磁感应强度.
解：将电流分割成许多无限长载流直导
线，电流为dI
I
利用无限长载流直导线的磁感应强度公式
B 0I
2πr
dB 0dI 2R
电流元中的运动电荷数
dN nSdl
电流元
Idl vSnqdl qv dN
将
Idl qv dN
代入上式得
从微观上看，电流元的dB就是dN个运动电荷共同产生的磁场
运动电荷的磁场
B
dB
0
qv r0
dN 4π r2
r0为电荷q到场点的矢径方向的单位矢量， 方向垂直于V，r确定的平面
是低速(v c)情形下匀速运动点电荷产生的磁场。
电流元 在空间P点产生的 磁感应强度 为
dB
k
Idl r2
r
0
毕奥 萨戈尔定律
结论
B
0I
4 π r0
(cos1 cos2 )
(记住)
x
r0
1
dB
p
y
a. 延长线上一点 B = 0
C
b. “无限长” B 0I
2 π r0
c. “半无限长”B 0I
4 π r0
d. 中垂面上一点
B
0I
2 π r0
cos1
13.
[例2]
分析:
ab圆.. d形dBB载—方流向分导与析线dI轴dBl和线位上置dB的有x 磁关Id场l.
7-3 毕奥－萨伐尔定律
一. B－S定律
对电流元 Id(l类比点电荷dq )
点P ：dB
dB
0
4π
0 Idl sin
4 π Idl
r
r
2
r3
方向 —
dl
er 方向
dB
P r
r
Idl
0 4 π107 N A2 — 真空磁导率
对任意载流导线（叠加法）
2
p
对分量积分或求和
r0
[例1] 求载流长直导线的磁场.
1
已知 P与导线垂直距离为 r0 。
12.
分析：
a. 建立图示坐标系，任取电流元 Idz( dl = dz )
b. c.
积d常B分方变问向量题相识：同别(，－变x方量向选) 择直接积I分dDz
z
2
变量代换，积分上下限
讨论:
o zr
2π x
d1 d2
o
Φ
S
B dS
0Il
毕奥 萨戈尔定律
d. 中垂面上一点 µ0I B= cosθ1 2 π r0
13.
[例2] 圆形载流导线轴线上的磁场 例 圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 分析: 分析 a. dB方向与 Idl 位置有关 b. dB — 分析 dB⊥和 dBx Idl 由对称性知 B⊥ = 0 R 则 BP = ∫ dBx I o
c. SI １Wb = 1 T·m2
B
s⊥ θ
s
B
21.
如图载流长直导线的电流为I， 例1 如图载流长直导线的电流为 ，试求通过 矩形面积的磁通量。 矩形面积的磁通量。 解：先求 B ，对变磁场 给出dΦ 后积分求 Φ 。
B
I
d1
d2
o
B // S 2π x µ0I dΦ = BdS = ld x l 2π x µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 2π x µ 0 Il d 2 x Φ= ln 2π d1
变量代换， 变量代换，积分上下限
讨论: 讨论
结论 B =
µ0I
zr p o
θ1
4 π r0 a. 延长线上一点
记住) 记住 (cosθ1 − cosθ2 ) (记住
r0
y
x
B=0
µ0I
C
b. “无限长” B = 无限长” 无限长
2 π r0 µ0I c. “半无限长”B = 半无限长” 半无限长 4 π r0
B=
µ0 I
2. 磁场高斯定理 对闭合曲面
θ
en
B
比较
∫S B⋅d S = 0
ds
S
静电场 1 n in ∫SE ⋅ dS = ε0 ∑qi ≡ 0 电场线不闭合 有源场 i=1 静磁场
毕萨定律
毕萨定律，也称为毕奥-萨伐尔定律，是描述电流元在空间产生磁场的基本定律。该定律表明，电流元在空间某点产生的磁感应强度与电流元的大小、电流元与该点的距离以及电流元与该点连线之间的夹角有关。具体公式表达为磁感应强度B与电流元Idl、距离r以及夹角θ的正弦值成正比，与r的平方成反比。毕萨定律是电磁学中的基本定律之一，它揭示了电流产生磁场的规律，为理解和研究电磁现象提供了重要基础。同时，毕萨定律也是安培环路定理和磁场高斯定理等电磁学重要定律的基础，这些定律共同构成了电磁学的理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体系。通过学习和应用毕萨定律，我们可以更深入地理解磁场的本质和特性，以及磁场与电流之间的相互作用规律。
毕奥- 萨伐尔定律
毕奥- 萨伐尔定律
如图9- 12所示.因此，总 磁感应强度B的矢量积分可化为 标量积分
图9- 12 直线电流的磁场
毕奥- 萨伐尔定律
（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则 (9- 13)
与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型， 在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离 a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距 离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点 的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有 轴对称性.
毕奥- 萨伐尔定律
三、 典型电流的磁场计算——毕- 萨定律的应用
电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥- 萨伐 尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：
首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl， 并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.
其次，根据毕奥- 萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发 的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.
毕奥- 萨伐尔定律
（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0， θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小 为
（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π， dB=0,B=0.
毕奥- 萨伐尔定律
2. 圆电流在其轴线上的磁场
设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它 在其轴线上任一点P的磁感应强度.
毕奥- 萨伐尔定律
【例9-1】
如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感 应强度.
解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根 据毕- 萨定律先计算dB的大小，即
毕奥- 萨伐尔定律
图9- 11 例9- 1图
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毕奥-萨戈尔定律
毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）在静磁学中是描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
毕奥-萨伐尔定律是法国科学家毕奥和萨伐尔合作研究发现的，以让-巴蒂斯特·毕奥（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨伐尔（Félix Savart）命名，1820年9月30日两人将第一个实验结果发表：载流长直导线到磁极距离与其作用力成反比，这一结果肯定了电和磁的联系。
毕奥-萨伐尔定律在静磁近似中是有效的，并且与安培（Ampère）的电路规律和磁性高斯定律一致。
毕奥-萨伐尔定律文字描述：电流元Idl在空间某点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl所在处到P点的位置矢量和电流元Idl之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl到P点的距离的平方成反比。
毕奥-萨伐尔定律在生产和生活中的应用有磁悬浮列车、根据工件大小来选择充磁电流的大小，从而达到磁粉探伤所需的磁场等。