反比例函数综合复习复习

y
A
y＝kx+2k，
l
∴ B (－3，－k)，A (1，3k).
16 ∵ △ABO的面积为 ， 3
M B
N
O x
1 1 16 ， ∴ 2· 3k· + 2· k· = 2 2 3
4 8 4 解得 k . ∴ 直线 l 的解析式为y = x + ． 3 3 3
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ 解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值.
x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 在实际生活中的应用
性质
应用
在物理学科中的应用
当堂训练 （15分钟）
见章末练习
间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特 殊处理的时间为多少分钟?
解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2． 168 由y ，解得x =14. y(℃) x 28 所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为 14－2=12 (分钟)．
14
4 O
12 x(min)
当堂小结 1分钟
定义 图象 反 比 例 函 数
九年级数学下（RJ） 教学课件
期末复习
第二十六章
反比例函数
方贤东
复习指导一 （6分钟）
1、反比例函数的概念 k y （1）定义：形如________ x (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数， 其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．
k 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． （2）三种表达式方法： y x
y
∵ △PCA面积和△PDB面积相等，
1 1 1 ∴ 2 AC·[t－(－4)]= 2 BD·[ 2－( t+ 2
5 解得：t = . 2 5 5 ∴ 点 P 的坐标为 ( ， 4 )．
2
5 )]， 2
B P Ox
D
A C
方法总结： 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等 知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求 三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐 标算出线段长度. 考点4练习： 3k 如图，设反比例函数的解析式为 y (k＞0)． x (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个 y 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的 直线 l：y=kx+b 的图象交于 A，B 两点， 16 如图所示，当 △ABO 的面积为 时， 3 O 求直线 l 的解析式； (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时， 一次函数的 值小于反比例函数的值？
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 2、反比例函数的图象和性质
k (1)反比例函数的图象：反比例函数 y (k≠0)的图象是 双曲线 x
它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称 轴为直线
y =x
和 y= -x ；对称中心是： 原点 .
（2）反比例函数的图象和性质: 函数 解析式 图象形状
y(℃)
28 14
4 O
12 x(min)
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出x的取值范围）；
答案： y=
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，
168 (x＞6). x
y(℃)
28 14
4 O 12 x(min)
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的这段时
4
O
2
x/小时
(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
k 设 y . x
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 4 k ， 2 解得 k ＝8.
y/毫克
4
8 即 y . x
O
2
x/小时
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线
双曲线两分支分别在 第一、第三象限 （x、y同号） 在每一个象限内y随x的增大而减小； 双曲线两分支分别在 第二、第四象限（x、y异号） 在每一个象限内y随x的增大而增大
k>0
增减性 位置Fra Baidu bibliotek
k<0
增减性
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
y N O
l
A (1，3k)
M
B (－3，－k)
x
例题点拨：
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每 毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小 时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位： 小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以 上信息解答下列问题： (1)求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药 y/毫克 一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解： （1）当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 成正比例函数关系． 设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
2
x/小时
考点训练
如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为
y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过 程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度 为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加 热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间 x 成反比例函数关 系，已知第 12 分钟时，材料温度是14℃．
PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，
则△POB的面积为 1 .
练习： 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上
一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与反比 例函 k 8 数y (x＞0)和 y (x＞0) 的图象交于P，Q 两点， x x 若 S△POQ=14，则 k 的值为 20 .
则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
8 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. x y/毫克 所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 1＋2＝3 (小时)． 4
O x
m 把 B (－1，2)代入 y 中，得 m =－1×2=－2. x
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA
和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标.
5 1 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + 2 )，P点到直线 AC 的 2 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为 5 1 2－( t + 2 )． 2
3、反比例函数的应用
（1）利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 y
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式.
k ； x
（2）反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组的解. （3）利用反比例函数相关知识解决实际问题
4 10
k 2、如图，已知点 A，B 在双曲线 y 上，AC⊥x 轴于点C， x
BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若
△ABP 的面积为6，则 k =
24
.
1 S△ABP= S四边形BFCP， 2 1 = (S四边形BDOF－S四边形OCPD) 2 1 1 = (S四边形BDOF－ S四边形AEOC) 2 2 1 1 1 = (k－ k)= k = 6. 2 2 4 ∴ k =24.
练习：已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比 k 例函数 y (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大 x
到小) 为 y1 ＞0＞y2 .
考点三 与反比例函数 k 有关的问题
2 4 y 例2 如图，两个反比例函数 y 和 在第一象限内的图 x x 象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，
② y = 2x2
1 ⑥y x
1 ③ y x 1 ⑦y 3x
2x ④y 3 3 ⑧y 2x
2、已知点 P(1，－3) 在反比例函数的图象上，则 k 的值是(B ) 1 1 A. 3 B. －3 C. D. 3 3
3、若 y a 1 x
A. 1
a2 2
是反比例函数，则 a 的值为
得P (1，2)，
y ， 2
P
O
x
(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y=kx +b 的 16 图象交于 A，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为 时， 3 求直线 l 的解析式； 解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b，
得 b= 2k，∴y = kx+2k， 3k y ， x 解得 x =－3 或 1. ∴
y B O D x
A
C
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
1 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 2
1 － 4k + b = ， 2 解得 －k + b =2，
1 k= ， 2 5 b= ， 2
y
D
B A C
5 1 所以一次函数的解析式为 y = x + 2 . 2
E
F
考点四 反比例函数的应用
1 例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 2 m y =kx+b 与反比例函数 y (m＜0)图象的两个交点，AC⊥x x
轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值； (2) 求一次函数解析式及 m 的值； (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD， 若△PCA和△PDB 面积相等，求点 P 坐标. 解：（1）当－4＜ x ＜－1时， 一次函数的值大于反比例 函数的值.
k 的几何意义：
（1）反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积
(xy＝k) 为常数这一特点；
（2）过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线 与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线 k 与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 ． 2
C. ±1
(A )
B. －1
D. 任意实数
考点二 反比例函数的图象和性质
例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函
6 数 y 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( D ) x
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
x
3k 如图，设反比例函数的解析式为 y (k＞0)． x
交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个
解： （1）由题意知点 P 在正比例函数y =2x 上，
把 P 的纵坐标 2 带入该解析式，
3k 把 P (1，2) 代入 y x 2 得到 k . 3
k2 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 y (k2≠0)的交 x
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取
非负值.
复习检测
考点一 反比例函数的概念
1、 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
① y = 3x－1 ⑤ y = 3x