柯西不等式的几何意义

柯西不等式的几何意义和推广

3. 柯西不等式的几何意义

柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。

（1）二维形式 2222()()()a b c d a c b d

++

≥+

y

x

Q (c ,d )

P (a ,b )

O

图3-1

如图，可知线段OP ，OQ 及PQ 的长度分别由下面的式子给出：

OP OQ PQ ===θ表示OP 与OQ 的夹角。由余弦定理，我们有

2

2

2

2cos PQ OP OQ OP OQ θ=+-⋅

将OP ，OQ ，PQ

的值代入，化简得到cos θ=

而2

0cos 1θ≤≤，故有2

2

2222

()cos 1()()

ac bd a b c d θ+=≤++ 于是 2222()()()a b c d a c b d

++≥

+ 这就是柯西不等式的二维形式。

我们可以看到当且仅当2cos 1θ=，即当且仅当θ是零或平角，亦即当且仅当

,,O P Q 在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等

式；换句话说，除非0c d ==，我们们总有

a b c d

=. （2）三维形式 2222

22

12312311

2233()()()a a a b b b a b a b a b ++++

≥++

对于三维情形，设123123(,,),(,,)P a a a Q b b b 是不同于原点(0,0,0)O 的两个点，则OP 与OQ 之间的夹角θ的余弦有

2

3c o s θ=

又由2cos 1θ≤，得到柯西不等式的三维形式：

2222

2

2

12312311

2233()()()a a a b b b a b a b a b +++

+

≥++

当且仅当,,O P Q 三点共线时，等号成立；此时只要这里的123,,b b b 都不是零，就有

3

12123

a a a

b b b == 4. 柯西不等式的推广

前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。

定理：若12(,,)n a a a a =⋅⋅⋅和12(,,,)n b b b b =⋅⋅⋅是两个复数序列，则有

2

2

2

1

1

1

()()n

n

n

k k k k k k k a b a b ===≤∑∑∑，

当且仅当数列a 和b 成比例时等式成立。

证明：设λ是复数，有恒等式

2

22

2

1

1

1

1

1

()()2Re()n

n n

n

n

k

k k k k k k

k k k k k k k a

b a b a b a b

a b λλλλ

λ=====-=--=+-∑∑∑∑∑

若12

1n

k k

k n

k

k a b b

λ===

∑∑（其中0b ≠），则有

22

2

1

2

1

1

1

0n

k k

n

n

k k

k k n

k k k

k a b

a

b a b

λ====-=-

≥∑∑∑∑

由此推出了复数形式的柯西不等式。

除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。

定理1：若1(,,)n a a a =⋅⋅⋅和1(,,)n b b b =⋅⋅⋅是实数列，且01x ≤≤，则

2

2

21

1

1

()(2)(2)n n n

k k i j k

i j k i j k i j

k i j

k i j

a b x a b a x a a b x bb =≠=<=<+≤++∑∑∑∑∑∑

当0x =时，这个不等式即为柯西不等式。

定理2：若1(,,)

n a a a =⋅⋅⋅和1(,,)n b b b =⋅⋅⋅是正数序列，且12z y ≤≤≤或01

y z ≤≤≤，

则

2

2222221

1

1

1

1

1

1

()()()()()()()n n

n

n

n

n

n

y y

y y z z

z z k

k

k k

k k

k k

k k k k k k k k k k k a b a b

a

b a b

a b a b ----=======≥≥≥∑∑∑∑∑∑∑

这个不等式实际上是Holder 不等式的推论。

我们知道，当数列{}n a 和{}n b 取任意项时，柯西不等式均成立。对于所考察的数列{}n a 和{}n b 具有偶数项时，我们就可以加细柯西不等式。

定理：若122(,,,)n a a a a =⋅⋅⋅且122(,,,)n b b b b =⋅⋅⋅是实数列，则

2222

2

2

22

212

1211

1

1

()()()

[()]

n

n

n n k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b --====

≤

--

∑∑

∑∑ 对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式。

定理：设f 和g 是在[,]a b 上的实可积函数，则 2

2

2

(()())(

())(

())

b

b

b

a a

a

f x

g x d x f x d x g x d x ≤⎰⎰

⎰ 当且仅当f 和g 是线性相关函数时等式成立。

证明：对任意实数t , 有 2(()())0b

a

tf x g x dx +≥⎰

即 2

2

2(

)2()()()0b

b

b a

a a

t

f x d x t f x

g x d x g x d x

++≥⎰

⎰

⎰ 222(2()())4(())(())0b b

b a a

a

f x

g x dx f x dx g x dx ∴∆=-⋅≤⎰⎰⎰

即 22

2(()())

(

())(())

b b b

a

a

a

f x

g x d x f x d x g x d x ≤⋅⎰⎰⎰ 这个不等式也称为Schwarz 不等式。

除了在积分上柯西不等式有这种应用之外，在概率中也有类似的柯西不等式