晶体中的几何学

（4）晶胞参数：边长a
面心立方密堆积中金属原子的半径r与正方体的边 长a的关系：
a
a a a a
ห้องสมุดไป่ตู้
4r
2a
（5）空间利用率：球体积占晶胞体积的百分比
32 3 解：V晶胞 a r 2 晶胞中含4个球:
3
4 3 V球 4 r 3
空间利用率
V球
V晶胞
74.05%
5 金刚石型
实际上与金刚石型相同
3a 4(r r )
3、萤石型的变种：氧化亚铜型
O2-体心立方堆积，Cu+占 据四个互不相邻的小体心
如何计算晶胞边长和离子半 径的关系？ 假想小体心！
依然是体对角线阴阳离子相切，因此
3a 4(r r )
（四）石墨晶胞
A层
B层
A层
石墨的密度
设碳原子半径为r，底面边长为a pm，高为h，层间距为d，则h=2d。 均摊法算出石墨晶胞中有4个C原子（8顶点，2面，4棱，1内）。
8
5 4
6
1
3
2
（1/4,3/4,3/4）
（3/4,1/4,3/4） （3/4,3/4,1/4）
（1/4,1/4,1/4）
（3）配位数：4 （4）晶胞参数：边长a
金刚石堆积中球半径r与正方 体的边长a的关系：
方法1：取ABC三个球进行计算
A C B
方法2：在体心和右上角小 立方块中假想2个球
A
a 2(r r )
相切
2、萤石型： Ca2+面心立方堆积，F-填充八个小体心。相 当于金刚石中把剩下的4个小体心填满 （1）钙离子周围距离最近且相等的 钙离子数 12个，因为钙离子面心立方堆积 （2）钙离子的配位数：指钙周 围距离最近且相等的氟离子数目 8个，上下各4个
（3）晶胞参数a与离子半径的关系：
晶体中的几何数量关系
一、晶胞的选取原则
（一）二维晶胞：平行四边形
晶胞中，顶点球均摊1/4，棱上的球均摊1/2。
例1 在一定温度下，NiO晶体可以自发地分散并形成 “单分子层”（如下图），可以认为氧离子作密致单 层排列，镍离子填充其中，列式计算每平方米面积上 分散的该晶体的质量。（已知NiO的摩尔质量约为74.7 g/mol，氧离子半径为140 pm）
a
a
a
a
a=2r
（5）空间利用率：球体积占晶胞体积的百分比
密度：球质量与晶胞体积的比值
4 3 球数 πr 通用公式： 3 空间利用率 100% 晶胞体积
球的摩尔质量 球数 NA 密度 晶胞体积
其中，密度公式中共有四个未知量：密度，微粒摩尔质量，晶 胞 体积，NA，知道3个可求另一个，因此可能围绕密度出现4种题型。 在晶胞体积中，还可以考察晶胞边长与微粒半径的关系。
晶胞面积：
2 140 10 sin120
-9 2

m
2
晶胞质量：
74.7 g 23 6.02 10
相除即可（最终单位g/m2）
（二）三维晶胞：平行六面体
晶胞中，顶点球均摊1/8，棱上的球均 摊1/4，面上的球均摊1/2
三维晶胞共有五大经典堆积模型。对于每种 堆积模型，我们需要掌握以下内容： 晶胞中的球数； 球的分数坐标； 配位数； 晶胞参数及其与球半径的关系，晶胞体积计算公式； 空间利用率和密度的计算公式
（4）晶胞参数：边长a，高h
六方密堆积中金属原子的半径 r 与六棱柱的边长 a、 高 c 的关系：
a=2r
h 2 边长为a的四面体高
6 2 6 a a 2 3 3
（5）空间利用率：球体积占晶胞体积的百分比 3 2 S a a sin 60 a V晶胞 3 a 2 2 2
①原子坐标参数，表示晶胞内部各原子的相 对位置，下图为Ge单晶的晶胞，其中原子坐 标参数A为（0,0,0）；B为（1/2,0,1/2）；C为 。 （1/2,1/2,0），则D原子的坐标参数为 ②晶胞参数，描述晶胞的大小和形状，已知 Ge单晶的晶胞参数a=565.76 pm，其密度为 g· cm -3（列出计算式即可）。
6a
2 3 3 3 2a 8 2r
4 3 V球 2 r (晶胞中有2个球) 3
V球
V晶胞
100% 74.05%
4 面心立方最密堆积
A B C
（1）球数：8×1/8 + 6×1/2 = 4
（2）分数坐标：（0,0,0）-顶点 （1/2,1/2,0） （1/2,0,1/2） （0,1/2,1/2）-体心 （3）配位数：12 同层6 上下各3
在面心立方基础上，再插入4个球，分别占据8个小立 方体中4个互不相邻的体心
8
7 6
5 4
若1号小体心有球， 则3、6、8号小体心 也有球 每个新插入的球，与它所在 小立方体的顶点4个球相切
1
2
3
（1）球数：8×1/8 + 6×1/2 + 4 = 8
（2）分数坐标：（0,0,0）-顶点 （1/2,1/2,0） （1/2,0,1/2） 7 （0,1/2,1/2）-体心
2 体心立方堆积
体 心 立 方 晶 胞
（1）球数：8×1/8 + 1 = 2
（2）分数坐标：（0,0,0）-顶点 （1/2,1/2,1/2）-体心 （3）配位数： 8 上下层各4
5 8 1 4 6 7 2 3
（4）晶胞参数：边长a
球半径r 与晶胞边长 a 的关系：
a
a a a
b
3a
b 4r
（5）空间利用率：球体积占晶胞体积的百分比
4 3 4 3 2 πr 2 πr 3 3 3 a3 4 r 3
3π 100% 68.02% 8
3 六方最密堆积
（1）球数：8×1/8 + 1 = 2 *（2）分数坐标：（0,0,0）-顶点 （1/3,2/3,1/2）-体心 （3）配位数： 12 同层6 上下各3
C B
发现体对角线五球相切！ （其中两个假想球）
3a 8r
（5）空间利用率：球体积占晶胞体积的百分比
4 3 4 3 8 πr 8 πr 3 3 100% 34% 3 a3 8 r 3
例2. (2016全国I卷)
（5）Ge单晶具有金刚石型结构，其中Ge原子的杂 化方式为 ，微粒之间存在的作用力是 。 （6）晶胞有两个基本要素：
（三）两类经典的离子晶体
1、NaCl型： 阴离子面心立方堆积，阳离子填充两个阴离子间的空隙 （即棱心和体心）；或反之。 （1）钠离子周围距离最近 且相等的钠离子数 12个，因为钠离子面心立方堆积 （2）钠离子的配位数：指Na+ 周围距离最近且相等的Cl-数目 6个
（3）晶胞参数a与离子半径的关系：
1 简单立方堆积
简 单 立 方 晶 胞
（1）球数：8×1/8 = 1
（2）分数坐标：（0,0,0） 原则一：有几个球，就有几个坐标 原则二：坐标中“1”即“0”（晶胞的平移可重复性） （3）配位数：6 同层4，上下层各1
2 1 4 3 1 4 5 6
2
3
（4）晶胞参数：边长a
球半径r 与晶胞边长 a 的关系：
a 2r
看底面
a 2rsin60 2
12 4 23 6.02 10 ρ 2 a sin60 h
12 4 23 6.02 10 2 （4rsin60 ） sin60 2d
密度、层间距、碳原子半径r（或者晶胞底面 边长a），知二求一。