无理数与实数

6.3 《无理数与实数》导学案

教学目标：

1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类

2.知道实数与数轴上点的一一对应关系

教学重点： 实数的概念及实数的分类 教学难点： 理解的无理数意义 教学过程：

【知识回顾，创设情境】

1、 把下列各数按要求填在横线上：

1.91， 0，-52，+75，18，-7.5，

，3.101001000100001 (4)

4

3-

整数 ；分数 ；正数 。

2、 有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请在小组内交流。

3、

4、

9

5

,9011,119,847,53,3-

发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？

验证：下列有限小数能化为分数吗 5、2.3、0.25、1.334, …… 验证：无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料

设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② ②－①,得:９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3

仿此法：能把0.21，0.125化成分数吗？试试看。 【合作交流，探究新知】

【活动1】无理数的概念

问题： 我们在求一个数的平方根或立方根时发 现有些数的平方根或立方根是无限不循环数。 如

2=1.41421356 … ,又如 π＝3.14159265…,还有

1.101001000100001 …(每两个1

之间依次多一个0）。这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，那么它们是什么数呢？

1、 无

2、 常

你们的结论是 【活动2】无理数与数轴的关系

我们知道有理数能用数轴上的点来表示；那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？

探究1：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长

画正方形，则对角线的长度就是2，以原

点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正

半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点 就是 。

探究2：如图所示，直径为1个单位

长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，那么点O ′所表示的数是 ；若向原

归纳：(1)无理数都是无限小数. (2)带根号的数是无理数.

(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数 应用：在这些数5， 3.14， 0， 3 ，3

4- ， 0.57 ，4- ，- π，

0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．

有理数有 ；无理数有 ； 整数有 ：分数有

【活动3】实数的概念及分类

定义： 统称为实数

分类：按照定义分类如下： 按照正负分类如下：

实数

【活动4】实数与数轴上点的对应关系

1、每一个有理数都可以用 的一个点来表示，每一个无理数都可以用 的一个点来表示

2

3

【应用举例，巩固拓展】

例1、把下列实数按要填在相应的集合中

① 理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④整数集合： ｛ …｝．

②有一定的规律，但不循环的无限小数；

③圆周率及一些含有的数。

例2、写出一个3到4之间的无理数 点拨1：按无理数的概念来构造

例3、如图，数轴上表示1 的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点

为点C ，则C 点表示的数是

点拨：①计算AB 两点间的距离

②利用点的对称性得AC 两点间的距离

【知识小结，反思提高】

１．通过今天的学习,用你自己的话说说你对下列三个问题的理解？

问题1 举例说明无理数的特点是什么？ 问题2 实数是由哪些数组成的？

问题3 实数与数轴上的点有什么关系？ ２．你的困惑是什么？请与同学们交流。

【课堂检测，提升能力】

１．判断正误，并说明理由．

⑴无限小数都是无理数； ⑵无理数都是无限小数； ⑶带根号的数都是无理数；

⑷有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；

⑸实数包括正实数、0、负实数； 2、把下列各数分别填在相应的括号里：

， ， ， ， ， ，

， ，0

①有理数（ ）；

②分数（ ）；

③正实数（ ）； ④非负整数（ ）．

3、观察数据，按规律填空2,2, 6

,

22, 10 …, (第n 个数) 4、满足—3＜x ＜5的整数X 是

【课堂作业，巩固提高】

1、下列各数π， 23）（-，3.14 ，2 ， 0 中有理数的个数有( ) A .2个 B . 3个 C .4个 D .5个

2、判断：

（1）无理数都是无限小数。 ( )

（2） 是一个分数。 ( )

（3）带根号的数都是无理数。 ( ) （4）无理数一定都带根号。 ( ) （5）两个无理数之积不一定是无理数。 ( ) （6）两个无理数之和一定是无理数。 ( ) (7）实数不是有理数就是无理数。 （ ） (8）无理数都是无限不循环小数。 （ ） (9）带根号的数都是无理数。 （ ） 3、把下列各数分别填入相应的集合里：

227

3.141,,,,,1.414,0.020202

,7378π----

正有理数{ …} 负有理数{ …} 正无理数{ … }

负无理数{ …}π

-

9-3564π

∙6.043-313.0240.157.5π0 2.33

∙

--，，，，，，．

2

π