根轨迹法讲解和性能指标

事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制
根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是
每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开
始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应
解特征方程的根就在s平面上绘出根轨迹。
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如图所示系统 ，其闭 环系统特征方程为
1＋G(s)H(S)=0
或
G(S)H(S)=―1
满足相角条件，S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。13
（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。
K1
s1
(s12) (s16.6) (s14)
1.5j2.50.5j2.55.1j2.5
2.5j2.5
11.94
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根轨迹法研究的是系统可变参数对闭环极点
的影响，最常见的可变参数就是开环增益K。令
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图4-2 根轨迹图
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可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量 可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为 可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根 轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参 量根轨迹。
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
s pj
K1
j1 m
s zi
i1
m
n
Байду номын сангаас
(szi)(spj)(2q1)
i1
j1
q0,1,2,...
（4-9）
（4-10）
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在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可 以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各 点对应的根轨迹增益K值。
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§4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 什么是根轨迹
图4-1所示负反馈控制
K
C(s)
系统，设其开环传递函数
+
s(s+1)(s+2)
—
为：
G(s)H(s)=s(s+1K )(s+2) （４－图１ 4-1）反馈控制系统
该系统的开环特征方程为：
s(s+1)s(+2)=0
解得系统开环极点为：
s1=0，s2=―1 ，s2=―2
【例1】单位反馈系统的开环传递函数为:
G(s) K1(s4) s(s2)(s6.6)
试检验S1= -1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如 果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。
p1=0，p2= -2，p3= -6.6， z1= -4
（2）将s1坐标带入相角条件：
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系统闭环传递函数为：
C (s) G (s)
K
Φ (s)=R (s)=1+ G (s)=s(s+ 1)s (+ 2)+ K
该系统的闭环特征方程为：
s3+3s2+2s+K =0
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制 为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当 0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数，当K>0.385 时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0<K<6闭环系 统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与 开环增益K的关系。
( s 1 4 ) s 1 ( s 1 2 ) ( s 1 6 .6 )
( 2 . 5 j 2 . 5 ) ( 1 . 5 j 2 . 5 ) ( 0 . 5 j 2 . 5 ) ( 5 . 1 j 2 . 5 )
≈ 4 － 5 1 2 － 7 1 － 826 = － 1 80
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
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系统开环传递函数通常可以写成零极点表达式：
m
K1 (s zi )
而计算系统闭环性能指标；或反之；
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4.1.2 根轨迹绘制的基本条件
传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的，它
创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工
绘图法。如今，尽管手工绘制根轨的一些繁琐技艺
已经没有多大价值，但是，它所发掘出来的根轨迹
基本规律，无论用哪种方法作图都是适用的。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的
G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不
影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满
足同一个相角条件，K变动，而相角条件是不变
的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在s平
面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的
曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根
轨迹上任一点的K值。
根轨迹法讲解和性 能指标
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内容提要
根轨迹是一种图解法，它是根据系统的 开环零极点分布，用作图的方法简便地确定 闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而 对系统的特性进行定性分析和定量计算。
根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的 基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图 确定闭环极点及系统性能指标。
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知识要点
传递函数的零极点表示，根轨迹的概 念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规 则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定 性分析系统性能指标随系统参数变化的趋 势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。
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线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环 系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统 的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调 整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
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利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K从0到变化时出根轨迹的条数； （3）判断该系统在K取值在何范围时处于过阻尼、
临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从
1948年伊万斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的 闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连 续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。