第一章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的坐标表示
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高等数学二第一章向量代数与空间解析几何
在 y 轴上, 则 x = z = 0
在 z 轴上, 则 x = y = 0
2.空间向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量OM
z z
C
设点 M (x, y,z)
以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
ok xi xA
j
M yB y N
OM = OA + AN +NM
a,
b
(起点同).
b
(a,b)
规定：
a
a,
b正向间位于0到之间的那个夹角为
a,
b
的夹角,
记(1)为若(aa,, bb)同或向(，b,则a) (a,b) 0
(2) (3)
若 若
a , a ,
bb不反平向行，，则则(a(a,b,b))(0,
有MC
=
1 2
(a
b)
MA
又
b
= MC a = BD
=
1 2
(a
2MD
b)
D
b
A
a
有MD
=
1 2
(b
MB = MD
a)
1 2
(b
a)
1 2
(a
b)
C M
B
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
即: (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
(3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
解得:
z
在 z 轴上, 则 x = y = 0
2.空间向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量OM
z z
C
设点 M (x, y,z)
以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
ok xi xA
j
M yB y N
OM = OA + AN +NM
a,
b
(起点同).
b
(a,b)
规定：
a
a,
b正向间位于0到之间的那个夹角为
a,
b
的夹角,
记(1)为若(aa,, bb)同或向(，b,则a) (a,b) 0
(2) (3)
若 若
a , a ,
bb不反平向行，，则则(a(a,b,b))(0,
有MC
=
1 2
(a
b)
MA
又
b
= MC a = BD
=
1 2
(a
2MD
b)
D
b
A
a
有MD
=
1 2
(b
MB = MD
a)
1 2
(b
a)
1 2
(a
b)
C M
B
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
即: (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
(3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
解得:
z
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
1.1向量及空间坐标系
M1
M2
向量的模：向量的大小,记为
uuuuuur M1 M 2
或
| a|
单位向量：模长为1的向量.
记为 M1M20
r 或ea
零向量： 模长为0的向量. 记为
r 0.
任意方向
相等向量：ar
r b
大小相等且方向相同的向量.
a
b
自由向量： 不考虑起点位置的向量. a
a
负向量： 大小相等但方向相反的向量.
M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
2.向量的坐标表示
由于所讨论的向量是自由向量，可以把任意
向设量终经点平M移(看x, 作y, z从)，原rr点 Ou出uMu发r, 的z向量，称为向径.
向坐标轴投影， 分向量：
uuur r uuur r uuur r OP＝xi ,OQ yj ,OR zk ,
4
P1
的坐标为(1,0,3), uuuur
求
P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为, ,，则
,
3
cos 1 ,
2
4
,
cos
2, 2
Qcos2 cos2 cos2 1,
cos 1 ( 1 )2 ( 2 )2 1
22
2
由前面得
cos 1 , 2
cos 2 ,
uuur2
1.1.2 向量的线性运算
加法： a b c
c
b
a
b c
a
（三角形法则） （平行四边形法则）
三角不等式
|
ar
r b
||
ar
|
|
r b
|
向量的坐标表示与解析几何
向量的坐标表示与解析几何向量是解析几何中的重要概念之一，它可以用不同的表示方式来描述。
其中，坐标表示是一种常见且方便的表达方式。
本文将介绍向量的坐标表示以及在解析几何中的应用。
一、向量的坐标表示向量的坐标表示是指使用有序数对或有序数组来表示向量的坐标。
通常情况下，二维向量使用二维坐标表示，三维向量使用三维坐标表示。
1. 二维向量的坐标表示二维向量可以用一个有序数组(x, y)来表示，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别表示向量AB在x轴和y轴上的分量。
2. 三维向量的坐标表示三维向量可以用一个有序数组(x, y, z)来表示，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量，z表示向量在z轴上的分量。
例如，向量ABC可以表示为(Ax, Ay, Az)，其中Ax、Ay和Az分别表示向量ABC在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的坐标运算向量的坐标表示使得向量的运算更加便捷，常见的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
1. 向量的加法与减法设向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，向量B的坐标表示为(Bx, By, Bz)，则向量A和B的加法运算为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)，减法运算为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
2. 向量的数量乘法设向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，k为实数，则向量A与k的数量乘法运算为(k*Ax, k*Ay, k*Az)。
其结果是向量A上每个分量乘以k。
3. 向量的点乘设向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，向量B的坐标表示为(Bx, By, Bz)，则向量A和B的点乘运算为(Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz)。
点乘的结果是一个实数。
4. 向量的叉乘设向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，向量B的坐标表示为(Bx, By, Bz)，则向量A和B的叉乘运算为(Ay*Bz - Az*By, Az*Bx - Ax*Bz,Ax*By - Ay*Bx)。
向量代数与空间解析几何(11)
21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
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a M 1 P M 1 Q M 1 P a x i a y j a z k
z
R
k M 1•
向 向向
•M 2
量 量量 在 在在
Q x yz
x
P
o
j
i
N
轴
y上
axx2x1
的 投
轴 上 的 投
轴 上 的 投
ay y2y1
az z2z1 影 影
影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
利用坐标作向量的线性运算
a { ax,ay,az},b{bx,by,bz},
a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az,
向量的坐标表达式：
a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
三、向量的坐标表示
1. 起点在原点的向量(向径)OM
z zC
设点 M(x,y,z)
以 i, j,k分别表示沿x, y, z
k
轴正向的单位向量, 称为基本单
位向量. rOM = OA + AN +NM
z
R
k M 1•
向 向向
•M 2
量 量量 在 在在
Q x yz
x
P
o
j
i
N
轴
y上
axx2x1
的 投
轴 上 的 投
轴 上 的 投
ay y2y1
az z2z1 影 影
影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
利用坐标作向量的线性运算
a { ax,ay,az},b{bx,by,bz},
a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az,
向量的坐标表达式：
a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
三、向量的坐标表示
1. 起点在原点的向量(向径)OM
z zC
设点 M(x,y,z)
以 i, j,k分别表示沿x, y, z
k
轴正向的单位向量, 称为基本单
位向量. rOM = OA + AN +NM
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
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a
b
2
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
ab 0
a x b x a yb y a zb z 0
求|ab|.
4
解： ab 2(a b )(a b )
a a2abbb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
b a
几何意义：右图三角形面积
cab
S＝
1 2
ab
a b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
直的单位向量.
解
c
ab
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
c0
|
c c |
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
第一节 向量代数与空间解析几何基本概念
P(x, y)
o
x
如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点 P(x, y)； 反之，平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平 面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量. 即平面向量与 平面上的点是一一对应的. 也即 二元有序数组(x, y)表 示了平面上一向量，我们也称 (x, y) 为二维向量.
下面分析cos(, )的几何含义.
如果, 都不为0向量, 且, 不平行(即, 线性无 关), 则在空间直角坐标系中, 由原点O和, 的终点A 和B 可确定, 所在平面上的一个三角形OAB.
B
A
O
由余弦定理, 知
2|| || ·|| ||cos
= || ||2+|| ||2 || ||2
x
,
x2 y2 z2
y
,
x2 y2 z2
= (cos(, i), cos(, j ), cos(, k) ).
z
x2 y 2 z 2
易知 cos2(, i) cos2(, j) cos2(, k) = 1.
的方向余弦及方向角, 与坐标轴夹角的余弦
由此，可定义 n 维向量中两个典型向量：
零向量0: 满足 +0=. 由加法定义知：
0=(0, 0,…, 0);
负向量– ：满足 +(– )= 0. 由加法定义知 – =(– a1, –a2, …, – an).
几何上
y
o 上图可简化为： y
o
A(a1+b1, a2+b2)
b2
b1
|| || || || cos(, ),
向量及向量的坐标表示
A
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
向量代数与空间解析几何-PPT
解： 由 cos2+cos2+cos2 =1，且 = = ，有
3cos2=3cos2=3cos2 =1，从而
cos cos cos 1 或 cos cos cos 1
3
3
例4. 设有P1P2，已知|| P1P2||=2，且与x轴和y轴的夹角
分别为
3
和
解. 设 P1P2
的4 方，向若角P1为为(1, ,0,,3)，，有求P2的坐, 标 .
则力F 所作的功为 W=||F||cos ·||r||
定义1 对于向量a, b，数量
|| a |||| b || cosa, b
F
r
称为向量a与b的数量积；记为a·b.
这里0〈a, b〉 . 数量积亦称点 积或内积.
W = F·r
=〈a, b〉= 〈b, a〉
限定 0〈a, b〉 向量在轴 u 上的投影
设 a M1M 2
O
Pr ju M1M 2 u2 u1
a
b M2
a
M1
u1
u2
u
(1) Pr ju M1M 2 || M1M 2 || cos = ||a|| cos〈a, u〉
(2) Pr ju (a1 a2 an ) Pr jua1 Pr jua2 Pr juan
但 M1P P1P2
z
R2
R
M1Q Q1Q2 M1R R1R2
R1 M1
P
M2 Q
N
y
M1M 2
P1 O
Q1
Q2
P2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2 , Q1Q2 , R1R2 为 M1M 2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
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cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第 七 章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R
M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第 七 章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量， 分别称向量
u u 也是 , 且
过点 A 作平行 于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )
2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
- 12 -
投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,
x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
-8-
第二节
向量的坐标表示
二
第 七 章
向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段
A B
向量的投影定理（2）
第 七 上的投影之和. 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴
Prj ( a b ) Prj a Prj b .
ab
A
C
a
A
B
B
b
u
C
（可推广到有限多个）
- 13 -
第二节
向量的坐标表示
y
P ( x , 0 , 0 )A ( x , y , 0 )
x
-5-
第二节
向量的坐标表示
2 空间两点间的距离 设M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 x 向 量 代 数
z
R
M
M1
2
d M 1M
b
a
交点 A 即为点 A 在轴 u 上的
A
u
投影.
- 10 -
第二节
向量的坐标表示
空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为
第 A , B 那么轴 u 上的有向线段 A B 七 章 轴 u 上的投影.向量
的值，称为向量在
B
空 A AB 在轴 u 上的投影 间 解 u 析 记为 A B 几 Prj u AB A B . 何 与 向量的投影定理（1） 向 量 向量 A B 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向 代 数
- 15 -
第二节
向量的坐标表示
z
R
2 向量的模与方向余弦的坐标表示式
第 七 章 空则 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
设向量
a O M x i yj zk
o
P
M
Q y
| a | | O M | 2 2 2 | OP | | OQ | | OR |
a b ( x 1 i y1 j z1 k ) ( x 2 i y 2 j z 2 k ) ( x 1 x 2 ) i ( y1 y 2 ) j ( z1 z 2 ) k ;
a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 } a b { x 1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 }
量的夹角 的余弦，即
P r j u A B | A B | co s
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证 设向量
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的坐标表示 第二节 A B 在轴 u 上投影为 A B ,
B A
A
B
又因为
所以 定理1的说明：
轴上的点 Q ( 0 , y , 0 ) xoy 面上的点 A ( x , y , 0 )
y yoz
面上的点 C ( 0 , y , z )
z
坐标原点 O ( 0 , 0 , 0 )
C (0, y , z )
R ( 0 0 , z ) ,
B ( x,o, z)
o ( 0 , y , 0 ) Q
M 2M
2 3 2
(5 7 ) ( 2 1) ( 3 2 ) 6,
2 2 2
M 3M 1
2
( 4 5 ) ( 3 2 ) (1 3 ) 6 ,
2 2 2
M 2M
3
M 3M 1 ,
结论成立.
-7-
第二节
向量的坐标表示
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0 , 2 , 3 ) 的距离为
(1 ) 0 (3)
P rj u A B P rj u A B P rj u A B A B | A B | co s P rj u A B | A B | co s
B
x
x y z
2 2 2
2
所以
| a |
x y z
2
2
向量的模的坐标表示式
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第二节
向量的坐标表示
z
R
称非零向量 a 与三条坐标轴
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
的正向的夹角为方向角.
0 ,
0 ,
P
o x
M
Q y
称 x , y , z 为向量 a 的坐标， 向量 a 又可以表示为
空 间 a { x, y, z} 解 析 称向量的这种表示法为向量的坐标表达式。 几 何 与 称起点固定在原点，终点在点 M ( x , y , z ) 的向量 向 量 OM r 代 数为点 M 的向径， 则 r x i yj zk { x , y , z }
2
?
2
Q
N
在直角 M 1 NM 使用勾股定理知
2
P
o
d
2
及直角 M 1 PN 中，
y
2 2 2
M 1P
PN
NM
,
z 2 z1 ,
M 1 P x 2 x1 ,
PN y 2 y 1 ,
NM
2
M 1M 2
x 2 x 1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 .
y
纵轴
正向.
-2-
空间直角坐标系
第二节
向量的坐标表示
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
Ⅲ Ⅳ
yoz 面
z
zox 面
Ⅱ Ⅰ
0 x y
xoy 面
Ⅶ
Ⅷ
Ⅴ
Ⅵ
空间直角坐标系共有八个卦限
-3-
第二节
1 1
向量的坐标表示
空间的点 M 有序数组( x , y , z )
a { x 1 , y1 , z1 }
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空 间 解 所以 析 几 何 与 同理 向 量 代 数
第二节
向量的坐标表示
例3 设 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点， 而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分
第 七 AM 、MB , 章
使它们的值的比等于某数 ( 1 ), 即
.
u
空 如果数 满足 AB ，且当 AB 与 u 轴同向时 间 解 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的，那末数 叫 析 几 做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB ，即 AB . 何 与 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， A, B 是 u 轴 向 量 u , u 代 上坐标依次为 1 2 的两个点, B A e 数 u o 1 AB ( AB ) e O B O A O B e O A e ( u 2 u 1 ) e
0 .
由投影定理（1）
x Prj x a | a | cos
x y z cos
2 2 2
同理
y z x y z cos
2 2 2
x y z cos
2 2 2
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第二节
向量的坐标表示
2
当 | a |
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
-6-
空间两点间距离公式
第二节
向量的坐标表示