电场高斯定理

E d
dS
d Eds
匀强电场
E ds
dS 若面积元不垂直电场强度，
dS
电场强度与电力线条数、面积元的关系
E
怎样？
由图可知 ：通过dS和dS面的电力线条数相同
ds dsn^
d Eds Eds cos d E dS
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
0
电力线穿入
dS
若SE dS 0
穿入电力线=
=穿出电力线
三.静电场的高斯定理
1.表述：在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
E
等于这闭合面所包围的电量的代数和 除以 0。
qi内
E dS i
S
0
2.高斯定理的证明
1) 源电荷是点电荷，
q
s q球
S rE
在该场中任取一包围点电荷的闭合球面(如图示)
E e 2 0
Q 的分布具有某种对称性的情况下
利用高斯定理解 E较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均匀 球体 带电 球面 的
(点电荷)
轴对称 无限长 柱体 柱面 带电线
面对称 无限大 平板 平面
高斯面选取：
1）选规则闭合曲面
2）面上： 一部分面上：
E
为常量，且
E
与
dS有固定夹角
剩下的面上：
之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
二.电通量 藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
匀强电场
dS
E
ds
E
dS
通过任意面积元的电通量
d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？ E dS
把曲面分成许多个面积元
S
每一面元处视为匀强电场
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
例四.无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
S
E dS E dS E dS
s1
S
S
0 EdS EdS
S
S
S1
E 2S
x
S
x
S’
由高斯定理:
E dS
i qi
S
0
E 2S eS 0
r
取合适的高斯面
计算电通量
E
ds
E
ds
E
ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出
E 2rl l 0
E
E
2 0r
dsr
l
P
dE
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0
求证: 体内处处不带电 证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
d E dS
S
S
Hale Waihona Puke Baidu
讨论
正与负
E dS
d E dS
取决于面元的法线 方向的选取
S
如前图 知
E ds 0
若如红箭头所示 为dS方向
则
E
ds
<0
通过闭合面的电通量
S
SE dS
规定：面元方向 由闭合面内指向面外
E
S
E dS
S
E ds 0
dS
电力线穿出
E
ds
E0
或
E dS E dS 0
解题步骤： 分析电场分布对称性，分析场强方向
选取合适曲面为高斯面 计算 E dS和 qi i
作业
P30/ 1.8 1.9 1.11 1.13 1.14
根据高斯定理解方程
E
dS
E
4
r
2
S
Q
qi内
E4r 2 i 0
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和
r R1
qi 0
r R1 E1 0
R1 r
R2 r
i
R2
E3
i
qi
Q 4
4 3
3
Q
4 0r 2
(r3
( R23 E2
R13 )
R13 ) Q(r 3
4 0r 2(R2
e
E dS
S
EdS E dS
q
4 0r 2
4r 2
e
q
0
电量为q 的点电荷产生 的电力线条数为：
N q/0
2）源电荷是点电荷，高斯面为 任意包围电荷的曲面
3）源电荷是点电荷，高斯面为 任意不包围电荷的曲面
S
q 球 s
q 球 s
q
r E
S
E
4) 源和面均任意
根据叠加原理可得
R13 ) 3 R13
)
E1 0
E2
Q(r 3 R13 )
4 0r 2 (R23 R13 )
讨论：
E3
Q
4 0r 2
1)R1 0 均匀带电球
E
E内
Qr
4 0 R23
E外
Q
4 0r 2
2)R1 R2 均匀带电球面
E
E内 0
Q
E外 4 0r 2
Q
R
r
R
r
如何理解面内场强为0 ? 过P点作圆锥
E dS (
S
Si
Ei ) dS
(
i
Ei dS)
i
qi内
0
qi内
i
0
E
ds
i
qi内
S
0
讨论
1.闭合对面内E、外都电有荷贡的献贡献
对电通量
E
dS
的贡献有差别
只有闭合面S内的电量对电通量有贡献
2.静电场性质的基本方程 有源场
qi E dS i
0
3.源于库仑定律 高于库仑定律
§3 电通量 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或 电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向为该点场强方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的 面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强 的量值。
四. 高斯定理在解场方面的应用
例1 均匀带电球壳 总电量为 Q
内外半径R1R2 求：电场强度分布 解:电荷分布球对称，故场强分布球对称
方向沿径向
取过场点的以球心O为心的球面
Q P
r
E
S dS
先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS EdS E dS
E4 r 2
S
S
S
则在球面上截出两电荷元
dq1 P dq2
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1在P点场强
dq2在P点场强
dS1 4r12 dS2 4r2 2
dE1
dS1 4 0r12
方向 如图
dE2
dS2 4 0r22
方向 如图
dE1 dE2
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析