三角形三边关系的典型题例析
解三角形经典例题及解答
正弦、余弦定理知识回忆：1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c bC B=， 从而sin sin a bA B =sin c C=． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． 4、理解定理〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B=，sin a A =sin c C ． 〔3〕正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ．〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理：7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。
8、余弦定理的推论：=A cos ；=B cos ； =C cos 。
9、在，反之成立；则中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立；则中，若,222c b a ABC +=∆，反之成立；则中，若,222c b a ABC +>∆ 典型例题：例1、在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．例2、〔1〕在△ABC 中，已知1 求cosB.〔2〕在△ABC 中，已知a=、B=1500求b.〔3〕在△ABC 中，已知a=8, b=B=300求c.例3、在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+=c b a例4、C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例5、 在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bca cb A 2cos 222-+=代入右边得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab+-+--=-=22a b a bab b a-==-=左边，∴)cos cos (aA bB c a b b a -=- 例6、 在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++例7、 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++。
《三角形三边的关系》课例分析 黎娟红
“小材”也能“大用”——以丁杭缨老师“三角形三边关系”为例谈数学教材的使用江山市新塘边小学黎娟红如何用简单的材料“做”出大花样，真正做到小材大用，营造出简约却不简单的数学课堂？前不久参加了“北师大版十年回顾与展望”活动，有机会现场聆听了浙江省特级教师丁杭缨老师执教的《三角形三边关系》一课，受到不少的启发。
丁老师的整个教学设计看似简单，实际内涵极其丰富。
前后使用两次剪吸管目的却各不同，能让你感受到一种内在的张力和深刻。
在这节课中，她把空间思维力渗透做到了极点，突出她所追求的理念——为“思维而教”。
用丁老师自己的话说“任何细节做到极致就是完美。
”第一次“剪”——思维的建构【片段】师：前面我们学习了三角形的一些知识，这节课我们继续来探究三角形。
现在我有一根吸管，将它任意剪成三段，将这三段首尾相联，猜一猜能围成什么样的图形？生：三角形师：能不能围成三角形，要动手围了才能知道。
来大家动手围一下。
（学生动手操作，积极性很高，剪出来的三条边各不相同）生 1 ：我剪的能围成三角形生 2 ：我剪的不能围成三角形………师（选取作品展示）：为什么有的能围成有的不能围成呢？它和什么有关系？生：和剪下的三根吸管的长度有关系。
师：要怎么样才能围成一个三角形呢？生：（思索）较短的两边之和长度大于第三边，就一定能围成三角形。
分析：为了引导学生通过实践操作来探究当两边之和等于第三边的时候能否围成三角形，很多老师都选择了用小棒作为探究材料。
但由于小棒都存在着一定的粗细，学生在用两根较短的两根小棒往下压的操作过程中，都会得出“能围成三角形”这样一个误解。
这样的结论显然和学习的目标是矛盾的，学生操作以后，老师想扭转这个错误的结论，往往很难向学生解释清楚，教学语言显得苍白无力。
而特级教师丁杭缨通过剪吸管来得出：怎样的情况下能围成三角形，怎样的情况下不能围成三角形。
丁老师通过把一根吸管任意“剪”成三段，一次“围”的动作即对操作结果的思考，激活了学生已用经验中解决问题的思维角度，并与黑板上出现的三类数学信息资源交互作用的过程中各自拥有对所遇问题的解释，使“两边的和与第三边比较”的方法顺理成章成为解析围成三角形的一个必要条件。
三角形三边关系考点汇总
三角形三边关系考点汇总一，四根木棍组合形式（先穷尽后挑选）例：已知有4根木棍，长度分别为（单位：cm）3，5，6，8.请问可以组成几个不同的三角形。
此类问题首先找到4根木棍在不考虑三角形三边关系的情况下，有几种选择方式。
分别是3，5，6；3，5，8；3，6，8；5，6，8.然后再根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，进行排除。
最后发现有三种情况。
二，直接给出三个线段长度判断此类问题一般是选择题，四个选项给出四中不同的情况让去逐一判断。
例：以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1，2，4 B，8，6，10 C，12，5，6 D，2，5，7碰到此类问题，仍然是考察三角形三边关系。
任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
但是如果没有合适的方法，部分选项我们可能最多需要判断六次，大大的增加的该题的复杂度。
最好的办法就是把每一个选项从小打到排序。
只要两个最小的线段的和大于最长的那个线段，便一定满足任意两边之和大于第三边。
也可以看最长线段长减去最短线段长的差是否小于第三条线段的长。
若是则可以组成。
三，化简或者判断三角形的形状此类问题的核心是根据三边关系进行化简判断例3：若△ABC的三条边长度分别为a,b,c，①化简：|a-b-c|+|a+b-c|-|a+c-b|②已知三边关系满足|a-b|+(b-c)2=0，判断三角形的形状分析：该题要谨记三角形的三边关系四，已知两边（一）已知两边求第三边的取值范围例：已知三角形两边长分别为1，7，求第三边的取值范围解：设第三边长为x则： 7-1 <X<7+1解的 6<x<8（二）已知两边长，第三边范围增加限制条件例：已知三角形两边长分别为1，7，第三边边长为奇数，求第三边的取值范围分析：该题是最爱出填空题。
作为直接使用三角形三边关系，求出第三边范围之后，添加限制性条件，锁定第三边的取值范围。
要注意区分奇数与偶数。
本体答案就是7 （三）一直两边长和周长的范围，求第三边长例：已知三角形两边长分别为1，7，该三角形周长不大于16.求第三边的取值范围（四）已知两边长，周长取值范围，第三边长的限制条件。
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
《解三角形》常见题型详解
《解三角形》常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒∴（150°-A ）.∴°·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4综合①②可得a+b 的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
基于核心素养培育的小学数学教学实践——以“三角形的三边关系”为例
方法探微基于核心素养培育的小学数学教学实践———以“三角形的三边关系”为例文|赵建龙在小学阶段，数学教学不仅要求学生熟练掌握知识点，还强调核心素养的培养。
本文以“三角形的三边关系”为例，探讨了在实际的教学实践中教师需要通过丰富的数学活动与案例引导学生发现数学问题的本质，让学生在实践中感知三角形的性质，培养学生运用数学方法解决问题的能力。
同时，教师也需要关注学生的情感体验，通过鼓励、肯定和引导，使学生建立积极的数学情感，在解决数学问题的过程中体验到成功，逐渐树立学习自信心，从而全面提高自身的学科素养，能够熟练地应用数学方法解决实际问题。
一、基于核心素养培育的小学数学教学原则（一）综合性原则在小学数学教学中，综合性原则是确保学生全面发展的重要基石，强调将数学知识与解题技能进行有机整合。
在“三角形的三边关系”的主题教学中，综合性原则主要表现为教师不仅要注重增强学生对三角形三边关系的理论认知，还要引导学生将这一知识点与其他数学概念相连接，形成系统性的数学思维。
例如，通过引导学生探讨三角形的内角和为180度的性质，使学生在理解三边关系的同时加深对角度概念的认知。
此外，将三角形的三边关系与实际问题相结合，也可以让学生在解决实际问题中利用这一知识点形成综合性的数学思维模式。
在考试或作业中设置综合性问题，要求学生运用多个数学概念进行解答，不仅强调了对三角形三边关系的独立理解，还能让学生将这一知识点融入更为复杂的问题解决中。
（二）启发性原则启发性原则的核心思想在于激发学生的学习兴趣与主动性。
教师需要通过巧妙的引导性教学设计和情景创设让教学活动更具有趣味性和启发性，从而提高学生的探究兴趣，激发学生的好奇心。
教师可以凭借生动的故事、实际情景的引入以及具有挑战性的问题设置，让学生进行主动思考，引导学生主动提出问题，并激发学生解决问题的欲望，还需要贴近学生的生活设置问题情景，让学生在实际操作中感受到学习数学的乐趣。
在“三角形的三边关系”这一主题教学中，教师可以营造轻松、积极的学习氛围，让学生通过测量、比较的实际操作，提出一个关于不同三角形三边关系的比较问题，让学生思考哪种三角形更特殊，并深入探究这一知识点背后的数学规律，从而激发学生的好奇心，培养学生主动提出问题并寻求解决方法的能力，使其主动投入学习中，实现深层次学习。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
2020版七年级数学下册第四章三角形试题(新版)北师大版及参考答案
第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.【例】若三角形的两边长分别为6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为( )A.2 cmB.3 cmC.7 cmD.16 cm【标准解答】选C.设第三边长为xcm.由三角形三边关系定理得9-6<x<9+6,解得3<x<15.(2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较.【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8【标准解答】选A.分析各选项:A.∵3+4<8∴不能构成三角形;B.∵4+6>9∴能构成三角形;C.∵8+15>20∴能构成三角形;D.∵8+9>15∴能构成三角形.(3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据.【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC<AB+AC.【标准解答】延长BP交AC于点D,在△ABD中,PB+PD<AB+AD ①,在△PCD中,PC<PD+CD ②,①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC.1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1,1,2B.3,4,5C.1,4,6D.2,3,72.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是( )A.2B.3C.5D.83.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是( )A.1,3,5B.1,2,3C.2,3,4D.3,4,54.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个.5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是.2.求一个角的度数的方法(1)当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和定理计算.【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等于( )A.40°B.65°C.75°D.115°【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°.∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-40°-75°=65°,∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.(2)当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算. 【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( )A.75°B.95°C.105°D.120°【标准解答】选C.∵∠ACO=45°-30°=15°,∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°.(3)当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角.【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°【标准解答】选D.如图,方法一:∵l1∥l2,∴∠1=∠ABC=60°,∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°;方法二:∵l1∥l2,∴∠2=∠3.∵∠1=∠4=60°,∠A=40°.∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°.1.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为( )A.75°B.60°C.65°D.55°2.如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )A.17°B.34°C.56°D.124°3.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= ( )A.118°B.119°C.120°D.121°4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD= ( )A.80°B.75°C.70°D.65°5.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B= °.6.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法(1)在全等三角形中找对应边和对应角,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点字母的顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.(2)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角.两条对应边所夹的角是对应角.(3)全等三角形中的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角.(4)最大边是对应边,最小边是对应边,最大角是对应角,最小角是对应角.【例】如图,△ABC≌△DEF,点A与点D是对应顶点,则BC的对应边是,∠BAC的对应角是.【标准解答】因为点A与点D是对应顶点,对应顶点所对的边是对应边,所以BC的对应边是EF;又因为以对应点为顶点的角是对应角,所以∠BAC的对应角是∠EDF.答案:EF ∠EDF如图所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等应表示为( )A.△ABC≌△AEDB.△ABC≌△EADC.△ABC≌△ADED.△ABC≌△DEA4.全等三角形(1)判定基本思路:在证明两个三角形全等时,往往题目中已知某些边或角的条件,常根据以下思路来寻找三角形全等的条件.(2)常见的全等三角形的基本模型:①平移变换型②轴对称变换型③旋转变化型【例1】已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.【标准解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C,∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE,∴AE=CF.【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D. 求证:△BEC≌△CDA.【标准解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,∴∠BEC=∠CDA=90°,在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD,在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,∵BC=AC,∴△BEC≌△CDA.1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°2.如图,B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .3.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.4.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证:(1)∠AEC=∠BED.(2)AC=BD.5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.求证:(1)∠ABC=∠EDC.(2)△ABC≌△EDC.6.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.5.尺规作图用尺规作图作出图形的三个步骤:(1)分析图形,明确作图顺序.(2)选择合适的基本作图.(3)验证所作图形是否符合要求.【例1】如图所示,已知线段AB,∠α,∠β,分别过A,B作∠CAB=∠α,∠CBA=∠β.(不写作法,保留作图痕迹)【标准解答】如图所示:.【例2】作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)已知:(如图)线段a和∠α,求作:△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.【标准解答】如图所示:1.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β.(要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法)2.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图2的四边形ABDC′.(1)四边形ABDC′具有什么特点?(2)请同学们在图3中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求:写出作法,但不要求证明).跟踪训练答案解析第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧【跟踪训练】1.【解析】选 B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.2.【解析】选C.设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5-2<x<5+2,即3<x<7.故选C.3.【解析】选C.设他所找的这根木棍长为x,由题意得:3-2<x<3+2,∴1<x<5,∵x为整数,∴x=2,3,4.4.【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8,∴三边长可以为:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8;故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个.答案:205.【解析】由中线性质,可得AG=2GD,则S△BGF=S△CGE=S△ABG=×S△ABD=××S△ABC=×12=2,∴阴影部分的面积为4.答案:42.求一个角的度数的方法【跟踪训练】1.【解析】选A.如图,∵∠1=60°,∠2=45°,∴∠α=180°-45°-60°=75°.2.【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠DCE=∠A=34°,∵∠DEC=90°,∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°.3.【解析】选C.∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠B,∠C的平分线为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.4.【解析】选B.∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=∠B=45°,∴∠EFD=180°-60°-45°=75°.5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°, ∴∠B=70°.答案:706.【解析】∵直线l1∥l2,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.即S1=S2=S3.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法【跟踪训练】【解析】选C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以点C与点E,点B与点D是对应点,故应表示为△ABC≌△ADE,所以选C.4.全等三角形【跟踪训练】1.【解析】选C.A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;B、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;C、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;D、添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意;故选C.2.【解析】∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,∵BE=CF,∴BC=EF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF,∴DF=AC=6.答案:63.【解析】在△ABF和△ACE中,∴△ABF≌△ACE(SAS),∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),∴BF=CE(全等三角形的对应边相等),∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF,在△BEP和△CFP中,∴△BEP≌△CFP(AAS),∴PB=PC,∵BF=CE,∴PE=PF,∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF.4.【证明】(1)∵AB∥CD,∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠AEC=∠BED.(2)∵E是AB的中点,∴AE=BE,在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD.5.【证明】(1)在四边形ABCD中,∵∠A=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°.又∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.∵在△ABC和△EDC中∴△ABC≌△EDC.6.【证明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EAC,在△ABD和△CAE中,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.5.尺规作图【跟踪训练】1.【解析】已知:线段a,b和∠β.求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意两边分别等于a和b,夹角为β).2.【解析】(1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等).(2)作法:①延长NP;②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G;③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q;④连接MQ,PQ;⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形.。
初二数学 全等三角形经典模型及例题详解
辅助线模型考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，Δ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
初中数学 三角形三边关系的典型题例析
三角形三边关系的典型题例析江苏刘顿三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2（1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm、7cm、10cmB.7cm、10cm、13cmC.5cm、7cm、13cmD.5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a ，a ＋4，a ＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为(a ＋1)＋(a ＋1)=2a ＋2＞2，(a ＋1)＋2a =3a ＋1＞(a ＋1)，所以以线段a ＋1，a ＋1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长.简析 如图1，设腰AB =x cm ，底BC =y cm ，D 为AC 边的中点.根据题意，得x +12x ＝12，且y +12x ＝21；或x +12x ＝21，且y +12x ＝12. 解得x ＝8，y ＝17；或x ＝14，y ＝5.显然当x =8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm. 例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.简析 设第三边长为x 厘米，因为9-2<x <9+2，即7<x <11，而x 是奇数，所以x =9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题 此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，B C 图2图1D C BA故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.简析因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值.简析因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例9现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4简析由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C.例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c . 所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ). 所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24. 所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a 由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 已知P 是△ABC 内任意一点，试说明:AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由. 简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD . 在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )，1(AB＋BC＋CA).综上所述：AB＋BC＋CA＞P A＋PB＋PC＞2。
(文章)三角形三边关系运用举例
三角形三边关系运用举例三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目．现举例说明．一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m 和7m ，问第三条绳子的长有什么限制．解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a 、b ，则第三边c 满足|a －b |＜c ＜a ＋b ．设第三条绳子的长为x m ，则7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10．故第三条绳子的长应大于4m 且小于10m ．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm解析 根据三角形的三边关系，只需判断较小的两边之和是否大于最大边即可．因为6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B ．例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a －3，a ，3(其中a ＞3)；（2）a ，a ＋4，a ＋6(其中a ＞0)；（3）a ＋1，a ＋1，2a (其中a ＞0)．解析 （1）因为(a －3)＋3=a ，所以以线段a －3，a ，3为边的三条线段不能组成三角形．（2）因为(a ＋6)－a =6，而6与a ＋4的大小关系不能确定，所以以线段a ，a ＋4，a ＋6为边的三条线段不一定能组成三角形．（3）因为(a ＋1)＋(a ＋1)=2a ＋2＞2，(a ＋1)＋2a =3a ＋1＞(a ＋1)，所以以线段a ＋1，a ＋1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形．三、确定组成三角形的个数问题例4、现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形．即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C ． 例5 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？解析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c ．因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c )．又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c ．所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c )．所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c )．31×24＜a ＜21×24．所以8＜a ＜12．即a 应为9，10，11．由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个．四、确定三角形的边长例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x 厘米，因为9-2<x <9+2，即7<x <11，而x 是奇数，所以x =9．故应填上9厘米．例10 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长．解析 如图1，设腰AB =x cm ，底BC =y cm ，D 为AC 边的中点．根据题意，得x +12x ＝12，且y +12x ＝21；或x +12x ＝21，且y +12x ＝12．解得x ＝8，y ＝17；或x ＝14，y ＝5．显然当x =8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm ．注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．五、化简代数式问题例7、 已知三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值．解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号． 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0．所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10．故b =5． 图1 D C B A。
三角形三边关系的典型题例析
三角形三边关系的典型题例析三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10. 故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2 （1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm、7cm、10cmB.7cm、10cm、13cmC.5cm、7cm、13cmD.5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形. （3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形. 三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例 4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm两部分，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.简析 设第三边长为x 厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x 是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.B C图2图1 D C B A例7 已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.简析因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc －2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值.简析因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4简析由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C.例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c.因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c . 所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ). 所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24. 所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a 由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 已知P 是△ABC 内任意一点，试说明:AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由. 简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD . 在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ； 在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )， 综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).。
中考数学专题复习_第十七讲__三角形与全等三角形(含详细参考答案)
第十七讲三角形与全等三角形【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为9-4＜5＜8+4，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．81．B考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°思路分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故选A．点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°2．A考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可． 解：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，理由如下：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，E C AE ACEAM CAN =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEM ≌△CAN （ASA ）．点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ．思路分析：要证明BE=CD ，把BE 与CD 分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS 可得出三角形ABE 与三角形ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．证明：在△ABE 和△ACD 中，B C A A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 在AB 上，连结BE ．请找出一对全等三角形，并说明理由．3．解：△ACE ≌△BCD ．∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD （都是∠ACD 的余角），在△ACE 和△BCD 中，∵CE CD ACE BCD CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ．4．（2013•十堰）如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，BD=CE ．求证：AD=AE ．4．证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABD 与△ACE 中，∵AB AC B C BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．思路分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）； 故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：在△ABC 和△ADE 中，A A C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练【聚焦山东中考】1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AE=CE ．2．证明：如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，∵CE ⊥AD ，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D ，在△BCF 和△CDE 中，90BCF D CED BFC BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴BF=CE ，又∵∠A=90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，∴四边形AEFB 是矩形，∴AE=BF ，3．（2013•菏泽）如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ．（1）求证：△ABE ≌△CBD ；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数．3．（1）证明：∵∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE 和△CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；（2）解：∵AB=CB ，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；4．（2013•临沂）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF=DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE=DE ，BD=CD ，在△AFE 和△DBE 中AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ），∴AF=BD ，∴AF=DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明：∥BC ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD=DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE=BD+CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状．5．证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵BF=AF在△DBF 和△EAF 中FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△EAF （sas ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．6．（2013•烟台）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系式 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．6．解：（1）AE ∥BF ，QE=QF ，理由是：如图1，∵Q 为AB 中点，∴AQ=BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∠BFQ=∠AEQ ，在△BFQ 和△AEQ 中BFQ AEQBQF AQE BQ AQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFQ ≌△AEQ （AAS ），∴QE=QF ，故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ．（2）QE=QF ，证明：如图2，延长FQ 交AE 于D ，∵AE ∥BF ，∴∠QAD=∠FBQ ，在△FBQ 和△DAQ 中FBQ DAQAQ BQ BQF AQD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FBQ ≌△DAQ （ASA ），∴QF=QD ，∵AE ⊥CP ，∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线，∴QE=QF=QD ，即QE=QF ．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ，∵AE ∥BF ，∴∠1=∠D ，在△AQE 和△BQD 中123D AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AQE ≌△BQD （AAS ），∴QE=QD ，∵BF ⊥CP ，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE=QF ．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形1．D2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，42．D3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3．C4．（2013•河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远4．C5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D5．C6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确6．A7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC7．A8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°8．B9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．C二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．10．6011．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．11．2012．（2013•巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）12．CA=FD13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，13．∠B=∠C （答案不唯一）14．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．14．20132m三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证：△ABC ≌△AED ．15．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，即∠BAC=∠EAD ，∵在△ABC 和△AED 中，D C BAC EAD AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△AED （AAS ）．16．（2013•湛江）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AC=DF ．16．证明：∵FB=CE ，∴FB+FC=CE+FC ，∴BC=EF ，∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，∵在△ABC 和△DEF 中，B E BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC=DF ．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ；（2）证明推论AAS ．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．17．解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS 指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．（2）已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，BC=EF ．求证：△ABC ≌△DEF ．证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F （已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F （等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E ．∵在△ABC 与△DEF 中，C F BC EF B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．18．（2013•随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．18．解：不能；选择条件：①AB=DE ；∵BF=CE ，∴BF+BE=CE+BE ，即EF=CB ，在△ABC 和△DFE 中，AB DE ABC DEF EF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFE （SAS ）．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．19．证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD ，∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴BD=AE ．20．（2013•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？20．（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （AAS ）；（2）解：∵△ABE ≌△DCE ，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．21．（2013•荆门）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．21．证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BF AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．。
七年级数学下册专题第8讲三角形重点、考点知识总结及练习
=90°+ 1 ∠A， 2
即 D 90 1 A ． 2
【方法总结】
角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角乊间的关系。此题可记住结论：
当 BD、CD 是三角形 ABC 的角平分线时， D 90 1 A 2
【随堂练习】 1．（2017 春•辉县市期末）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的度数．
专题 第 8 讲三角形
知识点 1 三角形的三边关系
1、三角形三条边乊间的关系： 三角形任意两边乊和大于第三边，三角形任意两边乊差小于第三边． 2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段乊和时，戒当三条线段中最短的线 段大于另两条线段乊差时，即可组成三角形”
【典例】
1. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________． 【答案】3a﹣b 【解析】解：∵△ABC 的三边长分别是 a、b、c， ∴必须满足两边乊和大于第三边，则： a+b﹣c=（a+b）-c＞0， a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0， a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即 a﹣b+2c>0），
⊥AC 于 M，探究线段 PK、PM 不 CG 乊间的数量关系．
【解析】解：连接 AP，
∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，
∴S△ABC=
1 2
AB•CG，S△ABP=
1 2
AB•PK，S△ACP=
1 2
AC•PM，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ 1 AB•CG= 1 AB•PK+ 1 AC•PM，
专题11.9 三角形章末重难点突破(举一反三)(人教版)(解析版)
专题11.9 三角形章末重难点突破【人教版】【考点1 三角形的三边关系】【例1】（2021春•沙坪坝区校级期末）一个三角形两边长分别为3，7，若它的周长是小于16的整数，则第三边的长为（）A．1B．3C．5D．7【分析】设第三边的长为l，再根据三角形的三边关系进行解答即可．【解答】解：设第三边的长为l，则7﹣3＜l＜7+3，即4＜l＜10，∴14＜周长＜20，∵它的周长是小于16的整数，∴周长为15，∴第三边长为5，故选：C．【变式1-1】（2021春•九江期末）小明现有两根4cm、9cm的木棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形木框，现从5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中选择第三根（木棒不能折断），则小明有三种选择方案．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，求得第三边的取值范围；再从中找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三根木棒应＞5cm，而＜13cm．故7cm，9cm，11cm能满足，有三种选择方案．故答案是：三．【变式1-2】（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一），能构成三角形的截法共有8种．（只考虑三段木棍的长度）【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．【解答】解：∵木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米，∴①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米；③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；∴能构成三角形的截法共有4+3+1＝8种．故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8．【变式1-3】（2021春•嵩县期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解．【解答】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．【考点2 三角形的稳定性】【例2】（2021春•长春期末）下列图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【解答】解：A、图中没有三角形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；B、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；C、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；D、图中均是三角形，具有稳定性，故此选项符合题意；故选：D．【变式2-1】（2021春•道里区期末）工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是．【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形是利用三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【变式2-2】（2021春•洛江区期末）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉2根木条．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条．【变式2-3】（2021秋•岳池县期末）如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．【分析】将七边形分成三角形，根据三角形具有稳定性进行画图即可． 【解答】解：三种方案如图所示：【考点3 三角形中三线的应用】【例3】（2021春•迁安市期末）如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是边CB 上的中线和高，AE ＝6cm ，S △ABD ＝12cm 2，则BC 的长是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【分析】由AD 为CB 边上的中线可得S △ABC ＝2S △ABD ＝24cm 2，再根据三角形ABC 的面积计算公式12BC ⋅AE =24，可解出BC 的长．【解答】解：∵AD 为CB 边上的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝24cm 2，即12BC ⋅AE =24， 又AE ＝6cm ，解得：BC ＝8cm ，故选：C ．【变式3-1】（2021春•贵阳期末）如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为60，BD ＝5，则△BDE 的BD 边上的高是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】由中线AD 推出△ABD 的面积，再由中线BE 推出△BED 的面积，最后结合BD ＝5求出BD 边上的高．【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC ＝60，∴S △ABD =12S △ABC =12×60＝30， ∵BE 是△ABD 的中线，∴S △BDE =12S △ABD =12×30＝15，设BD 边上的高为h ，BD ＝5，∴12⋅BD ⋅ℎ=12×5×h ＝15，∴h ＝6．故选：D ．【变式3-2】（2021春•宽城区期末）如图，△ABC 的面积为30，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，EF ⊥BC 于点F ．（1）求△BDE 的面积．（2）若EF ＝5，求CD 的长．【分析】（1）由中线性质可得S △ABD =12S △ABC ，S △BED =12S △ABD ，即可得答案；（2）由三角形面积公式S △BDE =12BD ⋅EF ，即152=52BD ，可得BD ＝3，从而由中线性质可得CD ＝BD＝3．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD=12S△ABC=12×30=15，∵BE是△ABD的中线，∴S△BED=12S△ABD=12×15=152．（2）∵EF⊥BC，∴S△BDE=12BD⋅EF，即152=52BD，∴BD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3．【变式3-3】（2021春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC 交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）说明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S △ABC＝36，则S△CEF﹣S△BDF＝（仅填结果）．【分析】（1）由CD⊥AB得∠A+∠ACD＝90°，结合∠A＝∠BCD，从而得∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°；（2）由（1）可知∠ACB＝90°，则有∠CEF＝90°﹣∠CBE，再由CD⊥AB得∠BFD＝90°﹣∠DBF，结合BE是∠ABC的平分线，有∠CBE＝∠DBF，从而有∠CEB＝∠BFD，最后由对顶角∠CFE＝∠BFD，即可求解；（3）由已知条件可得：CE=13AC，BD=14BD，由S△ABC的面积为36，可得：CD=72AB，BC=72AC，再由S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF），整理得S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCD，结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠A +∠ACD ＝90°，∵∠A ＝∠BCD ，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°；（2）由（1）可知∠ACB ＝90°，∴∠CEF ＝90°﹣∠CBE ，∵CD ⊥AB ，∴∠BFD ＝90°﹣∠DBF ，∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠CBE ＝∠DBF ，∴∠CEB ＝∠BFD ，∵∠CFE ＝∠BFD ，∴∠CEF ＝∠CFE ；（3）∵AC ＝3CE 、AB ＝4BD ，∴CE =13AC ，BD =14AB ，∵S △ABC ＝36，△ABC 是直角三角形，∴12AB ⋅CD =36，得：CD =72AB ， 12AC •BC ＝36，得：BC =72AC ，∵由（1）可得△BCE ，△BDF 是直角三角形，∴S △CEF ﹣S △BDF ＝S △BCE ﹣S △BCF ﹣（S △BCD ﹣S △BCF ），整理得：S △CEF ﹣S △BDF ＝S △BCE ﹣S △BCD=12BC ⋅CE −12BD ⋅CD=12×72AC ×13AC −12×14AB ×72AB＝12﹣9＝3．故答案为：3．【考点4 三角形内角和定理的应用】【例4】（2021春•道里区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°【分析】由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．【解答】解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，故选：A．【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（）A．87°B．84°C．75°D．72°【分析】已知∠A＝18°，欲求∠C，需求∠ABC．如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM，得∠1＝∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°，则需求∠3．根据三角形内角和定理，得∠3+∠C＝112°，∠ABC+∠C+18°＝180°，即3∠3+∠C＝162°，故求得∠3＝25°．【解答】解：如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．【变式4-2】（2021春•兴隆县期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点P为BC上任意一点，可以与C重合但不与点B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．（1）当点P与C重合时，求∠ADB的度数；（2）当AP⊥BC时，直接写出∠ADB的度数；（3）直接写出∠ADB的取值范围．【分析】（1）由三角形的内角和定理求得∠ABC的度数，利用角平分线的定义可求解∠ABD的度数，结合点P与C重合时∠BAP＝90°，利用角平分线的定义可求解∠BAD的度数，再利用三角形的内角定理可求解（2）由当AP⊥BC可得∠APB＝90°，利用角平分线的定义可求解∠ABD，∠BAD的度数，再利用三角形的内角定理可求解；（3）先利用三角形的内角和定理可得∠ADB＝165°﹣∠BAD，利用P点分别于B点，C点重合时分别求解∠ADB的度数，进而可求解∠ADB的取值范围．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝15°，当点P与点C重合时，∠BAP＝∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAP，∴∠BAD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣15°﹣45°＝120°；（2）当AP⊥BC时，∠APB＝90°，∴∠BAP＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝15°，∵AD平分∠BAP，∴∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣15°﹣30°＝135°；（3）∵∠ABD＝15°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣15°＝165°﹣∠BAD，当P点与B点重合时，∠BAD＝0°，∴∠ADB＝165°，当P点与C点重合时，∠BAD＝45°，∴∠ADB＝120°，∴120°≤∠ADB＜165°．【变式4-3】（2021春•铁西区期末）在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，点P是边AB上的一个动点，（1）如图，若∠ACB＝90°，①当∠DPE＝75°时，求∠ADP+∠BEP的度数；②当∠DPE＝60°时，则∠ADP+∠BEP＝°；（2）若∠ACB＝m，当∠DPE＝n时，请直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度数．【分析】（1）①由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，结合∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝105°，从而可求得∠ADP+∠BEP 的度数；②根据①的方式进行求解即可；（2）结合（1）的过程，进行求解即可．【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝105°，∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，90°+105°+（∠ADP+∠BEP）＝360°，解得：∠ADP+∠BEP＝165°；②同理①可得：∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝120°，可求得：∠ADP+∠BEP＝150°；故答案为：150；（2）①∵∠ACB＝m，∴∠A+∠B＝180°﹣m，∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝180°﹣n，∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，180°﹣m+180°﹣n+（∠ADP+∠BEP）＝360°，解得：∠ADP+∠BEP＝m+n．【考点5 直角三角形性质的应用】【例5】如图，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足为P，如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分别等于多少？【分析】在直角△ABP中，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABP＝90°﹣∠A＝90°﹣α；利用同角的余角相等可得∠PCD＝90°﹣∠ACB＝∠A＝α．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝90°﹣∠A＝90°﹣α；∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∴∠PCD＝90°﹣∠ACB＝∠A＝α．【变式5-1】如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD代入数据计算即可得解；然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DHE＝∠BAD+∠AEH计算即可得解．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由三角形的外角性质得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．【变式5-2】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【解答】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．【变式5-3】（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB＝25°，∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．【考点6 三角形外角性质的应用】【例6】（2021春•淮阳区期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM=12∠ACM，∠PBC=12∠ABC，∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM=12∠ABC+12∠BAC=12∠ABC+∠BPC，∴∠BPC=12∠BAC＝40°，∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故选：C．【变式6-1】（2021春•曲周县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．（1）∠BIC＝．（2）若点E是内角∠ABC、外角∠ACD的平分线的交点，则∠BEC与∠BAC的数量关系为；（3）在（2）的条件下，当∠ACB＝时，CE∥AB．【分析】（1）想办法求出∠IBC+∠ICB即可解决问题．（2）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题．（3）利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠A＝48°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）＝66°，∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．故答案为114°．（2）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，∴2x＝2y+∠BAC①，x＝y+∠BEC②，①÷2﹣②可得∠BEC=12∠BAC，故答案为：∠BEC=12∠BAC．（3）当∠ACB＝84°时，CE∥AB，理由：∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠A＝48°，∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°故答案为84°．【变式6-2】（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；（2）证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE，∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠BAC＝∠E+∠ECD，∵∠ECD＝∠B+∠E，∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，∴∠BAC＝2∠E+∠B．【变式6-3】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD ＝∠ADC ．【考点7 多边形的内角与外角综合】【例7】（2021春•溧阳市期末）若多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角是它的邻补角的15，则该多边形是（ ）A ．十边形B ．十二边形C ．十五边形D ．十六边形【分析】根据多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的15，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意多边形的外角和是360°求解即可．【解答】解：设这个多边形的一个内角为x ，则外角为15x ， 根据题意得：x +15x ＝180°，解得：x ＝150°，15x ＝30°，360°÷30°＝12，故选：B ．【变式7-1】（2021春•宝丰县期末）如图，CG 平分正五边形ABCDE 的外角∠DCF ，并与∠EAB 的平分线交于点O ，则∠AOG 的度数为（ ）A ．144°B ．126°C ．120°D ．108°【分析】欲求∠AOG ，可求∠AOC ，则需求∠BCO 、∠OAB 、∠B ．因为五边形ABCDE 是正五边形，所以∠EAB ＝∠E ＝∠BCD ＝108°．又因为AO 平分∠EAB ，CG 平分∠DCF ，所以可求得∠OAB ＝54°，∠BCG ＝108°+12∠DCF =144°．【解答】解：∵任意多边形的外角和等于360°，∴∠DCF ＝360°÷5＝72°．∴这个正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°．∴∠B ＝∠EAB ＝∠BCD ＝108°． 又∵AO 平分∠EAB ， ∴∠OAB =12∠EAB =12×108°=54°． 又∵CG 平分∠DCF ， ∴∠DCG =12∠DCF =12×72°=36°． ∴∠BCO ＝∠BCD +∠DCG ＝108°+36°＝144°．∴∠AOC ＝360°﹣（∠BAO +∠B +∠BCG ）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°． ∴∠AOG ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣54°＝126°． 故选：B ．【变式7-2】（2020秋•东川区期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求 （1）这个多边形的边数； （2）该多边形共有多少条对角线．【分析】（1）任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）多边形的对角线公式为：n(n−3)2．【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n ． 根据题意得：180°×（n ﹣2）＝360°×3﹣180°， 解得：n ＝7； （2）7×(7−3)2=7×42=14．答：（1）该多边形为七边形；（2）七边形共有14条对角线．【变式7-3】（2020秋•大武口区期末）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 … n ∠α的度数…（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数；（3）是否存在正n 边形使得∠α＝21°？若存在，请求出n 的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n 边形中的∠α＝（180n）°；（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数； （3）根据正n 边形中的∠α＝（180n）°，可得答案．【解答】解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 … n∠α的度数60°45°36°30°…（180n）°（2）根据规律，计算正八边形中的∠α＝（1808）°＝22.5°；（3）不存在，理由如下： 设存在正n 边形使得∠α＝21°， 得∠α＝21°＝（180n）°．解得n ＝847，n 是正整数，n ＝847（不符合题意要舍去）， 不存在正n 边形使得∠α＝21°． 【考点8 角度计算探究题】【例8】（2021春•迁安市期末）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在△ABC 中，∠A ＝40°，角平分线BO 、CO 交于点O ．求∠BOC 的度数．（1）请直接写出∠BOC ＝ ． 【变式思考】（2）若∠A ＝α，请猜想∠BOC 与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，作∠ABE 的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．【分析】①利用内角和和角平分线性质，可求得角度大小，②将定角换成动角，同样利用内角和和角平分线性质，将角之间关系表示出来，③在②结论基础上，通过角平分线性质可求证FB∥OD，然后角的关系就能够表达出来．【解答】解：（1）110°理由为∵∠A＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，∵角平分线BO、CO分别平分∠B、∠C，∴∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，∴∠OBC+∠OCB=12∠B+12∠C=12（∠B+∠C）＝70°，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°，故答案为：110°，（2）∠BOC＝90°+α2，理由为∵∠A＝α，∴∠B+∠C＝180°﹣α，∵角平分线BO、CO分别平分∠B、∠C，∴∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，∴∠OBC+∠OCB=12∠B+12∠C=12（∠B+∠C）=12（180°﹣α）＝90°−α2，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90+α2，故答案为：∠BOC＝90°+α2，（3）∠BAC＝2β，由（2）结论可知∠BOC＝90°+∠BAC 2，∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°，∵OB、BF分别平分∠ABC和∠ABE，∴∠ABO=12∠ABC，∠ABF=12∠ABE，∴∠OBF＝∠ABO+∠ABF=12（∠ABC+∠ABE）=12×180°＝90°，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴BF∥OD，∴∠COD＝∠F＝β，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝90°+β，∵∠BAC＝2∠BOC﹣180°，∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°＝2β，故答案为：∠BAC＝2β．【变式8-1】（2021春•桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．【解决问题】如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；【变式探究】如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝10°；【拓展延伸】如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．【分析】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．（2）与（1）同理．（3）与（1）同理．【解答】解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=40°．∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．（3）拓展延伸：∠DFE=12x°−12y°，理由如下：∵∠B＝x°，∠C＝y°，∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=12∠BAC=12(180°−x°−y°)=90°−12x°−12y°．∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°−12x°−12y°=90°−12x°+12y°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°−12x°+12y°）=12x°−12y°．【变式8-2】（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．【分析】（1）根据三角形外角的性质，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根据三角形内角和等于180°即可求解．（2）根据三角形外角的性质，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可证明此结论．（3）根据三角形外角的性质，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可证明此结论；（4）根据三角形外角的性质，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到结论．【解答】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案为：180°；（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案为：320°．【变式8-3】（2020春•江都区期中）【知识回顾】：如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝．【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝°．（直接写出答案）（2）若∠A＝70°，则∠DBC+∠ECB＝°．（直接写出答案）【拓展延伸】：如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝°．（请说明理由）（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P之间的数量关系，并说明理由．（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．【分析】【知识回顾】根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论；【初步运用】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论；（2）根据三角形的内角和得：∠ABC+∠ACB＝110°，由两个平角的和可得结论；【拓展延伸】（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；（2）如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，综合可得结论；（3）如图⑥，作辅助线，构建三角形PQC，根据（1）的结论得：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，和角平分线的定义，证明∠MBP＝∠PQC，可得结论．【解答】解：【知识回顾】∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B；故答案为：∠A+∠B；【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°；故答案为：80；（2）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°，故答案为：250；【拓展延伸】（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°，故答案为：220；（2）∠A和∠P之间的数量关系是：∠P＝∠A+80°，理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，2∠A+2∠O＝∠A+∠P，∵∠O＝40°，∴∠P＝∠A+80°；（3）证明：如图，延长BP交CN于点Q，∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴BM∥CN．。
新人教版初中数学——三角形及其全等-知识点归纳及例题解析
新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒， 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）． 答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ， 则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ． 故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。
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三角形三边关系的典型题例析【三角形三边关系的典型题例析】
三角形是平面几何中常见的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，存在着各种有趣的三边关系，其中一些关系在解题过程
中经常遇到。
本文将以典型的题例为例，从各种角度进行分析和解答，旨在帮助读者更好地理解和应用三角形的三边关系。
一、勾股定理的应用
典型题例：已知直角三角形ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，求
AB的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边
的平方。
设AB=x，根据题意，可以得到3^2+4^2=x^2。
解方程可得
x=5。
因此，AB的长度为5。
在这个题例中，勾股定理被应用于求解直角三角形的斜边长度。
通
过了解勾股定理这一三边关系，我们可以更加灵活地解决类似的题目。
二、余弦定理的应用
典型题例：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=3，∠B=60°，求∠C的度数。
解析：根据余弦定理，三角形的两个边和夹角之间有如下关系：
c^2=a^2+b^2-2abcosC。
代入已知的边长和夹角，我们可以得到
3^2=5^2+CB^2-2*5*CB*cos60°。
解方程可得CB=4。
由于
tanC=sinC/cosC，代入已知的边长CB和角度60°，我们可以得到
tanC=sin60°/cos60°=√3。
因此，∠C≈60°。
在这个题例中，余弦定理被用于求解三角形的角度。
通过理解和掌
握余弦定理，我们能够快速准确地计算三角形中各个角度的度数。
三、正弦定理的应用
典型题例：已知三角形ABC，边长分别为AB=6，BC=8，∠A=30°，求∠C的度数。
解析：根据正弦定理，三角形的两个边和夹角之间有如下关系：
a/sinA=b/sinB=c/sinC。
代入已知的边长和角度，我们可以得到
6/sin30°=8/sinB。
解方程可得sinB=(8/6)*sin30°。
由于sinB=sin(180°-A-C)，代入已知的角度A和sinB，我们可以得到sin(180°-30°-
C)=(8/6)*sin30°。
解方程可得C=90°-30°≈60°。
在这个题例中，正弦定理被用于求解三角形的角度。
掌握正弦定理
能够帮助我们在解决各种三角形问题时更加灵活和全面。
四、内角和定理的应用
典型题例：已知三角形ABC，∠A=80°，∠B=60°，求∠C的度数。
解析：根据三角形的内角和定理，三个内角的度数之和始终为180°。
代入已知的角度，我们可以得到80°+60°+∠C=180°。
解方程可得
∠C=180°-80°-60°=40°。
在这个题例中，内角和定理被用于求解三角形的角度。
掌握内角和定理能够帮助我们在解决各种三角形问题时更加简单和直观。
综上所述，三角形的三边关系在解题过程中起着重要的作用。
通过学习和理解勾股定理、余弦定理、正弦定理和内角和定理，我们能够更加灵活地解决各类三角形题目。
在实际应用中，我们还可以根据具体题目的要求来选择合适的三边关系公式，以达到快速、准确解题的目的。
通过不断练习和应用，相信大家可以在三角形的三边关系中游刃有余，取得更好的成绩。