矩阵特征值问题的解法要点
第五章 矩阵特征值问题 一、内容提要
第五章 矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为n 阶方阵，如果存在数λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式 λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。
2．求特征值和特征向量的步骤：（1） 计算特征多项式A I −λ；（2） 求A 的特征方程A I −λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3） 对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=−X A I λ。
设它的一个 基础解系为,,,,21r n −ξξξL （其中)(A I r r −=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k −−+++ξξξL其中r n k k k −,,,21L 是不全为零的任意数。
3．性质z 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值； z )(21A tr n =+++λλλL , A n =λλλL 21；z 可逆矩阵A 与1−A 的特征值互为倒数；z 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值； z 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量； z 设s λλλ,,,21L 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21L 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n αααL ; 222221,,,n αααL ; ...; ssn s s ααα,,,21L 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，B 都是n 阶方阵，如果阶可逆矩阵P ，使B AP P =−1，则称矩阵A 与B 相似，记为B A ~。
如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。
2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。
如何求解特征值技巧
如何求解特征值技巧求解特征值是线性代数中一个非常重要的问题，它在很多领域有着广泛的应用，比如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将介绍一些求解特征值的技巧和算法。
求解特征值的技巧主要有两种方法：直接计算和迭代法。
直接计算是指通过求解特征方程的根来得到特征值，而迭代法是通过迭代计算来逼近特征值。
一、直接计算法直接计算法是一种简单且直接的方法，但它只适用于特定的特征方程。
对于一个n维矩阵A，它的特征值满足以下方程：det(A-λI) = 0其中det表示行列式，I是单位矩阵。
特征方程的解即为矩阵A的特征值。
对于二维矩阵，我们可以直接求解特征方程；而对于高维矩阵，直接计算可能较为困难。
二、迭代法迭代法是一种通过逐步迭代计算来逼近矩阵特征值的方法。
常见的迭代法有幂法和反幂法。
1. 幂法幂法是一种通过逐步迭代计算来逼近矩阵特征值的方法。
它的基本思想是通过矩阵的特征向量来逼近特征值。
具体步骤如下：（1）随机选择一个非零向量x0作为初始向量；（2）计算新的向量x1 = A*x0；（3）将x1进行归一化处理，得到x1的单位向量；（4）计算特征值λ1 = (x1的转置矩阵*A*x1)/(x1的转置矩阵*x1)；（5）如果λ1的变化趋于稳定，即达到所需精度，停止计算；否则，将x1作为新的初始向量，回到步骤（2）。
幂法通过迭代计算，逐步逼近特征值，但它只能得到矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。
2. 反幂法反幂法是在幂法的基础上进行改进的一种方法，它可以用来求解矩阵A的最小特征值及其对应的特征向量。
与幂法类似，反幂法也是通过迭代计算来逼近特征值。
具体步骤如下：（1）随机选择一个非零向量x0作为初始向量；（2）计算新的向量x1 = (A-λI)^(-1)*x0；（3）将x1进行归一化处理，得到x1的单位向量；（4）计算特征值λ1 = (x1的转置矩阵*A*x1)/(x1的转置矩阵*x1)；（5）如果λ1的变化趋于稳定，即达到所需精度，停止计算；否则，将x1作为新的初始向量，回到步骤（2）。
求解特征值的方法技巧
求解特征值的方法技巧求解特征值是线性代数中的一个重要问题，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论求解特征值的方法和技巧。
特征值的定义是在线性代数中非常基础的概念。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量（实数或复数），则λ称为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量之间具有一一对应的关系。
1. 特征多项式法：特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = |A-λI| = det(A-λI)其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。
2. 幂法：幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。
它的基本思想是通过反复迭代使一个向量v不断与矩阵A相乘，直到收敛到矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = Av0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最大特征值对应的特征向量。
3. 反幂法：反幂法是求解特征值中的最小特征值的一种方法。
它与幂法的思想相似，只是在每一次迭代中，需要对向量进行归一化处理。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = (A-1)v0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最小特征值对应的特征向量。
4. QR算法：QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的所有特征值。
它的基本思想是通过反复进行QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，使得其特征值可以从对角线上读出。
具体步骤如下：1) 将矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵；2) 将上一步得到的R矩阵再进行QR分解，得到新的矩阵A1=Q1R1；3) 重复步骤2，直到A收敛到上三角矩阵。
特征值求解技巧
特征值求解技巧特征值求解是矩阵理论中的一个重要问题，广泛应用于线性代数、微分方程、图论等领域。
特征值求解的目标是找到一个矩阵的特征值和对应的特征向量。
在本文中，我们将介绍一些特征值求解的技巧和方法。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征向量表示了矩阵在某个方向上的伸缩变换，特征值表示了伸缩的比例。
二、特征值求解的基本思想特征值求解的基本思想是将特征值问题转化成一个求解线性方程组的问题。
具体步骤如下：1. 对于一个矩阵A，我们可以得到特征值问题的特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
这是一个关于λ的多项式方程，称为特征方程。
2. 求解特征方程，得到特征值λ的值。
3. 对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)x=0，得到对应的特征向量x。
三、特征值求解的技巧和方法1. 对角化技巧对角化技巧是一种常用的特征值求解方法。
对于一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，我们有A=PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以对角化，那么它的特征值就是对角矩阵D的对角线上的元素，对应的特征向量就是可逆矩阵P的列向量。
2. 幂迭代法幂迭代法是一种迭代求解特征值问题的方法。
它的基本思想是通过迭代计算来逼近特征值和特征向量。
具体步骤如下：1）选择一个初始向量x(0)。
2）对于k=0,1,2,...，计算$x_{k+1}=\\frac{Ax_k}{||Ax_k||}$。
3）计算特征值的逼近值λ_k=(x_k)^T Ax_k。
4）如果满足停止条件，输出λ_k和对应的特征向量x_k，否则回到步骤2继续迭代。
幂迭代法的收敛速度很快，并且只需要矩阵-向量乘法操作，所以非常高效。
3. 雅可比方法雅可比方法也是一种迭代求解特征值问题的方法。
它的基本思想是通过相似变换将一个对称矩阵转化为对角矩阵。
矩阵特征值的数值解法
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。
下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。
其中，I是n阶单位矩阵。
λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。
即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。
利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。
而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。
通常，代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。
特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。
（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。
首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。
最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。
它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。
这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。
它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。
使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。
这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。
QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。
在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。
这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。
这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。
这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。
该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。
矩阵特征问题的计算方法
矩阵特征问题的计算方法首先，我们来定义特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX=λX其中，λ是一个实数常数，称为特征值；X是一个非零向量，称为特征向量。
也可以将上面的等式写成(A-λI)X=0，其中I是n阶单位矩阵。
接下来，我们介绍一些常用的计算特征值和特征向量的方法。
一、特征方程法特征方程法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
对于n阶方阵A，我们可以将特征方程写成：A-λI，=0其中，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程即可得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi，我们可以代入(A-λiI)X=0，求解出对应的特征向量Xi。
二、幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，假设一个向量X0，然后通过迭代的方式不断计算Xk+1=AXk，直到收敛为止。
此时，Xk就是所求的特征向量，而特征值可以通过计算向量Xk与Xk+1的比值得到。
三、雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，通过矩阵的相似变换将对称矩阵转化为对角矩阵。
雅可比迭代法的具体步骤如下：1.初始化一个对称矩阵A，令Q为单位矩阵。
2.找到A的非对角元素中绝对值最大的元素(a,b)。
3.计算旋转矩阵R，使得AR=RD，其中D为对角矩阵，D的对角线元素与A的特征值相等。
4.更新矩阵A=R^TAR，更新矩阵Q=Q×R，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
四、QR分解法QR分解法是一种计算特征值和特征向量的常用方法。
它的基本思想是，将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，通过对R进行迭代得到对角矩阵D，D的对角线元素与A的特征值相等。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵A。
2.对A进行QR分解，得到矩阵Q和R。
3.计算新矩阵A=RQ，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
特征值和特征向量在实际应用中具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
17
算法: 乘幂法
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取 ，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
||
Ak z0 Ak z0 ||
14
zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
8
于是
n
n
R(x)
( Ax, x) (x, x)
( ii ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
( i ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
i
2 i
/
2 i
,
i 1
i 1
因而
1
( Ax, x) (x, x)
n
,特别地，若取
x
u1
，这时
从而
( Au1 , u1 ) (u1 , u1 )
(1u1 , u1 )
12
在实际计算时，须按规范法计算，每步先 对向量xk进行“规范化”。迭代格式改 为
zk
xk xk
xk 1 Azk , k 0,1,
13
对任意给定的初始向量x0
z0
x0 x0
b1v1 b2v2
bnvn
x1
Az0 , z1
x1 || x1 ||
||
Az0 Az0 ||
类似地
zk
4
第二圆盘定理
设 A 为n 阶实方阵，如果 A 的 k 个Gerschgorin
圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 A的 k 个特征 值落在该 k 个圆盘的并集之中，即：
k
n
S
j 1
Di
j
,
T
D jk 1 i j
{i1,, ik , ik1,, in }为{1,2,, n}的一个重新排
列, S T , 则 S 中含有 A 的 k 个特征值.
1
1
min x0
R(
x).同理可证
n
max R( x) X 0
9
按模最大特征值和特征向量的乘幂法
• 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小 排序为
1 2 3 n
又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关.
10
任意取定初始向量x0
x0 a1v1 a2v2 anvn (a1 0)
3
特征值的估计与扰动问题
特征值的估计
Di ( A) {z c :| z aii | | aij | i }, i 1,2,, n ji
称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）. Gerschgorin 圆盘定理
设A (aij )nn为n阶实方阵,则 A 的任一特征值必落 在的某个Gerschgorin圆盘之中.
建立迭代公式 ： xk Axk1
x1 Ax0 a1Av1 a2 Av2 an Avn
a11v1 a22v2 annvn
x2 Ax1 A2 x0 a112v1 a222v2 ann2vn
…………..
11
xk Axk1 Ak x0 a11k v1 a22k v2 annkvn
Numerical eigenvalue of matrix 矩阵特征值问题的解法
1
给出 A (aij )nn .若有 使得： Ax x, x 0
则称 为矩阵 A 的特征值, x 为相应的特征向量。 特征值 为特征方程的根。
det(A I ) 0
2
与矩阵想干的一些重要结果: eigenvalueofmarix.doc
15
按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1 的乘幂法的计算公式：
zk
xk xk
xk 1 Azk
k 1 1
zkT xk 1 zkT zk
z
T k
Azk
zkT zk
,
k 0,1,
16
定理
且|1| 出发,
>迭|设代2| A…(kR) |nAnnk|为。(0) 非则收亏从敛损任到矩意主阵非特，零征其向向主量量特x(01征) ，(满根(足(k1)1)1为i /((实v((k0)根)),ix收1，)
关于实对称矩阵的极大—极小定理
定义 设 A 为 n 阶实矩阵，x ( x1 ,, xn )T 0, x Rn .
我们称
R(x)
( Ax, x) (x, x)
xT Ax xT x
n i 1
n
aij xi x j
j 1
/
n i 1
xi2
为矩阵 A 关于向量 x 的Rayleigh（雷利）商.
特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值.
5
例 1 设矩阵
4 1 0 A 1 0 1
1 1 4
试讨论A的特征值的分布.
解 由A确定的3个圆盘分别为
R1=-41, R2=2, R3=+42
所以
y
315 -2<22 -63<-2
-6 -4 -2 0 2 3 4 5 x
实际上， 1=4.20308 , 2=-0.442931 , 3=-3.76010 6
A 为 n 阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数， 记做： 1 2 n 并且存在规范正交特征向量系，满足：
Aui iui , i 1,2,, n , (ui , u j ) ij , i, j 1,2,, n
7
定理 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值
为 1 2 n ，则
1
0
)
敛到1。
每个不同的特征根
注： 结论对重根 1 = 2 = … = r 成立。源自只对应一个Jordan 块
(k)
1k
r
i xi
i1
n i
i r 1
i 1
k
xi
1k
r
i xi
i 1
若有 1 = 2 ，则此法不收敛。
(
(
0
)
,
xm
)
任0取的1初第始一0，向个故量x所m时，求，同得因时之为得不(到k )知不的道一特定x征1 ，是根所是x1以，m不而。能是保使证得