第一章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的坐标表示
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-6-
空间两点间距离公式
第二节
向量的坐标表示
例1 求证以 M 1 ( 4 , 3 ,1 ) M 2 ( 7 ,1 , 2 ) M 3 ( 5 , 2 , 3 ) 三点为
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 M 1 M 2 ( 7 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 14 ,
.
u
空 如果数 满足 AB ，且当 AB 与 u 轴同向时 间 解 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的，那末数 叫 析 几 做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB ，即 AB . 何 与 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， A, B 是 u 轴 向 量 u , u 代 上坐标依次为 1 2 的两个点, B A e 数 u o 1 AB ( AB ) e O B O A O B e O A e ( u 2 u 1 ) e
y
P ( x , 0 , 0 )A ( x , y , 0 )
x
-5-
第二节
向量的坐标表示
2 空间两点间的距离 设M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 x 向 量 代 数
z
R
M
M1
2
d M 1M
u u 也是 , 且
过点 A 作平行 于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )
2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
- 12 -
投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,
x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
-8-
第二节
向量的坐标表示
二
第 七 章
向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段
A B
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第 七 章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
a { x 1 , y1 , z1 }
- 20 -
空 间 解 所以 析 几 何 与 同理 向 量 代 数
第二节
向量的坐标表示
例3 设 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点， 而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分
z
三
第 七 章
向量的坐标
以 i , j , k 分别表示沿
1
向量的坐标表示式
空 间 设向量 a O M , o 解 i P M ( x, y, z) 析 x 几 何 OM ON OR OP OQ 与 则 向 量 由于 O P // i , 所以存在实数 x , 使得 O P 代 数 实数 y , z 使得 O Q yj , O R zk , 所以
-9-
第二节
向量的坐标表示
空间两向量的夹角的概念：
第 七 章
空 间 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 解 析 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们 几 何 的夹角可在0与 之间任意取值. 与 向 空间一点在轴上的投影 A 量 代 过点 A 作轴 u 的垂直平面， 数
a 0, b 0, 向量a 与向量 b 的夹角 (0 ) (a , b ) (b , a )
(1 ) 0 (3)
P rj u A B P rj u A B P rj u A B A B | A B | co s P rj u A B | A B | co s
B
轴上的点 Q ( 0 , y , 0 ) xoy 面上的点 A ( x , y , 0 )
y yoz
面上的点 C ( 0 , y , z )
z
坐标原点 O ( 0 , 0 , 0 )
C (0, y , z )
R ( 0 0 , z ) ,
B ( x,o, z)
o ( 0 , y , 0 ) Q
0 .
由投影定理（1）
x Prj x a | a | cos
x y z cos
2 2 2
同理
y z x y z cos
2 2 2
x y z cos
2 2 2
- 17 -
第二节
向量的坐标表示
2
当 | a |
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R
M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第 七 章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量， 分别称向量
量的夹角 的余弦，即
P r j u A B | A B | co s
- 11 -
证 设向量
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的坐标表示 第二节 A B 在轴 u 上投影为 A B ,
B A
A
B
又因为
所以 定理1Biblioteka Baidu说明：
x y z
2 2
0
时，
,
cos
x x y z
2 2 2
cos
y x y z
2 2 2
,
cos
z x y z
2 2 2
.
a 的方向余弦。
称非零向量
a
的方向角的余弦为
- 18 -
第二节
向量的坐标表示
方向余弦的特征
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
M 2M
2 3 2
(5 7 ) ( 2 1) ( 3 2 ) 6,
2 2 2
M 3M 1
2
( 4 5 ) ( 3 2 ) (1 3 ) 6 ,
2 2 2
M 2M
3
M 3M 1 ,
结论成立.
-7-
第二节
向量的坐标表示
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0 , 2 , 3 ) 的距离为
第 到点 P 2 ( 0 ,1 , 1 ) 的距离的两倍，求点 P 的坐标. 七 章 解 因为 P 在 x 轴上， P 点坐标为 ( x , 0 , 0 ), 设 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
PP 1
PP 2
x
2
2 3
2
2
x 11 ,
2
x 1 1
称 x , y , z 为向量 a 的坐标， 向量 a 又可以表示为
空 间 a { x, y, z} 解 析 称向量的这种表示法为向量的坐标表达式。 几 何 与 称起点固定在原点，终点在点 M ( x , y , z ) 的向量 向 量 OM r 代 数为点 M 的向径， 则 r x i yj zk { x , y , z }
a b ( x 1 i y1 j z1 k ) ( x 2 i y 2 j z 2 k ) ( x 1 x 2 ) i ( y1 y 2 ) j ( z1 z 2 ) k ;
a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 } a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 }
b
a
交点 A 即为点 A 在轴 u 上的
A
u
投影.
- 10 -
第二节
向量的坐标表示
空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为
第 A , B 那么轴 u 上的有向线段 A B 七 章 轴 u 上的投影.向量
的值，称为向量在
B
空 A AB 在轴 u 上的投影 间 解 u 析 记为 A B 几 Prj u AB A B . 何 与 向量的投影定理（1） 向 量 向量 A B 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向 代 数
第 七 AM 、MB , 章
使它们的值的比等于某数 ( 1 ), 即
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
z
R z
M
( x, y, z)
Q
o
P
y
y
x
x
-4-
第二节
向量的坐标表示
特殊点的表示:
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
x
轴上的点 P ( x , 0 , 0 )
z
轴上的点 R ( 0 , 0 , z ) zox 面上的点 B ( x , 0 , z )
第二节
向量的坐标表示
第二节 向量的坐标表示
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
一
空间直角坐标系
二 三
向量在轴上的投影 向量的坐标表示
-1-
第二节
向量的坐标表示
一
第 七 章
空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广 z 竖轴 三个坐标轴的正方向符合右手系.
空 间 解 即以右手握住 z 轴， 当 析 几右手的四个手指从正向 x 轴 何 定点 o 与以 角度转向正向 y 轴时， 向 2 量 代 大拇指的指向就是 z 轴的 横轴 x 数
- 15 -
第二节
向量的坐标表示
z
R
2 向量的模与方向余弦的坐标表示式
第 七 章 空则 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
设向量
a O M x i yj zk
o
P
M
Q y
| a | | O M | 2 2 2 | OP | | OQ | | OR |
2
?
2
Q
N
在直角 M 1 NM 使用勾股定理知
2
P
o
d
2
及直角 M 1 PN 中，
y
2 2 2
M 1P
PN
NM
,
z 2 z1 ,
M 1 P x 2 x1 ,
PN y 2 y 1 ,
NM
2
M 1M 2
x 2 x 1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 .
向量的投影定理（2）
第 七 上的投影之和. 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴
Prj ( a b ) Prj a Prj b .
ab
A
C
a
A
B
B
b
u
C
（可推广到有限多个）
- 13 -
第二节
向量的坐标表示
y
纵轴
正向.
-2-
空间直角坐标系
第二节
向量的坐标表示
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
Ⅲ Ⅳ
yoz 面
z
zox 面
Ⅱ Ⅰ
0 x y
xoy 面
Ⅶ
Ⅷ
Ⅴ
Ⅵ
空间直角坐标系共有八个卦限
-3-
第二节
1 1
向量的坐标表示
空间的点 M 有序数组( x , y , z )
x
x y z
2 2 2
2
所以
| a |
x y z
2
2
向量的模的坐标表示式
- 16 -
第二节
向量的坐标表示
z
R
称非零向量 a 与三条坐标轴
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
的正向的夹角为方向角.
0 ,
0 ,
P
o x
M
Q y
空间两点间距离公式
第二节
向量的坐标表示
例1 求证以 M 1 ( 4 , 3 ,1 ) M 2 ( 7 ,1 , 2 ) M 3 ( 5 , 2 , 3 ) 三点为
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 M 1 M 2 ( 7 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 14 ,
.
u
空 如果数 满足 AB ，且当 AB 与 u 轴同向时 间 解 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的，那末数 叫 析 几 做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB ，即 AB . 何 与 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， A, B 是 u 轴 向 量 u , u 代 上坐标依次为 1 2 的两个点, B A e 数 u o 1 AB ( AB ) e O B O A O B e O A e ( u 2 u 1 ) e
y
P ( x , 0 , 0 )A ( x , y , 0 )
x
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第二节
向量的坐标表示
2 空间两点间的距离 设M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 x 向 量 代 数
z
R
M
M1
2
d M 1M
u u 也是 , 且
过点 A 作平行 于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )
2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
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投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,
x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
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第二节
向量的坐标表示
二
第 七 章
向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段
A B
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第 七 章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
a { x 1 , y1 , z1 }
- 20 -
空 间 解 所以 析 几 何 与 同理 向 量 代 数
第二节
向量的坐标表示
例3 设 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点， 而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分
z
三
第 七 章
向量的坐标
以 i , j , k 分别表示沿
1
向量的坐标表示式
空 间 设向量 a O M , o 解 i P M ( x, y, z) 析 x 几 何 OM ON OR OP OQ 与 则 向 量 由于 O P // i , 所以存在实数 x , 使得 O P 代 数 实数 y , z 使得 O Q yj , O R zk , 所以
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第二节
向量的坐标表示
空间两向量的夹角的概念：
第 七 章
空 间 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 解 析 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们 几 何 的夹角可在0与 之间任意取值. 与 向 空间一点在轴上的投影 A 量 代 过点 A 作轴 u 的垂直平面， 数
a 0, b 0, 向量a 与向量 b 的夹角 (0 ) (a , b ) (b , a )
(1 ) 0 (3)
P rj u A B P rj u A B P rj u A B A B | A B | co s P rj u A B | A B | co s
B
轴上的点 Q ( 0 , y , 0 ) xoy 面上的点 A ( x , y , 0 )
y yoz
面上的点 C ( 0 , y , z )
z
坐标原点 O ( 0 , 0 , 0 )
C (0, y , z )
R ( 0 0 , z ) ,
B ( x,o, z)
o ( 0 , y , 0 ) Q
0 .
由投影定理（1）
x Prj x a | a | cos
x y z cos
2 2 2
同理
y z x y z cos
2 2 2
x y z cos
2 2 2
- 17 -
第二节
向量的坐标表示
2
当 | a |
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R
M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第 七 章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量， 分别称向量
量的夹角 的余弦，即
P r j u A B | A B | co s
- 11 -
证 设向量
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的坐标表示 第二节 A B 在轴 u 上投影为 A B ,
B A
A
B
又因为
所以 定理1Biblioteka Baidu说明：
x y z
2 2
0
时，
,
cos
x x y z
2 2 2
cos
y x y z
2 2 2
,
cos
z x y z
2 2 2
.
a 的方向余弦。
称非零向量
a
的方向角的余弦为
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第二节
向量的坐标表示
方向余弦的特征
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
M 2M
2 3 2
(5 7 ) ( 2 1) ( 3 2 ) 6,
2 2 2
M 3M 1
2
( 4 5 ) ( 3 2 ) (1 3 ) 6 ,
2 2 2
M 2M
3
M 3M 1 ,
结论成立.
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第二节
向量的坐标表示
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0 , 2 , 3 ) 的距离为
第 到点 P 2 ( 0 ,1 , 1 ) 的距离的两倍，求点 P 的坐标. 七 章 解 因为 P 在 x 轴上， P 点坐标为 ( x , 0 , 0 ), 设 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
PP 1
PP 2
x
2
2 3
2
2
x 11 ,
2
x 1 1
称 x , y , z 为向量 a 的坐标， 向量 a 又可以表示为
空 间 a { x, y, z} 解 析 称向量的这种表示法为向量的坐标表达式。 几 何 与 称起点固定在原点，终点在点 M ( x , y , z ) 的向量 向 量 OM r 代 数为点 M 的向径， 则 r x i yj zk { x , y , z }
a b ( x 1 i y1 j z1 k ) ( x 2 i y 2 j z 2 k ) ( x 1 x 2 ) i ( y1 y 2 ) j ( z1 z 2 ) k ;
a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 } a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 }
b
a
交点 A 即为点 A 在轴 u 上的
A
u
投影.
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第二节
向量的坐标表示
空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为
第 A , B 那么轴 u 上的有向线段 A B 七 章 轴 u 上的投影.向量
的值，称为向量在
B
空 A AB 在轴 u 上的投影 间 解 u 析 记为 A B 几 Prj u AB A B . 何 与 向量的投影定理（1） 向 量 向量 A B 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向 代 数
第 七 AM 、MB , 章
使它们的值的比等于某数 ( 1 ), 即
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
z
R z
M
( x, y, z)
Q
o
P
y
y
x
x
-4-
第二节
向量的坐标表示
特殊点的表示:
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
x
轴上的点 P ( x , 0 , 0 )
z
轴上的点 R ( 0 , 0 , z ) zox 面上的点 B ( x , 0 , z )
第二节
向量的坐标表示
第二节 向量的坐标表示
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
一
空间直角坐标系
二 三
向量在轴上的投影 向量的坐标表示
-1-
第二节
向量的坐标表示
一
第 七 章
空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广 z 竖轴 三个坐标轴的正方向符合右手系.
空 间 解 即以右手握住 z 轴， 当 析 几右手的四个手指从正向 x 轴 何 定点 o 与以 角度转向正向 y 轴时， 向 2 量 代 大拇指的指向就是 z 轴的 横轴 x 数
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第二节
向量的坐标表示
z
R
2 向量的模与方向余弦的坐标表示式
第 七 章 空则 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
设向量
a O M x i yj zk
o
P
M
Q y
| a | | O M | 2 2 2 | OP | | OQ | | OR |
2
?
2
Q
N
在直角 M 1 NM 使用勾股定理知
2
P
o
d
2
及直角 M 1 PN 中，
y
2 2 2
M 1P
PN
NM
,
z 2 z1 ,
M 1 P x 2 x1 ,
PN y 2 y 1 ,
NM
2
M 1M 2
x 2 x 1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 .
向量的投影定理（2）
第 七 上的投影之和. 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴
Prj ( a b ) Prj a Prj b .
ab
A
C
a
A
B
B
b
u
C
（可推广到有限多个）
- 13 -
第二节
向量的坐标表示
y
纵轴
正向.
-2-
空间直角坐标系
第二节
向量的坐标表示
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
Ⅲ Ⅳ
yoz 面
z
zox 面
Ⅱ Ⅰ
0 x y
xoy 面
Ⅶ
Ⅷ
Ⅴ
Ⅵ
空间直角坐标系共有八个卦限
-3-
第二节
1 1
向量的坐标表示
空间的点 M 有序数组( x , y , z )
x
x y z
2 2 2
2
所以
| a |
x y z
2
2
向量的模的坐标表示式
- 16 -
第二节
向量的坐标表示
z
R
称非零向量 a 与三条坐标轴
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
的正向的夹角为方向角.
0 ,
0 ,
P
o x
M
Q y