3.2.2 矩形的性质与判定(二)课件(新北师大版九年级上)

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1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册

B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．

∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，

∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，

即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能

北师大版九年级数学上册矩形的性质与判定第3课时课件

∵ ED=3BE，∴ BE=OE.
又∵ AE⊥BD，∴ AB=AO.
∴ AB=AO=BO.
图3
典例精讲
即△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
1
2
1
2
∴ AE= AD= ×6=3.
你还有其他的解法吗？和同学交流.
图3
典例精讲
习题1.6 第1，2，3，4题.
第一章
1.2
第3课时
特殊平行四边形
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定的综合应用
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
矩形具有而菱形不具有的性质：
知识梳理
课时学业质量评价
有四个直角，对角线相等
.
⁠
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
知识梳理
课时学业质量评价
1. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂
1
2
= (∠BAC+∠CAM )
1
2
= ×180°
=90°.
图4
典例精讲
在△ABC中，
∵ AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，
∴ AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.
又∵ CE⊥AN，
∴ ∠CEA=90° .
∴ 四边形ADCE为矩形
（有三个角是直角的四边形是矩形）.
你还有其他的解法吗？和同学交流.
1
2
D. 6
3
4
5
6
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
知识梳理
课时学业质量评价

矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级上册数学

C.AC⊥BD D.AB∥CD
方法归纳交流对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
合作探究
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且 BE＝CF，AF＝DE.
求证:(1)△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形.
合作探究
证明:(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF ＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.又∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE(SSS).
合作探究
(2)证明:∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∵DE是∠BDC的角平分线， ∴DE⊥BC. ∴∠DEC＝90°， ∵∠CFD＝90°，∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形.
(2)摆放成四边形(如图2)； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格.
预习导学
你能说明其中的道理吗？操作活动:学生画矩形. 问题:大家平时是如何画矩形的呢？请利用手中的三尺或圆规在白纸上画出一个矩形. 1.你的矩形是如何画出来的？(学生交流各自画法) 2.你画出的四边形一定是矩形吗？说明理由.
预习导学
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180° 得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为 60 度时，四边形 ABFE为矩形.
合作探究
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相等，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是( B )
A.BA＝BC B.AC、BD互相平分
合作探究
方法归纳交流条件探索类的问题，一般是把结论当作题设，反向推导出与问题相关的结论.
合作探究
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.

北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)

｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°．又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°，同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )

北师大版初中九年级上册数学课件《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)

【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

北师大版初中九年级上册数学课件矩形的性质与判定第2课时PPT模板

巩固提升
3.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线为 ___1_0___，面积为__4_8_______.21c
【解析】如图，四边形ABCD为矩形,∠A=90°，因为E、F、M、 N是AB,AD,BC、CD中点，所以EFNM是菱形，因为周长为20，所以EF=5，AB=6，AE=3，在RT△AEF中，利用勾股定理可得 AF=8，则AD=8，在RT△ABD中，利用勾股定理可得BD=10，, 所以矩形ABCD的面积=48.
直击中考
1.（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（C ） A、∠BAC=∠DCA B、∠BAC=∠DAC C、∠BAC=∠ABD、 D、∠BAC=∠ADB
解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形； B、 ∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形 ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)
猜想结论
矩形的判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
O
B
C
在□ABCD中
几何语言： AC=BD
新课讲解
小明同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形？

北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定

第一章特殊平行四邊形
第2節矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的角矩形的四個角都是直角.
性
質對角線矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎麼判斷一個四邊形是菱形呢？

1.2第3课时矩形的性质与判定的运用-北师大版九年级数学上册习题课件

的最小值为_____. 1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
(1)求证：□ABCD为矩形；
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
第一章特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
12 ．【贵州安顺中考】如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC ＝ 90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为_____1.52
数学·九年级（上）·配北师
第一章特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第三课时矩形的性质与判定的运用
第一章特殊平行四边形
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第一章特殊平行四边形
数学·九年级（上）·配北师
以练助学名师点睛基础过关能力提升思维训练
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数学·九年级（上）·配北师
以练助学
B．BE⊥DC 12．【贵州安顺中考】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN
的最小值为_____. 13．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点A′处，设A′B与CD相交于点E，若AB＝8，BC＝6，则EB＝_____.
【典例】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． (1)求证：□ABCD为矩形； (2)若AB＝4，求□ABCD的面积．

北师大版九年级上册矩形形的性质与判定课件

C.对角线相等 D.对角线互相平分
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是R t△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
符号语言
∵BE是R t△ABC斜边的中线， ∴ BE= 1AC
2
当堂检测
4.如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
AE∥CD，CE∥AB,试判断四边形ADCE的形状，并证明你的
结论。
你还有其它解法吗？
当堂检测
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=6cm，OA=4cm，求BD与AD的长.
当堂检测
2.一个矩形的对角线的长为6，对角线与一边夹角是45°，求这个矩形的各边长。
当堂检测
3.一个矩形的两条对角线的夹角是60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长。
矩形是轴对称图形，有4条对称轴。
3、你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
量一量
自己随便画一个矩形，量一量它的边、对角线的长度和角的度数，然后小组再合作交流一下，矩形有什么特殊的性质？
发现：
矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。
证明矩形的四个角都是直角。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠A=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
1.2.1矩形的性质与判定
时间其实是最公正的，任何人都是24小时，时间它也是最不公正的，对任何人都不是24小时。
情景导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，视察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定(共13张PPT)

可根据条件灵活选用恰当的方法．
求证：
是矩形。
A
解：∵ABCD是平行四边形，意四边形，还是平行四边形，然后选择适
已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相
O
∴AC = 2OA，BD = 2OB。矩形的判定方法分两类：
A．对角线相等
B．对角线垂直
∵OA = OB，求证：四边形ABCD是矩形
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
O
是矩形吗？为什么？
)1 B
2( C
1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这个平行四边形的面积。
3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。Βιβλιοθήκη 求证：判是矩定形定。理1
矩 ∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ ∠ABC = 90°，
形有三个角都相等的四边例形是如矩：形．
已知：在
中，AC = BD。
对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
的延长CD到点E,使得 DE＝CD。
在Rt△ABC中，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°，
∴AD∥BC， AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
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例题已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.

1.2矩形的性质与判定-九年级上册初三数学(北师大版)

（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的问题，如矩形的性质在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量矩形物品的边长和角度，验证矩形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
-空间观念的培养：对于一些空间想象力较弱的学生，理解矩形的空间结构可能会是一个难点。
举例解释：
-在证明矩形的性质时，如对角线互相平分，需要引导学生运用之前的平行四边形性质和全等三角形的判定，这对于学生的逻辑推理能力是一个挑战。
-在判定矩形时，学生可能会对“两组对边分别平行且相等”的条件理解不深，需要通过具体例题和变式练习来帮助学生突破这个难点。
3.提升数学建模素养：结合实际生活中的矩形实例，让学生运用所学知识构建数学模型，解决实际问题，提高数学建模素养。
4.增强空间观念：通过对矩形性质和判定的学习，培养学生的空间想象力和空间观念，为后续几何学习打下基础。
5.培养学生的团队协作和交流能力：在小组讨论和分享环节，鼓励学生积极参与，学会倾听他人意见，提高团队协作和交流表达能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是四边形中有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，如建筑、设计等领域。

北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理：直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.

北师大版初三上册第一章2.3矩形的性质与判定(教案)

北师大版初三上册第一章2教学目标：1.矩形的性质与判定方法的应用.2.在复习的过程中,提升推理论证能力,通过复习,提高学生运用知识的能力.教学重难点：【重点】矩形的有关性质与判定方法.【难点】如何运用矩形的性质与判定来解决问题教学过程：一、新课导入：回答下列问题.问题1矩形有哪些性质?问题2如何判定一个平行四边形是矩形?问题3如何判定一个四边形是矩形?[处理方式]3个问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正.二、新知构建矩形性质的应用(教材例3)如图所示,在矩形ABCD中,AD＝6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED＝3BE.求AE 的长.矩形判定的应用(教材例4)已知:如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,AD是ΔABC的一条角平分线,AN为ΔABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形.三、学生活动积极探究多种解题方法,尝试用不同的方法解决问题,小组合作交流探究的成果,体验成功的欢乐.四、课堂小结1.矩形的性质(1)矩形的四个角差不多上直角.(2)矩形的对边相等.(3)矩形的对角线平分且相等.2.矩形的判定方法(1)一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.五、课堂练习1、在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，A B=4㎝，则AC=_______㎝.2、如图所示，已知ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明ABCD 是矩形的有（填写序号）. 3、如图，矩形的对角线交于点O ，过点O 的直线交AD 、BC 于点E 、F ，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为___ _______.4、一个平行四边形,假如对角线 ,则此平行四边形就变成矩形;假如对角线 ,则此平行四边形就变成菱形.六、布置作业1、如上图1，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（） A ．125 B ．135 C ．52 D ．22、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，四边形AB DE 是平行四边形，求证：四边形ADCE 是矩形.3、如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF 是什么四边形?（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形?。

矩形的性质与判定课件初中数学北师大版九年级上册

BC＝CB，

∴△BEC≌△CFB(AAS)．∴BE＝CF.
知2－练
感悟新知
知识点 3 直角三角形斜边上中线的性质定理图示知3－讲
数学表达式
如图，在Rt △ ABC 中，
直角三角形斜
边上的中线等
感悟新知
知2－讲
知识点 2 矩形的性质
矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的
所有性质. 矩形的性质可以从边、角、对角线、对称性这
四个方面来研究. 总结如下表：
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知2－讲
图形
性质
对边平行
对边相等
数学表达式
AB∥CD，AD∥BC
边
AB=CD，AD=BC
∵四边形ABCD 是矩形，
矩形的四个
又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形.
∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC.
∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，在△ ABC中，D 是BC
的中点，E 是AD，BF 的中点，
AB=AC. 求证：四边形ADCF
是矩形.
AC，CF ⊥ BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF.
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证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
1
1
∴AC＝BD，OC＝2AC，OB＝2BD.
∴OB＝OC.∴∠FBC＝∠ECB.
∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEC＝∠CFB＝90°.
∠BEC＝∠CFB，

在△BEC 和△CFB 中，∠ECB＝∠FBC，
≌△COB.
AOB ≌ △ COD，△ AOD
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《矩形的性质与判定》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (15)

形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是
.
30°
关闭
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
6.若矩形的两条对角线相交所成的一角为 120°,且交点到一边的距
离是 3,则这个矩形的面积是
.
12 3或 4 3
关闭
答案
第一章整式的乘除
4 整式的乘法（第1课时）
温故育新：
运用幂的运算性质计算下列各题：
(1)(a5)5
探索规律：
单项式乘法的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
例题解析：
例1 计算：
(1)2 xy 2 ( 1 xy ) 3
(2) 2a2b3 (3a)
(3)2bc3)(3c5)(1ab2c)
2
3
4
5
6
2.下列命题中,正确的是( ) A.矩形的对角线相等且互相垂直 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D.直角三角形斜边上的中线不一定等于斜边的一半长
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
3.矩形相邻两边的比为 2∶3,面积为 54,则矩形的周长是
A.15
B.10
完成课本15页：随堂练习
延伸拓展：
一家住房的结构如图
y
2y
示，房子的主人打算把卧室以外的部分全都铺
卫生间
卧室
上地砖，至少需要多少 x 厨房
4x
平方米的地砖？如果某
种地砖的价格是a元/平 2x
客厅