边界反演最小二乘法

1．推导

P4

P6

图 1.1 模型一

由最小二乘法原理可知：取泛函

∑∑∑-∏3

1=3

1

=2

6

1

==k j i jk ixj i σσA ）（ (1-1) i ——边界数1~6；

j ——已知点1~3；

k ——三个方向应力1~3；

ixj σ——第i 个单位力对j 点的x 方向的正应力；

要使泛函∏取极小值，即要使以下六个由泛函求得的偏导得到的线性方程组有解，即：

∑∑∑31=31=16

1

=0=2=∂∏

∂k j kj jk ijk i i p )σ)σσA ((A (p =1,2,3,4,5,6) (1-2)

由(1-2)变形得到：

∑∑∑31=31=61=0==∂∏

∂k j pkj jk ijk

i i p )σ)σA ((A (1-3)

由上式得6阶线性方程组：

∑∑

∑∑

∑31=31

=31=3

1

=16

1

==k j k j kj jk pkj ijk

i i σσ)σσA ( (1-4)

易得左侧矩阵⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==================61i 313

1

1661i 31311561i 31311461i 313

1

1361i 31311261i 313111 i k j kj kj i k j kj kj i k j kj kj i k j kj kj i k j kj kj i k j kj kj A A A A A A PP σσσσσσσσσσσσ 2．不同边界条件对比

1.模型一：固定两个边界，取内部三个点，边界分6份.

已知的三个点的坐标：（41.67，54.17）（54.83，54.83）（54.17，58.33）

P4

P6

图2.1 模型一 X 方向应力云图与包含已知点区块的应力云图：

图2.2 X 方向应力云图 图2.3包含已知点区块的应力云图

2.模型二：固定三个点，取内部五个点，边界分12份。 已知的三个点的坐标：（41.67，54.17）（54.83，54.83）（54.17，58.33）(50,54.17)( 54.17,41.67)

P4

P6

P10

图2.4 模型二

X 方向应力云图与与包含已知点区块的应力云图：

图2.5 X 方向应力云图 图2.6 包含已知点区块的应力云图

表2.1 两种模型误差对比

参考文献

[1]王建军．构造应力场有限元模拟与优化分析．2004

[2]李志明，等.地应力与油气勘探开发.石油工业出社,1997.9.

[3]张明．应用数值分析．石油工业出版社，2012，250-276.

[4]周宁，等．ANSYS APDL高级工程应用实例分析与二次开发．中国水利水电出版社．2007．