高三数学二项式定理及应用PPT精品课件
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
2021届高三数学一轮复习-《第47讲 二项式定理及应用》课件 (共14张PPT)
不漏。
4．对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数 的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系 数问题夫人一个重要手段．
5．近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式 中的若干项．
6．用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变 为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑 法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决．
【知识要点】
【典例剖析 】 考点1 二项展开式中的特定项问题
例1：
例2：
考点2 多项展开式中的特定项或系数问题
例3：
考点3 二项式系数的和与性质
例4：
例5：
考点4 二式定理一定要牢记通项
Tr 1
C
r n
a
n
r
br
,
注意
(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相
同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式二项式系数
与该项的（字母）系数是两个不同概念，前者只指Cnr ，而后者 是指字母外的部分．
2．求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，
再求Tr+1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1。 3．有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加
以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重
高考数学理一轮复习 10-3二项式定理及其应用精品课件
1 n 备选例题 1 在二项式( x－ ) 的展开 3 2 x 式中，前三项系数的绝对值成等差数列．求： (1)展开式的常数项； (2)展开式中各项系数的和． 3
1 n 解： 由条件“二项式( x－ ) 的展开式中， 3 2 x 前三项系数的绝对值成等差数列”可求出 n 的值． 1 n 3 ∵( x－ ) 展开式的前三项系数的绝对值 3 2 x n(n－1) 1 为 1，2n， 8 ， n(n－1) 1 ∴2×2n＝1＋ 8 ，∴n2－9n＋8＝0， ∴n＝8 或 n＝1(舍去)． 3
[解] (1)令 x＝0，则 a0＝－1； 令 x ＝ 1 ，则 a7 ＋ a6 ＋…＋ a1 ＋ a0 ＝ 27 ＝ 128① ∴a7＋a6＋…＋a1＝129. (2)令 x＝－1， 则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－ 4)7② ①－② 由 2 得： 1 a7＋a5＋a3＋a1＝2[128－(－4)7]＝8 256. ①＋② (3)由 2 得： 1 a6＋a4＋a2＋a0＝2[128＋(－4)7]＝－8 128.
[规律总结]
本题是先求二项式的指数，再求与通项
有关的其他问题．一般地，解此类问题可以分两步完成：第 一步是根据所给出的条件 ( 特定项 )和通项公式，建立方程来 确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数，且
n≥r的隐含条件)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的
项．此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为 分数指数幂.
第三节
二项式定理及其应用
知识自主· 梳理
掌握二项式定理和二项展开式的性质 最新考纲 ，并能用它们计算和证明一些简单的 问题．
1.运用二项式定理的通项公式求指定 项或与系数有关的问题； 高考热点 2．赋值法、转化与化归思想等在二项 展开式中的应用问题.
二项式定理及应用ppt课件
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
二项式定理ppt课件
与幂级数的联系
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
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• 【答案】
B
2021/02/25
8
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系 数是8，则它的第三项的二项式系数为
() A．24 B．18 C．16 D．6 【解析】 T2＝Cn1an－1(2b)1＝C1n·2an－1b， 所以2n＝8，n＝4，所以Cn2＝C24＝6.
• 【答案】 D
2021/02/25
9
3．(2x＋
1 x2
)7的展开式中倒数第三项的系数
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·x12)5＝C75·4·x2·x110
2021/02/25
17
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
• 【答案】
C 2021/02/25
10
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
当 n 是偶数时，__中__间__的__一__项__C_n2_n__取得最
大值．
2021/02/25
5
当 n 是奇数时，中间两项______和_______
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等 于 2n，即_C_n0_＋__C_1n_＋__C__2n＋__…__＋__C__rn_＋__…__＋__C_nn_ ＝2n.
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
2021/02/25
13
【思路点拨】 写出展开式的通项公式
根据第6项为常数项求n 由n值令x的指数 为2，求r 求出x2的项的系数 令x的指数 为整数k 根据0≤r≤n，r∈Z，求k 根 据k值求出展 开式的有理项
• 【答案】 9
2021/02/25
11
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】
2
2021/02/25
12
求特定的项或特定项的系数
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 _等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
2021/02/25
6
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
2021/02/25
3
• 在公式中，交换a，b的顺序是否有 【提影示响】？从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它
只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
2021/02/25
7
1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
2021/02/25
14
【自主解答】 (1)通项公式为 Tr＋1＝Crnxn－3 r(－12)rx－3r＝Crn(－12)rxn－32r. 因为第6项为常数项， 所以r＝5时，有n－3 2r＝0，即n＝10.
2021/02/25
15
(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
2021/02/25
16
令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它
们分别为
C120(－12)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝
knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2021/02/25
4
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
• 第三节 二项式定理及 应用
2021/02/25
1
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式
热 求指定项或与系数有关的问
点 题；
2021/02/25 提 2.赋值法、转化与化归思想等
2
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C__nnb_n
B
2021/02/25
8
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系 数是8，则它的第三项的二项式系数为
() A．24 B．18 C．16 D．6 【解析】 T2＝Cn1an－1(2b)1＝C1n·2an－1b， 所以2n＝8，n＝4，所以Cn2＝C24＝6.
• 【答案】 D
2021/02/25
9
3．(2x＋
1 x2
)7的展开式中倒数第三项的系数
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·x12)5＝C75·4·x2·x110
2021/02/25
17
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
• 【答案】
C 2021/02/25
10
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
当 n 是偶数时，__中__间__的__一__项__C_n2_n__取得最
大值．
2021/02/25
5
当 n 是奇数时，中间两项______和_______
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等 于 2n，即_C_n0_＋__C_1n_＋__C__2n＋__…__＋__C__rn_＋__…__＋__C_nn_ ＝2n.
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
2021/02/25
13
【思路点拨】 写出展开式的通项公式
根据第6项为常数项求n 由n值令x的指数 为2，求r 求出x2的项的系数 令x的指数 为整数k 根据0≤r≤n，r∈Z，求k 根 据k值求出展 开式的有理项
• 【答案】 9
2021/02/25
11
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】
2
2021/02/25
12
求特定的项或特定项的系数
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 _等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
2021/02/25
6
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
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• 在公式中，交换a，b的顺序是否有 【提影示响】？从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它
只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
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1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
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【自主解答】 (1)通项公式为 Tr＋1＝Crnxn－3 r(－12)rx－3r＝Crn(－12)rxn－32r. 因为第6项为常数项， 所以r＝5时，有n－3 2r＝0，即n＝10.
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(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
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令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它
们分别为
C120(－12)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝
knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2021/02/25
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2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
• 第三节 二项式定理及 应用
2021/02/25
1
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式
热 求指定项或与系数有关的问
点 题；
2021/02/25 提 2.赋值法、转化与化归思想等
2
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C__nnb_n