初一讲义第一讲实数及运算

初一讲义第一讲实数及运算

能力提高型思维开拓型：实数及运算专题训练【知识重点】

1. 为什么学平方根、立方根算术平方根的概念：算术平方根具有非负性：

2.

平方根的概念: 平方根的特性:

3. 立方根概念:立方根的特性:开立方:

( 重要概念)

探算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x 叫做a 的算术平方根，记

a作。0的算术平方根为0;从定义可知，只有当a?0时,a才有算术平方根。

(立方根类似)探平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a,即x2=a，那么

数x就叫做a的平方根。探正数有两个平方根(一正一负);0只有一个平方根, 就是它本身；负数没有平方根。※正数的立方根

是正数;0 的立方根是0; 负数的立方根是负数。

※ ( 有理数aa,ba,b,a,bb ※ 实数化简公式： (a?0,b?0); (a?0,b,0)

(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。

(2) 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。

(3) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次

不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：0.333 …，5.3272 7…等等。

注意：循环小数是无限小数，也称作无限循环小数。

※无理数

(1) 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

(2) 无理数的特征：

--- 无理数的小数部分位数不限;

---无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。

探（实数：有理数和无理数统称为实数。

（1）按定义

: （2）按符号:实数分为正实数，零，负分数。

分数指数幕

mnm 规定:正数的正分数指数幕：，，a,aa,O,m,n,N 且n,1，

讨论:为什么a ，0,根据正数的正分数指数幕的规定如何定义正数的负分数指数 幕呢,

mnmi 答案：当a ，0，n 为偶数，m 为奇数时，中的根式没有意义 a,a

m,11 n ，，a,,a,0,m,n,N 且 n,1，mnmana

从以上规定，我们得到0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义。 提问：初中我们学习过的整数指数幕的性质有哪些

mnm n 同底数乘法:aa,a,m,n,Z

nmmn 幂的乘方:，，a,a,m,n,Z

mm 积的乘方:（提醒:），，a,0时，m n,mn,0时舍去，以及0的负数次无意

义 ab,ab,m,Z

正数指数幕的运算性质也同样适用于分数指数幕，于是我们把

m n 推广到有

理数实数的分类：由以上学到的，我们可以对实数进行分

类

正有靱

0 负有理数

■ 无叫却 有Mr 有限4澈或无Kffi 环小数

无®不循环小数

mnm，n1、，，aa,aa,0,m,n,Q

nmmn、2 ，，a,aa,0,m,n,Q

mmm、3 ，，，，ab,aba,b,0,m,Q

经典例题】

例题1

A、负数没有平方根，因此负数也没有立方根

B、一个数的立方根比它本身小

C正数的立方根有两个，它们是互为相反数D、-2 是-8 的立方根

2006例题2、已知实数X, y满足x,5，y，4,0，求代数式的值。Xy，，

42例题3: 化简，(m,) ()34m,3

4a,b,33a，2b,9例4.已知A,是a，2的算术平方根，B,是2,b的立方根（a，22,b 求3A,2B的立方根（

例5.已知等边三角形的边长为X,面积S=4,求X的值。3

2例6.、设X、y是有理数，并且X、y满足等式x+2y+y=17,4，求x、y的值22 22例7. 已知a、b 是实数，且a+b,4a,2b+5 = 0 ，求的值3b,2a

20042005 例8 已知a = ,2，b =+2，求a?b 的值33

例9用分数指数幂形式表示下列各式（其中a>0）

3337,313,332? ? 、?、aaaaaa

11,, 122 例10;已知，求的值a，a,2a，a

22X,y? 知求的值X，y,12,Xy,9 且X,y.11

22X，y

11

33,1122,x ，x ， 222? 知，求的值 x ，x,32,2x ，x ，3

能力拓展

11111,, ,,,,,,,,,,,,,3216842,,,,,,,,

1212121212,, ,,,,,,,

n,N,1 ，2，2，3，3，2，？， n ，n ，1， 方法点拔】

1(若无理数a 满足:3

2( - 2(+1)=(精确到 0.01) 55

x , 23(若=3,则2X+130的算术平方根为.

2y4. 已知 xyxyzxz, ，，，， ,,2(4)20,() 求的平方根。

5( 解方程。

1322 (1) (2) (3) x ， 8,02x,75x ， 6,08

3293(4) (5) ,(,8)

， 20.25,,27 nmn,， ,,320mn,11( 已知为实数，且，求的值。

12(已知|a-4|+?3-b =0,且a,b 为等腰三角形

求三角形ABC 的周长

13(某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园 .已知这块荒 地的长是宽的 3 倍，它的

2 面积为 480000米

化简 ，， ,1,1,1,1 化简 ? 、，

238、若，贝U a+b 的值为

。 a,9,b,,64 9、已知

; 1.326,1.152,13.26,3.641, 则0.1326, 333 已知 。 38504,33.77,3850.4,, 则 38.504,

210. 已知实数满足，则的值是

19921993, ， ,,aaaaa,1992

ABC 的两条边,