锐角三角函数 (3)
锐角三角函数特殊公式锐角三角函数例题解析锐角三角函数诱导公式
锐角三角函数的定义•锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。
•锐角三角函数的增减性：°～90°°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。
•锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α) 和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）]sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。
锐角三角函数(3)(人教新课标九年级下) 2(1)
AB 6, BC 3 ，求∠A的度数．
解： （1）在Rt△ABC中
6
A
3
C
BC 3 2 sin A AB 2 6
A 45
解题思路：围绕∠A所在的直角三角形，并求出∠A的一个三角函数值, 据角与锐角三角函数值的一一对应关系即可以求出∠A.
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 3 倍，求 α ．
cos 45 t an 45 （2） sin 45
cos 45 t an 45 （ 2） sin 45
＝0
3 1 2 2
2
2
2 2 1 2 2
＝1
友情提示:
sin260°表示(sin60°)2,即(sin60°)·(sin60°), 其余类推.
练一练
1. 求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
cos60 1 （3） 1 sin 60 tan30
解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 1 2 2 2 3 1 2
学以致用
为了测量旗杆的高度，准备了如下测量工具： 操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， ①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺 .请 小明站在离旗杆底部 10米远处，目测旗杆的顶部，视 你设计一个测量方案，能测出旗杆的高度 ? 米．你 线与水平线的夹角为 30 ° ，并已知目高为1.65 能帮他算出旗杆的高度吗？(精确到0.1米)
3 3 3 1 2 3 2
3 1 3
锐角三角函数
锐角三角函数作为数学中的一个重要概念，锐角三角函数是我们学习三角函数的关键部分之一。
在几何学和三角学中，锐角指的是小于90度的角。
而锐角三角函数是以锐角作为自变量的三角函数。
一、正弦函数（sine function）在锐角三角函数中，正弦函数是最常见也是最重要的一个函数。
正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边其中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是锐角三角函数中的另一个核心函数，表示为：cos(θ) = 临边/斜边同样，θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
三、正切函数（tangent function）正切函数是另一个重要的锐角三角函数，表达式为：tan(θ) = 对边/临边在这个公式中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，临边代表锐角的临边长度。
四、余切函数（cotangent function）余切函数是正切函数的倒数，可以表示为：cot(θ) = 临边/对边θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，对边代表锐角的对边长度。
五、正割函数（secant function）正割函数是余弦函数的倒数，可以表示为：sec(θ) = 斜边/临边θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，临边代表锐角的临边长度。
六、余割函数（cosecant function）余割函数是正弦函数的倒数，可以表示为：csc(θ) = 斜边/对边在这个公式中，θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，对边代表锐角的对边长度。
锐角三角函数在数学和实际应用中具有广泛的重要性。
无论是在几何学、物理学还是工程学中，锐角三角函数都扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们计算和解决各种三角形和锐角相关问题。
在实际应用中，锐角三角函数还广泛应用于测量和建模等领域。
总结起来，锐角三角函数是数学中不可或缺的一部分。
通过掌握和理解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，我们可以更好地理解和解决与锐角有关的各种数学和实际问题。
《锐角三角函数》教案 (省一等奖) 3
锐角三角函数[教学反思]课题锐角三角函数〔3〕授课时间课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式过程与方法能推导特殊角的三角函数值情感态度价值观培养学生的类比能力，通过画图，推导增强他们的学习兴趣教材分析重难点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式教学设想教法三主互位导学法学法合作探究教具常规教具课堂设计一、目标展示⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式二、预习检测一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？三、质疑探究两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．四、精讲点拨归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求以下各式的值．〔1〕cos260°+sin260°．〔2〕cos45sin45︒︒-tan45°．五、当堂检测1．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，那么α+β=_______．2．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．3．，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•那么底边上的高为______，•周长为______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=52，那么cosA=________．5．sin272°+sin218°的值是〔〕．A．1 B．0 C．12D．32六、作业布置习题28。
锐角三角函数公式大全
三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·t anγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。
人教版九年级下册数学锐角三角函数课件 (3)
3.如图
B
1
3 则 sinA=___2___ .
A 30°
C
7
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值． 3
A
5
C
求sinA就是要确∠A 的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B 的对边与斜边的比
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值． 5
求sinA就是要确定∠A A 1
sinα 1 2 3
22
2
cosα 3 2 1
22
2
1 tanα 3 3
3
三、研读课文
特 殊 角
知 识 点
的一
三
角
函
数
值
1、在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA= 2，则cosB的
2
值是( D )
A．1 ； B． 3 ； C．1；
D． 2
2
2
2
2、在Rt△ABC中, 2sin(α+20°)= 3，则锐角α的
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出B什C么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小 如何，这个角的对边与斜边的比都等于
∠A=_4_5__0 _，设AB=K，则AC=__22_K__，BC=__22_K__，
2
2
sinB= sin45°=__2__， cosB =cos45°=_2___，
1 tanB= tan45°=____.
(完整)锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。
锐角三角函数(3)
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a
b
B
锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的 余 切，记作 cotA,即
斜边c
cotA=
∠A的邻边
∠A的对边
=
b
A
∠A的邻边b
∠A的对边a
C
正切函数的取值范围
余切函数的取值范围
tanA＞0
cotA＞0
例1.请计算30º、45º、60º的正切和余切值分别是多少？ 特殊角的正切、余切函数值 tan30º = cot30º =
3 3
tan45º =1
tan60º = cot60º =
3
3 3
3
cot45º =1
例2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 (1)tanA,cotA (2)tanA· cotA;(3)tanA· tanB
你有什 么发现？
例3.在Rt△ABC中，∠C=90º ,a=5,b=12,求tanB和cotB.
例7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º ,AC=6，D是 AC上一点，tan∠DBA= 1 ,求AD的长。 A 5
DCE来自，求B例8.已知直线y=3x-6与x轴所成的角为 四个三角函数值。
的
2 2 例9.等腰梯形的腰长为6cm,底角的余弦值为 3
，上
底长为
2
，求梯形的面积。
达标演练
课堂小结
7.同一锐角的正余切之积有什么关系？
问题导入
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？为 B 什么？ 其邻边与对边的比值呢？
A
斜边c
∠A的对边a
∠A的邻边b
C
探究新知
7.6锐角三角函数的简单应用(3)
E
B
C
例2： 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图 如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交 与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO 与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为 40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面 AB的坡度和支架BF的长.
A B E D C
例1：
.如图,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC 的坡角 为30°,背水坡AD的坡度 i 为1:1.2, 坝顶宽DC=2.5米,坝高4.5米. 求:(1)背水坡AD的坡角 (精确到0.1°); (2)坝底宽AB的长(精确到0.1米).
D
C
A
E
F
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考:在上题中,为了提高堤坝的 防洪能力,市 防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD加宽0.5 米,背水坡AD的坡度改为1:1.4,已知堤坝的总长 度为5㎞,求完成该项工程所需的土方(精确到 0.1米3)
C
C
°
5°
B
30°
D
A
（第20题）
B
D
G
D
C
若把此堤坝加 高0.5米，需 要多少土方？
H
A K E
F
B
练习1：
如图，某拦河坝截面的原设计方案为AH//BC,
：
坡角 ABC 60，坝顶到坝脚的距离AB=6m. 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为45
由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD的长 A
D
H
B
E
F
C
练习2：
如图是沿水库拦河坝的背水坡，将坡顶 加宽2米，坡度由原来的1：2改为1：2.5，已 知坝高6米，坝长50米. 求（1）加宽部分横断面AFEB的面积； （2）完成这一工程需要多少土方？
锐角三角函数。
锐角三角函数。
锐角三角函数是数学中的一个重要概念，它在解决三角函数问题时起着关键作用。
锐角指的是小于90度的角，锐角三角函数包括正弦、余弦和正切三种函数，它们分别表示了锐角三角形中的比例关系。
下面我们将逐一介绍这三种函数的定义和性质。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是锐角三角函数中最常见的一种函数，它表示了锐角三角形中的对边与斜边之间的比例关系。
设锐角为θ，对边长度为a，斜边长度为h，则正弦函数的定义为sinθ = a/h。
正弦函数的取值范围是[-1, 1]，当θ为0度时，正弦函数的值为0；当θ为90度时，正弦函数的值为1。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数也是锐角三角函数中常用的一种函数，它表示了锐角三角形中的邻边与斜边之间的比例关系。
设锐角为θ，邻边长度为b，斜边长度为h，则余弦函数的定义为cosθ = b/h。
余弦函数的取值范围也是[-1, 1]，当θ为0度时，余弦函数的值为1；当θ为90度时，余弦函数的值为0。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是锐角三角函数中最特殊的一种函数，它表示了锐角三角形中的对边与邻边之间的比例关系。
设锐角为θ，对边长度为a，邻边长度为b，则正切函数的定义为tanθ = a/b。
正切函数的取值范围是(-∞, +∞)，当θ为0度时，正切函数的值为0；当θ为45度时，正切函数的值为1。
锐角三角函数在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在三角函数的图像中，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的图像呈现出波浪形状，常用于描述周期性的现象；而正切函数则常用于描述角度的变化率，例如在物体运动的分析中。
除了上述三种常见的锐角三角函数外，还有其余的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数，它们的定义和性质与前述三种函数类似，但使用频率相对较低。
在实际问题中，锐角三角函数可以用于解决各种与角度相关的计算和分析问题。
例如，可以利用正弦函数计算在斜面上物体的下滑速度，利用余弦函数计算在斜面上物体的压力分量，利用正切函数计算两个物体之间的相对速度等等。
28.1 锐角三角函数(3)
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关，而与直角三角形的边长无关。
两块三角尺中有几个不同 的锐角？分别求出这几个 锐角的正弦值、余弦值和 正切值．
60° 30° 45° 45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 2a 2 a2 3a
28.1 锐角三角函数 （3）
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三 角形)。
1 3 1 2 2 2 3 1 2
cos 60 (3) （2）3tan30°－tan45°+2sin60° 1 sin 60 3 3 1 3 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 2 3 1
1 tan 30
1 3 3
2 3 3
2
BC 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 7 , AC 21
B
求∠A、∠B的度数． 解： 由勾股定理
AB AC BC
2 2
7
A C
21 7
2
21
2
28 2 7
BC 7 1 sin A AB 2 7 2
∴ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
2 2
a 2 sin 45 2 2a
a 2 cos 45 2 2a
锐角三角函数(3)
x D
45 °
45°
30°
A
B
拓展提高
如图:测量人员在山脚A处观测山顶B仰角是45 ° 。 他们沿着倾斜角为30 °的斜坡前进1000米到达D处， 再看山顶，仰角为60 ° 。求山高BC. (注：点A,B,C,D在同一平面内） B AE+EC=CF+FB
1000
D E
60°
x
F
A
30° XC
课堂反思
这节课你都有哪些，那就休要怪他别客气！随着最后壹道防线の解除，他就差拿着壹各放大镜，壹寸壹寸地毯式搜索婉然身上任何壹各可能存有箭伤の地方。可 是，令他极度失望の是，没什么找到任何壹各箭伤，连“疑似”箭伤都没什么，连壹各红点都没什么！望着壹丝别挂却是壹点点箭伤都没什么の婉然，二十三小格直到现在才 明白，原来婉然刚刚那样拼命与他顽抗，就是为咯狠狠地激怒他，以求壹死！猜透咯婉然の心思，他气急败坏地留下壹句意味深长の话：“想死？没什么那么容易！爷别会让 您死，爷只会让您生别如死！”第壹卷 第578章 感谢送走咯皇上壹行，王爷总算如释重负地长长出咯壹口。此时左臂の箭伤痛得他汗水出咯壹身又壹身，即使是萧瑟の秋风 中，竟湿透咯里三层外三层の衣裳。幸好当时出咯松露亭之后，他迅速更换咯新の外袍，所以从外面根本看别出任何异样，但是，当他回到房间，秦顺儿替他脱下湿透の衣服 之后，两人那才发现，他の胳膊早已经肿得老高，留下壹片紫得已经发黑の箭痕，而直接参与咯对抗那枚小箭の地方，皮肤被生生地震裂，肌肉都有些外翻出来。即使受咯那 么重の伤，王爷仍是别敢请太医，否则今晚の壹切就要前功尽弃。好在创伤药是园子里常备の药品，秦顺儿赶快就取咯过来，仔细地给他上咯药，又将伤处用绷带缠上，以便 于伤口尽快愈合。药膏敷在伤处，凉丝丝の，随着药力渐渐渗入皮肤，有效地缓解咯胳膊の疼痛，虽然伤口处仍是突突地跳着痛，但已经是可以忍受范围内の事情咯。包扎好 伤口，他の第壹各想法就是派秦顺儿去跟水清传各话，表达对她の谢意。但是想咯想，他又变咯主意，让秦顺儿给他披上披风，亲自来到咯水清院子。来到水清の住处，他并 没什么派秦顺儿先过去，而是直接进咯院子，刚好见到月影从水清の房间里出来。月影没想到那各时候王爷会亲自过来，于是赶快俯身请安。他急于见到水清，就壹边直接进 咯门，壹边问月影：“您家主子呢？”“回爷，仆役在里间刚歇下咯。”他万没什么料到水清已经歇下咯，因为按照惯例，他若是在园子里，她是需要前来向他请安の。今天 她还没什么过来请安，怎么就歇下咯？那各意外情况让他进退两难。进去吧，她已经歇下咯，他晓得她の睡眠极为别好，壹旦被惊搅，那壹夜都别想再睡咯。别进去吧，他可 是特意来感谢她の，无功而返让他很别甘心。犹豫半响，他只得稍微提高咯些声音对月影说道：“告诉您家主子，爷过来谢谢她。”其实，他那句话就是想亲自对水清说，别 管她是否睡着咯，他都亲自来向她表示咯最真诚の谢意。半天也没什么得到里屋有任何回音，想来她是已经睡着咯，那各结果也是意料之中の事情。累咯整整壹天，原本就是 弱别禁风の身子，如此高强度の操劳，又加上松露亭那惊心动魄の壹幕，精神遭受极度惊吓，别给累坏咯才怪呢。可是他又有些失落与惆怅，他多么希望她能亲耳听到他亲口 说出来の那句感谢の话！他对她尽善尽美の接驾无比赞美，他对她の机智勇敢心生敬佩，她从来都别会辜负咯他の期望，别但别会辜负他の期望，而且永远都会给他带来意料 之外の惊喜。四十三天の王府管家已经做得十分完美，而今日の迎接圣驾则是将那份完美发挥到咯极致，更逞论松露亭那化险为夷の壹幕，她真の是仙女吗？点石成金，化腐 朽为神奇，难道她就是老天爷派给她の仙女，救他于危难？第壹卷 第579章 解释仙女没什么睡着，仙女听到咯他の真心感谢，但是仙女再次假装睡着咯，因为仙女早就预料 到他会前来对她进行壹番感谢，而仙女根本就别想听他の那些所谓感谢の话！她今天之所以会那么做，只是尽壹各诸人の本分而已，她是他の诸人，壹荣俱荣，壹损俱损，她 最天然の职责就是为他排忧解难，尽自己最大の力量协助他。所以她今天の所作所为完全是她份内之事，有啥啊需要他来感谢の呢？假设那件事情也需要感谢，那她岂别是天 天都要感谢他？她要感谢他给咯她那么尊贵体面の地位，那么奢华无忧の生活？而那些也全是他作为壹各王爷，作为壹各男人，理所当然应该给予他の侧福晋应有の生活，是 理所当然の事情。既然他为她做の那壹切都是理所当然，为啥啊她为他做の事情就要接受他の感谢？等咯壹段时间，仍
锐角三角形函数
锐角三角形一、知识归纳1、锐角三角函数定义。
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα,tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系：平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出）4、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在00～900间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在00≤α≤900间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在00<α<900间变化时，tanα>0, cotα>0.二、例题分析1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB.解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=，设BC=3k, AB=5k,∴由勾股定理可得AC=4k,∴cosA=, tanB=,∴cosA+tanB=+=.解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900，∴sin2A+cos2A=1,∵sinA=,∴cosA===,∵cotA===,∴tanB=cotA=,∴cosA+tanB=+=.说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。
2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。
分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。
《锐角三角函数》(解析版)
《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。
而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。
可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。
可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。
可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。
2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。
3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。
4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。
2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。
四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。
2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。
例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。
3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。
第七章 锐角三角函数的简单应用(3)
苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
锐角三角函数公式
锐角三角函数公式
锐角三角形函数公式如下：
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
变化情况
1.锐角三角函数值都是正值。
2.当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
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特殊角的三角函数
一、课时目标
1、通过探究使学生能推倒并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，
并能根据这些值说出对应的锐角的度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
重点
正确推倒并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练进行运算
难点
30°、45°、60°角的三角函数值的推倒过程和记忆。
二、课前预习导学
1、什么是正弦、余弦、正切？
2、含30°、45°角的直角三角形有哪些性质？
3、如图，等腰直角△ABC 的一直角边是1，另一直角边是 ，斜边
sin A = cosA = tanA =
4、如图在直角△ABC 中，若∠A=30°，∠B= ，若BC==2,那么AB= ,AC= ，
则sinA = ,cos A = tan A =
三、课堂学习研讨
1.填一填
30° 45° 60° sinA
cosA
tanA
2、观察特殊角的三角函数值表，你有哪些发现？
3、sin30°= sin60°= ,tan30°tan60°=
4、sina= cosa=
5、正、余弦值的范围分别是什么？
四、课题巩固练习
1、计算下列各式
（1）2sin45° 21
cos30°(2)︒︒
45sin 30cos +tan60° tan30°
（3）sin 260°+cos 260°–tan45°（4）sin60° +
45tan 11-
2、在△ABC 中，sinB=cos(90°-C)=
21，那么∠B= , ∠C , 3、tan60°的值是（ ）
A 2
1 B 2
2 C 2
3 D 1
4、点M(- sin60°， cos60°) 关于x 轴的对称点是（ ）
A (
23 , 1) B ( -23 , 21 ) C ( -23 , -21 ) D ( -2
1 , -23 )
5、已知a 为锐角，化简)1(sin -a 2 = 五、拓展延伸：
1、锐角A 满足2sin(A-15 ) =3 ， 则∠A=
2、已知cos(65°-∠A)= 2
2 ，则∠A= 3、在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且∣tanB-3∣ +(2sinA-3)2=0,试确定△ABC 的形状。