大一微积分下册经典题目与解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学

习题8-1多元函数的基本概念

1.填空题：

（1）若y

x

xy y x y x f tan

),(2

2

-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y

f f x

-==

（3）若)0()(2

2 y y y x x

y

f +=

，则__________)(=x f （4）若2

2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f

（5）函数)

1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________

（6）函数y x z -=

的定义域是_______________

(7)函数x y

z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x

y x

y z 2222-+=的间断点是_______________

2.求下列极限： （1）xy xy y x 4

2lim 0

0+-→→

(2)x xy

y x sin lim

0→→

(3)2222220

0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim

2

2

)

0,0(),(=+→y

x xy y x

4.证明：极限0lim 2

42)0,0(),(=+→y x y

x y x 不存在

5.函数⎪⎩

⎪

⎨⎧

=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么

习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用

1.填空题 （1）设y x z tan

ln =，则

__________________,=∂∂=∂∂y

z

x z ;

（2）设)(y x e z xy

+=，则

__________________,=∂∂=∂∂y z

x z ; （3）设z

y

x u =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z

y z x z

（5）设z

y

x u )(=，则

________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________)

,(),(lim 0

=--+→x

b x a f b x a f x

2.求下列函数的偏导数

y xy z )1()1(+=

z y x u )arcsin()2(-=

3.设x

y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数

4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和2

3y

x z

∂∂∂ 5.)1

1(y

x e

z +-=，试化简y z y x z x

∂∂+∂∂22

6.试证函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(2

2y x y x y

x xy

y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用

1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=

公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？

（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75个单位，试问X 公

司产品的交叉价格弹性是多少？

(利用弧交叉弹性公式：)/1

21

21212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=

2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为： Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+= （1）商品X 的市场需求函数；

（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性

3.求下列函数的全微分

（1）t

s t

s u -+=

（2）设z y x

z y x f 1

)(),,(=，求)1,1,1(df

（3）)1ln(2

2y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=∆=∆==y x y x 的全增量z ∆和全微分dz

4.计算33)97.1()02.1(+的近似值

习题8-4多元复合函数的求导法则

1.填空题

（1）设v u z ln 2

=而y x v y x u 23,-==

，则____________________,=∂∂=∂∂y

z x z （2）设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则

_________=dt

dz

（3）设1)(2+-=a z y e u ax ,而x

z x a y cos ,sin ==，则________=dx

du

（4）设)arctan(xy z =,而x

e y =，则

________=dx

dz

（5）设),(22xy

e y x

f u -=，则

___________________,=∂∂=∂∂y

u

x u （6）),,(xyz xy x f u =，则________=∂∂x

u

（1）∑∞

=1

2n n

n

2.设f y x yf xy f x

z ),()(1

++=具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2

3.设f y x

x f z ),,(=具有二阶连续偏导数，求22x

z ∂∂

4.设f x

y x xf z ),,2(2

=，具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.

5.设f e

y x f z y

x ),,cos ,(sin +=，具有二阶连续偏导数，求22x

z

∂∂

7.设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22

222z z a t x

∂∂=∂∂ 习题8-5隐函数的求导公式

1.填空题：

（1

）设arctan

y x

=，则________=dx dy

（2）设022=-++xyz z y x ，则______________,=∂∂=∂∂y

z

x z