根式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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【高中数学人教A版必修】1课件：2.根式
练习1：求下列各式的值:
1 5 32
-2
2 34 9
3
2
2 3
3 2
高中数学人教A版必修1课件：2.根式
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练习2:化简下列各式:
(1) ( a 3 ) 2 a 3
( 2 ) 5 ( 3 ) 10 9
( 3 ) 5 a 10
a2
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例2:求值
① 32 2
② 94 2
2 1
12 2
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练2. 化简
5267 43642
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当堂检测
1. 4 ( 3 ) 4 的值是（ A ）.
当n为偶数 ,n a时 n __a__a__aa__,,00_a__._
高中数学人教A版必修1课件：2.来自式高中数学人教A版必修1课件：2.根式
例1:求值
① 3 ( 8) 3 -8
② (10)2
10
③ 4 (3 )4 π-3
④ (ba)2(ab) a-b
高中数学人教A版必修1课件：2.根式
高中数学人教A版必修1课件：2.根式
1、了解根式的概念及表示方法； 2、理解根式的运算性质； 3、培养培养观察分析、抽象概括 能力、归纳总结能力、化归转化 能力。
复习回顾:
1、整数指数幂的概念: ana • a • a• • • a(nN*)
a0_1 _a(n个 0)a ana_ 1 n _a _0,(n N *)
高中数学 2.1.1.1 第1课时 根 式课件 新人教A版必修1
第二十二页，共28页。
3.本例中，若将“－2<x<2”变 为 x∈R，则结果是什么？
解析： 原式＝|x－1|－|x＋2| 当 x>1 时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3； 当－2≤x≤1 时，原式＝1－x－(x＋2)＝－2x －1； 当 x<－2 时，原式＝1－x－(－x－2)＝3.
－3
x>1
∴原式＝－2x－1 －2≤x≤1
第二十页，共28页。
[解题过程] 原式＝ x－12－ x＋22 ＝|x－1|－|x＋2| ∵－2<x<2 ∴当－2<x<1 时， 原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1 当 1≤x<2 时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3 ∴原式＝－ －23x－11≤x<2－ 3<x<1
第二十一页，共28页。
[题后感悟] 为使开偶次方后不出现符号(fúhào)错误 ，第一步先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值 符号(fúhào)化简，化简时要结合条件或分类讨论．
1.利用根式的运算性质 对式子进行化简．(重 点) 2.已知条件的求值问 题．(难点)
第四页，共28页。
1．开平方与平方根，若 x2＝a(a≥0)，则求 x 的运算叫开平方，x＝± a叫 a 的平方根，其中
a叫 a 的算术平方根． 2．开立方与立方根，若 x3＝a，则求 x 的运算 叫开立方，记为3 a，3 a叫 a 的立方根．
(bèi kāi fānɡ shù)
第八页，共28页。
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n＞1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n＞1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
3.本例中，若将“－2<x<2”变 为 x∈R，则结果是什么？
解析： 原式＝|x－1|－|x＋2| 当 x>1 时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3； 当－2≤x≤1 时，原式＝1－x－(x＋2)＝－2x －1； 当 x<－2 时，原式＝1－x－(－x－2)＝3.
－3
x>1
∴原式＝－2x－1 －2≤x≤1
第二十页，共28页。
[解题过程] 原式＝ x－12－ x＋22 ＝|x－1|－|x＋2| ∵－2<x<2 ∴当－2<x<1 时， 原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1 当 1≤x<2 时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3 ∴原式＝－ －23x－11≤x<2－ 3<x<1
第二十一页，共28页。
[题后感悟] 为使开偶次方后不出现符号(fúhào)错误 ，第一步先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值 符号(fúhào)化简，化简时要结合条件或分类讨论．
1.利用根式的运算性质 对式子进行化简．(重 点) 2.已知条件的求值问 题．(难点)
第四页，共28页。
1．开平方与平方根，若 x2＝a(a≥0)，则求 x 的运算叫开平方，x＝± a叫 a 的平方根，其中
a叫 a 的算术平方根． 2．开立方与立方根，若 x3＝a，则求 x 的运算 叫开立方，记为3 a，3 a叫 a 的立方根．
(bèi kāi fānɡ shù)
第八页，共28页。
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n＞1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n＞1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
人教A版数学必修一2-1-1-第1课时根式(56张).pptx
n个a
2．正整数指数幂运算性质(m，n∈N*)： (1)am·an＝ am＋n ； (2)aamn＝ am－n ； (3)(am)n＝ amn ； (4)(ab)m＝ ambm ；
(5)(ba)n＝
bn an
(a≠0)；
(6)a0＝ 1 (a≠0)；
1
(7)a－n＝ an .
3．如果 x2＝a，那么 x 叫做 a 的 平方根 ；如果 x3＝a， 那么 x 叫做 a 的立方根，它们有如下运算性质：
[解析]
(1) x－y2＝|x－y|＝xy－－yx
x≥y x<y .
(2)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3<x<3，
∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.
当－4<x－1<0，即－3<x<1 时，
|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
当 0≤x－1<2，即 1≤x<3 时，
解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
总结评述：对形如 a±2 b的复合根式，在有些情况下 是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要 掌握其中较简单的基本类型即可．
将复合根式先化为 a±2 b(a>0，b>0)的形式．若有 x1＋ x2＝a，x1·x2＝b，其中 x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为
x12±2 x1· x2＋ x22 ＝ x1± x22 ＝ x1± x2，也即若方程 x2－ax＋b＝0 有两个正的有理根， 则复合根式 a±2 b可化简．
新人教A版必修一根式课件(29张)
2x 3,7 x 5, 综上可知,原式= 7,5 x 2,
2x 3, x 2.
(2)若本题中改为:若 x2 10x 25 + x2 4x 4 =2x+3,求 x 的取值范围.
解:(2)因为 x2 10x 25 + x2 4x 4 =|x+5|+|x-2|=2x+3=(x+5)+(x-2),
原式=x+5+x-2=2x+3, …………10 分
所以原式=
7，-5 2x 3,2
x
x
2, 5.
……12
分
一题多变:(1)本题中若改为x>-7,其他条件不变,求原式的值;
解:(1)因为原式=|x+5|+|x-2|, 当-7<x<-5 时, 原式=-(x+5)+[-(x-2)]=-2x-3, 当-5≤x<2 时,原式=7. 当 x≥2 时,原式=2x+3,
所以
x x
5 2
0, 0,
所以 x≥2.
误区警示
求解本题为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示 开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类 讨论.
[备用例 3] (1)已知 x2 6x 9 + y2 8y 16 =0,则 x+y=
.
解析:(1) x2 6x 9 + y2 8y 16
解:(3)原式=|x+2|=
x
2, x x 2,
2, x 2.
(4)原式=(x-2)+(x-2)=2x-4.
误区警示
本题易出现的问题是混淆 n an 与( n a )n,尤其是当 n 为偶数时,误认为 n an =a 而失误.解决此类问题的关键是准确记忆相关性质,依据 n 为奇数 还是偶数以及 a 的取值进行分类.
2x 3, x 2.
(2)若本题中改为:若 x2 10x 25 + x2 4x 4 =2x+3,求 x 的取值范围.
解:(2)因为 x2 10x 25 + x2 4x 4 =|x+5|+|x-2|=2x+3=(x+5)+(x-2),
原式=x+5+x-2=2x+3, …………10 分
所以原式=
7，-5 2x 3,2
x
x
2, 5.
……12
分
一题多变:(1)本题中若改为x>-7,其他条件不变,求原式的值;
解:(1)因为原式=|x+5|+|x-2|, 当-7<x<-5 时, 原式=-(x+5)+[-(x-2)]=-2x-3, 当-5≤x<2 时,原式=7. 当 x≥2 时,原式=2x+3,
所以
x x
5 2
0, 0,
所以 x≥2.
误区警示
求解本题为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示 开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类 讨论.
[备用例 3] (1)已知 x2 6x 9 + y2 8y 16 =0,则 x+y=
.
解析:(1) x2 6x 9 + y2 8y 16
解:(3)原式=|x+2|=
x
2, x x 2,
2, x 2.
(4)原式=(x-2)+(x-2)=2x-4.
误区警示
本题易出现的问题是混淆 n an 与( n a )n,尤其是当 n 为偶数时,误认为 n an =a 而失误.解决此类问题的关键是准确记忆相关性质,依据 n 为奇数 还是偶数以及 a 的取值进行分类.
高中数学必修一数学人教A版课件第二章21211第1课时根式
乘，导致错误.
外，避免根式化成分数指数幂时
出现错误.
一级达标重点名校中学课件
[随堂训练] 1．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
4 A.
m2
5 B. m
6 C. m
D．5 －m
解析：∵6 m中 m 必须为非负数，
∴6 m可能没有意义． 答案：C
一级达标重点名校中学课件
2．当 8<x<10 时， x－82＋ x－102＝________.
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
一级达标重点名校中学课件
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B
一级达标重点名校中学课件
(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题． (2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值， 如图所示：
从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x＜3， 因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
[解析] (1)①中 4 是偶数；∴16 的 4 次方根是±4 16＝±2； ②中4 16＝2；③④正确． (2)∵6 是偶数，∴由 x6＝2 014，得 x＝±6 2 014. (3)∵5 是奇数，∴由 x5＝－2 014 得 x＝5 －2 014.
[答案]
数学新课标人教A版必修1教学课件：2.1.1.1 第1课时 根 式
a叫 a 的算术平方根． 2．开立方与立方根，若 x3＝a，则求 x 的运算
叫开立方，记为3 a，3 a叫 a 的立方根．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
3．二次根式及性质： a(a≥0)叫二次根式，且 a2＝|a|
a a≥0 ＝－a a<0
三次根式：3 a叫 a 的三次根式． 4．二次根式与三次根式的运算性质 (1) a2＝_|a_|_；(2)( a)2＝_a_(a>0)；
栏目导引 第十八页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
解析：
3 (1)
－27＝3
－33＝－3.
6 (2)
3－π6＝6
π－36＝π－3.
3 (3)(
－9)3＝－9.
(4) a－b2＝a－b(a>b)．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第十九页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
有条件根式的化简 设－2<x<2，求 x2－2x＋1－ x2＋4x＋4 的值．
1.理解n次方根及根式的 概念. 2.正确运用根式运算性质 进行运算变换.
1.利用根式的运算性
质对式子进行化 简．(重点) 2.已知条件的求值问 题．(难点)
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
1．开平方与平方根，若 x2＝a(a≥0)，则求 x 的运算叫开平方，x＝± a叫 a 的平方根，其中
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第八页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n＞1)；
n (2)(
叫开立方，记为3 a，3 a叫 a 的立方根．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
3．二次根式及性质： a(a≥0)叫二次根式，且 a2＝|a|
a a≥0 ＝－a a<0
三次根式：3 a叫 a 的三次根式． 4．二次根式与三次根式的运算性质 (1) a2＝_|a_|_；(2)( a)2＝_a_(a>0)；
栏目导引 第十八页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
解析：
3 (1)
－27＝3
－33＝－3.
6 (2)
3－π6＝6
π－36＝π－3.
3 (3)(
－9)3＝－9.
(4) a－b2＝a－b(a>b)．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第十九页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
有条件根式的化简 设－2<x<2，求 x2－2x＋1－ x2＋4x＋4 的值．
1.理解n次方根及根式的 概念. 2.正确运用根式运算性质 进行运算变换.
1.利用根式的运算性
质对式子进行化 简．(重点) 2.已知条件的求值问 题．(难点)
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
1．开平方与平方根，若 x2＝a(a≥0)，则求 x 的运算叫开平方，x＝± a叫 a 的平方根，其中
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第八页，编辑于星期日：十一点 三十四分。
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n＞1)；
n (2)(
高中数学人教A版必修1课件：2.1.1.1 根式
)
-19-
第1课时 根式
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
易混易错题
������
易错点
化简 an 忽略条件而致误
3
【例 4】 计算: 错解:
3
(1 + 2 ) +
-15������ ������ ������ ������ ������
第1课时 根式
题型一 题型二 题型三
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题型四
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D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 化简:( ������-1)2 + (1-������ ) + 解析 :由题意,首先 a-1≥0,即 a≥1. 从而 ( a-1)2=a-1, (1-a) = |1-a|=a-1,
归纳总结 1.任何实数均有奇次方根,仅有非负数才有偶次方根, 负数没有偶次方根. 2. 0 = 0(n>1,且 n∈N*).
n
-6-
第1课时 根式
1 2
M 目标导航
3
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做 1-1】 A.2 答案 :B
5
分析 :先利用根式的性质化简各个根式 ,再进行运算 . 解 :(1)原式=-8+|3-π|=-8+π-3=π-11. (2)原式 =(a-b)+(b-a)=a-b+b-a=0. 反思化简 ������ ������ 时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数 ,然后再依 据根式的性质进行化简 ;化简 ( ������)n 时 ,关键是明确 ������是否有意义, 只要 ������有意义,则 ( ������)n=a.
新教材人教A版必修第一册 4.1第1课时根式 课件(36张)
(3)n 0＝ 0 . (4)负数没有 偶次 方根．
思考：(n a)n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个． (2)当n∈N*时，(n －2)n＝－2. (3) π－42＝π－4.
[答案] (1)√ (2)× (3)×
() () ()
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B．5 m
C.6 m
D．5 －m
C [当m<0时，6 m没有意义，其余各式均有意义．]
3．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；② 4 16 的运算结果是±2；③当n为大于1的
－2x－2，－3<x≤1， 综上，原式＝－4，1<x<3.
1．在本例(1)条件不变的情况下，求3 x3＋ |xx|2的值． [解] 3 x3＋ |xx|2＝x＋||xx||＝x＋1.
2．将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是 什么？
[解] 原式＝ x－12 － x＋32 ＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3， 所以x－1<0，x＋3≤0，
3－π4＝|3－π|＝π－3.]
合作 探究 释疑 难
n次方根的概念问题
【例 1】 (1)27 的立方根是________． (2)已知 x6＝2 019，则 x＝________. (3)若4 x＋3有意义，则实数 x 的取值范围为________．
(1)3 (2)±6 2 019 (3)[－3，＋∞) [(1)27 的立方根是 3. (2)因为 x6＝2 019，所以 x＝±6 2 019. (3)要使4 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3. 所以实数 x 的取值范围是[－3，＋∞)．]
人教A版高中数学必修一课件第二章 2.1 2.1.1 第一课时 根 式(1)精选ppt课件
[解析] (1)①16的4次方根应是±2；② 4 16 ＝2，所以正确的 应为③④.
(2)要使 3 a－1 3有意义，则a－3≠0，即a≠3. ∴a的取值范围是{a|a≠3}． [答案] (1)③④ (2){a|a≠3}
[类题通法] 判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
()
2．下列式子中成立的是 A．a －a＝ －a3 C．a －a＝－ －a3
() B．a －a＝－ a3 D．a －a＝ a3
解析：要使a －a有意义，则a≤0，
故a －a＝－(－a) －a＝－ －a2－a＝－ －a3.
答案：C
3．若x>3，则 x2－6x＋9－|2－x|＝__________.
[易错防范] 1．本题易忽视 4 1－ 24 >0，而误认为 4 1－ 24 ＝1－ 2而导致解题错误． 2．对于根式 n an 的化简一定要注意n为正奇数还是正偶 数，因为n an＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶 数，那么n an＝|a|.
[活学活用] 当a，b∈R时，下列各式恒成立的是
所以 3－2 2＋(3 1－ 2)3＝ 2－12＋1－ 2 ＝ 2－1＋1－ 2＝0.
条件根式的化简
[例3] (1)若xy≠0，则使 4x2y2＝－2xy成立的条件可能是
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
()
C．x≥0，y≥0
D．x<0，y<0
(2)设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
[类题通法] 有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达 式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
高中数学(人教A版)必修一 根式 课件(26张)
3
3
4
解:( 6 + m) + (5-������)4 =6+m+|5-m|.
3
3
4
当 m>5 时,|5-m|=m-5,此时 ,6+m+|5-m|=6+m+m-5=2m+1>11; 当 m≤5 时,|5-m|=5-m,此时 ,6+m+|5-m|=6+m+5-m=11. 所以满足题意的实数 m 的取值范围是 m≤5.
的化简结果是
.
解析 :(1)原式= (x-2)2 − (x + 1)2 =|x-2|-|x+1|.
∵-1<x<2,∴x+1>0,x-2<0, ∴原式 =2-x-x-1=1-2x.
1-a2 ≥ 0, (2)由原式知 a2 -1 ≥ 0,即 a=-1. a ≠ 1,
∴原式 = 1-(-1) =-2.
答案 :(1)1-2x (2)-
3
4
3
4
(1- 2)4
=(1+ 2)+|1- 2|=1+ 2 + 2-1=2 2.
探究一
探究二
易错辨析
探究一
探究二
易错辨析
变式训练 若 a>2b,则 (a-b)3 + (a-2b )2 =
解析:原式=(a-b)+|a-2b|=a-b+a-2b=2a-3b. 答案:2a-3b
3
.
1
2
3
4
5
1.已知 x5=6,则 x 等于( ) 5 5 A. 6 B. 6 C.- 6 5 解析:x 是 6 的 5 次方根,故 x= 6. 答案:B
3
4
解:( 6 + m) + (5-������)4 =6+m+|5-m|.
3
3
4
当 m>5 时,|5-m|=m-5,此时 ,6+m+|5-m|=6+m+m-5=2m+1>11; 当 m≤5 时,|5-m|=5-m,此时 ,6+m+|5-m|=6+m+5-m=11. 所以满足题意的实数 m 的取值范围是 m≤5.
的化简结果是
.
解析 :(1)原式= (x-2)2 − (x + 1)2 =|x-2|-|x+1|.
∵-1<x<2,∴x+1>0,x-2<0, ∴原式 =2-x-x-1=1-2x.
1-a2 ≥ 0, (2)由原式知 a2 -1 ≥ 0,即 a=-1. a ≠ 1,
∴原式 = 1-(-1) =-2.
答案 :(1)1-2x (2)-
3
4
3
4
(1- 2)4
=(1+ 2)+|1- 2|=1+ 2 + 2-1=2 2.
探究一
探究二
易错辨析
探究一
探究二
易错辨析
变式训练 若 a>2b,则 (a-b)3 + (a-2b )2 =
解析:原式=(a-b)+|a-2b|=a-b+a-2b=2a-3b. 答案:2a-3b
3
.
1
2
3
4
5
1.已知 x5=6,则 x 等于( ) 5 5 A. 6 B. 6 C.- 6 5 解析:x 是 6 的 5 次方根,故 x= 6. 答案:B
2021版高中数学人教A版必修1课件：2.1.1.1 根式
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第1课时 根式
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2.1 指数函数
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2.1.1 指数与指数幂的运算
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第1课时 根式
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1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质. 2.能利用根式的性质对根式进行化简.
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