高中数学选修2-2学案1：1.3.2函数的极值与导数
高中数学选修2-2学案6：1.3.2 函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．课前探究学习1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点.课堂讲练互动：题型一求函数的极值例1：求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.规律方法求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．变式1：求函数y＝x4－4x3＋5的极值．题型二已知极值求参数值例2：已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．规律方法已知函数极值情况，逆向应用确定函数的[解析]式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．变式2：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a、b、c的值．题型三极值的综合应用例3：设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．题后反思：用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．变式3：设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．例4：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，求常数a ，b 的值．追本溯源：对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解.——★ 参 考 答 案 ★——例1：解：(1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗因此当x ＝1(2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 变式1：解：y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)，令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表： ↘↘↗极小值例2：解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.变式2：解：f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝－1时函数取得极大值，x ＝3时函数取得极小值．∴－1,3是方程f ′(x )＝0的根，即为方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．由一元二次方程根与系数的关系有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，(－1)×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c . ∵x ＝－1时取得极大值7， ∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c ＝7. ∴c ＝2.∴函数f (x )的极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a ＝－3，b ＝－9，c ＝2. 例3：解： (1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.又因为当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 所以f (x )的极小值为f (－1)＝a －2，f (x )的极大值为f (1)＝a ＋2. (2)因为f (x )在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→＋∞；又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f (x )→－∞；而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根， 所以a ＋2＝0，a ＝－2.如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a －2＝0，a ＝2.综上，当a ＝2，或a ＝－2时方程恰有两个实数根．变式3：解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的大致走向如图所示，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实数根． 例4：解：∵f (x )在x ＝－1处有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0. ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去；当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。
高中数学选修2-2精品教案 ：1.3.2《函数的极值与导数》教案(新人教A版选修2-2)
1．3．2 函数的极值与导数(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤. 三、教学过程： （一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f (0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f (2)是函数的一个极小值．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：Ox a f (a )O x y bf (b )6422O y xf (0)f (2)Ox f '(a )＝0f '(x )0f '(x )＞0a O x yf '(b )＝0f '(x )＜0 f '(x )＞0b⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f例1求函数3144.3y x x =-+的极值 解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2． 当 y 极大值＝283 ，当x ＝2时，y 极小值＝－3． 求可导函数f (x )的极值的步骤：⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0的根；⑶ 检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2．求函数xex y -=2的极值例3 求函数y ＝(x 2－1)3＋1的极值．解：定义域为R ，y '＝6x (x 2－1)2.由y '＝0可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1 极小值例4．23)1(22--=x x y 的极值 例5．32)1(x x y -=的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？ 练习：求函数xex y -=3的极值极小值极大值y +0－0+y '(2, +∞)2(－2, 2)－2(－∞, －2)x 32834-10842-44xyO6极小值0无极值y－0－y '0(－1，0)－1(－∞，－1)x 无极值y＋0＋y '(1，+∞)1(0，1)x321-2-112xy（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤. （四）课后作业。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.2函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数【学习目标】1.理解极大值、极小值的观点；2.能够运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.【新知自学】知识回首：1.利用导数判断函数单一性的方法：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，假如在这个区间内y 0 ，那么y=f(x)为这个区间内的；假如在这个区间内y0 ，那么y=f(x)为这个区间内的.新知梳理：1.极值定义：（ 1）极大值：一般地，设函数f(x) 在点 x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有，就说 f(x 0)是函数 f(x) 的一个极大值，记作，x0是极大值点 .（ 2）极小值：一般地，设函数f(x) 在 x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有.就说 f(x 0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作，x0是极小值点 .（ 3）与统称为极值2.鉴别f(x0)是极大、极小值的方法:x0知足 f ( x0 ) 0 ，且在 x0的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f (x) 的极值点， f ( x0 )是极值，而且假如 f (x) 在0 双侧知足“”，则x 0 是f (x)的极大值点，0)x f ( x 是极大值；假如 f (x) 在 x0双侧知足“”，则 x0是 f (x) 的极小值点， f ( x0 )是极小值 .感悟：（1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值；（2）极值是一个局部的观点定义，极值不过某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大或最小，其实不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不只一个．（ 4）极大值与极小值之间无确立的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值.对点练习：1.若f/x00 ，则x0必定是函数的极值点吗？试举例说明.2.以下有极值函数的函数是（）1A.y=lnxB.y=C.y=x 3x D.y=sinx3.函数 y=x 2-2x+3的极值点是 __________________.4.函数f x ax 3x 1 有极值的充要条件是（）A. a0B. a0C. a0D. a0【合作研究】典例精析：例 1. 求函数f(x)= 1 x34x 4的极值 .3变式练习：求函数 f (x)= 33lnx 的极值. x例 2. 函数f x ax 3bx 在 x 1 处有极值 2 ，求常数 a, b的值.变式练习：已知 f(x)= x 3 +3ax2+bx+a 2在 x=-1 时有极值 0，求常数a、 b 的值 .例 3.设函数f(x)= x3-6x+5，x R.(1) 求函数 f(x) 的单一区间和极值； (2)若对于 x 的方程 f(x)=a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围 .同 40 页第 5 题、 44 页第 7题规律总结：求可导函数f(x) 的极值的步骤：(1)确立函数的定义区间，求导数 f (x) ；(2)求方程 f ( x) ＝0的根；(3)用函数的导数为0 的点，按序将函数的定义区间分红若干小开区间，并列成表格．检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f( x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f( x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．【讲堂小结】【当堂达标】1. 以下结论中，正确的选项是（）A.导数为零的点必定是极值点B. 若在x0邻近的左边fC.若在x0邻近的左边f //x0 ，右边 fx 0 ，右边f//x0 ，那么 f x0是极大值x0 ，那么 f x0是极小值D. 若在x0邻近的左边 f / x 0 ，右边 f / x0 ，那么 f x0是极大值2.函数f x x 36x a 的极大值为____，极小值为________.3.以下四个函数①y x3；② y x21; ③y x ；④y2x在 x0 处获得极小值的是（）A. ①②B.②③C.③④D. ①③4.求函数 y=x+2sinx,x (0,2 ) 的极值 .【课时作业】1.对于函数的极值,以下说法正确的选项是()(A)导数为 0 的点必定是函数的极值点(B)函数的极小值必定小于它的极大值(C) f ( x)在定义域内最多只好有一个极大值,一个极小值(D)若 f (x) 在 ( a, b) 内有极值,那么 f ( x) 在 (a, b) 内不是单一函2.函数y x33x29x 5 的极小值为____________,极大值为____________.3.三次函数当x 1 时有极大值4，当 x 3 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是_______________________.ln 2x4.函数y的极小值为 ____________.x5.设a R，若函数y e x ax x R 有大于零的极值点，则（）A. a1B. a1C. a 1D. a1 e e6.已知函数 f(x)＝ ln x－1ax2－ 2x. 2(1)若函数 f(x)在 x＝ 2 处获得极值，务实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在定义域内单一递加，务实数 a 的取值范围．7.求函数y2x36x k 的极值，并问方程x 33ax 20 何时有独一的实根？。
高中数学选修2-2优质学案：1.3.2 函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数极值的概念1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数________的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．________、________统称为极值点，________和________统称为极值．思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求f (x )的拐点，即求方程________的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 思考 可导函数f (x )若存在极值点x 0，则x 0能否为相应区间的端点吗？题型一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪训练1 求下列函数的极值． (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； (2)y ＝2x ＋8x .题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值)例2 已知函数f (x )＝6ln x －ax 2－8x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝3为f (x )的一个极值点． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若y ＝f (x )的图象与x 轴正半轴有且只有3个交点，求实数b 的取值范围．反思与感悟 解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用． 跟踪训练2 设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4，若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．题型三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－13x 3＋a2x 2－2x (a ∈R )，若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．反思与感悟 求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点．跟踪训练3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．因忽视对所得参数进行检验而致误例4 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值． 错解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.错因分析 由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件．因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错．正解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，应舍去．而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.防范措施 根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．1．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)2．下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A ．导数值为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值 C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数3．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞65．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．1.求函数极值的基本步骤：(1)求函数定义域；(2)求f′(x)；(3)解f′(x)＝0；(4)列表(f′(x)，f(x)随x的变化情况)；(5)下结论．2．函数的极值的应用：(1)确定参数的值，一般用待定系数法；(2)判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况．提醒：完成作业 1.3.2[答案]精析知识梳理知识点一1．f′(x)＜0f′(x)＞02．f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值思考(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同．如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点．(2)不一定．知识点二1．(1)极大值(2)极小值2．(2)f′(x)＝0思考不能．题型探究例1解由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.跟踪训练1解(1)函数的定义域为R.y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表中可以看出，当x ＝－3时，函数取得极大值，且y 极大值＝57. 当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7. (2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， y ′＝2－8x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－2x ⎝⎛⎭⎫1＋2x ， 令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8.例2 解 (1)∵f ′(x )＝6x －2ax －8，∴f ′(3)＝2－6a －8＝0，解得a ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 由(1)知f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋b . ∴f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x 2－4x ＋3)x .由f ′(x )＞0可得x ＞3或0＜x ＜1， 由f ′(x )＜0可得1＜x ＜3(x ＜0舍去)．∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)．(3)由(2)可知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．且当x ＝1和x ＝3时，f ′(x )＝0.∴f (x )的极大值为f (1)＝6ln 1＋1－8＋b ＝b －7，f (x )的极小值为f (3)＝6ln 3＋9－24＋b ＝6ln 3＋b －15.∵当x 充分接近0时，f (x )＜0，当x 充分大时，f (x )＞0，∴要使f (x )的图象与x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝b －7＞0，f (3)＝b ＋6ln 3－15＜0.∴b 的取值范围是7＜b ＜15－6ln 3.跟踪训练2 解 因为a ＞0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由f ′(x )－9x ＝0(即ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0)的两实数根分别为1,4，可得⎩⎪⎨⎪⎧9－2b a ＝5，c a ＝4，故2b＝9－5a ，c ＝4a .所以对于一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．不等式ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，解得1≤a ≤9.易验证a ＝1与a ＝9均满足题意，故a 的取值范围是[1,9]．例3 解 设点P (t ，－13t 3＋a2t 2－2t )是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率k＝f ′(t )＝－t 2＋at －2， 所以过点P 的切线方程为y ＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(x －t )， 因为点⎝⎛⎭⎫0，－13在该切线上， 所以－13＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即23t 3－12at 2＋13＝0.若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线， 则方程23t 3－12at 2＋13＝0有三个不同的实数根．令g (t )＝23t 3－12at 2＋13，则函数y ＝g (t )的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a 2.因为g (0)＝13，g (a 2)＝－124a 3＋13，所以必须有g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－124a 3＋13＜0，即a ＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)． 跟踪训练3 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞)．所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极大值>0，f (x )极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，人教版高中数学选修2-211 所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4. 所以实数b 的取值范围为(－4,0)．当堂检测1．B [∵f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值， ∴f ′(2)＝0,24＋4a ＋36＝0，a ＝－15，∴f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞3.]2．D [由极值的概念可知只有D 正确．]3．C [在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．]4．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.]5．9[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9.。
高中数学选修2-2教学设计2：1.3.2函数的极值与导数教案
1.3.2 函数的极值与导数（教案）一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t =a 处的导数是多少呢？（2）在点t =a 附近的图象有什么特点？（3）点t =a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数ℎ(t)在a 点处ℎ′(a )=0,在t =a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是ℎ′(a )=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y =f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y =f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y =f(x)在a.b .点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y =f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义: a o ht我们把点a 叫做函数y =f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极小值；点b 叫做函数y =f(x )的极大值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极大值。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.2函数的极值与导数
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.2函数的极值与导数1.3.2函数的极值与导数【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.【新知自学】知识回顾：1.利用导数判断函数单调性的方法：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y??0，那么y=f(x)为这个区间内的；如果在这个区间内y??0，那么y=f(x)为这个区间内的 .新知梳理：1. 极值定义：（1）极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作，x0是极大值点.（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有 .就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作，x0是极小值点.（3）与统称为极值 2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“ ”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“ ”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值. 感悟：（1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值；（2）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（4）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值. 对点练习： 1.若f/?x0??0，则x0一定是函数的极值点吗？试举例说明.2.下列有极值函数的函数是（） A.y=lnx B.y=31 xC.y=x D.y=sinx3.函数y=x2-2x+3的极值点是__________________.4.函数f?x??ax3?x?1有极值的充要条件是（）A.a?0B. a?0C. a?0D.a?0【合作探究】典例精析：例1. 求函数f(x)=13x?4x?4的极值. 3变式练习：求函数f (x)=3?3lnx的极值. x例2. 函数f?x??ax3?bx在x?1处有极值?2，求常数a,b的值.变式练习：已知f(x)= x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，求常数a、b的值.例3.设函数f(x)= x3-6x+5，x?R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.同40页第5题、44页第7题规律总结：求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f?(x)； (2)求方程f?(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f?(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．【课堂小结】【当堂达标】1. 下列结论中，正确的是（） A.导数为零的点一定是极值点 B.若在x0附近的左侧fC.若在x0附近的左侧fD.若在x0附近的左侧f/?x??0，右侧f/?x??0，那么f?x0?是极大值 ?x??0，右侧f/?x??0，那么f?x0?是极小值 ?x??0，右侧f/?x??0，那么f?x0?是极大值//2.函数f?x??x3?6x?a的极大值为 ____ ，极小值为 ________.3.下列四个函数①y?x3；②y?x2?1;③y?x；④y?2x在x?0处取得极小值的是（）A.①②B.②③C.③④D.①③ 4.求函数y=x+2sinx,x?(0,2?)的极值.【课时作业】1.关于函数的极值,下列说法正确的是( )感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学人教版选修2-2资料：1.3.2《函数的极值和导数》导学案(学生版)
1.3.2《函数的极值与导数》导学案班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用。
2.掌握函数极值的判定及求法。
3.掌握函数在某一点取得极值的条件；【重点与难点】：重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：【知识链接】1．函数的单调性与导数的关系2．求解函数()y f x =单调区间的步骤：【问题链条】：知识点一：极值的概念。
阅读教材26-29页内容，回答下列问题。
问题1：t a =时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？可以看出()h a '=0；在t a =的附近，当t a <时，函数()h t 单调递增，)(/t h 0；当t a >时，函数()h t ，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值 这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．问题2：如图所示：函数y=f （x ）在a ，b ，c ，d ，e ，f 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f （x ）在这些点的导数值是多少？在这些点附近， y=f （x ）的导数的符号有什么规律？1.以c ，d 两点为例，函数y=f （x ）在点x=c 的函数值f （c ）比它在点x=c 附近其他点的函数值都要 （大或小），0)(/=c f ；而且在点x=c 附近的左侧)(/x f 0，右侧)(/x f 0。
类似地函数y=f （x ）在点x=d 的函数值f （d ）比它在点x=d 附近其他点的函数值都 （大或小），0)d (/=f ；而且在点x=d 附近的左侧)(/x f 0，右侧)(/x f 0。
人教版高中数学选修2-21.3.2函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教课建议1.教材剖析本节让学生联合实质,探究函数的极值与导数之间的关系,并用大批的函数图象,让学生直观感觉函数在某些特别点 (极值点 )的函数值与邻近点函数值大小的关系 ,以及在这些点邻近函数的增减状况和导数值的关系 .本节的要点是求函数极值的方法 ,难点是函数在某点获得极值的必需条件和充足条件.2.主要问题及教课建议(1)从函数的单一性到极值.建议教师利用实例并联合大批的函数图象 ,让学生察看 ,并感觉在导数为 0 的点的两侧导数值与函数增减性的关系 ,并详细说明 ,给出极大值和极小值的观点 .要重申极值反应的是函数在某点邻近的性质 ,是局部性质 ,并且极大值不必定大于极小值 .(2)函数极值的求法 .,成立极值和导数的联系,经过例子解说概括出求函数建议教师在学生掌握极值的观点的基础上极值的方法和步骤 .备选习题1.假如函数y=f (x)的导函数的图象以下图,给出以下判断 :(1)函数 y=f (x)在区间内单一递加 ;(2)函数 y=f (x)在区间内单一递减 ;(3)函数 y=f (x)在区间 (4,5)内单一递加 ;(4)当 x=2 时 ,函数 y=f (x)有极小值 ;(5)当 x=- 时,函数 y=f (x)有极大值 .则上述判断中正确的选项是.分析 :由导函数的图象知:当 x∈ (-∞,-2) 时,f' (x)< 0,f( x)单一递减 ; 当 x∈ (-2,2)时 ,f'(x) > 0,f(x)单一递加 ; 当 x∈ (2,4)时 ,f'(x)< 0,f(x)单一递减 ; 当 x∈ (4,+∞)时,f' (x)> 0,f( x)单一递加 ; 在 x=- 2 时 ,f(x)取极小值 ;在 x=2 时 ,f(x)取极大值 ;在 x=4 时 ,f(x)取极小值 ;因此只有 (3) 正确 .答案 :(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 2处获得极值,并且它的图象与直线y=- 3x+3在点(1,0)处相切,求a ,b,c 的值 .解: 由于 f' (x)= 3x2+ 2ax+b ,2因此 f'(-2)= 3×(-2) + 2a(-2)+b= 0.又 f' (1)= 3+ 2a+b=- 3,因此 a= 1,b=- 8.又 f(x) 过(1,0) 点,因此 13+a×12+b×1+c= 0,因此 c=6.3.已知a∈R ,议论函数f(x)= e x(x2+ax+a+ 1)的极值点的个数.解:f'( x)= e x(x2 +ax+a+ 1) +e x(2x+a )= e x[x2+ (a+ 2)x+ (2a +1)] .令 f' (x)= 0,得 x2+ (a+ 2)x+ (2a+ 1)= 0.(1)当22即 a< 0或 a> 42有两个不= (a+ 2) -4(2a+ 1)=a-4a=a (a-4)> 0,时 ,方程 x + (a+ 2)x+ (2a+ 1)= 0同的实根x1,x2,不如设 x1<x 2 ,x∴f'(x)= e ( x-x1)( x-x2).当 x 变化时 ,f'(x),f(x)的变化状况以下表 :( -(x 1 ,x( x 2,+x ∞,x 1)x 12)x 2 ∞) f' (x +0 -+)f(x 1)f( x 2) f(x ↗ 为↘为 ↗极大 极小 )值值即此时 f(x) 有两个极值点 .(2)当 Δ=0,即 a= 0 或 a= 4 时 ,方程 x 2+ (a+ 2)x+ (2a+ 1)= 0 有两个同样的实根 x 1=x 2 ,x2∴f'(x)= e ( x-x 1) .∴当 x<x 1 时,f' (x) > 0;当 x>x 1 时 ,f'( x)> 0. ∴ f (x)无极值点 .(3)当 Δ<0,即 0<a< 4 时,2f'(x)= e x [x 2+ (a+ 2)x+(2a+ 1)] > 0, ∴ f (x)为增函数 ,此时 f(x)无极值点 .综上所述 ,当 a> 4 或 a< 0 时 ,f( x)有两个极值点 ;当 0≤a ≤ 4 时 ,f(x)无极值点 .。
人教版高中数学选修2-2：1.3.2函数的极值和导数讲案第一课时(教师用)
课题： 1.3.2 函数的极值与导数 课时：（第1课时） 【学习目标】 (1)了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．(2)会用导数求函数的极大值与极小值．(3)会利用极值条件求参数值． 第一环节：导入学习知识点1 函数的极值如果对于a 、b 两点，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值；点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值，极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．注意：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图1所示，点x 1、x 3是极大值点．x 2、x 4是极小值点，且在点x 1处的极大值小于在点x 4处的极小值． 知识点2 求函数极值的方法 求函数y ＝f (x )极值的方法如下： 第1步：求导数f ′(x )； 第2步：求方程f ′(x )＝0的所有实数根； 第3步：考查在每个根x 0附近，从左到右，导函数f ′(x )的符号如何变化． 如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；如果由负变正，则f (x 0)是极小值．注意：①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点x 0是可导函数f (x )的极值点是f ′(x 0)＝0的充分但不必要条件，如函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．②可导函数f (x )在点x 0取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同．③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图．第二环节：自主学习（一） 基础学习3求函数y ＝2x ＋8x 的极值因此当x ＝－2时，y 极大值＝－8；当x ＝2时，y 极小值＝8.（二） 深入学习4：求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3（x －1）x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 3 因此当x ＝1时，f (x )5、求函数f (x )=6+12x -x 3的极值.第三环节：互助学习第四环节：展示学习第五环节：精讲学习重点1函数的极值与其导数的关系(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为零．(3)函数的不可导点也可能是极值点．由以上可知判定函数f(x)的极值点，应对f(x)的定义域内的两类“可疑点”作出判定：①判定定义域内所有的导数为零的点．②判定定义域内所有的不可导的点．重点2求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，以及f′(x)在不可导点左右的符号，来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况．重点3极值点与导数为0的点的关系(1)导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．如：函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x<0时)f′(x)＝－1<0，右侧(x>0时)f′(x)＝1>0，当x＝0时f(x)＝0是f(x)的极小值点，则f′(0)不存在．。
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2学案 1.3.2函数的极值与导数
高二数学学科学案课题： 1.3.2函数的极值与导数【学习目标】1.会从几何直观了解函数极值和导数的关系；2.能利用导数研究函数的极值；【学习重点】函数极值和导数的关系；【学习难点】函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；【问题导学】1.群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。
同样，各个山谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点。
数学中也有这种现象，例如3.3.1函数的单调性与导数“观察”栏目中的跳水问题。
观察3.3-1（1），我们发现，当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大。
那么函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应的导数的符号有什么变化规律吗？2.阅读P94的探究至例4前的内容，回答：①对于一般函数f （x ），在某个最低点或最高点的导数是多少？附近其导数符号的变化规律是什么？②什么叫函数的极小值点、极大值点、极小值、极大值？极值反映了函数的什么性质？3.阅读教材P94的例4到P96的内容，回答：①求极值的步骤是什么？②导数为0的点一定是函数的极值点吗？请结合函数3x y =解释③极大值与极小值的大小有关系吗？极大值一定比极小值大吗？试举例说明4.做出函数y=|x|的图像，观察x=0处的导数是0吗？x=0是函数的极值点吗？5.可导函数有极值点的充分条件是什么？如图，x=a ，x=b ，x=c 是函数f （x ）的极值点吗？【实践演练】典型例题：例1. 求函数4431)(3+-=x x x f 的极值基础练习： 1.函数73)(23+-=x x x f 的极大值是2.函数13+-=x x y 取极大值时，x=3.函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是 拓展提升：4.函数||)(x x f =在x=0处极值的情况是5.对于可到函数0)('),(0==x f x f y 是0x 为函数)(x f y =的极值点的 条件。
人教新课标版数学高二-人教选修2-2学案设计1.3.2函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数问题导学 一、求函数的极值活动与探究1 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝2xx 2＋1－2．迁移与应用求函数f (x )＝ln xx2的极大值．利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x 0附近，从左到右导函数f ′(x )的符号如何变化． ①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值； ②如果由负变正，则f (x 0)是极小值；③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧f ′(x )的符号不变，则不是极值点． 二、函数极值的逆应用活动与探究2已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在x ＝1处取得极值，且极值为0． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的另一个极值．迁移与应用1．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则有( ) A ．a ＝－2，b ＝4 B ．a ＝－3，b ＝－24 C ．a ＝1，b ＝3 D ．a ＝2，b ＝－42．已知函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 有极大值13，则m 的值为________．(1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．(2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．三、有关函数极值的综合问题活动与探究3已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0．(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间．迁移与应用1．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．(1)利用导数可探究出函数的单调性与极值情况，据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象．(2)研究方程根的个数问题时，可利用数形结合的思想方法，将问题转化为两函数图象交点个数的问题，然后借助函数的单调性和极值情况进行求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)0f′(x)＜0f′(x)＞0(2)f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值预习交流1提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．(1)极大值(2)极小值预习交流2提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．解：(1)函数f(x)的定义域为R．f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减－16单调递增当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16；当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16．(2)函数的定义域为R．f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2．令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减－3单调递增－1单调递减当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝－1． 迁移与应用 解：函数定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝(ln x )′·x 2－ln x ·(x 2)′x 4＝x －2x ln x x 4＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ， 且当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， 当x ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝12e．活动与探究2 思路分析：由极值的定义可知f ′(1)＝0，再结合f (1)＝0，建立关于a ，b 的方程即可求得a ，b 的值，从而得出另一个极值．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋b ．依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝0，a ＋b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3x 2－3． 令f ′(x )＝0得3x 2－3＝0，所以x ＝±1．故函数f (x )在x ＝－1处取得另一个极值，且极值等于f (－1)＝－1＋3＋2＝4． 迁移与应用 1．B 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24．2．－19 解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝4．当x ＜0，或x ＞4时，y ′＜0，函数单调递减；当0＜x ＜4时，函数单调递增，故f (x )在x ＝4处取得极大值，且f (4)＝－64＋96＋m ＝13，故m ＝－19．活动与探究3 思路分析：本题主要考查运用导数来解函数的极值和函数的单调性问题．解决本题的关键是利用已知条件得到m ，n 的关系式和分类讨论的运用．解：(1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点， ∴f ′(1)＝0，即3m －6(m ＋1)＋n ＝0， ∴n ＝3m ＋6．(2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m ． ①当m ＜0时，有1＞1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m1＋2m ⎝⎛⎭⎫1＋2m ，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0＋－f (x )单调递减极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知，当m ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1＋2m ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．②当m ＞0时，有1＜1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：x (－∞，1) 1 ⎝⎛⎭⎫1，1＋2m1＋2m ⎝⎛⎭⎫1＋2m ，＋∞ f ′(x )＋－＋f (x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增上表知，当m ＞0时，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1＋2m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1＋2m ，＋∞上单调递增．迁移与应用 1．B 解析：因为函数y ＝2x 3＋ax 2＋36x －24是可导函数，且在x ＝2处有极值，所以有f ′(2)＝0，而f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，代入得a ＝－15，这时f ′(x )＝6x 2－30x ＋36，再令f ′(x )＞0，解得x ＞3，或x ＜2，所以该函数的递增区间是(3，＋∞)和(－∞，2)．2．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3．依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1．若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－1)上是增函数，f (x )在(1，＋∞)上也是增函数．若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y ＝x 3－3x ．∵点A (0,16)不在曲线上，可设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0．∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．又点A (0,16)在切线上，∴16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2．∴切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0．当堂检测1．若函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为( ) A ．－5 B ．5 C ．8 D ．－8答案：A 解析：f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，所以24＋12a ＋36＝0，解得a ＝－5．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．－1 C ．1－e D ．0 答案：B 解析：定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，令f ′(x )＝0得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1．3．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点答案：D 解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x (x ＋1)＝0，得x ＝－1． 当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减； 当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 答案：a ＜－1 解析：y ′＝e x ＋a ，依题意方程e x ＋a ＝0有大于0的实数根，所以e x ＞1，所以－e x ＜－1．由a ＝－e x ，所以a ＜－1．5．求下列函数的极值： (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； 答案：解：函数的定义域为R ． y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3，或x ＝1． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,1) 1 (1，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y单调递增57单调递减－7单调递增极大值当x ＝1时，函数有极小值，且y 极小值＝－7． (2)82y x x=+． 答案：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．228422'221211y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令y ′＝0，得x ＝－2，或x ＝2． 当x ＜－2时，y ′＞0； 当－2＜x ＜0时，y ′＜0， 即x ＝－2时，y 取得极大值－8． 当0＜x ＜2时，y ′＜0； 当x ＞2时，y ′＞0，即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8．。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.3.2 函数的极值与导数 Word版含解析
1．3.2函数的极值与导数[目标] 1.记住函数的极大值、极小值的概念.2.结合图象，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值、极小值．[重点] 利用导数求函数的极值．[难点] 极值的判断和与极值有关的参数问题．知识点一函数极值的有关概念[填一填]1．极小值点与极小值(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0.(2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0.(2)导数符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极值的定义(1)极大值与极小值统称为极值．(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．[答一答]1．(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？(3)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．知识点二求函数极值的方法[填一填]解方程f′(x0)＝0，当f′(x0)＝0时1．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．2．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[答一答]2．函数的极大值、极小值与函数单调性有什么关系？提示：函数的极大值左侧函数单调递增，右侧单调递减，函数的极小值左侧函数单调递减，右侧单调递增．1．函数极值概念(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的邻域而言的．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．(4)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如右图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极小值点是交替出现的．2．正确求出可导函数的极值求可导函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．类型一 利用导数求函数的极值【例1】 求下列函数的极值，并画出函数的草图： (1)f (x )＝(x 2－1)3＋1；(2)f (x )＝ln xx .【解】 (1)y ′＝6x (x 2－1)2＝6x (x ＋1)2(x －1)2. 令y ′＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y ′ －0 －0 ＋0 ＋y无极值极小值0无极值极小值函数的草图如图所示：(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x(0，e)e(e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )1e因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值． 函数的草图如图所示：求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值.另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值.(1)设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( D )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)解析：当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．(2)函数f (x )＝ln x x 2的极大值为12e .解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(ln x )′·x 2－ln x ·(x 2)′x 4＝x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，且当0<x <e 时，f ′(x )>0，当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝12e . 类型二 已知函数的极值求参数的值【例2】 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， (1)法1：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由根与系数的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. 法2：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0， 得：3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．因此，当x＝－1时函数取得极大值，所以x＝－1为极大值点；当x＝1时函数取得极小值，所以x＝1为极小值点．(1)已知一个函数，可以用单调性研究它的极值．反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．(2)需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2x在x＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间和极值．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′(－1)＝0f′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a－2b＋2＝03a＋2b＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－13b＝12.经检验，符合题意． 故a ＝－13，b ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2. 当－1<x <2时，f ′(x )>0； 当x <－1或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－1,2)，单调递减区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)；函数f (x )的极大值为f (2)＝103，极小值为f (－1)＝－76. 类型三 函数极值的应用【例3】 已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.试分析方程a ＝f (x )的根的个数．【思路分析】 利用导数求函数极值，研究函数单调性，绘制函数大致图象，方程的根的个数，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 交点的个数．【解】 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4， ∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283. 当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：①当a >283或a <－43时，方程a ＝f (x )有一个根．②当－43<a <283时，方程a ＝f (x )有三个根．③当a ＝283或a ＝－43时，方程a ＝f (x )有两个根．利用导数研究函数单调性和极值画出函数大致图象，将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数问题来解决.若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求k 的值． 解：∵f ′(x )＝6x 2－6＝6(x ＋1)(x －1)，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值极小值f (1)＝－4＋k .且f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上都是增函数，在(－1,1)上是减函数，x →－∞时，f (x )→－∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞.若函数f (x )在R 上只有一个零点，则4＋k <0或－4＋k >0，即k <－4或k >4，∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．含参函数的极值的求法【例4】 设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．【思路分析】 第(1)问根据导数的几何意义及已知条件建立关于a ，b 的方程组，从而可求出a ，b 的值；第(2)问求单调区间时，要注意对参数a 的讨论．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8，解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a . 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－a ) － a (－a ，a )a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )单调递增f (－a ) 单调递减f (a ) 单调递增因此，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．【解后反思】 利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞， 1－m ) 1－m (1－m ， 1＋m ) 1＋m (1＋m ， ＋∞) f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )f (1－m )f (1＋m )调递增区间为(1－m,1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如下图所示，则函数f (x )( C )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，当f ′(x 0)＝0时，在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值，设y ＝f ′(x )图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( D ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值解析：y ′＝－2x －3x 2，令y ′＝0，得x 1＝－23，x 2＝0.当x <－23时，y ′<0；当－23<x <0时，y ′>0；当x >0时，y ′<0.故当x ＝－23时，函数y 有极小值；当x ＝0时，函数y 有极大值．故选D.3．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7的极大值是17，极小值是－47. 4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是(－2,2)．解析：f ′(x )＝3(x 2－1)，所以x ＝1和x ＝－1是函数的两个极值点，由题意知，极大值为f (－1)＝2＋a ，极小值为f (1)＝－2＋a ，所以要使函数f (x )有三个不同的零点，则有2＋a >0且－2＋a <0，解得－2<a <2，即实数a 的取值范围是(－2，2)．5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2 ＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教A版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数 学案 (2)
1.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点和极值思考1 观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．思考2 导数为0的点一定是极值点吗？答不一定，如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0，不是f(x)＝x3的极值点．(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数的极值的求法思考1 极大值一定比极小值大吗？答极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示．f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d)．思考2 函数的极值与单调性有什么联系？答极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.类型一求函数的极值点和极值例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图：(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝ln x x.解(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2. 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.函数的草图如图所示．(2)函数f (x )＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝e ，没有极小值．函数的草图如图所示．反思与感悟 1.讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则． 2．求可导函数f (x )的极值的步骤如下： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)观察f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个方程根处取得极小值．注意：f ′(x )无意义的点也要讨论，可先求出f ′(x )＝0的根和f ′(x )无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．跟踪训练1 (1)设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)(2)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为( )A ．8 B.263 C ．10 D ．12答案 (1)D (2)A解析 (1)当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)． (2)令f ′(x )＝x 2－4＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗283↘－43↗∴f (x )极大值＝283，f (x )极小值＝－43. 则函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为283－43＝8.类型二 已知函数极值求参数例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0.∴⎩⎨⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1时取得极小值，∴a ＝2，b ＝9.(2)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2 (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.①求a ，b ，c 的值； ②求函数的递减区间．解 ①∵函数图象过原点，∴c ＝0，即f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 又∵函数f (x )的图象与直线y ＝0在原点处相切， ∴f ′(0)＝0，解得b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a )． 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2a 3.由题意可知x ＝－2a3时，函数取得极小值－4.∴(－23a )3＋a (－23a )2＝－4，解得a ＝－3.∴a ＝－3，b ＝c ＝0.②由(1)知f (x )＝x 3－3x 2且f ′(x )＝3x (x －2)， 由f ′(x )<0得3x (x －2)<0，∴0<x <2， ∴函数f (x )的递减区间是(0,2)．(2)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．解 因为f (x )＝1＋ln xx，x >0，则f ′(x )＝－ln x x2，当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎨⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.(3)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋ax (a ∈R )在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．解 f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋a ， 因为f (x )在(0,1)内有极大值和极小值， 所以f ′(x )＝0在(0,1)内有两不等实根，对称轴x ＝－a －12，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－a －12<1，f ′0>0，f ′1>0，即⎩⎨⎧Δ＝a －12－4a >0，－1<a <1，a >0，1＋a －1＋a >0，所以0<a <3－2 2.类型三 函数极值的综合应用例3 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－ 2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知：－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ， 则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点， ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23 (23，4) 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋0 －0 ＋ g (x )6827－m－16－m则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎨⎧g 23＝6827－m >0，g4＝－16－m <0，解得－16<m <6827.反思与感悟 1.解答本例(1)的关键是求出函数f (x )的极值，画出函数的图象，解答本题(2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化一个新函数的图象与x 轴的交点问题．2．利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x x ＋52x ＋2(x >－2)．g (x )与g ′(x )在(－2，＋∞)的变化情况如下表：x (－2,0) 0 (0，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － g (x )↗2ln 2＋b↘由上表可知函数在x ＝0取得极大值，极大值为2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎨⎧g－1≤0，g 0>0，g1≤0，即⎩⎨⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．答案(－∞，－1)解析y′＝e x＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．答案－2<a<2解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝－1为f(x)的极大值点C．x＝1为f(x)的极小值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析f′(x)＝e x＋x e x＝(1＋x)e x.令f′(x)＝0得x＝－1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0.故x＝－1为f(x)的极小值点．3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 B解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)．由f′(x)>0得x<2或x>3.4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D解析当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；当－2<x<1时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)<0；当1<x<2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)<0；当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的( )A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0 答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①又f (1)＝1－p －q ＝0，② 由①②解得p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x ＝13时，f (x )有极大值为427；当x ＝1时，f (x )有极小值为0.6．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根． ∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由图知，f ′(x )<0的解为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0， ∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.7．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0 D ．b <12答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－3b ，∵b ≤0时，f ′(x )≥0，此时在(0,1)内单调递增． 令f ′(x )＝0，即3x 2－3b ＝0，得x ＝±b .∵x ∈(－b ，b )时，f ′(x )<0；x ∈(b ，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴x ＝b 是f (x )的极小值点，则0<b <1，∴0<b <1.二、填空题8．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴在极值点处的切线方程为y ＝－1e.9．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 答案 (3)解析 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在x ＝－2时，f (x )取极小值；在x ＝2时，f (x )取极大值；在x ＝4时，f (x )取极小值．所以只有(3)正确．10．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________. 答案 30解析 由题意知⎩⎨⎧ f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10. 解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3.经检验知，⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30.11．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 恰有两个零点，则c ＝________. 答案 ±2解析 y ＝x 3－3x ＋c 有两个零点， 即方程x 3－3x ＋c ＝0有两个根，可转化为y ＝x 3－3x 与y ＝－c 两图象有两个交点． 对y ＝x 3－3x ，令y ′＝3x 2－3＝0得x ＝±1.由图象(图略)可知－c ＝y 极大值＝(－1)3－3×(－1)＝2或－c ＝y 极小值＝13－3×1＝－2. ∴c ＝±2. 三、解答题12．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x (a ≤2，x ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解 (1)f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ，f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x ，当f ′(x )>0时，解得x <－2或x >－1， 当f ′(x )<0时，解得－2<x <－1，所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调减区间为(－2，－1)． (2)令f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x ＝[x 2＋(2＋a )x ＋2a ]e x ＝(x ＋a )(x ＋2)e x ＝0， 得x ＝－a 或x ＝－2， 因为a ≤2，所以－a ≥－2. 列表如下：x (－∞，－2) －2 (－2，－a ) －a (－a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗由表可知，f (x )极大值＝f (－2)＝(4－2a ＋a )e －2＝3， 解得a ＝4－3e 2≤2，所以存在实数a ≤2，使f (x )的极大值为3，此时a ＝4－3e 2. 13．已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＝－52x ＋b 在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x ＋a－2x －1， 由f ′(0)＝1a－1＝0，得a ＝1.(2)令g (x )＝f (x )－(－52x ＋b )＝ln(x ＋1)－x 2－x ＋52x －b＝ln(x ＋1)－x 2＋32x －b ，所以g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－4x 2－x ＋52x ＋1＝－4x ＋5x －12x ＋1，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－54，x 2＝1，x ＝1在区间[0,2]上，0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，1<x <2时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．因为g (1)＝ln 2＋12－b 为极大值，由题意只需g (1)>0，且g (0)≤0，g (2)≤0， 由g (1)>0得b <ln 2＋12，g (0)＝－b ≤0，所以b ≥0，g (2)＝ln 3－4＋3×22－b ＝ln 3－1－b ≤0，所以b >ln 3－1， 所以ln 3－1<b ≤ln 2＋12.。
高中数学选修2-2学案5：1.3.2 函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数1．函数极值的概念 (1)函数的极大值一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)，x 0是极大值点． (2)函数的极小值一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)，x 0是极小值点．极大值与极小值统称为 ．点睛 如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 2．求函数y ＝f (x )极值的方法一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法是： 解方程f ′(x )＝0. 当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是 ； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是 ．点睛 一般来说，“f ′(x 0)＝0”是“函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y ＝f (x )在点x 0处可导，且在点x 0处取得极值，那么f ′(x 0)＝0；反之，若f ′(x 0)＝0，则点x 0不一定是函数y ＝f (x )的极值点． 小试身手1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f (x )＝1x有极值． ( )2．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x ，其中在x ＝0处取得极小值的 是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③3．已知函数y ＝|x 2－1|，则 ( ) A ．y 无极小值，且无极大值 B ．y 有极小值－1，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值1 D ．y 有极小值0，极大值－14. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为 ( ) A ．0 B ．π6C ．π3D ．π2课堂讲练题型一 运用导数解决函数的极值问题 题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值 题点二：已知函数求极值 2．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．题点三 已知函数的极值求参数3．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围 是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)4．已知f (x )＝ax 5－bx 3＋c 在x ＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a ，b ，c 的值．类题通法1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根．(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数[解析]式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．题型二 函数极值的综合应用典例 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 一题多变1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？类题通法(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．——★参考答案★——新知初探1．(1)f(x)＜f(x0)(2)f(x)＞f(x0) 极值小试身手1．(1)√ (2)√ (3)×2．[答案]B3．[答案]C4. [答案]B课堂讲练题型一运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．[答案]C[解析]由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2．解：函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.题点三已知函数的极值求参数3．[答案]D[解析]若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D. 4．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2＝x 2(5ax 2－3b )． 由题意，f ′(x )＝0应有根x ＝±1，故5a ＝3b ， 于是f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)(1)当a ＞0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：⎩⎪⎨⎪⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c .又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2. (2)当a ＜0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2. 题型二 函数极值的综合应用典例 解：因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．一题多变1．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：作出函数f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627. 2．解：由例题[解析]可知：当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.3.2函数的极值与导数导学案
学习目标与要求：1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
自主学习过程：
一、复习与思考：
1、如何利用导数求函数的单调区间？
2、观察课本图1.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
二、学习探究：
探究：函数的极值
观察课本图1.3-10，1.3-11所表示的函数)(x f y =的图象，回答以下问题：
（1）函数y =f (x )在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2）函数y =f (x )在这些点处的导数值是多少?
（3）在这些点附近, y =f (x )的导数的符号有什么规律？
从上图可以看出，函数y =f (x )在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近的函数值都 ，)('a f = ；并且在点a x =的左侧)('x f 0，右侧)('x f 0。
类似地，函数y =f (x )在点b x =的函数值)(b f 比它在点b x =附近的函数值都 ，)('b f = ；并且在点b x =的左侧)('x f 0，右侧)('x f 0。
新知1：函数极值的有关定义：我们把点a 叫做函数y =f (x )的极小值点，)(a f 叫做函数y =f (x )的极小值；点b 叫做函数y =f (x )的极大值点，)(b f 叫做函数y =f (x )的极大值。
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
说明：⑴极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； ⑵函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； ⑶极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值； ⑷函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
⑸函数的极值点处的导数值一定为0，导数值为0的点不一定是函数的极值点，即函数y =f (x )在一点的导数值为0是函数y =f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件。
新知2：求函数y =f (x )的极值的方法步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数)('x f ；
(3)求方程)('x f =0的根；
⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值
三、例题分析：
例1．求下列函数的极值。
⑴x e x x f -=2)(；⑵ 212)(2-+=
x x x f 。
例2．求y =(x 2－1)3+1的极值。
变式练习：1．求下列函数的极值.
(1) y =x 3－27x ；⑵x x y 4
33-
=
a b x
y )(x f y ?=O
2.已知函数2
121)1ln()(22+-
+=x x x f ，求)(x f 极值，并画出它的大致图象。
【课堂练习】
1、若函数)(x f y =是定义在R 上的可导函数，则 “0)('0=x f ”是“0x 为函数)(x f y =的极值点”的 ( )
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2、函数x x x f ln 1)(+=，则)(x f y = ( ) A ．有极小值0，无极大值 B ．有极小值1，无极大值 C ．仅有极大值1 D ．无极值
3、函数)(x f 的定义域为开区间(a ,b )，导函数)('x f 在(a ,b )内的图象如图所示，则函数)
(x f 在开区间(a ,b )内有极小值点 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个
4、函数331)(x x x f -+=有（ ） A ．极小值－１，极大值１ B ．极小值－２，极大值３
C ．极小值－２，极大值２
D ．极小值－１，极大值３
5、函数bx ax x f +=3)(在1=x 处有极值-2，则a ,b 的值分别为 （ ）
A ．1,-3
B ．1,3
C ．-1,3
D ．-1,-3
6、函数b bx x x f 33)(3+-=在(0,1)有极小值，则
A ．0<b <1
B ．b <1
C ．b >0
D ．b <2
1
7、函数x x x f 12)(3-=极小值为 ，极大值为 。
8、 函数21)(x x
x f +=的极大值为 ，此时=x 。
9、函数x xe x f -=)(的极大值为 。
10、 函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是 。
11、已知a 为实数，函数a x x x x f +--=23)(，求)(x f 的极值。
12、已知函数)(x f 的导数x x x f 44)('3-=，图象经过定点(0，-5)，
（１）求函数)(x f 的单调区间； （２）求函数)(x f 的极值．
13、已知函数23)(23+-=x a x x f (a ≠0)． （１）求函数)(x f 的极值；
（２）讨论方程02323=+-x a x 何时有３个不同的实根？何时有唯一的实根
BBADAA 7、–16，16 8、（1）
21，（2）1 9、e 1 10、(–∞ ，–3)∪(6，+∞) 11、极大值27
5+
a ，极小值1-a 12、（2）极大值–5，极小值–6 13、略。