数学期望与方差
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但
E ( XY ) 0;
2 P( X 0) P(Y 0) 8
P( X 0, Y 0) 0
2
10
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f ( x) 0,
x0,
0
所以
EX x f ( x)dx x f ( x)dx 0 .
n
(n 1)! np k p k 1q ( n1)( k 1) k![(n 1) (k 1)]! k 1
(n 1)! np p i q ( n1)i i 0 i![(n 1) i ]!
n 1
i i n 1i np C n p q 1 i 0
则 P{ X 1}
p X ( x ) d x 寿命不超过1年的概率 ＝出售的设备在售出 x 1 11 一年之内调换的概率 4 4 e dx 1 e 04 1 寿命超过1年的概率 P X 1 e 4 ＝不需调换的概率
1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局: 前三局: 后二局: A胜2局B胜1局 AA
AB
A胜
BA
BB B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的 可能性大小之比为 3:1. 1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 . 4 4 因此, A 能“期望”得到的数目应 为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
变除法为乘法和加法
Def. 1
设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X ak } pk , k 1, 2,
E ( X ) ak P{X ak } ak pk
k k
称为 X 的数学期望或均值 Def. 2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x)
其数学期望定义为 E( X )
因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000 1.2 120000元 .
如何确定投资决策方向?
某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元 . 若存入银行 , 同期间的利率为 5 %, 哪一种方案可 使投资的效益较大? X 8 2 解 设X为投资利润, 则 p 0 .3 0.7
k
100 e
k 1
10
k
100e (1 e 1 e
10
)
18
例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的 概率为 p (0<p<1)，生产一件次品的概率为 q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的 价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产 一件正品获利s－c元， 生产一件次品亏损c 元（假定每个产品的生产过程是相互独立的 ）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的 期望值是多少？
xf ( x)dx
e. g. 1
概率为
1 甲、乙两人赌博，甲赢的概率为 ，输的 3 2
，但甲赢一次可从乙处得 3 元，而输
3 一次要付给乙 1 元，求甲的平均赢利。
e. g. 2 某同学假期回家探亲，有三种方法：坐汽车， 240 元；坐火车，300 元；坐飞机，980 元．由于
各种原因，该同学采用三种路线的概率分别为： 0.3, 0.5, 0.2 。试写出差旅费 X 的概率分布，并计 算差旅费的平均值。
X
k 1 i 1
10 100
ki .
17
例5.（续）
而X ki 服从 p e k 的( 0 — 1)分布， E ( X ki ) e k . i 1,2,,100, 所以
10 100 10
E ( X ) E ( X ki ) 100e
k 1 i 1 k 1
例8 设离散型随机变量X的分布律为
k 2 1 k pk P X 1 k , k 1,2, k 2 求EX. k 1 解 由于 xk pk 1 lnk . k k 1 k 1
1 但是 xk pk . k k 1 k 1
因而其数学期望EX不存在.
2．常见随机变量的数学期望
(1) 0--1 分布
X
P
1
p
0
1 p
E ( X ) 1 p 0 (1 p) p
(2) 二项分布： X ~ b(n, p)
E ( X ) kC p q
k 0 k n k
n
n
nk
n! k p k q nk k!(n k )! k 0
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
第3节 数学期望与方差
例9-1
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,
电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟 到达底层候梯处, 且X在[0,60]上服从均匀分布
求游客等候时间的数学期望. （考研试题） 解 已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其密度为
1 , 0 x 60, p x 60 其它 0,
数学期望和方差是常用的随机变量的两个数字特征
一、数学期望(mathematical expectation)
1．数学期望的概念
e.g. 小组 8 个人，英语得 90 分的 3 人，80 分的 4 人， 60 分的 1 人，求平均分数
.
90 3 80 4 60 1 3 4 1 90 80 60 3 4 1 8 8 8
性质2和3
E (3 X 2 XY Y 5) 3 E ( X ) 2 E ( XY ) E (Y ) E (5)
3 10 2 E( X ) E(Y ) 3 5
30 2 10 3 3 5 92
12
性质4
数学期望不存在的实例
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。
11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
20
四、应用实例
厂家的销售策略
1 某设备寿命X(以年计)服从 λ 的指数分布. 4 按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予 以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台 设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净 赢利Y的数学期望.
1 x 4 e ,x0 p x 解 依题设, 有 X 4 x0 0,
n 1
np( p q) n1
np
(3) Poisson 分布： X ~ P( )
E( X ) k
k 0
k
k!
e
e
(k 1)!
k 1
k 1
e e
(4) 正态分布： X ~ N (, )
2ห้องสมุดไป่ตู้
E( X )
Remark 分布完全描述了随机变量的规律，而期望只 刻画了它的一个重要特征——“位置”特征．随 机变量以期望为“中心”而随机取值． 已知分布律可求均值．但不同的分布可有相 同的均值．
B. 数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E ( X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
n n
当X ,Y 相互独立时，
E ( X Y ) = E (X )E (Y ) .
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA A胜B负 A胜B负 AB A胜B负 B胜A负 BA B胜A负 A胜B负 BB B胜A负 B胜A负
Y
100
1 e 4
100 300
1 1 e 4
p
则 EY 100e
1 4
1 200 1 e 4 33.64元 . .
发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润.
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000
1000
100
10
0
2 105
10 105 100 105 1000 105 p0
X 10000 p 1 105
5000
1000
100
10
0
2 105
10 105 100 105 1000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金 1 2 E X 10000 5 5000 5 0 p0 10 10 0.5(元). 每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元).
19
解：设第j个产品的利润
s-c， 第j个产品是正品， Yj＝ 第j个产品是次品。 -c, j＝ 1,2, ，N。
则 SN Y1＋Y2＋...+YN为N件产品的总利润。
由已知 Yj P -c q s-c p
由于 EYj＝ s－c p－cq＝sp－c， j＝1，， 2 ...N， 因此， ESN＝EY1＋EY2＋...+EYN N sp－c 。
8
注
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
Y -1 pij X -1
18 18 18
0
18
1
18 18 18
p• j
38 28 38
0
1 pi•
0
18
38
28
38
9
XY P
-1
0
1
28
48
28
E ( X ) E (Y ) 0; E ( XY ) E ( X ) E (Y )
例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随 着该机器所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= e k , k 1,2,, 0. 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10 次生产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki 否则. 0， k 1,2, ,10, i 1,2, ,100, 则 X
E ( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元), 故应选择投资.
内容小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质 10 E C C ; 0 2 E CX C X ; n n 0 ai E X i ; 3 E a X i i i 1 i 1 0 4 X ,Y独立 E XY E X E Y .
E ( XY ) 0;
2 P( X 0) P(Y 0) 8
P( X 0, Y 0) 0
2
10
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f ( x) 0,
x0,
0
所以
EX x f ( x)dx x f ( x)dx 0 .
n
(n 1)! np k p k 1q ( n1)( k 1) k![(n 1) (k 1)]! k 1
(n 1)! np p i q ( n1)i i 0 i![(n 1) i ]!
n 1
i i n 1i np C n p q 1 i 0
则 P{ X 1}
p X ( x ) d x 寿命不超过1年的概率 ＝出售的设备在售出 x 1 11 一年之内调换的概率 4 4 e dx 1 e 04 1 寿命超过1年的概率 P X 1 e 4 ＝不需调换的概率
1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局: 前三局: 后二局: A胜2局B胜1局 AA
AB
A胜
BA
BB B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的 可能性大小之比为 3:1. 1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 . 4 4 因此, A 能“期望”得到的数目应 为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
变除法为乘法和加法
Def. 1
设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X ak } pk , k 1, 2,
E ( X ) ak P{X ak } ak pk
k k
称为 X 的数学期望或均值 Def. 2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x)
其数学期望定义为 E( X )
因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000 1.2 120000元 .
如何确定投资决策方向?
某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元 . 若存入银行 , 同期间的利率为 5 %, 哪一种方案可 使投资的效益较大? X 8 2 解 设X为投资利润, 则 p 0 .3 0.7
k
100 e
k 1
10
k
100e (1 e 1 e
10
)
18
例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的 概率为 p (0<p<1)，生产一件次品的概率为 q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的 价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产 一件正品获利s－c元， 生产一件次品亏损c 元（假定每个产品的生产过程是相互独立的 ）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的 期望值是多少？
xf ( x)dx
e. g. 1
概率为
1 甲、乙两人赌博，甲赢的概率为 ，输的 3 2
，但甲赢一次可从乙处得 3 元，而输
3 一次要付给乙 1 元，求甲的平均赢利。
e. g. 2 某同学假期回家探亲，有三种方法：坐汽车， 240 元；坐火车，300 元；坐飞机，980 元．由于
各种原因，该同学采用三种路线的概率分别为： 0.3, 0.5, 0.2 。试写出差旅费 X 的概率分布，并计 算差旅费的平均值。
X
k 1 i 1
10 100
ki .
17
例5.（续）
而X ki 服从 p e k 的( 0 — 1)分布， E ( X ki ) e k . i 1,2,,100, 所以
10 100 10
E ( X ) E ( X ki ) 100e
k 1 i 1 k 1
例8 设离散型随机变量X的分布律为
k 2 1 k pk P X 1 k , k 1,2, k 2 求EX. k 1 解 由于 xk pk 1 lnk . k k 1 k 1
1 但是 xk pk . k k 1 k 1
因而其数学期望EX不存在.
2．常见随机变量的数学期望
(1) 0--1 分布
X
P
1
p
0
1 p
E ( X ) 1 p 0 (1 p) p
(2) 二项分布： X ~ b(n, p)
E ( X ) kC p q
k 0 k n k
n
n
nk
n! k p k q nk k!(n k )! k 0
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
第3节 数学期望与方差
例9-1
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,
电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟 到达底层候梯处, 且X在[0,60]上服从均匀分布
求游客等候时间的数学期望. （考研试题） 解 已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其密度为
1 , 0 x 60, p x 60 其它 0,
数学期望和方差是常用的随机变量的两个数字特征
一、数学期望(mathematical expectation)
1．数学期望的概念
e.g. 小组 8 个人，英语得 90 分的 3 人，80 分的 4 人， 60 分的 1 人，求平均分数
.
90 3 80 4 60 1 3 4 1 90 80 60 3 4 1 8 8 8
性质2和3
E (3 X 2 XY Y 5) 3 E ( X ) 2 E ( XY ) E (Y ) E (5)
3 10 2 E( X ) E(Y ) 3 5
30 2 10 3 3 5 92
12
性质4
数学期望不存在的实例
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。
11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
20
四、应用实例
厂家的销售策略
1 某设备寿命X(以年计)服从 λ 的指数分布. 4 按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予 以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台 设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净 赢利Y的数学期望.
1 x 4 e ,x0 p x 解 依题设, 有 X 4 x0 0,
n 1
np( p q) n1
np
(3) Poisson 分布： X ~ P( )
E( X ) k
k 0
k
k!
e
e
(k 1)!
k 1
k 1
e e
(4) 正态分布： X ~ N (, )
2ห้องสมุดไป่ตู้
E( X )
Remark 分布完全描述了随机变量的规律，而期望只 刻画了它的一个重要特征——“位置”特征．随 机变量以期望为“中心”而随机取值． 已知分布律可求均值．但不同的分布可有相 同的均值．
B. 数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E ( X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
n n
当X ,Y 相互独立时，
E ( X Y ) = E (X )E (Y ) .
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA A胜B负 A胜B负 AB A胜B负 B胜A负 BA B胜A负 A胜B负 BB B胜A负 B胜A负
Y
100
1 e 4
100 300
1 1 e 4
p
则 EY 100e
1 4
1 200 1 e 4 33.64元 . .
发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润.
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000
1000
100
10
0
2 105
10 105 100 105 1000 105 p0
X 10000 p 1 105
5000
1000
100
10
0
2 105
10 105 100 105 1000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金 1 2 E X 10000 5 5000 5 0 p0 10 10 0.5(元). 每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元).
19
解：设第j个产品的利润
s-c， 第j个产品是正品， Yj＝ 第j个产品是次品。 -c, j＝ 1,2, ，N。
则 SN Y1＋Y2＋...+YN为N件产品的总利润。
由已知 Yj P -c q s-c p
由于 EYj＝ s－c p－cq＝sp－c， j＝1，， 2 ...N， 因此， ESN＝EY1＋EY2＋...+EYN N sp－c 。
8
注
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
Y -1 pij X -1
18 18 18
0
18
1
18 18 18
p• j
38 28 38
0
1 pi•
0
18
38
28
38
9
XY P
-1
0
1
28
48
28
E ( X ) E (Y ) 0; E ( XY ) E ( X ) E (Y )
例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随 着该机器所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= e k , k 1,2,, 0. 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10 次生产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki 否则. 0， k 1,2, ,10, i 1,2, ,100, 则 X
E ( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元), 故应选择投资.
内容小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质 10 E C C ; 0 2 E CX C X ; n n 0 ai E X i ; 3 E a X i i i 1 i 1 0 4 X ,Y独立 E XY E X E Y .