泛函分析复习指导

2013-2014-2泛函分析复习参考题

一、名词解释

1.度量空间；

2.可分空间；

3.压缩映射原理；

4.线性空间；

5.范数线性空间；

6.内积空间；

7.贝塞尔不定式以及帕塞瓦尔等式。

二、填空题

1. l ∞

空间为_____________________，其标准距离为___________________________ 2. 2l 空间为_____________________，其标准距离为___________________________ 3. 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为___________________ 4. {}n x 为度量空间X 中的柯西列是指____________________________________________

5.完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为____________________________

6.M 为线性空间X 的一个非空子集，spanM 表示_______________；如果X spanM ⊆，那么_____________________________

7. 2[,]L a b 空间为____________________，其标准范数为____________________________，2[,]L a b ________（是或不是）巴拿赫空间

8.设X 是n 维赋线性空间，{}12,,

,n e e e 是X 的一组基，则存在常数M 和M '，使得对一切1n k k k x e

ξ==∑都有_____________________________成立

9.设T 是赋范线性空间X 到Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为___________，算子T 的范数为___________________________________________

10.设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间()N f 是X 中的_________________________

11. 1l 的共轭空间为________，(1)p l p <<∞的共轭空间为_______________________

12.设X 是内积空间，M 是X 的线性子空间，M x ∈，若存在M y ∈，使得()M x d y x ,=-，那么______________

13.设{}k e 为希尔伯特空间X 中可数规范正交系，那么：

（1）级数∑∞

=1i i

i e α收敛的充要条件为__________________； （2）若∑∞==1i i i e

x α，则=i α___________________________；

（3）对任何X x ∈，级数i i i e e x ∑∞

=1,都是_______________（收敛或发散）。

14.设T 为复内积空间X 上有界线性算子，那么对一切X x ∈，有0,=x Tx 成立当且仅当______________________________

15.设)(X B T ∈，则T 为自伴算子的充要条件___________________________________

16.设)(2l B T ∈并且算子T 定义如下：),,,,0(),,,(321321 x x x x x x T =，那么=),,,(321* x x x T ______________________________________

三、解答题

1. l ∞是不可分空间；

2. [,]C a b 是无限维空间；

3. Holder 不等式与Minkowski 不等式的内容；

4. Schwarz 不等式的内容；

5. 当2p ≠时，p l 不是内积空间；

6. [,]C a b 按内积诱导的范数max ()a t b

x x t ≤≤=不是内积空间；

7. 里斯定理的内容；

8. 给出正常（正规）算子的两个充分必要条件；